湖南大学物理(2)第14,15章课后习题参考答案
大学物理课后习题及答案
习 题 二2-1 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。
[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv(1) 由牛顿第二定律 t v mma f d d == 即 tvm kv d d ==-所以 t m kv v d d -=对等式两边积分 ⎰⎰-=tv v t m k v v 0d d 0得 t mkv v -=0ln因此 t m kev v -=0(2) 由牛顿第二定律 x vmv t x x v m t v m ma f d d d d d d d d ==== 即 x vmv kv d d =-所以 v x mkd d =-对上式两边积分 ⎰⎰=-000d d v sv x m k得到 0v s mk-=-即 kmv s 0=2-2 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。
若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为[证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点。
由牛顿第二定律得即 tvm ma kv F mg d d ==--整理得mtkv F mg v d d =-- 对上式两边积分⎰⎰=--t vmt kv F mg v00d d得 mktF mg kv F mg -=---ln即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kte kFmg v 1 2-3 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。
求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。
[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ，极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。
大学物理第二版课后习题答案
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最新湖南大学物化十五个习题
（b）
（c）
4：1：1
0.05 0.0125 0.0125
（d）
2： ：1
0.05 0.0125 0.025
1： ：1
0.05 0.0125 0.05
（e）
419将含0.1 mol萘和0.9 mol苯的溶液冷却到有若干苯固体析出.过滤掉固体苯，将所剩溶液热至353.2 K，吃食苯的蒸气压为89.324 kPa.问开始时溶液冷却到的最低温度和析出固体苯的摩尔数.已知苯的熔点278.7 K，沸点353.2 K，熔化热 ，假定溶液时理想的.
DEF线PbMg2(s)+LE+SD3f=2-3+1=0
GHI线PbMg2(s)+Pb(s)+LH3f=2-3+1=0
表中LE,LH是指组成为E,H处的溶液；SD组成为D的固液体。
D点
E点木质、石质、骨质、琉璃、藏银……一颗颗、一粒粒、一片片，都浓缩了自然之美，展现着千种风情、万种诱惑，与中国结艺的朴实形成了鲜明的对比，代表着欧洲贵族风格的饰品成了他们最大的主题。PbMg2(s)+PbMg2(l)2f=1-2+1=0
2 L+S2f=1-2+1=0
“碧芝”隶属于加拿大的ｂｅａｄｗｏｒｋｓ公司。这家公司原先从事首饰加工业，自助首饰的风行也自西方，随着人工饰品的欣欣向荣，自制饰品越来越受到了人们的认同。１９９６年'碧芝自制饰品店'在迪美购物中心开张，这里地理位置十分优越，交通四八达，由于是市中心，汇集了来自各地的游客和时尚人群，不用担心客流量问题。迪美有３００多家商铺，不包括柜台，现在这个商铺的位置还是比较合适的，位于中心地带，左边出口的自动扶梯直接通向地面，从正对着的旋转式楼拾阶而上就是人民广场中央，周边４、５条地下通道都交汇于此，从自家店铺门口经过的９０％的顾客会因为好奇而进看一下。3 L+PbMg2(s)2f=2-2+1=1
大学物理下答案湖南大学出版-35页文档资料
动作一：双手叉腰，向前踢小腿。
细节：伸直腿并且绷紧脚部。
动作二：右腿弯曲，双手扶住右膝，左腿伸直，钩脚。
细节：脚部尽量上钩。
动作三：前跨步，双手扶稳迈出的大腿，下压后腿。
细节：后腿尽量拉长。
动作四：双手扶地，头朝下，脚部向上伸展。
细节：脚尖尽量指向天空。
动作五：双手叉腰，踮高脚跟走路。
细节：收紧臀部直达双腿。
动作六：一腿持重，另一条腿伸直并脚尖点地，同时双臂沿脚尖点出方向打开。
细节：腰部平直下压。
第十三章静电场P38．13．1 如图所示，在直角三角形ABCD的A点处，有点电荷q1=1.8×10-9C，B点处有点电荷q2 = -4.8×10-9C，AC = 3cm，BC = 4cm，试求C点的场强．[解答]根据点电荷的场强大小的公式其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m2·C-2．点电荷q1在C点产生的场强大小为方向向下．点电荷q2在C点产生的场强大小为方向向右．C处的总场强大小为总场强与分场强E2的夹角为13．2 半径为R的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．[解答]在带正电的圆弧上取一弧元d s = R dθ，电荷元为d q = λd s，在O点产生的场强大小为场强的分量为d E x= d E cosθ，d E y= d E sinθ．对于带负电的圆弧，同样可得在O点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x方向的合场强为零，总场强沿着y轴正方向，大小为13．3 均匀带电细棒，棒长a = 20cm，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m-1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d1 = 8cm处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d2= 8cm处的场强．[解答]（1）建立坐标系，其中L = a/2 = 0.1(m)，x = L+d1 = 0.18(m)．在细棒上取一线元d l，所带的电量为d q = λd l，根据点电荷的场强公式，电荷元在P1点产生的场强的大小为场强的方向沿x轴正向．因此P1点的总场强大小通过积分得将数值代入公式得P1点的场强为= 2.41×103(N·C-1)，方向沿着x轴正向．（2）建立坐标系，y = d2．在细棒上取一线元d l，所带的电量为d q = λd l，在棒的垂直平分线上的P2点产生的场强的大小为由于棒是对称的，x方向的合场强为零，y分量为d E y = d E2sinθ．由图可知：r = d2/sinθ，l = d2cotθ，所以d l = -d2dθ/sin2θ，因此02d sin d4yEdλθθπε-=，总场强大小为将数值代入公式得P2点的场强为= 5.27×103(N·C-1)．方向沿着y轴正向．[讨论]（1）由于L = a/2，x = L+d1，代入①式，化简得图13.1保持d 1不变，当a →∞时，可得这就是半无限长带电直线在相距为d 1的延长线上产生的场强大小．（2）由②式得 当a →∞时，得这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d 1=d 2，则有大小关系E y = 2E 1．13．4 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元 d s =R d φ， 所带的电量为 d q = λd s ，在圆心处产生的场强的大小为由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ． 总场强为方向沿着x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为 方向沿着x 轴负向．当O 点合场强为零时，必有`xx E E ，可得tan θ/2 = 1，因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．13．5 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a 处的场强．（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d 处的场强．[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为 d λ = σd x ， 根据直线带电线的场强公式得带电直线在P 点产生的场强为 其方向沿x 轴正向．由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为 场强方向沿x 轴正向．（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度仍然为dλ = σd x ，带电直线在Q 点产生的场强为 沿z 轴方向的分量为设x = d tan θ，则d x = d d θ/cos 2θ，因此 积分得场强方向沿z 轴正向．[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ = σb ，①式的场强可化为当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 这正是带电直线的场强公式．（2）②也可以化为当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为 这也是带电直线的场强公式．当b →∞时，可得这是无限大带电平面所产生的场强公式．13．6 （1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一图13.4个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？[解答]点电荷产生的电通量为Φe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe /6 = q /6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe /24 = q /24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．13．7 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O 为中心，R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为q = πR 2σ， 通过球面的电通量为 Φe = q /ε0， 通过半球面的电通量为Φ`e = Φe /2 = πR 2σ/2ε0．13．8 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，穿过高斯面的电通量为 根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）．13．9 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．