人教版高考数学复习：课时跟踪检测(二十六)正弦定理和余弦定理

课时跟踪检测（二十六） 正弦定理和余弦定理

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2019·绍兴模拟)在△ABC 中，已知内角C 为钝角，sin C ＝3

5，AC ＝5，AB ＝35，

则BC ＝( )

A ．2

B ．3

C ．5

D ．10

解析：选A 由题意知，cos C ＝－45.由余弦定理，得－45＝25＋BC 2

－45

10BC

，解得BC ＝2(负

值舍去)．

2．(2019·台州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知△ABC 的面积S ＝25cos C ，a ＝1，b ＝25，则c ＝( )

A.15

B.17

C.19

D.21

解析：选B 由题意得，S ＝12ab sin C ＝25cos C ，所以tan C ＝2，所以cos C ＝5

5，由

余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝17，所以c ＝17.

3．在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝2，B ＝60°，则BC 边上的高等于( ) A.3

2 B.332 C.3＋6

2

D.

3＋39

4

解析：选B 由余弦定理得(7)2＝22＋AB 2－2×2AB ·cos 60°，即AB 2－2AB －3＝0，解得AB ＝3(负值舍去)，故BC 边上的高为AB sin 60°＝332

.

4．(2018·杭州二模)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则cos C ＝________；当a ＝1时，△ABC 的面积S ＝________.

解析：由正弦定理可知，a ∶b ∶c ＝2∶3∶4，设a ＝2t ，b ＝3t ，c ＝4t ，由余弦定理可得cos C ＝4t 2＋9t 2－16t 212t 2＝－14，所以sin C ＝154.因为a ＝1，所以b ＝32，所以S ＝12ab sin C ＝31516

.

答案：－14 315

16

5．在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝1

3

，则sin ∠BAC ＝________.

解析：在△ABM 中，由正弦定理得

BM

sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝AB cos ∠MAC

，设角A ，B ，C

所对的边分别为a ，b ，c ，所以32a ＝

c

a 2＋4

b 22b ，整理得(3a 2－2

c 2)2

＝0，a 2c 2＝23

，故sin ∠BAC ＝a c ＝63

.

答案：

63

二保高考，全练题型做到高考达标

1．(2019·温州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，则角A 的大小为( )

A.π

6 B.π4 C.π3

D.2π3

解析：选C ∵a sin A ＝b sin B ＋(c －b )sin C ，∴由正弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－bc .由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，∴A ＝π

3

.

2．在△ABC 中，若lg sin A －lg cos B －lg sin C ＝lg 2，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．等腰直角三角形 C ．等边三角形 D ．等腰三角形

解析：选D 由条件得

sin A

cos B sin C

＝2，即2cos B sin C ＝sin A ．由正、余弦定理得

2·a 2＋c 2－b 22ac

·c ＝a ，整理得c ＝b ，故△ABC 为等腰三角形．

3．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若B ＝2A ，a ＝1，b ＝3，则c ＝( )

A ．2 3

B ．2 C. 2

D ．1

解析：选B 由已知及正弦定理得1sin A ＝3sin B ＝3sin 2A ＝32sin A cos A ，所以cos A ＝3

2，

A ＝30°.由余弦定理得12＝(3)2＋c 2－2c ×3×

3

2

，整理得c 2－3c ＋2＝0，解得c ＝1或c ＝2.当c ＝1时，△ABC 为等腰三角形，A ＝C ＝30°，B ＝2A ＝60°，不满足内角和定理，故c ＝2.

4．(2018·浙江三地市联考)设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝2B ，则a

b

的取值范围是( )

A ．(0,1)

B ．(1，3)

C ．(2，3)

D ．(0,2)

解析：选C 因为A ＝2B ，所以π6＜B ＜π

4.由正弦定理，得a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B ＝2cos B ∈(2，

3)．

5．(2019·天台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若cos A ＝1

3，

3sin B ＝2sin C ，且△ABC 的面积为22，则a ＝( )

A ．2 3

B ．3

C ．2

D ． 3

解析：选B 因为cos A ＝13，所以sin A ＝22

3

.因为3sin B ＝2sin C ，所以3b ＝2c .所以S

△ABC ＝2

2＝12bc sin A ＝34b 2×22

3

，解得b ＝2，所以c ＝3.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos

A ＝4＋9－2×2×3×1

3

＝9，解得a ＝3.

6．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a ＝2，cos C ＝－1

4，3sin A ＝

2sin B ，则c ＝________.

解析：∵3sin A ＝2sin B ，∴3a ＝2b . 又a ＝2，∴b ＝3.

由余弦定理可知c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ， ∴c 2＝22＋32－2×2×3×????－1

4＝16， ∴c ＝4. 答案：4

7．(2019·余姚中学模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若2cos A (b cos C ＋c cos B )＝a ＝13，△ABC 的面积为33，则A ＝________，b ＋c ＝________.

