图形变换的应用.
图形的变换
图形的变换
图形的变换是指将一个图形经过一系列操作，变换为另外
一个图形的过程。
常见的图形变换包括平移、旋转、缩放
和翻转等。
1. 平移：平移是指将图形沿着一个方向移动一定的距离。
平移后的图形与原图形形状完全相同，只是位置发生了改变。
2. 旋转：旋转是指将图形绕着一个固定点旋转一定的角度。
旋转后的图形保持原来的形状，只是方向或位置发生了改变。
3. 缩放：缩放是指按照一定的比例改变图形的大小。
缩放
后的图形与原图形形状相似，只是大小发生了改变。
4. 翻转：翻转是指将图形沿着某个轴对称翻转。
翻转后的
图形与原图形形状完全相同，只是左右或上下发生了改变。
图形变换在几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域中有广泛的应用。
通过对图形进行变换，可以实现图形的组合、变形和动画效果等。
几何变换的性质与应用
几何变换的性质与应用几何变换是数学中一个重要的概念，它描述了平面上的图形在空间中的移动、旋转、翻转和缩放等操作。
几何变换不仅在数学中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
本文将从几何变换的性质和应用两个方面进行论述，以帮助中学生和他们的父母更好地理解和应用几何变换。
一、几何变换的性质1. 平移变换平移变换是指将图形沿着某个方向移动一定的距离，而不改变其形状和大小。
平移变换具有以下性质：（1）平移变换保持图形的对称性。
例如，一个正方形经过平移变换后仍然是一个正方形，只是位置发生了改变。
（2）平移变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为平移变换只是将图形整体移动，不改变其内部结构。
2. 旋转变换旋转变换是指将图形围绕某个点旋转一定的角度，而不改变其形状和大小。
旋转变换具有以下性质：（1）旋转变换保持图形的对称性。
例如，一个等边三角形经过旋转变换后仍然是一个等边三角形，只是方向发生了改变。
（2）旋转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为旋转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
3. 翻转变换翻转变换是指将图形关于某条直线对称，使得图形的每个点与直线上的对应点距离相等。
翻转变换具有以下性质：（1）翻转变换保持图形的对称性。
例如，一个长方形经过翻转变换后仍然是一个长方形，只是关于直线对称。
（2）翻转变换保持图形的长度、角度和面积不变。
这是因为翻转变换只是改变了图形的方向，不改变其内部结构。
二、几何变换的应用几何变换在实际生活中有着广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。
1. 地图导航地图导航是几何变换的典型应用之一。
通过将地图上的道路网络进行平移、旋转和缩放等变换，可以实现实时导航功能。
例如，当我们需要找到某个地点时，导航系统会根据我们的位置和目的地进行几何变换，将最佳路径显示在地图上。
2. 图像处理图像处理中的几何变换可以改变图像的大小、旋转角度和镜像等。
例如，当我们需要将一张图像进行放大或缩小时，就可以利用缩放变换实现。
湘教版数学七年级下册_《图形变换的简单应用》知识全解
《图形变换的简单应用》知识全解
教学目标
知识目标：轴对称变换、平移变换、和旋转变换的概念和性质及应用。
能力目标：运用图形变换设计、制作图案，图象的周长和面积计算，应用图形变换的知识解决一些实际生活问题。
通过观察和实验，培养学生的抽象思维和空间想象能力逐步培养学生的各种数学思想。
情感目标：结合教材和联系生活实际培养学生的学习兴趣和热爱生活的情感。
能够自主探索，与同学进行交流合作，能够使用数学语言有条理地表达自己解决问题的过程。
教学重难点
[重点]轴对称变换、平移变换、和旋转变换在图案设计、图象的面积计算等方面的应用。
[难点]运用图形变换设计、制作图案，不仅需要熟练掌握各种图形变换的概念和性质，还需要有丰富的想象力和创造性，是本节教学的难点；能把一些实际生活问题通过学习图形变换的知识转化为数学问题，从而解决实际生活问题，将是部分同学更高层次的应用和目标。