在板内取一底面积为S ，高为2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 高斯面内的体积为 V = 2rS ， 包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ，高斯面在板内的体积为V = Sd ， 包含的电量为 q =ρV = ρSd ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②方法二：场强叠加法． （1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层d y ，面电荷密度为d σ = ρd y ，产生的场强为 d E 1 = d σ/2ε0， 积分得同理，上面板产生的场强为 r 处的总场强为E = E 1-E 2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r = d /2，得E 2 = 0、E = E 1 = ρd /2ε0，E 就是平板表面的场强．图13.7平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．13．10 一半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`<R 的小球体，如图所示，试求两球心O 与O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．对于一个半径为R ，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P 在球内时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 P 点场强大小为当场点P 在球外时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程 P 点场强大小为O 点在大球体中心、小球体之外．大球体在O 点产生的场强为零，小球在O 点产生的场强大小为 方向由O 指向O `．O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O 点产生的场强大小为方向也由O 指向O `．[证明]在小球内任一点P ，大球和小球产生的场强大小分别为 方向如图所示．设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为 根据余弦定理得 所以3E a ρε=，可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O 到O `的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．13．11 如图所示，在A 、B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验电荷q 0从O 点经过半圆弧路径移到C 点，求移动过程中电场力所做的功．[解答]正负电荷在O 点的电势的和为零：U O = 0；在C 点产生的电势为 电场力将正电荷q0从O 移到C 所做的功为W = q 0U OD = q 0(U O -U D ) = q 0q /6πε0R ． 13．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A 和B ．A 平面的电荷面密度为2σ，B 平面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d ．当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为多少？[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 E A = 2σ/2ε0 = σ/ε0，E B = σ/2ε0，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为E = E A - E B = σ/2ε0， 方向由A 平面指向B 平面．两平面间的电势差为U = Ed = σd /2ε0，当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为 W = qU = qσd /2ε0．13．13 一半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？[解答]带电球面在外部产生的场强为由于当U R = 0时，04Q U Rπε∞=-．13．14 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r <R ）处的电势为[证明]球的体积为343V R π=， 电荷的体密度为334Q QV Rρπ==． 利用13．10题的方法可求球内外的电场强度大小为30034QE r r Rρεπε==，（r ≦R ）； 图13.10 图13.11204Q E r πε=，（r ≧R ）．取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为 13．15 在y = -b 和y = b 两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷．（1）求此带电系统的电场分布，画E-y 图； （2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y 图．[解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相反．（1）在板内取一底面积为S ，高为2y 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为 高斯面内的体积为 V = 2yS ，包含的电量为 q = ρV = 2ρSy ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρy/ε0， (-b ≦y ≦b )．穿过平板作一底面积为S ，高为2y 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地Φe = 2ES ， 高斯面在板内的体积为 V = S 2b ， 包含的电量为 q = ρV = ρS 2b ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρb/ε0， (b ≦y )；E = -ρb/ε0， (y ≦-b )．E-y 图如左图所示．（2）对于平面之间的点，电势为 在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为22y U ρε=-，(-b ≦y ≦b )．这是一条开口向下的抛物线．当y ≧b 时，电势为在y = b 处U = -ρb 2/2ε0，所以C = ρb 2/2ε0，因此电势为2002b b U y ρρεε=-+，(b ≦y )．当y ≦-b 时，电势为在y = -b 处U = -ρb 2/2ε0，所以C = ρd 2/2ε0，因此电势为两个公式综合得200||2b b U y ρρεε=-+，(|y |≧d )． 这是两条直线．U-y 图如右图所示．U-y 图的斜率就形成E-y 图，在y = ±b 点，电场强度是连续的，因此，在U-y 图中两条直线与抛物线在y = ±b 点相切．[注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即 这是因为积分的起点位置是积分下限．13．16 两块“无限大”平行带电板如图所示，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），设A 和B 两板相隔5.0cm ，板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m -2，求：（1）在两板之间离A 板1.0cm 处P 点的电势；（2）A 板的电势． [解答]两板之间的电场强度为 E=σ/ε0，方向从A 指向B ．以B 板为原点建立坐标系，则r B = 0，r P = -0.04m ，r A = -0.05m ．（1）P 点和B 板间的电势差为由于U B = 0，所以P 点的电势为6123.3100.048.8410P U --⨯=⨯⨯=1.493×104(V)．（2）同理可得A 板的电势为 0()A B A U r r σε=-=1.866×104(V)．13．17 电量q 均匀分布在长为2L 的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L ． （1）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q= λd l ，根据点电荷的电势公式，它在P 1点产生的电势为 总电势为（2）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l ， 在线的垂直平分线上的P 2点产生的电势为 积分得（3）P 1点的场强大小为 方向沿着x 轴正向．P 2点的场强为 方向沿着y 轴正向．[讨论]习题13．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为由于2L λ = q ，取x = r ，就得公式①．（2）习题13．3的解答还计算了中垂线上的场强为取d 2 = r ，可得公式②．由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算．13．18 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势．在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为d V = 4πr 2d r ， 包含的电量为 d q = ρd V = 4πρr 2d r ， 在球心处产生的电势为球心处的总电势为 这就是A 点的电势U A ．过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为包含的电量为 Q = ρV ，这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为B 点的电势为U B = U 1 + U 2 （2）A 点的场强为 B 点的场强为[讨论] 过空腔中A 点作一半径为r 的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A 点场强为E = 0， (r ≦R 1)．过球壳中B 点作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 包含的电量为 q = ρV ，根据高斯定理得方程 4πr 2E = q/ε0， 可得B 点的场强为3120()3R E r rρε=-， (R 1≦r ≦R 2)．这两个结果与上面计算的结果相同．图13.18在球壳外面作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为 包含的电量为 q = ρV ，根据高斯定理得可得球壳外的场强为33212200()43R R q E r r ρπεε-==，(R 2≦r )．A 点的电势为B 点的电势为A 和B 点的电势与前面计算的结果相同．13．19 一圆盘，半径为R ，均匀带电，面电荷密度为σ，求：（1）圆盘轴线上任一点的电势（用该点与盘心的距离x 来表示）；（2）从电场强度的和电势梯度的关系，求该点的电场强度．（此题解答与书中P38页例13．13的解答相同，在此省略）13．20 （1）设地球表面附近的场强约为200V·m -1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．（2）在离地面1400m 高处，场强降为20V·m -1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m 下大气层里的平均电荷密度．