2015年中考数学压轴题精选(二次函数)(16题)_附详细解答和评分标准
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1、（10广东茂名25题）（本题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =－
3
2x 2
+b x +c 经过A （0，－4）、B （x 1，0）、 C （x 2，0）三点，且x 2
-x 1=5．
（1）求b 、c 的值；（4分）
（2）在抛物线上求一点D ，使得四边形BDCE 是以BC 为对
角线的菱形；（3分）
（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形B P O H 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．（3分）
解：
解：（1）解法一： ∵抛物线y =－
3
2x 2
+b x +c 经过点A （0，－4）， ∴c =－4 ……1分
又由题意可知，x 1、x 2是方程－3
2x 2
+b x +c =0的两个根， ∴x 1+x 2=
23b ， x 1x 2=－2
3
c =6 ·
························································· 2分 由已知得（x 2-x 1）2
=25 又（x 2-x 1）2
=（x 2+x 1）2
－4x
1
x 2=
4
9b 2
－24 ∴
4
9b 2
－24=25 解得b =±314
···························································································· 3分
当b =3
14时，抛物线与x 轴的交点在x 轴的正半轴上，不合题意，舍去．
∴b =－
3
14
． ··························································································· 4分 解法二：∵x 1、x 2是方程－
3
2x 2
+b x +c=0的两个根， 即方程2x 2
－3b x +12=0的两个根．
（第25题图）
x
∴x =
4
96
9b 32-±
b ， ································································· 2分
∴x 2－x 1=2
96
9b 2-=5，
解得 b =±
3
14 ·················································································· 3分 （以下与解法一相同．）
（2）∵四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的
对称轴上， ···················································································· 5分
又∵y =－
32x 2－314x －4=－32（x +27）2+6
25
····························· 6分 ∴抛物线的顶点（－27，6
25
）即为所求的点D ． ································· 7分
（3）∵四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为（－6，0），
根据菱形的性质，点P 必是直线x =-3与
抛物线y =－
32x 2-3
14
x -4的交点， ···················································· 8分
∴当x =－3时，y =－32×（－3）2
－3
14×（－3）－4=4，
∴在抛物线上存在一点P （－3，4），使得四边形BPOH 为菱形． ··············· 9分 四边形BPOH 不能成为正方形，因为如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标
只能是（－3，3），但这一点不在抛物线上． ············································· 10分 2、（08广东肇庆25题）（本小题满分10分）
已知点A （a ，1y ）、B （2a ，y 2）、C （3a ，y 3）都在抛物线x x y 1252
+=上. （1）求抛物线与x 轴的交点坐标； （2）当a =1时，求△ABC 的面积；
（3）是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由.
解：（1）由5x x 122
+=0， ··································································· （1分）
得01=x ，5
12
2-
=x ． ······································································· （2分） ∴抛物线与x 轴的交点坐标为（0，0）、（5
12
-，0）． ································· （3分）
（2）当a =1时，得A （1，17）、B （2，44）、C （3，81）， ·························· （4分）