二次函数关系式的确定

二次函数关系式的确定（教学案）

一、教学目的：

1、学会运用所给条件求二次函数关系式；

2、培养学生灵活运用待定系数法求二次函数关系式。

二、教学重点：根据所给条件设出恰当的二次函数关系式。

三、教学难点：建立方程组求出待定系数。

四、知识讲解：

二次函数关系式有三种形式：

（1）一般式：y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）；

（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k（a，h，k为常数，a≠0）；

（3）★两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)（a，x1，x2是常数，a≠0 ；其中x1，x2是方程ax2＋bx＋c=0的根）。

要确定二次函数关系式，就是要确定关系式中的待定系数（常数），由于每一种形式中都含有三个待定系数，所以用待定系数法求二次函数的关系式，需要已知三个独立条件。

当已知二次函数上任意三点时，通常设函数关系式为一般式y＝ax2＋bx＋c，然后列出三元一次方程组并求解。

当已知二次函数的顶点坐标和二次函数上另一点时，通常设函数关系式为顶点式y＝a(x －h)2＋k，再求解。

当已知二次函数与x轴的交点或交点的横坐标时，通常设函数关系式为两根式y＝a(x－x1)(x－x2)，再求解。

例1：已知二次函数的图象经过点（―1，―6）、（1，－2）和（2，3）。

求这个二次函数的关系式。

例2：已知二次函数的顶点为（―1，―3），与y轴交点为（0，－5）。

求此二次函数的关系式。

例3：已知二次函数与x轴交于A（－1，0）、B（1，0）并经过点M（0，1）。

求二次函数的关系式。

★例4：已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A（0，－3

求证：这个二次函数图象的对称轴是x ＝1。

题目中的矩形部分是一段被墨水污染了无法辩认的文字。

⑴根据已知．．和结论．．中现有的信息，你能否求出题目二次函数的解析式？若能，请写出求解过程。 ⑵请你根据已有的信息，在下面横线中，添加一个适当的条件，把原题补充完整。

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五、小结

巩固练习

1、二次函数交x 轴于（－3，0）、（1，0），则此二次函数的对称轴是_________。

2、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，0）、（0，－2）、（2，3），则 a ＝_____，b ＝_____，c ＝_____。

3、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（―2，―6），且a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，则其关系式为__________。

4、已知二次函数过A （－1，0）和B （3，0）与y 轴交于点C

，且BC 次函数的关系式为（ ） A 、y ＝－x 2＋2x ＋3 B 、y ＝x 2－2x －3 C 、y ＝x 2＋2x －3或y ＝－x 2＋2x ＋3 D 、y ＝－x 2＋2x ＋3或y ＝x 2－2x －3 5、二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过点（1，0）、（―1，―6）、（2，6），求该二次函数与y 轴的交点的纵坐标。

x

y

0 7 1 1

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 -1 -2 -3 -4

-5 -1 -2 -3 -4

6、已知二次函数的顶点为（1，2），交x 轴于A 、B 两点，且AB ＝4，求二次函数的关系式。

7、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与x 轴两个交点的横坐标是－1、3，与y 轴交点的纵坐标是32

-，求二次函数的关系式。

8、二次函数y ＝a(x －h)2＋k 关于直线x ＝―1轴对称，它的最低点纵坐标 是―1，与y 轴交于点（0，1），求二次函数的函数关系式。

9、已知一个二次函数，当x ＝2时有最小值―4，它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数的关系式。

10、已知二次函数21y x mx n 4=++图象经过点（0，32）与（4，32

）。

（1）求该二次函数的关系式，并写出它的顶点坐标；

（2）现有一半径为1，圆心P 在二次函数的图象上运动的动圆，当⊙P 与坐标轴相

切时，求圆心P 的坐标。