[解答]地球的平均半径为R =6.371×106m ．（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量．根据公式 E = -σ/ε0， 电荷面密度为 σ = -ε0E ； 地球表面积为 S = 4πR 2， 地球所带有的总电量为Q = σS = -4πε0R 2E = -R 2E /k ，k 是静电力常量，因此电量为629(6.37110)200910Q ⨯⨯=-⨯=-9.02×105(C)． （2）在离地面高为h = 1400m 的球面内的电量为2()``R h E Q k+=-=-0.9×105(C)，大气层中的电荷为q = Q - Q` = 8.12×105(C)．由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为V = 4πR 2h = 0.714×1018(m 3)，平均电荷密度为ρ = q /V = 1.137×10-12(C·m -3)． 第十四章 静电场中的导体和电介质P80．14．1 一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为 14．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1图14.1和S 2．通过高斯面的电位移通量为 可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ， 方向也垂直中心轴向外．14．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电荷q ，求球心o 的电势为多少？[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为14．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？（2）A 板电势为多少？[解答](1)设A 的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q 1 = σ1S 和q 2 = σ2S ，在B 、C 板上分别感应异号电荷-q 1和-q 2，由电荷守恒得方程q = q 1 + q 2 = σ1S + σ2S ． ① A 、B 间的场强为 E 1 = σ1/ε0， A 、C 间的场强为 E 2 = σ2/ε0．设A 板与B 板的电势差和A 板与C 板的的电势差相等，设为ΔU ，则ΔU = E 1d 1 = E 2d 2， ②即 σ1d 1 = σ2d 2． ③解联立方程①和③得σ1 = qd 2/S (d 1 + d 2)，所以 q 1 = σ1S = qd 2/(d 1+d 2) = 2×10-8(C)；q 2 = q - q 1 = 1×10-8(C)．B 、C 板上的电荷分别为q B = -q 1 = -2×10-8(C)； q C = -q 2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为ΔU = E 1d 1 = σ1d 1/ε0 = qd 1d 2/ε0S (d 1+d 2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0， 所以 ε0 = 10-9/36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B 板和C 板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)．14．5 一无限大均匀带电平面A ，带电量为q ，在它的附近放一块与A 平行的金属导体板B ，板B 有一定的厚度，如图所示．则在板B 的两个表面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B 原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q 1 + q 2 = 0． ①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S ，则面电荷密度分别为σ1 = q 1/S 、σ2 = q 2/S 、σ = q/S ， 它们产生的场强大小分别为E 1 = σ1/ε0、E 2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在B 板内部任取一点P ，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A 板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E 1 - E 2 – E = 0，即 σ1 - σ2 – σ = 0，或者说 q 1 - q 2 + q = 0． ②解得电量分别为q 2 = q /2，q 1 = -q 2 = -q /2．14．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V ，两板间相距为1.2mm ，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2 = -σ3．两板之间的场强为E = σ3/ε0，而 E = U/d ， 所以面电荷密度分别为σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m -2)，σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m -2)．图14.3图14.4P2图14.5图14.614．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R 1和R 2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214R C R R πε=-表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R >>R 2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R 3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为 因此感应电荷为根据高斯定理可得两球壳之间的场强为 负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为球面间的电容为 14．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？[解答]球形电容器的电容为对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：当电容器中充满介质时，电容为：由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：14．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C 1=ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2．总电容的倒数为 总电容为122112S C d d εεεε=+．14．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ，方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ， 方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为 电容为212ln(/)q lC U R R πε==．在真空时的电容为 所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．14．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布；（2）介质层内、外表面的极化电荷面密度． [解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为D = Q 0r /4πr 3．电场强度为E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3，方向沿着径向．由于 D = ε0E + P ，所以 P = D - ε0E = 031(1)4r Q rεπ-r．在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q 0r /4πr 3，E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为E 0 = Q 0r /4πε0r 3；极化电荷q 1`产生的场强为E` = q 1`r /4πε0r 3；总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，解得极化电荷为 `101(1)rq Q ε=-，介质层内表面的极化电荷面密度为在介质层外表面，极化电荷为 面密度为14．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2．14．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C = ε0S/d ，当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，静电能为W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ． 14．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能； （3）极板上的自由电荷面密度．[解答]（1）如前所述，两电容器并联的电容为C = (1 + εr )ε0S /2d ．（2）电容器充电前的电容为C 0 = ε0S/d ， 充电后所带电量为 Q = C 0U ．当电容器的一半浸在介质中后，电容虽然改变了，但是电量不变，所以静电能为W = Q 2/2C = C 02U 2/2C = ε0SU 2/(1 + εr )d ． （3）电容器的一半浸入介质后，真空的一半的电容为 C 1 = ε0S /2d ；介质中的一半的电容为 C 2 = ε0εr S /2d ． 设两半的所带自由电荷分别为Q 1和Q 2，则Q 1 + Q 2 = Q ． ①由于C = Q/U ，所以U = Q 1/C 1 = Q 2/C 2． ②解联立方程得真空中一半电容器的自由电荷面密度为 同理，介质中一半电容器的自由电荷面密度为14．15 平行板电容器极板面积为200cm 2，板间距离为1.0mm ，电容器内有一块1.0mm 厚的玻璃板(εr = 5)．将电容器与300V 的电源相连．求：（1）维持两极板电压不变抽出玻璃板，电容器的能量变化为多少？（2）断开电源维持板上电量不变，抽出玻璃板，电容器能量变化为多少？。
(整理)大学物理下答案湖南大学出版
动作一： 双手叉腰，向前踢小腿。
细节：伸直腿并且绷紧脚部。
动作二： 右腿弯曲，双手扶住右膝，左腿伸直，钩脚。
细节：脚部尽量上钩。
动作三： 前跨步，双手扶稳迈出的大腿，下压后腿。
细节：后腿尽量拉长。
动作四： 双手扶地，头朝下，脚部向上伸展。
细节：脚尖尽量指向天空。
动作五： 双手叉腰，踮高脚跟走路。
细节：收紧臀部直达双腿。
动作六： 一腿持重，另一条腿伸直并脚尖点地，同时双臂沿脚尖点出方向打开。
细节：腰部平直下压。