平面图形的转换
平面图形的转换1. 简介平面图形的转换是指将一个平面图形变换为另一个平面图形的过程。
它在计算机图形学、数学和工程领域都有广泛的应用。
平面图形的转换可以通过几何变换或仿射变换来实现，其中包括平移、旋转、缩放和错切等操作。
本文将介绍平面图形的常见转换及其应用。
2. 平移变换平移变换是指将平面图形沿着指定的方向和距离进行移动。
它只改变图形的位置而不改变其形状和大小。
平移变换可通过以下公式来实现：x' = x + dxy' = y + dy其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是平移后点的坐标，dx和dy分别是水平和垂直方向上的平移距离。
平移变换在计算机图形学中常用于移动图形对象，例如在动画中实现物体的平移效果。
3. 旋转变换旋转变换是指将平面图形按照指定的角度绕某个中心点进行旋转。
旋转变换可通过以下公式来实现：x' = x * cos(theta) - y * sin(theta)y' = x * sin(theta) + y * cos(theta)其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是旋转后点的坐标，theta是旋转角度。
旋转变换广泛应用于计算机图形学中的物体旋转、图像处理和仿真等方面。
4. 缩放变换缩放变换是指将平面图形按照指定的比例进行放大或缩小。
缩放变换可通过以下公式来实现：x' = x * sxy' = y * sy其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是缩放后点的坐标，sx和sy分别是水平和垂直方向上的缩放比例。
缩放变换在计算机图形学中常用于图像的放大和缩小、模型的变形和动画的特效制作等方面。
5. 错切变换错切变换是指将平面图形按照指定的角度在水平或垂直方向上进行拉伸。
错切变换可通过以下公式来实现：x' = x + shx * yy' = y + shy * x其中，(x, y)是原始点的坐标，(x’, y’)是错切后点的坐标，shx和shy分别是水平和垂直方向上的错切系数。
图形与坐标变换
图形与坐标变换在数学和计算机图形学中，图形的展示离不开坐标变换。
坐标变换是一种将图形从一个坐标系转换到另一个坐标系的方法，在处理图形的旋转、平移和缩放等操作时起到了至关重要的作用。
本文将介绍常见的图形坐标变换方法及其应用。
一、平移变换平移变换是指将图形沿着坐标轴的方向平移一定的距离。
平移变换的数学表示为：```(x', y') = (x + dx, y + dy)```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是平移后的点的坐标，dx和dy分别是平移的水平和垂直距离。
平移变换在图形处理中常用于移动对象、实现图像的滚动以及图形的布局调整等。
通过修改坐标偏移量，可以将图形相对于原始位置进行任意平移。
二、旋转变换旋转变换是指将图形绕一个旋转中心点旋转一定的角度。
旋转变换的数学表示为：```x' = x * cosθ - y * sinθy' = x * sinθ + y * cosθ```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是旋转后的点的坐标，θ是旋转的角度。
旋转变换常用于图像的翻转、旋转效果的实现以及物体在平面内的旋转变化等。
通过调整旋转角度，可以改变图形的朝向和角度。
三、缩放变换缩放变换是指将图形按照比例因子进行放大或缩小。
缩放变换的数学表示为：```x' = x * sxy' = y * sy```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是缩放后的点的坐标，sx和sy分别是水平和垂直方向的缩放比例因子。
缩放变换常用于图像的放大和缩小、图形的形变效果实现以及物体的大小调整等。
通过调整缩放因子，可以改变图形的大小比例。
四、矩阵变换矩阵变换是一种将多种变换方法结合起来进行处理的方式，常用的矩阵变换包括平移、旋转、缩放和剪切等。
