考研数学一真题及答案解析参考
2019年考研数学一真题
一、选择题,1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的.
1.当0→x 时,若x x tan -与k x 是同阶无穷小,则=k A.1. B.
2. C.
3.
D.4.
2.设函数???>≤=,0,ln ,
0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的
A.可导点,极值点.
B.不可导点,极值点.
C.可导点,非极值点.
D.不可导点,非极值点.
3.设{}n u 是单调增加的有界数列,则下列级数中收敛的是
A..1∑∞
=n n n
u B.n
n n
u 1)1(1∑∞
=-. C.∑∞
=+???
? ??-111n n n u u . D.()∑∞
=+-1
2
21n n n u u . 4.设函数2
),(y x
y x Q =
,如果对上半平面(0>y )内的任意有向光滑封闭曲线C 都有?=+C
dy y x Q dx y x P 0),(),(,那么函数),(y x P 可取为
A.32
y x y -.
B.32
1y
x y -. C.y
x 11-. D.y
x 1-
. 5.设A 是3阶实对称矩阵,E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+,且4=A ,则二次型
Ax x T 的规范形为
A.232221y y y ++.
B.2
32221y y y -+. C.232221y y y --.
D.232221y y y ---.
6.如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,它们的方程
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,,则
A..3)(,2)(==A r A r
B..2)(,2)(==A r A r
C..2)(,1)(==A r A r
D..1)(,1)(==A r A r
7.设B A ,为随机事件,则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P = C.).()(A B P B A P = D.).()(B A P AB P =
8.设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从正态分布),(2σμN ,则{}1<-Y X P A.与μ无关,而与2σ有关. B.与μ有关,而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分. 9. 设函数)(u f 可导,,)sin (sin xy x y f z +-=则y
z cosy x z cosx ???+???11= . 10. 微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .
11.
幂级数n
n n x n ∑∞
=-0
)!2()1(在)0∞+,(内的和函数=)(x S .
12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧,则dxdy z x z
??--2244= .
13.
设),,(321αααA =为3阶矩阵.若 21αα,线性无关,且2132ααα+-=,则线
性方程组0=x A 的通解为 .
14.
设随机变量X 的概率密度为?????<<=,其他,
02
0,2)(x x
x f )
(x F 为X 的分布函数,X E 为X 的数学期望,则{}=->1X X F P E )
( . 三、解答题:15~23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本题满分10分) 设函数)(x y 是微分方程2
'2
x e xy y -
=+满足条件0)0(=y 的特解.
(1)求)(x y ;
(2)求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点. 16.(本题满分10分)
设b a ,为实数,函数222by ax z ++=在点(3,4)处的方向导数中,沿方向j i l 43--=的方向导数最大,最大值为10.
(1)求b a ,;
(2)求曲面222by ax z ++=(0≥z )的面积. 17.求曲线)0(sin ≥=-x x e y x 与x 轴之间图形的面积. 18.设dx x x a n n ?-=1
021,n =(0,1,2…)
(1)证明数列{}n a 单调减少,且22
1
-+-=n n a n n a (n =2,3…) (2)求1
lim
-∞→n n
n a a .
19.设Ω是锥面())10()1(222
2≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体,求Ω的形心坐标.
20.设向量组
T
T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα,为3
R 的一个基,T
)1,1,1(=β在这个
基下的坐标为T
c b )1,,(.
(1)求c b a ,,.
(2)证明32,a a ,β为3R 的一个基,并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.
21.已知矩阵??????????----=20022
122x A 与???
???????-=y B 00010012相似 (1)求y x ,.
(2)求可可逆矩阵P ,使得.1B AP P =-
22.设随机变量X 与Y 相互独立,X 服从参数为1的指数分布,Y 的概率分布为
{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =
(1)求z 的概率密度.
(2)p 为何值时,X 与Z 不相关. (3)X 与Z 是否相互独立? 23.(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为
其中μ是已知参数,0>σ是未知参数,A 是常数,n X …X X ,
,21来自总体X 的简单随机样本.
(1)求A ;
(2)求2σ的最大似然估计量
2019年全国硕士研究生入学统一考试
数学试题解析(数学一)
1.C
2.B
3.D
4.D
5.C
6.A
7.C
8.A
9.
y
x
x y cos cos + 10.23-x e 11.x cos
12.
3
32 13. ,T )1,2,1(-k k 为任意常数.