第十三章 静电场 P38．13．1 如图所示，在直角三角形ABCD 的A 点处，有点电荷q 1 =1.8×10-9C ，B 点处有点电荷q 2 = -4.8×10-9C ，AC = 3cm ，BC = 4cm ，试求C 点的场强．[解答]根据点电荷的场强大小的公式22014q qE k r r ==πε，其中1/(4πε0) = k = 9.0×109N·m 2·C -2．点电荷q 1在C 点产生的场强大小为112014q E AC =πε994-1221.810910 1.810(N C )(310)--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯，方向向下．点电荷q 2在C 点产生的场强大小为2220||14q E BC =πε994-1224.810910 2.710(N C )(410)--⨯=⨯⨯=⨯⋅⨯， 方向向右．C 处的总场强大小为E =44-110 3.24510(N C )==⨯⋅，总场强与分场强E 2的夹角为12arctan33.69E E ==︒θ．13．2 半径为R 的一段圆弧，圆心角为60°，一半均匀带正电，另一半均匀带负电，其电线密度分别为+λ和-λ，求圆心处的场强．[解答]在带正电的圆弧上取一弧元d s = R d θ， 电荷元为d q = λd s ， 在O 点产生的场强大小为220001d 1d d d 444q s E R R R λλθπεπεπε===，场强的分量为d E x = d E cos θ，d E y = d E sin θ．对于带负电的圆弧，同样可得在O 点的场强的两个分量．由于弧形是对称的，x 方向的合场强为零，总场强沿着y 轴正方向，大小为2d sin y LE E E ==⎰θ/6/60000sin d (cos )22R R==-⎰ππλλθθθπεπε0(1)22R=-λπε．13．3 均匀带电细棒，棒长a = 20cm ，电荷线密度为λ = 3×10-8C·m -1，求：（1）棒的延长线上与棒的近端d 1 = 8cm 处的场强；（2）棒的垂直平分线上与棒的中点相距d 2 = 8cm 处的场强．[解答]（1）建立坐标系，其中L = a /2 = 0.1(m)，x = L+d 1 = 0.18(m)．在细棒上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l ，根据点电荷的场强公式，电荷元在P 1点产生的场强的大小为1220d d d 4()q lE k r x l ==-λπε场强的方向沿x 轴正向．因此P 1点的总场强大小通过积分得120d 4()LL lE x l λπε-=-⎰ 014LLx lλπε-=-011()4x L x Lλπε=--+ 220124L x L λπε=-． ①将数值代入公式得P 1点的场强为8912220.13109100.180.1E -⨯⨯⨯=⨯⨯-= 2.41×103(N·C -1)，方向沿着x 轴正向．（2）建立坐标系，y = d 2． 在细棒上取一线元d l ，所带的电量为 d q = λd l ，在棒的垂直平分线上的P 2点产生的场强的大小为2220d d d 4q lE kr r λπε==，由于棒是对称的，x 方向的合场强为零，y 分量为d E y = d E 2sin θ．由图可知：r = d 2/sin θ，l = d 2cot θ， 所以 d l = -d 2d θ/sin 2θ，因此02d sin d 4y E d λθθπε-=，总场强大小为02sin d 4Ly l LE d λθθπε=--=⎰02cos 4Ll Ld λθπε=-=LL=-==． ②将数值代入公式得P 2点的场强为89221/220.13109100.08(0.080.1)y E -⨯⨯⨯=⨯⨯+= 5.27×103(N·C -1)． 方向沿着y 轴正向．[讨论]（1）由于L = a /2，x = L+d 1，代入①式，化简得1011011144/1a E d d a d d a λλπεπε==++，保持d 1不变，当a →∞时，可得1014E d λπε→， ③这就是半无限长带电直线在相距为d 1的延长线上产生的场强大小．（2）由②式得y E ==，当a →∞时，得022y E d λπε→， ④这就是无限长带电直线在线外产生的场强公式．如果d 1=d 2，则有大小关系E y = 2E 1．13．4 一均匀带电的细棒被弯成如图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零．[解答]设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强．在圆弧上取一弧元 d s =R d φ， 所带的电量为 d q = λd s ，在圆心处产生的场强的大小为2200d d d d 44q s E k r R Rλλϕπεπε===， 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ． 总场强为2/20/2cos d 4x E R πθθλϕϕπε--=⎰2/20/2sin 4Rπθθλϕπε--=0sin 22R λθπε=，方向沿着x 轴正向．再计算两根半无限长带电直线在圆心产生的场强．根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为`04E Rλπε=，由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为``02coscos 222x E E R θλθπε==，方向沿着x 轴负向．当O 点合场强为零时，必有`xx E E =，可得tan θ/2 = 1，因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2．13．5 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如图所示．试求：（1）平板所在平面内，距薄板边缘为a 处的场强．（2）通过薄板几何中心的垂直线上与薄板距离为d 处的场强．[解答]（1）建立坐标系．在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为d λ = σd x ， 根据直线带电线的场强公式02E rλπε=，得带电直线在P 点产生的场强为00d d d 22(/2)xE rb a x λσπεπε==+-，其方向沿x 轴正向．由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总场强为图13.4 图13.5/20/21d 2/2b b E x b a x σπε-=+-⎰ /2/2ln(/2)2b b b a x σπε--=+-0ln(1)2b aσπε=+． ① 场强方向沿x 轴正向．（2）为了便于观察，将薄板旋转建立坐标系．仍然在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度仍然为dλ = σd x ，带电直线在Q 点产生的场强为221/200d d d 22()xE rb x λσπεπε==+，沿z 轴方向的分量为221/20cos d d d cos 2()z xE E b x σθθπε==+，设x = d tan θ，则d x = d d θ/cos 2θ，因此d d cos d 2z E E σθθπε==积分得arctan(/2)arctan(/2)d 2b d z b d E σθπε-=⎰0arctan()2b dσπε=． ② 场强方向沿z 轴正向．[讨论]（1）薄板单位长度上电荷为λ = σb ，①式的场强可化为0ln(1/)2/b a E a b aλπε+=，当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为02E aλπε→， ③这正是带电直线的场强公式．（2）②也可以化为0arctan(/2)2/2z b d E d b dλπε=，当b →0时，薄板就变成一根直线，应用罗必塔法则或泰勒展开式，场强公式变为02z E dλπε→，这也是带电直线的场强公式．当b →∞时，可得2z E σε→， ④ 这是无限大带电平面所产生的场强公式．13．6 （1）点电荷q 位于一个边长为a 的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体一面的电通量是多少？（2）如果将该场源点电荷移到立方体的的一个角上，这时通过立方体各面的电通量是多少？[解答]点电荷产生的电通量为Φe = q/ε0．（1）当点电荷放在中心时，电通量要穿过6个面，通过每一面的电通量为Φ1 = Φe /6 = q /6ε0．（2）当点电荷放在一个顶角时，电通量要穿过8个卦限，立方体的3个面在一个卦限中，通过每个面的电通量为Φ1 = Φe /24 = q /24ε0；立方体的另外3个面的法向与电力线垂直，通过每个面的电通量为零．13．7 面电荷密度为σ的均匀无限大带电平板，以平板上的一点O 为中心，R 为半径作一半球面，如图所示．求通过此半球面的电通量．[解答]设想在平板下面补一个半球面，与上面的半球面合成一个球面．球面内包含的电荷为q = πR 2σ， 通过球面的电通量为 Φe = q /ε0， 通过半球面的电通量为Φ`e = Φe /2 = πR 2σ/2ε0．13．8 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 1 > R 2)，带有等量异号电荷，单位长度的电量为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强．[解答]由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性．（1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以E = 0，（r < R 1）．（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl ，穿过高斯面的电通量为d d 2e SSE S E rl Φπ=⋅==⎰⎰E S Ñ，根据高斯定理Φe = q /ε0，所以02E rλπε=， (R 1 < r < R 2)． （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以E = 0，（r > R 2）．13．9 一厚度为d 的均匀带电无限大平板，电荷体密度为ρ，求板内外各点的场强．[解答]方法一：高斯定理法．（1）由于平板具有面对称性，因此产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`．在板内取一底面积为S ，高为2r 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为d e SΦ=⋅⎰E S2d d d S S S =⋅+⋅+⋅⎰⎰⎰E S E S E S 1`02ES E S ES =++=，高斯面内的体积为 V = 2rS ， 包含的电量为 q =ρV = 2ρrS ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρr/ε0，(0≦r ≦d /2)．①（2）穿过平板作一底面积为S ，高为2r 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为 Φe = 2ES ，高斯面在板内的体积为V = Sd ， 包含的电量为 q =ρV = ρSd ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0， 可得场强为 E = ρd /2ε0，(r ≧d /2)． ②方法二：场强叠加法． （1）由于平板的可视很多薄板叠而成的，以r 为界，下面平板产生的场强方向向上，上面平板产生的场强方向向下．在下面板中取一薄层d y ，面电荷密度为d σ = ρd y ，产生的场强为 d E 1 = d σ/2ε0， 积分得100/2d ()222rd y dE r ρρεε-==+⎰，③ 同理，上面板产生的场强为/2200d ()222d ry d E r ρρεε==-⎰，④ r 处的总场强为E = E 1-E 2 = ρr/ε0．