矩阵变换的数学表示为：```[x'] [a b c] [x][y'] = [d e f] * [y][1] [g h i] [1]```其中，（x，y）是原始点的坐标，（x'，y'）是变换后的点的坐标，矩阵[A]是变换矩阵。
《图形的变换》知识点归纳
图形的变换在计算机图形学中，图形的变换是一种常见的技术，用于改变图形的形状、位置和大小等特性。
图形的变换可以应用于各种领域，包括图像处理、动画制作和模拟等。
本文将对图形的变换进行归纳和总结。
一、平移变换平移变换是指将图形在平面上沿着指定的方向移动一定的距离。
平移变换可以通过对图形的每个顶点坐标进行简单的加减运算来实现。
对于平面上的一个点(Px, Py)，其在平移变换之后的新坐标为(Px+dx, Py+dy)，其中(dx, dy)为平移的向量。
实际上，平移变换不仅可以应用于二维图形，也可以应用于三维图形。
对于三维图形，平移变换涉及到对三个坐标轴上的平移。
二、旋转变换旋转变换是指将图形围绕指定的旋转中心按照指定的角度进行旋转。
旋转变换可以通过对图形的每个顶点坐标进行线性变换来实现。
对于平面上的一个点(Px, Py)，其在旋转变换之后的新坐标为(Px cosθ - Py sinθ, Px sinθ + Py cosθ)，其中θ为旋转角度。
与平移变换类似，旋转变换同样可以应用于三维图形，涉及到对三个坐标轴上的旋转。
三、缩放变换缩放变换是指通过改变图形的尺寸来实现变换。
缩放变换可以应用于二维图形和三维图形。
对于二维图形，缩放变换可以通过对图形的每个顶点坐标进行乘法运算来实现。
对于平面上的一个点(Px, Py)，其在缩放变换之后的新坐标为(Sx Px,Sy Py)，其中(Sx, Sy)为缩放因子。
在三维图形中，缩放变换涉及到对三个坐标轴上的缩放比例。
四、错切变换错切变换是指在一个轴的方向上拉长或压缩图形，而在另一个轴的方向上保持不变。
错切变换可以应用于二维图形和三维图形。
对于二维图形，错切变换可以通过对图形的每个顶点坐标进行线性变换来实现。
具体的变换公式取决于错切的方向和大小。
在三维图形中，错切变换同样涉及到对三个坐标轴上的错切比例。
五、矩阵变换矩阵变换是图形变换的一种常用方法。
通过将变换操作表示为矩阵的乘法，可以将多个变换操作连续应用到图形上。
【导学案】4 图形变化的简单应用导学案及答案
4图形变化的简单应用学习目标：1、探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。
2、经历对具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图等过程，掌握画图技能。
3、能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。
重点：图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。
难点：综合利用各种变换关系观察图形的形成。
学习策略：通过对漂亮图案的欣赏、分析，使学生逐步领略图案设计的奇妙，逐步掌握一些运用轴对称、平移和旋转的组合进行简单的图案设计技能。
教学过程一、复习回顾四、自主总结：1、平移、旋转、对称的联系：都是平面内的变换都不改变图形的________和__________,只改变图形的______；区别：①概念的区别；②运动方式的区别；③性质的区别。
二、新课学习2、阅读教材：p106—P110《图形变化的简单应用》.如图，由四部分组成，每部分都包括两个小“十”字，其中一部分能经过适当的旋转得到其他三部分吗？能经过平移吗？能经过轴对称吗？还有其它方式吗？归纳：图形的_________、_________、_____________是图形变换中最基本的三种变换方式。
实践练习：试用不同的方法分析图中由三个正三角形组成图案的过程。
各小组充分讨论教材所示图案的形成过程，在生活中，我们经常见到一些美丽的图案：你能用平移、旋转或轴对称分析如图中各个图案的形成过程吗？你是怎样分析的？与同伴交流。
