2020-2021学年北师大版数学选修2-3学案：2.5 第一课时 离散型随机变量的均值
§5 离散型随机变量的均值与方差 第一课时 离散型随机变量的均值
授课提示：对应学生用书第41页
[自主梳理]
一、离散型随机变量的均值(或数学期望) 1．定义
若离散型随机变量X 的概率分布为：
X x 1 x 2 … x n P
p 1
p 2
…
p n
则定义X 的均值为X 的均值也称作X 的________(简称________)，它是一个数，记作EX . 2．意义：刻画离散型随机变量取值的“________”． 二、二项分布与超几何分布的均值
当随机变量服从参数为n ，p 的二项分布时，其均值为________；当随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布时，它的均值EX ＝________.
三、离散型随机变量的性质
若η＝aξ＋b ，其中a ，b 为常数，则P (η＝ax i ＋b )＝________，E (aξ＋b )＝________. 特别地：(1)a ＝0时，Eb ＝________， (2)当a ＝1时，E (ξ＋b )＝________.
[双基自测]
1．已知随机变量X 的分布列为：
X －1 0 1 P
12
13
16
则X 的均值是( )
A.1
3 B ．－13
C.23
D ．－23
2．若随机变量ξ～B (n,0.6)，且Eξ＝3，则P (ξ＝1)的值是( ) A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44
D ．3×0.64
3．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝C k 300·????13k ·???
?23300－k (k ＝0,1,2，…，300)，则EX ＝______.
[自主梳理]
一、1.x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 数学期望 期望 2.中心位置 二、np n M
N 三、P (ξ＝x i )
aEξ＋b b Eξ＋b
[双基自测]
1．B EX ＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－1
3.
2．C ∵ξ～B (n,0.6)，Eξ＝3， ∴0.6n ＝3，即n ＝5.
故P (ξ＝1)＝C 15×0.6×(1－0.6)4＝3×0.44
.
3．100 由P (X ＝k )＝C k 300·????13k ·????23300－k ，可知X ～B ?
???300，13， ∴EX ＝300×1
3＝100.
授课提示：对应学生用书第42页
探究一 离散型随机变量的均值
[例1] 已知随机变量X 的分布列如下：
X －2 －1 0 1 2 P
14
13
15
m
120
(1)求EX ；
(2)若Y ＝2X －3，写出随机变量Y 的分布列并求EY . [解析] (1)由随机变量分布列的性质，得 14＋13＋15＋m ＋120＝1，所以m ＝16
， ∴EX ＝(－2)×14＋(－1)×13＋0×15＋1×16＋2×120＝－1730.
(2)解法一 由公式E (aX ＋b )＝aEX ＋b ，得 EY ＝E (2X －3)＝2EX －3＝2×(－1730)－3＝－62
15.
解法二 由于Y ＝2X －3，所以Y 的分布列如下：
Y
－7
－5
－3
－1
1
P
14 13 15 16 120
∴EY ＝(－7)×14＋(－5)×13＋(－3)×15＋(－1)×16＋1×120＝－62
15
.
求均值的方法和技巧
求均值的关键是求出分布列，只要求出随机变量的分布列，就可以套用均值的公式求解．对于aX ＋b 型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，当然也可以先求出aX ＋b 的分布列，再用定义求解．
1．设随机变量X 服从分布P (X ＝k )＝1
5，k ＝1,2,3,4,5，求E (X ＋2)2.
解析：∵EX ＝1×15＋2×15＋3×15＋4×15＋5×15＝15
5＝3.
EX 2＝1×15＋22×15＋32×15＋42×15＋52×1
5
＝11.
∴E (X ＋2)2＝E (X 2＋4X ＋4)＝EX 2＋4EX ＋4＝11＋12＋4＝27.
探究二 二项分布及超几何分布的均值
[例2] 某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ＝________(结果用最简分数表示)．
[解析] 解法一 由题意知随机变量ξ服从参数为N ＝7，M ＝2，n ＝2的超几何分布．ξ的可能取值为0,1,2.
因此P (ξ＝0)＝C 25C 27＝1021，P (ξ＝1)＝C 12C 1
5C 27＝1021，P (ξ＝2)＝C 22
C 27＝121
，
故ξ的分布列为：
ξ＝k 0 1 2 P (ξ＝k )
10
21
1021
121
从而数学期望Eξ＝0×1021＋1×1021＋2×121＝4
7
.
解法二 随机变量ξ服从参数为N ＝7，M ＝2，n ＝2的超几何分布，直接代入超几何分布均值的计算公式可得
Eξ＝n M N ＝2×27＝4
7.