（2）在公式③和④中，令r = d /2，得E 2 = 0、E = E 1 = ρd /2ε0，E 就是平板表面的场强．平板外的场强是无数个无限薄的带电平板产生的电场叠加的结果，是均强电场，方向与平板垂直，大小等于平板表面的场强，也能得出②式．图13.713．10 一半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块半径为R`<R 的小球体，如图所示，试求两球心O 与O`处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为均强电场．[解答]挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两个球体产生的场强的叠加．对于一个半径为R ，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P 在球内时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程2301443E r r ππρε=P 点场强大小为3E r ρε=． 当场点P 在球外时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得方程2301443E r R ππρε=P 点场强大小为3203R E r ρε=． O 点在大球体中心、小球体之外．大球体在O 点产生的场强为零，小球在O 点产生的场强大小为320`3O R E a ρε=，方向由O 指向O `．O`点在小球体中心、大球体之内．小球体在O`点产生的场强为零，大球在O 点产生的场强大小为`03O E a ρε=，方向也由O 指向O `．[证明]在小球内任一点P ，大球和小球产生的场强大小分别为3r E r ρε=，`0`3r E r ρε=， 方向如图所示．设两场强之间的夹角为θ，合场强的平方为222``2cos r r r r E E E E E θ=++2220()(`2`cos )3r r rr ρθε=++， 根据余弦定理得222`2`c o s ()a r r r r πθ=+--， 所以3E a ρε=， 可见：空腔内任意点的电场是一个常量．还可以证明：场强的方向沿着O 到O `的方向．因此空腔内的电场为匀强电场．13．11 如图所示，在A 、B 两点处放有电量分别为+q 和-q 的点电荷，AB 间距离为2R ，现将另一正试验电荷q 0从O 点经过半圆弧路径移到C 点，求移动过程中电场力所做的功．[解答]正负电荷在O 点的电势的和为零：U O = 0；在C 点产生的电势为0004346C q q q U RRRπεπεπε--=+=，电场力将正电荷q0从O 移到C 所做的功为W = q 0U OD = q 0(U O -U D ) = q 0q /6πε0R ．13．12 真空中有两块相互平行的无限大均匀带电平面A 和B ．A 平面的电荷面密度为2σ，B 平图13.10图13.11面的电荷面密度为σ，两面间的距离为d ．当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为多少？[解答]两平面产生的电场强度大小分别为 E A = 2σ/2ε0 = σ/ε0，E B = σ/2ε0，两平面在它们之间产生的场强方向相反，因此，总场强大小为E = E A - E B = σ/2ε0， 方向由A 平面指向B 平面．两平面间的电势差为U = Ed = σd /2ε0，当点电荷q 从A 面移到B 面时，电场力做的功为 W = qU = qσd /2ε0．13．13 一半径为R 的均匀带电球面，带电量为Q ．若规定该球面上电势值为零，则无限远处的电势为多少？[解答]带电球面在外部产生的场强为204Q E rπε=，由于d d R RRU U E r ∞∞∞-=⋅=⎰⎰E l200d 44RR QQr r r πεπε∞∞-==⎰04Q Rπε=，当U R = 0时，04Q U Rπε∞=-．13．14 电荷Q 均匀地分布在半径为R 的球体内，试证明离球心r （r <R ）处的电势为2230(3)8Q R r U Rπε-=． [证明]球的体积为343V R π=，电荷的体密度为334Q QV Rρπ==． 利用13．10题的方法可求球内外的电场强度大小为30034QE r r Rρεπε==，（r ≦R ）； 204Q E rπε=，（r ≧R ）．取无穷远处的电势为零，则r 处的电势为d d d RrrRU E r E r ∞∞=⋅=+⎰⎰⎰E l3200d d 44RrRQ Qr r r R r πεπε∞=+⎰⎰230084R rRQQ rRrπεπε∞-=+22300()84Q Q R r RRπεπε=-+2230(3)8Q R r R πε-=．13．15 在y = -b 和y = b 两个“无限大”平面间均匀充满电荷，电荷体密度为ρ，其他地方无电荷．（1）求此带电系统的电场分布，画E-y 图； （2）以y = 0作为零电势面，求电势分布，画E-y 图．[解答]平板电荷产生的场强的方向与平板垂直且对称于中心面：E = E`，但方向相反．（1）在板内取一底面积为S ，高为2y 的圆柱面作为高斯面，场强与上下两表面的法线方向平等而与侧面垂直，通过高斯面的电通量为d e SΦ=⋅⎰E Sd d d 2S S S ES =⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰E S E S E S 12．高斯面内的体积为 V = 2yS ， 包含的电量为 q = ρV = 2ρSy ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρy/ε0， (-b ≦y ≦b )．穿过平板作一底面积为S ，高为2y 的圆柱形高斯面，通过高斯面的电通量仍为地Φe = 2ES ， 高斯面在板内的体积为 V = S 2b ， 包含的电量为 q = ρV = ρS 2b ， 根据高斯定理 Φe = q/ε0，可得场强为 E = ρb/ε0， (b ≦y )；E = -ρb/ε0， (y ≦-b )．E-y 图如左图所示．（2）对于平面之间的点，电势为d d yU y ρε=-⋅=-⎰⎰E l 22y C ρε=-+，在y = 0处U = 0，所以C = 0，因此电势为22y U ρε=-，(-b ≦y ≦b )． 这是一条开口向下的抛物线．当y ≧b 时，电势为d d nqbnqbU y y C εε=-⋅=-=-+⎰⎰E l ，在y = b 处U = -ρb 2/2ε0，所以C = ρb 2/2ε0，因此电势为2002b bU y ρρεε=-+，(b ≦y )．当y ≦-b 时，电势为00d d b bU y y C ρρεε=-⋅==+⎰⎰E l ， 在y = -b 处U = -ρb 2/2ε0，所以C = ρd 2/2ε0，因此电势为2002b b U y ρρεε=+，两个公式综合得200||2b b U y ρρεε=-+，(|y |≧d )． 这是两条直线．U-y 图如右图所示．U-y 图的斜率就形成E-y 图，在y = ±b 点，电场强度是连续的，因此，在U-y 图中两条直线与抛物线在y = ±b 点相切．[注意]根据电场求电势时，如果无法确定零势点，可不加积分的上下限，但是要在积分之后加一个积分常量．根据其他关系确定常量，就能求出电势，不过，线积分前面要加一个负号，即d U =-⋅⎰E l这是因为积分的起点位置是积分下限．13．16 两块“无限大”平行带电板如图所示，A 板带正电，B 板带负电并接地（地的电势为零），设A 和B 两板相隔5.0cm ，板上各带电荷σ=3.3×10-6C·m -2，求：（1）在两板之间离A 板1.0cm 处P 点的电势；（2）A 板的电势． [解答]两板之间的电场强度为E=σ/ε0，方向从A 指向B ．以B 板为原点建立坐标系，则r B = 0，r P = -0.04m ，r A = -0.05m ．（1）P 点和B 板间的电势差为d d BBPPr r P B r r U U E r -=⋅=⎰⎰E l0()B Pr r σε=-， 由于U B = 0，所以P 点的电势为6123.3100.048.8410P U --⨯=⨯⨯=1.493×104(V)． （2）同理可得A 板的电势为()A B A U r r σε=-=1.866×104(V)．13．17 电量q 均匀分布在长为2L 的细直线上，试求：（1）带电直线延长线上离中点为r 处的电势； （2）带电直线中垂线上离中点为r 处的电势； （3）由电势梯度算出上述两点的场强． [解答]电荷的线密度为λ = q/2L ． （1）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q= λd l ，根据点电荷的电势公式，它在P 1点产生的电势为101d d 4lU r lλπε=-总电势为10d 4LL l U r lλπε-=-⎰ln()4Ll Lr l λπε=--=-0ln8q r LLr Lπε+=-． （2）建立坐标系，在细线上取一线元d l ，所带的电量为d q = λd l ，在线的垂直平分线上的P 2点产生的电势为2221/20d d 4()lU r l λπε=+，积分得2221/201d 4()LLU l r l λπε-=+⎰)4Ll Ll λπε=-=0ln8q Lπε=0ln4q Lπε=．（3）P 1点的场强大小为11U E r∂=-∂011()8qL r L r L πε=--+22014qr L πε=-， ①方向沿着x 轴正向．P 2点的场强为22U E r∂=-∂01[4qL r πε==， ②方向沿着y 轴正向．[讨论]习题13．3的解答已经计算了带电线的延长线上的场强为1220124L E x L λπε=-，由于2L λ = q ，取x = r ，就得公式①．（2）习题13．3的解答还计算了中垂线上的场强为y E =取d 2 = r ，可得公式②．由此可见，电场强度可用场强叠加原理计算，也可以用电势的关系计算．13．18 如图所示，一个均匀带电，内、外半径分别为R 1和R 2的均匀带电球壳，所带电荷体密度为ρ，试计算：（1）A ，B 两点的电势；（2）利用电势梯度求A ，B 两点的场强． [解答]（1）A 点在球壳的空腔内，空腔内的电势处处相等，因此A 点的电势就等于球心O 点的电势．在半径为r 的球壳处取一厚度为d r 的薄壳，其体积为d V = 4πr 2d r ， 包含的电量为 d q = ρd V = 4πρr 2d r ， 在球心处产生的电势为00d d d 4O qU r r r ρπεε==，球心处的总电势为21222100d ()2R O RU r r R R ρρεε==-⎰， 这就是A 点的电势U A ．过B 点作一球面，B 的点电势是球面外的电荷和球面内的电荷共同产生的．球面外的电荷在B 点产生的电势就等于这些电荷在球心处产生的电势，根据上面的推导可得22120()2B U R r ρε=-． 球面内的电荷在B 点产生的电势等于这些电荷集中在球心处在B 点产生的电势．球壳在球面内的体积为3314()3B V r R π=-， 包含的电量为 Q = ρV ，这些电荷集中在球心时在B 点产生的电势为332100()43B BBQ U r R r r ρπεε==-．B 点的电势为U B = U 1 + U 2322120(32)6B BR R r r ρε=--． （2）A 点的场强为0AA AU E r ∂=-=∂． B 点的场强为3120()3B B B B BU R E r r r ρε∂=-=-∂．[讨论] 过空腔中A 点作一半径为r 的同心球形高斯面，由于面内没有电荷，根据高斯定理，可得空腔中A 点场强为E = 0， (r ≦R 1)．过球壳中B 点作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为3314()3V r R π=-，包含的电量为 q = ρV ，根据高斯定理得方程 4πr 2E = q/ε0， 可得B 点的场强为3120()3R E r rρε=-， (R 1≦r ≦R 2)．