三、尝试应用1.下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”通过连续旋转得来，旋转的角度是（ ）A 、︒30B 、︒45C 、︒60D 、︒902、同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心（ ）.A 、顺时针旋转60°得到B 、顺时针旋转120°得到C 、逆时针旋转60°得到D 、逆时针旋转120°得到3、对图案的形成过程叙述正确的是（ ）.（A ）它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转90°、180°、270°形成的（B ）它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置旋转180°形成的（C ）它可以看作是相邻两只小狗绕图案的恰当的对称轴翻折而成的（D）它可以看作是左侧、上面的小狗分别向右侧、下方平移得到的四、自主总结：互相交流总结三种图形变换方式的特点，怎样选择变换方式，课前准备所学到的课外知识及切身感受等。
初中数学 教学设计1：图形变换的简单应用
课题：图形变换的简单应用
教学目标
知识及技能目标：
1、会利用轴对称、平移、旋转以及它们的组合解决一些简单的图案设计、
剪纸等实际问题。
2、欣赏轴对称、平移、旋转等变换在现实生活中的应用。
过程及方法目标：
师生通过复习三种变换的定义及性质，并在运用之。
情感态度价值观目标：
提高学生的应用意识。
教学重点
用图形变换的思想解决有关图形的计算问题。
教学难点
用简单图形和图形变换，欣赏并设计一些简单的图案设计问题。
教学过程
一、创设情景，引出课题
提问：
我们已学过哪几种图形变换？
二、合作交流，探究新知
1、请观察图
（1）说出它们由哪些基本图形组成？
（2）图中运用了哪些图形变换？为什么？（学生可能回答：平移变换、旋转变换、轴对称变换等等，教师重点提示抓住平移变换这一要点进行分析）
2、试一试：请分析香港区徽用了哪些图形变换（不考虑颜色）
3、做一做。
请利用简单图形的图形变换，设计一幅图案，并与同伴交流。
三、运用知识体验成功
1、例题：以图的右边缘所在的直线为轴，将该图形向右作轴对称变换，再绕中心O按顺时针方向旋转180°，所得到的图形是( )
2、练一练：图案设计
课本图5—16 正方形瓷砖设计，要求学生动手实践。
3、如图，在等边△ABC中，AB=6，D是BC上一点.且BC=3BD，△ABD绕点A旋转后的得
到△ACE.则CE的长为_______．
四、小结：
图形变换的思想可以帮助我们有关图形的计算作业：P125 A组 1、2、3
E
D C
B
A。
应用题3图形的变换
总复习应用题3正反比例的意义及应用题（复习课）教学目标：1.使学生进一步掌握正、反比例的意义，学会判断两种量是否能成正比例或反比例。
2.使学生在学会判断正反比例关系的基础上，学会用比例的方法解答有关正反比例应用题。
教学重点：学会判断两种量是否成正反比例的方法。
教学难点：能通过两种量推导出数量关系，从而判断出成正或反比例。
教学过程：一、复习正比例和反比例的意义：（1）正比例的意义：①两种（）的量，一种量变化，另一种量也随着（）, 如果这两种量中相对应的两个数的（），也就是（）一定，这两种量就叫做成（）的量，它们的关系叫做（）关系。
②简单归纳起来，成正比例的两种量，必须符合（）个条件：分别是：（（2）反比例的意义：两种（）的量，一种量变化，另一种量也随着（），如果这两种量中相对应的两个数的（）一定，这两种量就叫做成（）的量，它们的关系叫做（）关系。
别是：（ ）（3 ）正、反比例意义的相同点和不同点：比较正比例关系和反比例关系，写出它们的相同点和不同点二、复习正、反比例关系的判断: （1 ）表 1表中相关联的量是（ ）和（），（）随着（ ）变化，（ ）是一定的。
因此，路程和时间成（ ）关系。
(2)表 2表中相关联的量是（ ）和（），（）随着（ ）变化，（ ）是一定的。
因此，路程和时间成（ ）关系。
(3)表 3表中相关联的量是（ ）和（ ），（ ）随着（ ）变化，（ ）是一定的。
因此，路程和时间成（简单归纳起来，成反比例的两种量，必须符合（）个条件：分）关系。