14.
解:(1))()()(2
2
22
c x e
c dx e e
e x y x xdx
x xdx
+=+??
=-
-
-?,又0)0(=y ,
故0=c ,因此.)(22
1x xe
x y -= (2)2222
12
2
12
2
1)1(x x x e
x e
x e
y ----=-=',
22222
12
2
13
2
12
2
1)3()3()1(2x x x x e
x x e
x x xe
x xe
y -----=-=---='',
令0=''y 得3,0±=x
所以,曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞,凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(,)3,3(2
3---e ,)3,3(2
3-e . 15.
解:(1))2,2(by ax z =grad ,)8,6()4,3(b a z =grad ,
由题设可得,
4
836-=
-b
a ,即
b a =,又()()10862
2=+=b a z grad ,
所以,.1-==b a (2)dxdy y z x z S y x ??
≤+??+??+=
2
2
222
)()(
1=dxdy y x y x ??≤+-+-+2
2222)2()2(1 =
dxdy y x y x ??
≤+++2
2
2
2
2
441 =ρρρθπ
d d ??
+202
2
41=20
2
3
2)
41(12
12ρπ+?=
.3
13π
17.
18.
19.由对称性,2,0==y x ,
??????????????--===Ω
Ω
1
02
1
02
10
1
)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z z
z
D D ππ=.4
13
1121)1()1(1
2
1
2
==--??dz z dz z z
20.(1)123=b c βααα++即11112311231b c a ???????? ? ? ? ?++= ? ? ? ? ? ? ? ?????????, 解得322a b c =??
=??=-?
.
(2)()23111111=331011231001ααβ????
????→-????
????????
,,,所以()233r ααβ=,,,则23ααβ,,可为3R 的一个基.
则()()1
231231101=0121002P ααβααα-????????=-????????
,,,,. 21.(1)A 与B 相似,则()()tr A tr B =,A B =,即41482x y x y -=+??-=-?,解得3
2x y =??=-?
(2)A 的特征值与对应的特征向量分别为
1=2λ,11=20α?? ?- ? ???;2=1λ-,22=10α-?? ? ? ???;3=2λ-,31=24α-??
? ? ???. 所以存在()1123=P ααα,,,使得1
11212P AP -??
??=Λ=-??
??-??
. B 的特征值与对应的特征向量分别为
1=2λ,11=00ξ?? ? ?
?
??;2=1λ-,21=30ξ?? ?- ? ???;3=2λ-,30=01ξ??
? ? ???. 所以存在()2123=P ξξξ,,,使得122212P AP -??
??=Λ=-??
??-??
. 所以112211=P AP P AP --=Λ,即11
12112
B P P APP P AP ---== 其中1
12111212004P PP --??
??==--??
????
. 22.解:(I )Z 的分布函数
(){}{}{}{}(){}
,1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤
从而当0z ≤时,()z F z pe =;当0z >时,()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--
则Z 的概率密度为()(
),01,0z
z
pe
z f z p e z -?=?->??. (II )由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=,又
()()1,12D X E Y p ==-,从而当1
2
p =时,(),0Cov X Z =,即,X Z 不相关.
(III )由上知当12p ≠时,,X Z 相关,从而不独立;当1
2
p =时,
1
211111111
11,,,,22222222
22112P X Z P X X Y P X X P X X F e -????????≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤????????
?????????
???==- ?
?????
而1
2
112P X e -?
?≤=-???
?,1
21111112222222P Z P X P X e -???
?????≤=≤+≥-=-?????? ?????????
,显然
1111,
2222P X Z P X P Z ?
?
????≤≤≠
≤≤????????
?
???
,即,X Z 不独立. 从而,X Z 不独立. 23. 解:(I )由()2
2
21x A
e
dx μσμ
σ
--
+∞
=?
t =
2012t e dt +∞-==?,
从而A =
(II )构造似然函数()()221
12212,,1,2,,,,,,0
,n
i i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--?∑???≥= ?=????
?L L 其他,当,1,2,,
i x i n μ≥=L 时,取对数得()
2
22
1
1ln ln ln 22n
i i n L n A x σμσ==---∑,求导并令其为零,
可得
()
2
224
1
ln 1
022n
i
i d L n x d μσσσ==-+-=∑,解得2
σ的最大似然估计量为()2
1
1n i i x n μ=-∑.