这两个结果与上面计算的结果相同．在球壳外面作一半径为r 的同心球形高斯面，面内球壳的体积为33214()3V R R π=-，包含的电量为 q = ρV ，根据高斯定理得可得球壳外的场强为33212200()43R R qE r rρπεε-==，(R 2≦r )．图13.18A 点的电势为d d AAA r r U E r ∞∞=⋅=⎰⎰E l12131200d ()d 3AR R r R R r r r rρε=+-⎰⎰2332120()d 3RR R r r ρε∞-+⎰22210()2R R ρε=-． B 点的电势为d d BBB r r U E r ∞∞=⋅=⎰⎰E l23120()d 3BR r R r r r ρε=-⎰2332120()d 3R R R r r ρε∞-+⎰322120(32)6B BR R r r ρε=--． A 和B 点的电势与前面计算的结果相同．13．19 一圆盘，半径为R ，均匀带电，面电荷密度为σ，求：（1）圆盘轴线上任一点的电势（用该点与盘心的距离x 来表示）；（2）从电场强度的和电势梯度的关系，求该点的电场强度．（此题解答与书中P38页例13．13的解答相同，在此省略）13．20 （1）设地球表面附近的场强约为200V·m -1，方向指向地球中心，试求地球所带有的总电量．（2）在离地面1400m 高处，场强降为20V·m -1，方向仍指向地球中心，试计算在1400m 下大气层里的平均电荷密度．[解答]地球的平均半径为R =6.371×106m ．（1）将地球当作导体，电荷分布在地球表面，由于场强方向指向地面，所以地球带负量．根据公式 E = -σ/ε0， 电荷面密度为 σ = -ε0E ； 地球表面积为 S = 4πR 2， 地球所带有的总电量为Q = σS = -4πε0R 2E = -R 2E /k ，k 是静电力常量，因此电量为629(6.37110)200910Q ⨯⨯=-⨯=-9.02×105(C)． （2）在离地面高为h = 1400m 的球面内的电量为2()``R h E Q k+=-=-0.9×105(C)， 大气层中的电荷为q = Q - Q` = 8.12×105(C)．由于大气层的厚度远小于地球的半径，其体积约为V = 4πR 2h = 0.714×1018(m 3)，平均电荷密度为ρ = q /V = 1.137×10-12(C·m -3)．第十四章 静电场中的导体和电介质P80．14．1 一带电量为q ，半径为r A 的金属球A ，与一原先不带电、内外半径分别为r B 和r C 的金属球壳B 同心放置，如图所示，则图中P 点的电场强度如何？若用导线将A 和B 连接起来，则A 球的电势为多少？（设无穷远处电势为零）[解答]过P 点作一个同心球面作为高斯面，尽管金属球壳内侧会感应出异种，但是高斯面内只有电荷q ．根据高斯定理可得 E 4πr 2 = q /ε0， 可得P 点的电场强度为204q E r πε=．当金属球壳内侧会感应出异种电荷-q 时，外侧将出现同种电荷q ．用导线将A 和B 连接起来后，正负电荷将中和．A 球是一个等势体，其电势等于球心的电势．A 球的电势是球壳外侧的电荷产生的，这些电荷到球心的距离都是r c ，所以A 球的电势为04cq U r πε=．14．2 同轴电缆是由半径为R 1的导体圆柱和半径为R 2的同轴薄圆筒构成的，其间充满了相对介电常数为εr 的均匀电介质，设沿轴线单位长度上导线的圆筒的带电量分别为+λ和-λ，则通过介质内长为l ，半径为r 的同轴封闭圆柱面的电位移通量为多少？圆柱面上任一点的场强为多少？[解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，根据介质中的高斯定理，通过圆柱面的电位移通过等于该面包含的自由电荷，即 Φd = q = λl ．设高斯面的侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S Ñ12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，可得电位移为 D = λ/2πr ， 其方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε0εr = λ/2πε0εr r ， 方向也垂直中心轴向外．14．3 金属球壳原来带有电量Q ，壳内外半径分别为a 、b ，壳内距球心为r 处有一点电荷q ，求球心o 的电势为多少？[解答]点电荷q在内壳上感应出负电荷-q ，不论电荷如何分布，距离球心都为a ．外壳上就有电荷q+Q ，距离球为b ．球心的电势是所有电荷产生的电势叠加，大小为000111444o q q Q qU r a bπεπεπε-+=++14．4 三块平行金属板A 、B 和C ，面积都是S = 100cm 2，A 、B 相距d 1 = 2mm ，A 、C 相距d 2 = 4mm ，B 、C 接地，A 板带有正电荷q = 3×10-8C ，忽略边缘效应．求（1）B 、C 板上的电荷为多少？（2）A 板电势为多少？[解答](1)设A 的左右两面的电荷面密度分别为σ1和σ2，所带电量分别为q 1 = σ1S 和q 2 = σ2S ，在B 、C 板上分别感应异号电荷-q 1和-q 2，由电荷守恒得方程q = q 1 + q 2 = σ1S + σ2S ． ① A 、B 间的场强为 E 1 = σ1/ε0， A 、C 间的场强为 E 2 = σ2/ε0．设A 板与B 板的电势差和A 板与C 板的的电势差相等，设为ΔU ，则ΔU = E 1d 1 = E 2d 2， ②即 σ1d 1 = σ2d 2． ③解联立方程①和③得σ1 = qd 2/S (d 1 + d 2)，所以 q 1 = σ1S = qd 2/(d 1+d 2) = 2×10-8(C)；q 2 = q - q 1 = 1×10-8(C)．B 、C 板上的电荷分别为q B = -q 1 = -2×10-8(C)； q C = -q 2 = -1×10-8(C)． (2)两板电势差为ΔU = E 1d 1 = σ1d 1/ε0 = qd 1d 2/ε0S (d 1+d 2)， 由于 k = 9×109 = 1/4πε0，所以 ε0 = 10-9/36π， 因此 ΔU = 144π = 452.4(V)． 由于B 板和C 板的电势为零，所以U A = ΔU = 452.4(V)．14．5 一无限大均匀带电平面A ，带电量为q ，在它的附近放一块与A 平行的金属导体板B ，板B 有一定的厚度，如图所示．则在板B 的两个表图14.3图14.42图14.5面1和2上的感应电荷分别为多少？[解答]由于板B 原来不带电，两边感应出电荷后，由电荷守恒得q 1 + q 2 = 0． ①虽然两板是无限大的，为了计算的方便，不妨设它们的面积为S ，则面电荷密度分别为σ1 = q 1/S 、σ2 = q 2/S 、σ = q/S ， 它们产生的场强大小分别为E 1 = σ1/ε0、E 2 = σ2/ε0、E = σ/ε0． 在B 板内部任取一点P ，其场强为零，其中1面产生的场强向右，2面和A 板产生的场强向左，取向右的方向为正，可得E 1 - E 2 – E = 0，即 σ1 - σ2 – σ = 0，或者说 q 1 - q 2 + q = 0． ② 解得电量分别为q 2 = q /2，q 1 = -q 2 = -q /2．14．6 两平行金属板带有等异号电荷，若两板的电势差为120V ，两板间相距为1.2mm ，忽略边缘效应，求每一个金属板表面的电荷密度各为多少？[解答]由于左板接地，所以σ1 = 0．由于两板之间的电荷相互吸引，右板右面的电荷会全部吸引到右板左面，所以σ4 = 0．由于两板带等量异号的电荷，所以σ2 = -σ3．两板之间的场强为E = σ3/ε0，而 E = U/d ， 所以面电荷密度分别为σ3 = ε0E = ε0U/d = 8.84×10-7(C·m -2)，σ2 = -σ3 = -8.84×10-7(C·m -2)．14．7 一球形电容器，内外球壳半径分别为R 1和R 2，球壳与地面及其他物体相距很远．将内球用细导线接地．试证：球面间电容可用公式202214R C R R πε=-表示．（提示：可看作两个球电容器的并联，且地球半径R >>R 2）[证明]方法一：并联电容法．在外球外面再接一个半径为R 3大外球壳，外壳也接地．内球壳和外球壳之间是一个电容器，电容为1210012211441/1/R R C R R R R πεπε==--外球壳和大外球壳之间也是一个电容器，电容为2023141/1/C R R πε=-．外球壳是一极，由于内球壳和大外球壳都接地，共用一极，所以两个电容并联．当R 3趋于无穷大时，C 2 = 4πε0R 2．并联电容为12120022144R R C C C R R R πεπε=+=+-202214R R R πε=-．方法二：电容定义法．假设外壳带正电为q ，则内壳将感应电荷q`．内球的电势是两个电荷产生的叠加的结果．由于内球接地，所以其电势为零；由于内球是一个等势体，其球心的电势为0201`044q q R R πεπε+=，因此感应电荷为12`R q q R =-． 根据高斯定理可得两球壳之间的场强为122002`44R q q E r R r πεπε==-，负号表示场强方向由外球壳指向内球壳．取外球壳指向内球壳的一条电力线，两球壳之间的电势差为图14.61122d d R R R R U E r =⋅=⎰⎰E l121202()d 4R R R qr R r πε=-⎰1212021202()11()44R q R R q R R R R πεπε-=-= 球面间的电容为202214R q C U R R πε==-．14．8 球形电容器的内、外半径分别为R 1和R 2，其间一半充满相对介电常量为εr 的均匀电介质，求电容C 为多少？[解答]球形电容器的电容为120012211441/1/R R C R R R R πεπε==--．对于半球来说，由于相对面积减少了一半，所以电容也减少一半：0121212R R C R R πε=-． 当电容器中充满介质时，电容为：0122212r R R C R R πεε=-．由于内球是一极，外球是一极，所以两个电容器并联：01212212(1)r R R C C C R R πεε+=+=-．14．9 设板面积为S 的平板电容器析板间有两层介质，介电常量分别为ε1和ε2，厚度分别为d 1和d 2，求电容器的电容．[解答]假设在两介质的介面插入一薄导体，可知两个电容器串联，电容分别为C 1 = ε1S/d 1和C 2 = ε2S/d 2． 总电容的倒数为122112*********d d d d C C C S S Sεεεεεε+=+=+=， 总电容为122112SC d d εεεε=+．14．10 圆柱形电容器是由半径为R 1的导线和与它同轴的内半径为R 2的导体圆筒构成的，其长为l ，其间充满了介电常量为ε的介质．设沿轴线单位长度导线上的电荷为λ，圆筒的电荷为-λ，略去边缘效应．求：（1）两极的电势差U ；（2）介质中的电场强度E 、电位移D ； （3）电容C ，它是真空时电容的多少倍？ [解答]介质中的电场强度和电位移是轴对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 、长为l 的圆柱形高斯面，侧面为S 0，上下两底面分别为S 1和S 2．通过高斯面的电位移通量为d d SΦ=⋅⎰D S Ñ12d d d 2S S S rlD π=⋅+⋅+⋅=⎰⎰⎰D S D S D S ，高斯面包围的自由电荷为 q = λl ， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = λ/2πr ， 方向垂直中心轴向外．电场强度为 E = D/ε = λ/2πεr ，方向也垂直中心轴向外．