[答案] 47
超几何分布和二项分布是两种特殊的而且应用相当广泛的分布列，解题时如果能发现是这两种分布模型，就可以直接有规律地写出分布列，求出期望值．
2．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间的古老游戏，其规则是用三种不同的手势分别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各自手势1次记为1次游戏，“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双方在游戏时出示三种手势是等可能的．
(1)求在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率；
(2)若玩家甲、乙双方共进行了3次游戏，其中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量X ，求X 的分布列及其期望．
解析：(1)玩家甲、乙双方在1次游戏中出示手势的所有可能结果是(石头，石头)，(石头，剪刀)，(石头，布)，(剪刀，石头)，(剪刀，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，(布，剪刀)，(布，布)，共有9个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是(石头，剪刀)，(剪刀，布)，(布，石头)，共有3个．
所以，在1次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率P ＝39＝1
3.
(2)X 的可能取值分别为0,1,2,3. P (X ＝0)＝C 03·(23)3＝8
27， P (X ＝1)＝C 13·(13)1·(23)2＝1227＝49， P (X ＝2)＝C 23·(13)2·(23)1＝627＝29， P (X ＝3)＝C 33·(13)3＝127. X 的分布列如下：
X 0 1 2 3 P
8
27
49
29
127
EX ＝0×827＋1×49＋2×29＋3×127＝1(或X ～B (3，13)，EX ＝np ＝3×1
3
＝1)．
探究三 均值的实际应用
[例3] 现有甲、乙两个靶．某射手向甲靶射击一次，命中的概率为3
4，命中得1分，没有
命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为2
3，每命中一次得2分，没有命中得0分．该
射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X 的分布列及数学期望EX . [解析] (1)P ＝34·(13)2＋14·C 12·13·2
3
＝7
36
. (2)X ＝0,1,2,3,4,5， P (X ＝0)＝14·(13)2＝1
36；
P (X ＝1)＝34·(13)2＝1
12；
P (X ＝2)＝14C 12·13·23＝1
9；
P (X ＝3)＝34C 12·13·23＝1
3；
P (X ＝4)＝14·(23)2＝1
9；
P (X ＝5)＝34·(23)2＝1
3.
X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5 P
136
112
19
13
19
13
EX ＝0×136＋1×112＋2×19＋3×13＋4×19＋5×1
3
＝4112
.
3．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4,0.1,0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1,0.6,0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？
解析：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则概率分布分别如下：
X 1 1 2 3 P
0.4
0.1
0.5
X 2 1 2 3 P
0.1
0.6
0.3
根据均值公式得EX 1＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； EX 2＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2.
EX 2>EX 1，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．
计算均值时因写错分布列致误
[典例] 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，则剩余子弹数目X 的期望为________．
[解析] X 的可能取值为3,2,1,0， P (X ＝3)＝0.6；
P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24； P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096； P (X ＝0)＝0.43＝0.064；
所以EX ＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＋0×0.064＝2.376. [答案] 2.376
[错因与防范] 1.解答本题易得期望值为2.28或2.4的错误结论，错因是审题不细，导致在解此题时误认为是求“命中子弹数目X 的期望”而不是剩余子弹数目的期望，或根本没有注意到条件“直到第一次命中为止”．
2．防范措施：
(1)注意题设信息的提取．
合理分析题设信息可以避免因审题带来的不必要的失误．如本例中的条件及待求问题都需要仔细研读．
(2)注意知识间的辨析．
二项分布的特征是事件的相互独立性，彼此之间无任何制约关系，而本例中条件“直到第一次命中为止”说明了随机变量并非服从二项分布．
体育课进行篮球投篮达标测试，规定：每位同学有5次投篮机会，若投中3次则“达标”；为节省测试时间，同时规定：若投篮不到5次已达标，则停止投篮；若后面投篮全中，也不能达标(例如前3次都未投中等情形)，则停止投篮．同学甲投篮命中率为2
3，且每次投篮互不
影响．
(1)求同学甲恰好投4次达标的概率；
(2)设测试中甲投篮次数记为X ，求X 的分布列及数学期望EX . 解析：(1)甲同学恰好投4次达标的概率 P ＝C 23(23)3·13＝827. (2)X 可能的取值是3,4,5.
P (X ＝3)＝(13)3＋(23)3＝1
3，
P (X ＝5)＝C 24(23)2(13)2＝8
27， P (X ＝4)＝1－13－827＝1027.
X 的分布列为：
所以X 的数学期望为
EX ＝3×13＋4×1027＋5×827＝107
27
.
莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚
的事。每一日所付出的代价都比前一日高，因为你的生命又消短了一天，所以每一日都要更用心。这天太宝贵，不就应为酸苦的忧虑和辛涩的悔恨所销蚀，抬起下巴，抓住这天，它不再回来。加油！！