解析：由正弦定理可得，2cos A (sin B cos C ＋sin C cos B )＝2cos A sin A ＝sin A ，所以cos A ＝12，解得A ＝π3.因为S △ABC ＝33＝12bc sin A ＝3

4bc ，所以bc ＝12.由余弦定理可得，13＝

b 2＋

c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，所以(b ＋c )2＝49，解得b ＋c ＝7.

答案：π

3

7

8．在△ABC 中，B ＝60°，AC ＝3，则△ABC 的周长的最大值为________．

解析：由正弦定理得BC sin A ＝AB sin C ＝AC sin B ＝3

sin 60°，即BC sin A ＝AB sin C ＝2，则BC ＝2sin A ，

AB ＝2sin C ，又△ABC 的周长l ＝BC ＋AB ＋AC ＝2sin A ＋2sin C ＋3＝2sin(120°－C )＋2sin C ＋3＝2sin 120°cos C －2cos 120°sin C ＋2sin C ＋3＝ 3 cos C ＋3sin C ＋3＝23

???

?32sin C ＋12cos C ＋3＝23sin ????C ＋π6＋3，故△ABC 的周长的最大值为3 3.

答案：3 3

9．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知(a －3b )·cos C ＝c (3cos B －cos A )．

(1)求

sin B

sin A

的值； (2)若c ＝7a ，求角C 的大小．

解：(1)由正弦定理得，(sin A －3sin B )cos C ＝sin C (3cos B －cos A )， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＝3sin C cos B ＋3cos C sin B ， 即sin(A ＋C )＝3sin(C ＋B )，即sin B ＝3sin A ，∴sin B

sin A ＝3.

(2)由(1)知b ＝3a ，∵c ＝7a ，

∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝a 2＋9a 2－7a 22×a ×3a ＝3a 26a 2＝1

2，

∵C ∈(0，π)，∴C ＝π

3

.

10．(2019·湖州模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C .

(1)求角A 的值；

(2)求3sin B －cos C 的最大值．

解：(1)因为(sin A ＋sin B ＋sin C )(sin B ＋sin C －sin A )＝3sin B sin C ， 由正弦定理，得(a ＋b ＋c )(b ＋c －a )＝3bc ， 所以b 2＋c 2－a 2＝bc ， 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12

，

因为A ∈(0，π)，所以A ＝π

3.

(2)由A ＝π3，得B ＋C ＝2π

3

，

所以3sin B －cos C ＝3sin B －cos ????2π3－B ＝3sin B －????－12cos B ＋32sin B

＝sin ???

?B ＋π

6. 因为0＜B ＜2π3，所以π6＜B ＋π6＜5π6

，

当B ＋π6＝π2，即B ＝π

3时，3sin B －cos C 的最大值为1.

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2019·嘉兴模拟)已知△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C .若a 2＋2b 2

＝c 2，则

tan C

tan A

＝________，tan B 的最大值为________． 解析：因为a 2＋2b 2＝c 2＞a 2＋b 2，所以C 为钝角．

所以tan C tan A ＝sin C cos A

cos C sin A ＝c ·

b 2＋

c 2－a 22bc

a ·

a 2＋

b 2－

c 22ab ＝b 2＋c 2－a 2a 2＋b 2－c 2＝3b 2－b

2＝－3.

所以tan C ＝－3tan A ，

则tan B ＝－tan(A ＋C )＝tan A ＋tan C tan A tan C －1＝2tan A

1＋3tan 2A

＝

2

1tan A

＋3tan A ≤223＝33，

当且仅当tan A ＝

3

3时取等号， 故tan B 的最大值为33

. 答案：－3

33

2．(2019·杭州名校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的所对的边分别为a ，b ，c .已知2c cos B ＝2a －b .

(1)求角C 的大小；

(2)若????CA ―→－1

2CB ―→ ＝2，求△ABC 面积的最大值． 解：(1)因为2c cos B ＝2a －b ，

所以2sin C cos B ＝2sin A －sin B ＝2sin(B ＋C )－sin B ， 化简得sin B ＝2sin B cos C ， 因为sin B ≠0，所以cos C ＝12.

因为0＜C ＜π，所以C ＝π

3

.

(2)取BC 的中点D ，则???

?CA ―→－12CB ―→＝|DA ―→

|＝2.

在△ADC 中，AD 2＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD cos C ， 即有

4＝b 2＋

????a 22－ab 2≥2

a 2

b 24－ab 2＝ab

2

， 所以ab ≤8，当且仅当a ＝4，b ＝2时取等号． 所以S △ABC ＝12ab sin C ＝3

4ab ≤23，

所以△ABC 面积的最大值为2 3.