取一条电力线为积分路径，电势差为21d d d 2R LLR U E r r r λπε=⋅==⎰⎰⎰E l21ln 2R R λπε=．电容为212ln(/)q l C U R R πε==．在真空时的电容为00212ln(/)l qC U R R πε==，所以倍数为C/C 0 = ε/ε0．14．11 在半径为R 1的金属球外还有一层半径为R 2的均匀介质，相对介电常量为εr ．设金属球带电Q 0，求：（1）介质层内、外D 、E 、P 的分布； （2）介质层内、外表面的极化电荷面密度． [解答]（1）在介质内，电场强度和电位移以及极化强度是球对称分布的．在内外半径之间作一个半径为r 的球形高斯面，通过高斯面的电位移通量为2d d 4d S SD S r D Φπ=⋅==⎰⎰D S 蜒高斯面包围的自由电荷为q = Q 0， 根据介质中的高斯定理 Φd = q ， 可得电位为 D = Q 0/4πr 2， 方向沿着径向．用矢量表示为D = Q 0r /4πr 3．电场强度为E = D /ε0εr = Q 0r /4πε0εr r 3，方向沿着径向．由于 D = ε0E + P ，所以 P = D - ε0E = 031(1)4r Q rεπ-r．在介质之外是真空，真空可当作介电常量εr = 1的介质处理，所以D = Q 0r /4πr 3，E = Q 0r /4πε0r 3，P = 0． （2）在介质层内靠近金属球处，自由电荷Q 0产生的场为E 0 = Q 0r /4πε0r 3；极化电荷q 1`产生的场强为E` = q 1`r /4πε0r 3；总场强为 E = Q 0r /4πε0εr r 3． 由于 E = E 0 + E `，解得极化电荷为 `101(1)rq Q ε=-，介质层内表面的极化电荷面密度为``01122111(1)44r Q q R R σπεπ==-．在介质层外表面，极化电荷为``21q q =-，面密度为``02222221(1)44r Q q R R σπεπ==-．14．12 两个电容器电容之比C 1:C 2 = 1:2，把它们串联后接电源上充电，它们的静电能量之比为多少？如果把它们并联后接到电源上充电，它们的静电能之比又是多少？[解答]两个电容器串联后充电，每个电容器带电量是相同的，根据静电能量公式W = Q 2/2C ，得静电能之比为W 1:W 2 = C 2:C 1 = 2:1．两个电容器并联后充电，每个电容器两端的电压是相同的，根据静电能量公式W = CU 2/2，得静电能之比为W 1:W 2 = C 1:C 2 = 1:2．14．13 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，接在电源上维持其电压为U ．将一块厚度为d 相对介电常量为εr 的均匀介电质板插入电容器的一半空间内，求电容器的静电能为多少？[解答]平行板电容器的电容为C = ε0S/d ，当面积减少一半时，电容为C 1 = ε0S /2d ； 另一半插入电介质时，电容为C 2 = ε0εr S /2d ．两个电容器并联，总电容为C = C 1 + C 2 = (1 + εr )ε0S /2d ，静电能为W = CU 2/2 = (1 + εr )ε0SU 2/4d ．14．14 一平行板电容器板面积为S ，板间距离为d ，两板竖直放着．若电容器两板充电到电压为U 时，断开电源，使电容器的一半浸在相对介电常量为εr 的液体中．求：（1）电容器的电容C ；（2）浸入液体后电容器的静电能；。
大学物理2课后习题答案.docx
解：回路磁通=BS = Bn r 2感应电动势大小：£— = — (B TI r 2) = B2n r — = 0A0 V At dr dr10-2^-Bcosa2同理，半圆形ddc 法向为7,则0”2鸟与亍夹角和另与7夹角相等,a = 45°①和=Bn R 2 cos a10-6解：0/z? =BS = 5—cos(^ + 久)叫一加&sin （血+久）dr _2Bit r~O) Bn r~2 _ 2 2 2Bf2n f =兀 2『BfR R 解：取半圆形"a 法向为Z ,dt — HR? ABcos a —— dt -8.89 xlO'2V方向与cbadc 相反，即顺时针方向. 题10-6图(1)在Ob 上取尸T 尸+ dr 一小段71 同理•• • r 1 9 % - 3 ca^BAr = 一 Bco, °"」） 18 1 2 1 , £ab - £aO +% =（一花' + 石）广=(2)・・・£ah >0即U a -U h <0 :.b 点电势高.10-11在金属杆上取dr 距左边直导线为r ，则（2） |nj 理， £dc = 碇・d7>0U d -U c v0即 / >U d10-15 设长直电流为/ ,其磁场通过正方形线圈的互感磁通为％蓄绘/警5210-16Q)见题10-16图Q),设长直电流为/,它产生的磁场通过矩形线圈的磁通为丛（丄+丄）d- I 2龙 r 2a-r •:实际上感应电动势方向从g T A , 即从图中从右向左,71 a-b10-14•d5 知, 此吋E 旋以。
为中心沿逆时针方向.(1) V ab 是直径，在〃上处处E 旋与ab m§E 旋• d7 = 0• • £亦也 U Q =Ub心 2n r 2TI 由样旋• M -/z 0/v a + b71 a-b（a （b12-4解:⑴由0 =—,务=£_知,各级条纹向棱边方 2/ 2向移动，条纹间距不变；（2）各级条纹向棱边方向移动，H.条纹变密. 12 5解：工件缺陷是凹的.故各级等厚线（在缺陷附近的）向棱边方向弯曲・按题意，每一条纹弯曲部分的顶点恰与左邻的直线部分连线相切，说明弯曲部分相当于条纹2向棱边移动了一条，故相应的空气隙厚度差为Ae = -,这也是工件缺陷的程度.2 12-6 ・・・ A/ = ^^- = A^^ln2 = 2.8xlO~6 H1 2JI(b)・・•长直电流磁场通过矩形线圈的磁通*2 = 0，见题10-16图(b)・・・ M = O10-17如图10-17图所示，取dS = /dr①二U(如+ ^_炖=做 广「丄)做(In 厶-In 丄) 2〃r 2兀(d-r)2兀 “ r r-d 2K a d-a = ^Il_Xn d-a_7i a:.L / =如1门上£I TI a10-18•・•顺串时厶=厶+厶2 +2M反串联时//二厶+厶2-2M・•・ L_L f = 4MM = --------- = 0.15 H 412-1 y 不变，为波源的振动频率；A,n =— 变小；u = A n v 变小. n 12- 2由心=三久知，（1）条纹变疏；（2）条纹变密；（3）条纹变密；（4）零级明纹在屏幕上作相反方向的上下移动；（5）零 a级明纹向下移动.12- 3解：不同媒质若光程相等，则其儿何路程定不相冋其所需吋间相同，为&€・因为△中已经将光在介质中的路程折算为光在真空中所走的路程。
大学物理11-25章例题习题参考答案(详解)
第11章 静电场【例题精选】例11-1 （见书上） 例11-2()22300(428qd qdR R d Rπεππε-或），从O 点指向缺口中心点 例11-3 D 例11-4 D例11-5 B例11-60/2σε， 向右； 03/2σε， 向右； 0/2σε， 向左例11-7 （见书上）【练习题】11-1 B11-2 0/d λε，220(4)dR d λπε-，沿矢径OP 11-30/Q ε，0205180Q R πε和r11-4 B11-5 【解】（1）作与球体同心，半径r <R 的高斯球面S1。
球体内电荷密度ρ随r 变化，因此，球面S1内包含的电荷214()d ro Q r r rπρ=⎰。
已知的电荷体密度ρ(r) =kr ，根据高斯定理：11d s oQ Φε=⋅=⎰E S ，230144d rr o E r k r r ππε⋅=⎰，可求得球体内任意点的场强：24r o r E kε=，r <R 。
（2）作与球体同心、半径r >R 的球面S2，因R 外电荷为零，故S2内的电荷Q2=Q 总，根据高斯定理：1231d 44d Rr s oE r k r r Φππε=⋅=⋅=⎰⎰E S ，得球体外任意一点的场强：4204r R E k r ε=，r >R 。
11-60/(2)σε-，03/(2)σε 11-7 【解】两同轴圆柱面带有等量异号电荷，则内外电荷线密度分别为λ和-λ。
电场分布具有轴对称性。
（1）建立半径1r R <的同轴高斯柱面，设高为h 。
高斯柱面内无电荷分布。
1d 20SE rh π⋅=⋅=⎰E S ，则，10E=（1r R <）（2）建立12R r R <<的同轴高斯柱面，设高为h 。
高斯柱面内包含电荷。
柱面的上下底面无电场分布，电场均匀分布在侧面。
20d 2Sh E rh λπε⋅=⋅=⎰E S ，则，202E rλπε=（12R r R <<）（3）建立半径2r R >的同轴高斯柱面，设高为h 。
大学物理 第二版 毛峰主编 课后习题答案
大学物理第二版毛峰主编课后习题答案大学物理第二版毛峰主编课后习题答案大学物理，第二卷毛峰编第1章粒子运动学习问答1．｜?r｜与?r有无不同?drdv和drdv之间有什么区别吗？它和以前不同吗？有什么区别？试着用一个例子来说明。
解决方案：？R｜和？有什么不同？R表示粒子运动的位移，以及？R表示粒子移动时径向长度的增量；drdrdrdr和不同.表示质点运动速度的大小,而则表示质点运动速度的径向分dtdtdtdt量;DV不同于表示质点运动加速度的大小，而是表示质点运动加速度DTDT的切向分量2.质点沿直线运动，其位置矢量是否一定方向不变？质点位置矢量方向不变，质点是否一定做直线运动？解决方案：粒子沿直线移动，其位置向量的方向可以改变；如果粒子位置向量的方向保持不变，则粒子必须沿直线移动3.匀速圆周运动的速度和加速度是否都恒定不变？圆周运动的加速度是否总是指向圆心，为什么？解:由于匀速圆周运动的速度和加速度的方向总是随时间发生变化的,因此,其速度和加速度不是恒定不变的;只有匀速圆周运动的加速度总是指向圆心,故一般来讲,圆周运动的加速度不一定指向圆心.4.物体沿直线运动，运动方程为x（1）秒？6t？2T，其中每个量采用国际单位制，计算：（2）第三秒末的平均速度；（3）在第一秒结束时加速；（4）物体的运动类型。
23x(t)?6t2?2t3解:由于:v(t)?dx?12t?6t2dtdva(t)??12?12tdt所以:（1）第二秒内的平均速度:v?x(2)?x(1)?1?4(ms)2?12?1（2）第三秒末的速度:v（3）？12? 3.6.31?? 8（MS）（3）第一秒结束时的加速度：1a（1）1？2.12? 1.0（MS）（4）物体运动类型为变速线性运动。
5．一质点运动方程的表达式为r（1）质点(t）?10ti?5tj，式中的r,t分别以m,s为单位，试求；的速度和加速度；（2）质点的轨迹方程。
解:（1）质点的速度:2.2.Rdv？？20ti？5jdt质点的加速度:dva？？20idt2（2）质点的轨迹方程:X？10，泰？5T同时消除参数t，以获得粒子的轨迹方程：y？25x26。
