三角函数的平移与伸缩变换

函数)sin(A ϕω+=x y 的图像

（1）物理意义：sin()y A x ωϕ=+（A ＞0，ω＞0），x ∈[0,+ ∞）表示一个振动量时，A

称为振幅，T =

ωπ

2，

1

f T

=

称为频率，x ωϕ+称为相位，ϕ称为初相。 （2）函数sin()y A x k ωϕ=++的图像与sin y x =图像间的关系：

① 函数sin y x =的图像纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图像；

② 函数()sin y x ϕ=+图像的纵坐标不变，横坐标变为原来的

1

ω

，得到函数

()sin y x ωϕ=+的图像；

③ 函数()sin y x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数

sin()y A x ωϕ=+的图像；

④ 函数sin()y A x ωϕ=+图像的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图像。

要特别注意，若由()sin y x ω=得到()sin y x ωϕ=+的图像，则向左或向右平移应平移|

|ϕ

ω

个单位。 ϕ对)sin(ϕ+=x y 图像的影响

一般地，函数)sin(ϕ+=x y 的图像可以看做是把正弦函数曲线上所有的点向____(当ϕ>0时)或向______(当ϕ<0时)平移ϕ个单位长度得到的 注意：左右平移时可以简述成“______________”

ω对x y ωsin =图像的影响

函数x y ωsin =)10(≠>∈ωω且R x ，的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的横坐标______)1(>ω或_______)10(<<ω到原来的ω

1

倍（纵坐标不变）。 A 对x y sin A =的影响

函数x y sin A =，)1A 0A (≠>∈且R x 的图像可以看成是把正弦函数上所有的点的纵坐标_______)1A (>或_______)1A 0(<<到原来的A 倍得到的 由x y sin =到)sin(A ϕω+=x y 的图像变换 先平移后伸缩： 先伸缩后平移： 【典型例题】

例1 将sin y x =的图象怎样变换得到函数π2sin 214y x ⎛⎫

=++ ⎪⎝

⎭

的图象．

练习：将x y cos =的图象怎样变换得到函数πcos 24y x ⎛⎫=- ⎪⎝

⎭

的图象．

例2、把)3

42cos(3π

+=x y 作如下变换： （1）向右平移

2

π

个单位长度； （2）纵坐标不变，横坐标变为原来的31

；

（3）横坐标不变，纵坐标变为原来的4

3

；

（4）向上平移1.5个单位长度，则所得函数解析式为________.

练习：将2)5

42sin(2++=π

x y 做下列变换：

（1）向右平移2

π

个单位长度；

（2）横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变； （3）纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变；

（4）沿y 轴正方向平移1个单位，最后得到的函数._________)(==x f y 例3、把)(x f y =作如下变换：

（1）横坐标伸长为原来的1.5倍，纵坐标不变； （2）向左平移3

π个单位长度；

（3）纵坐标变为原来的5

3

，横坐标不变；

（4）沿y 轴负方向平移2个单位，最后得到函数),423sin(43π

+=x y 求).(x f y =

练习1：将)48sin(4π

π+=x y 作何变换可以得到.sin x y =

练习2：对于)5

3

6sin(3x y +=π作何变换可以得到.sin x y =

例4、把函数)2

||,0)(sin(π

ϑωϑω<>+=x y 的图象向左平移

3

π

个单位长度，所得曲线的一部分图象如图所示，则（ ） A. 6

,1π

ϑω== B. 6

,1π

ϑω-

==

C. 3

,2π

ϑω=

= D. 3

,2π

ϑω-

==

练习：7、右图是函数))(sin(R x x A y ∈+=ϑω在区间

)6

5,6(π

π-

上的图象，只要将

（1）x y sin =的图象经过怎样的变换？ （2）x y 2cos =的图象经过怎样的变换？ 【课堂练习】

1、为了得到函数)6

3sin(π

+=x y 的图象，只需把函数x y 3sin =的图象

（ ）

A 、向左平移6π

B 、向左平移18π

C 、向右平移6π

D 、向右平移18

π

2、为得到函数πcos 23y x ⎛

⎫=+ ⎪⎝

⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）

A 、向左平移

5π

12个长度单位 B 、向右平移

5π

12个长度单位 C 、向左平移5π

6

个长度单位

D 、向右平移5π

6

个长度单位

3、要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛

⎫=- ⎪3⎝

⎭的图象（ ）

A 、向右平移π6个单位

B 、向右平移π3个单位

C 、向左平移π

3个单位 D 、向

左平移π

6

个单位

4、为了得到函数)6

2sin(π

-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）

A 、向右平移6π个单位长度

B 、向右平移3π

个单位长度

C 、向左平移6π个单位长度

D 、向左平移3

π

个单位长度

5、把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3

π

个单位长度，再把

x