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第14章 稳恒电流的磁场 一、选择题1(B).2(D).3(D).4(B).5(B).6(D).7(B).8(C).9(D).10(A) 二、填空题(1). 最大磁力矩.磁矩 ; (2). R 2c ；(3).)4/(0a I μ； (4).RIπ40μ ；(5).i .沿轴线方向朝右. ； (6). )2/(210R rI πμ. 0 ;(7). 4 ; (8). )/(lB mg ； (9). aIB ; (10). 正.负.三 计算题1．一无限长圆柱形铜导体(磁导率0).半径为R .通有均匀分布的电流I ．今取一矩形平面S (长为1 m.宽为2 R ).位置如右图中画斜线部分所示.求通过该矩形平面的磁通量．解：在圆柱体内部与导体中心轴线相距为r 处的磁感强度的大小.由安培环路定律可得： )(220R r rRIB ≤π=μ因而.穿过导体内画斜线部分平面的磁通1为⎰⎰⋅==S B S B d d 1 Φr r RI Rd 2020⎰π=μπ=40Iμ在圆形导体外.与导体中心轴线相距r 处的磁感强度大小为 )(20R r rIB >π=μ因而.穿过导体外画斜线部分平面的磁通2为⎰⋅=S B d 2Φr r I R Rd 220⎰π=μ2ln 20π=Iμ穿过整个矩形平面的磁通量 21ΦΦΦ+=π=40I μ2ln 20π+Iμ1 m2. 横截面为矩形的环形螺线管.圆环内外半径分别为R 1和R 2.芯子材料的磁导率为.导线总匝数为N .绕得很密.若线圈通电流I .求． (1) 芯子中的B 值和芯子截面的磁通量． (2) 在r < R 1和r > R 2处的B 值．解：(1) 在环内作半径为r 的圆形回路, 由安培环路定理得NI r B μ=π⋅2. )2/(r NI B π=μ 在r 处取微小截面d S = b d r , 通过此小截面的磁通量r b rNIS B d 2d d π==μΦ穿过截面的磁通量⎰=SS B d Φr b rNId 2π=μ12ln2R R NIbπ=μ (2) 同样在环外( r < R 1 和r > R 2 )作圆形回路, 由于0=∑iI02=π⋅r B ∴ B = 03. 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A 电流.在导线内部作一平面S .S 的一个边是导线的中心轴线.另一边是S 平面与导线表面的交线.如图所示．试计算通过沿导线长度方向长为1m 的一段S 平面的磁通量．(真空的磁导率0 =4×10-7T ·m/A.铜的相对磁导率r ≈1)解：在距离导线中心轴线为x 与x x d +处.作一个单位长窄条. 其面积为 x S d 1d ⋅=．窄条处的磁感强度 202RIxB r π=μμ所以通过d S 的磁通量为 x RIxS B r d 2d d 20π==μμΦ通过１m 长的一段S 平面的磁通量为⎰π=Rr x R Ix20d 2μμΦ60104-=π=Ir μμ Wb4. 计算如图所示的平面载流线圈在P 点产生的磁感强度.设线圈中的电流强度为I ．解：如图.CD 、AF 在P 点产生的 B = 0x2EF DE BC AB B B B B B+++=)sin (sin 4120ββμ-π=aIB AB . 方向其中 2/1)2/(sin 2==a a β.0sin 1=β ∴ a I B AB π=240μ. 同理, aI B BC π=240μ.方向．同样 )28/(0a I B B EF DE π==μ.方向⊙．∴ aI B π=2420μaIπ-240μaIπ=820μ 方向．5. 如图所示线框.铜线横截面积S = 2.0 mm 2.其中OA 和DO ＇两段保持水平不动.ABCD 段是边长为a 的正方形的三边.它可绕OO ＇轴无摩擦转动．整个导线放在匀强磁场B 中.B 的方向竖直向上．已知铜的密度 = 8.9×103 kg/m 3.当铜线中的电流I =10 A 时.导线处于平衡状态.AB 段和CD 段与竖直方向的夹角 =15°．求磁感强度B 的大小．解：在平衡的情况下.必须满足线框的重力矩与线框所受的磁力矩平衡(对OO ＇轴而言)．重力矩 αραρsin sin 2121gSa a a gS a M +⋅= αρsin 22g Sa =磁力矩 ααcos )21sin(222B Ia BIa M =-π=平衡时 21M M =所以 αρsin 22g Sa αcos 2B Ia =31035.9/tg 2-⨯≈=I g S B αρ T6. 如图两共轴线圈.半径分别为R 1、R 2.电流为I 1、I 2．电流的方向相反.求轴线上相距中点O 为x 处的P 点的磁感强度． 解：取x 轴向右.那么有 2/322112101])([2x b R I R B ++=μ 沿x 轴正方向 2/322222202])([2x b R I R B -+=μ 沿x 轴负方向21B B B -=[2μ=2/32211210])([x b R I R ++μ]])([2/32222220x b R I R -+-μ若B > 0.则B 方向为沿x 轴正方向．若B < 0.则B的方向为沿x 轴负方向．P7. 如图所示．一块半导体样品的体积为a ×b ×c ．沿c 方向有电流I .沿厚度a 边方向加有均匀外磁场B (B的方向和样品中电流密度方向垂直)．实验得出的数据为 a ＝0.10 cm 、b ＝0.35 cm 、c＝1.0 cm 、I ＝1.0 mA 、B ＝3.0×10-1T.沿b 边两侧的电势差U ＝6.65 mV.上表面电势高．(1) 问这半导体是p 型(正电荷导电)还是n 型(负电荷导电)？(2) 求载流子浓度n 0 (即单位体积内参加导电的带电粒子数)． 解：(1) 根椐洛伦兹力公式：若为正电荷导电.则正电荷堆积在上表面.霍耳电场的方向由上指向下.故上表面电势高.可知是p 型半导体。
(2) 由霍耳效应知.在磁场不太强时.霍耳电势差U 与电流强度I .磁感强度B 成正比.而与样品厚度a 成反比.即：aIBKU = 而 q n K 01=∴ 根椐题给条件.载流子浓度为： 2001082.2⨯==aqUIBn m -3 四 研讨题1. 将磁场的高斯定理与电场的高斯定理相比.两者有着本质上的区别。
从类比的角度可作何联想？参考解答：磁场的高斯定理与电场的高斯定理：⎰⎰∑⎰⎰=⋅=⋅s s q S D S Bd ,0d作为类比.反映自然界中没有与电荷相对应“磁荷”（或叫单独的磁极）的存在。
但是狄拉克1931年在理论上指出.允许有磁单极子的存在.提出：2n q q m =⋅ 式中q 是电荷、qm 是磁荷。
电荷量子化已被实验证明了。
然而迄今为止.人们还没有发现可以确定磁单极子存在可重复的直接实验证据。
如果实验上找到了磁单极子.那么磁场的高斯定理以至整个电磁理论都将作重大修改。
1982年.美国斯坦福大学曾报告.用直径为5cm 的超导线圈放入直径20cm 的超导铅筒.由于迈斯纳效应屏蔽外磁场干扰.只有磁单极子进入才会引起磁通变化。
运行151天.记录到一次磁通变化.但此结果未能重复。
据查阅科学出版社1994年出版的.由美国引力、宇宙学和宇宙线物理专门小组撰写的《90年代物理学》有关分册.目前已经用超导线圈.游离探测器和闪烁探测器来寻找磁单极子。
在前一种情况.一个磁单极子通过线圈会感应出一个阶跃电流.它能被一个复杂装置探测出来.但这种方法的探测面积受到线圈大小的限制。
游离探测器和闪烁探测器能做成大面积的.但对磁单极子不敏感。
现在物理学家们仍坚持扩大对磁单极子的研究.建造闪烁体或正比计数器探测器.相应面积至少为1000m 2。
并建造较大的.面积为100m 2量级的环状流强探测器.同时加强寻找陷落在陨石或磁铁矿中的磁单极子的工作。
2. 当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时.平行于磁场方向的速度分量如何变化？动能如何变化？垂直于磁场方向的速度分量如何变化？参考解答：当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时.它所受到的磁场力有一个和前进方向相反的分量.这个分量将使平行于磁场方向的速度分量减小.甚至可使此速度分量减小到零.然后使粒子向相反方向运动（这就是磁镜的原理）。
当带电粒子由弱磁场区向强磁场区做螺旋运动时.由于平行于磁场方向的速度分量减小.因而与这个速度分量相关的动能也减小。
然而磁力对带电粒子是不做功的.粒子的总动能不会改变.因此.与垂直于磁场方向的速度分量相关的动能在此运动过程中将会增大.垂直于磁场方向的速度分量也相应地增大。
3. 电磁流量计是一种场效应型传感器,如图所示：截面矩形的非磁性管,其宽度为d 、高度为h.管内有导电液体自左向右流动, 在垂直液面流动的方向加一指向纸面内的匀强磁场,当磁感应强度为B 时,测得液体上表面的a 与下表面的b 两点间的电势差为U ,求管内导电液体的流量。
参考解答：导电液体自左向右在非磁性管道内流动时, 在洛仑兹力作用下, 其中的正离子积累于上表面,负离子积累于下表面, 于是在管道中又形成了从上到下方向的匀强霍尔电场E,它同匀强磁场B 一起构成了速度选择器。
因此在稳定平衡的条件下,对于以速度v 匀速流动的导电液体, 无论是对其中的正离子还是负离子,都有B q dUq qE v == ∴流速,Bd U =v 液体流量.BUhhd Q ==v如果截面园形的非磁性管, B －磁感应强度；D －测量管内径；U －流量信号（电动势）；v －液体平均轴向流速, L 测量电极之间距离。
霍尔电势U e(1) v kBL U e = k （无量纲）的常数.在圆形管道中.体积流量是：(2)42 v D Q π=把方程(1)、(2) 合并得：液体流量 BUkL D Q ⋅=42π或者BUK Q =.K 校准系数.通常是靠湿式校准来得到。
第15章 磁介质的磁化一、选择题1(C).2(B).3(B).4(C).5(D) 二、填空题(1). －8.88×10-6.抗 . (2). 铁磁质.顺磁质.抗磁质.(3). 7.96×105 A/m. 2.42×102A/m.(4). 各磁畴的磁化方向的指向各不相同.杂乱无章.全部磁畴的磁化方向的指向都转向外磁场方向. (5). 矫顽力大.剩磁也大；例如永久磁铁．(6). 磁导率大.矫顽力小.磁滞损耗低． 变压器.交流电机的铁芯等．三 计算题1. 一根同轴线由半径为R 1的长导线和套在它外面的内半径为R 2、外半径为R 3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为的各向同性均匀非铁磁绝缘材料.如图．传导电流I 沿导线向上流去.由圆筒向下流回.在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B 的分布．解：由安培环路定理： ∑⎰⋅=i Il Hd0< r <R 1区域： 212/2R Ir rH =π212R Ir H π=. 2102R Ir B π=μR 1< r <R 2区域： I rH =π2r I H π=2. rIB π=2μR 2< r <R 3区域： )()(22223222R R R r I I rH ---=π )1(22223222R R R r r IH ---π= )1(2222322200R R R r r IH B ---π==μμ r >R 3区域： H = 0.B = 02. 一根很长的同轴电缆.由一导体圆柱(半径为a )和同轴的导体圆管(内、外半径分别为b .c )构成.使用时.电流I 从一导体流出.从另一导体流回．设电流都是均匀地分布在导体的横截面上.求∶导体圆柱内(r <a )和两导体之间(a <r <b )的磁场强度H 的大小．解∶由电流分布的轴对称性可知.在同一横截面上绕轴半径为r 的圆周上各点的B 值相等.其方向是沿圆周的切线方向．用H 的环路定律可求出．(1) r <a 222a r I r H ππ=π⋅ ∴ 22a IrH π=(2) a <r <b I r H =π⋅2. rIH π=23. 螺绕环中心周长l = 10 cm.环上均匀密绕线圈N = 200匝.线圈中通有电流I = 0.1 A ．管内充满相对磁导率r = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小．解： ===l NI nI H /200 A/m===H H B r μμμ0 1.06 T4. 一铁环的中心线周长为0.3 m.横截面积为1.0×10-4 m 2.在环上密绕300匝表面绝缘的导线.当导线通有电流3.2×10-2 A 时.通过环的横截面的磁通量为2.0×10-6Wb ．求： (1) 铁环内部的磁感强度； (2) 铁环内部的磁场强度； (3) 铁的磁化率； (4) 铁环的磁化强度．解：(1) 2102-⨯==SB ΦT(2) n = 1000 m -1.H = nI 0＝32 A/m(3) 相对磁导率 4970==HBr μμ ∴ 磁化率 m = r 1 = 496(4) 磁化强度 M = m H ＝1.59×104 A/m四 研讨题1. 顺磁质和铁磁质的磁导率明显地依赖于温度.而抗磁质的磁导率则几乎与温度无关.为什么？参考解答：顺磁质的磁性主要来源于分子的固有磁矩沿外磁场方向的取向排列。