三、复习正、反比例关系的判断（二）1、工作效率一定，工作总量和工作时间（）2、总价一定，购买练习本的单价和数量（）3、减数一定，被减数和差（）4、xy=15, x 和y （）5、3a=b, a 和 b （）四、小组讨论：1、在长方形的长、宽、面积三种量中，当什么量一定时，哪一种量和哪一种量成什么比例？2、在每块方砖面积、方砖块数、铺地面积三种量中，当什么量一定时，哪一种量和哪一种量成什么比例？五、复习正反比例应用题：1、盐完全溶解在水中变成盐水。
一年级数学的几何变换应用题
一年级数学的几何变换应用题几何变换是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们研究不同形状的图形在空间中的变换关系。
对于一年级的学生来说，能够理解和应用几何变换的知识，不仅可以提升他们对图形的认知能力，还可以培养他们的逻辑思维和问题解决能力。
下面将介绍几个简单的一年级数学几何变换应用题，帮助孩子们更好地理解几何变换的概念。
第一题：平移小明画了一个正方形，边长为5个单位长度。
他把这个正方形向右平移了3个单位长度，向下平移了2个单位长度，请问平移后这个正方形的位置在哪里？解析：平移是指物体在平面上保持形状和大小不变的情况下，沿着某个方向移动一定距离。
根据题目描述，正方形向右平移了3个单位长度，向下平移了2个单位长度。
因此，最终正方形的位置在原来位置的右边3个单位长度，下方2个单位长度的地方。
第二题：旋转小华画了一个等边三角形，边长为4个单位长度。
他把这个三角形沿着顶点顺时针旋转了60度，请问旋转后这个三角形的位置在哪里？解析：旋转是指物体围绕某个中心点进行旋转，保持形状和大小不变。
根据题目描述，等边三角形沿着顶点顺时针旋转了60度。
旋转60度就是将原来的图形转动1/6圆周的角度。
因为等边三角形的每个内角都是60度，所以旋转后的等边三角形的位置与原来位置完全重合。
第三题：对称小红画了一个图形，是一个关于x轴对称的图形。
她将这个图形沿着x轴折叠，请问折叠后的图形是什么样的？解析：对称是指物体的两部分在某个轴线上完全重合。
根据题目描述，图形是关于x轴对称的，所以当折叠后，图形的上下两部分完全重合，形成一个与原图形相同的图形。
通过以上的几个应用题，我们可以看到几何变换对于形状和位置的变化有着明确的描述和规律。
通过理解和应用几何变换，一年级的学生可以培养对图形的观察和分析能力，进而提高他们的数学思维和问题解决能力。
鼓励孩子们多进行几何变换的实践操作，在不断实践中加深对几何变换的理解和掌握，为今后的数学学习打下坚实的基础。
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图形变换的应用
浙江省舟山市定海五中薛晓波
一、巧用图形变换计算面积
1、如图所示的图案是一个轴对称图形(不考虑颜色)，直线l是它的一条对称轴.已知图中圆的半径为r,你能借助轴对称的方法求出图中阴影部分的面积吗？说说你的做法。
简析：本题只需利用轴对称可以将这个图形进行补形，阴影部分面积为半圆的面积，这样就成了一个规则的几何图形，容易求解。
解：以直线m为对称轴，把m左边绿色部分反射到m的右边，那么它们的像恰好填补了
右边的白色部分，所以图中的绿色部分面积等于半个圆的面积，也就是
2
r2
π
二、利用图形变化设计图案
2、如图2-1所示，某产品的标志图案，要在所给的图形图2-2中，把A B C
，，三个菱形通过一种或几种变换，使之变为与图2-1一样的图案：
（1）请你在图2-2中作出变换后的图案（最终图案用实线表示）；
（2）你所用的变换方法是______（在以下变换方法中，选择一种正确的填到横线上，也可以用自己的话表述）．
①将菱形B向上平移；
②将菱形B绕点O旋转120︒；
③将菱形B绕点O旋转180︒．
析解：由题意知三菱形以O为顶点的角分别为60︒，故可选①或③也可自己写其它正确的方法，结果见图2-3．
图2-1 图2-2
A
O
B
C
图2-3
3、学校花园有一块正方形花池，打算将它面积八等份请你利用平移、旋转、轴对称等知识设计几个方案。
以正方形的八分之一为基本图形进行变换:
析解：先取一块八分之一面积的长方形，给过平移的方式将整个正方形分割成一模一样的八块。
以正方形的四分之一为基本图形进行变换:
析解：先做一个四分之一的图形，这个四分之一的图形由二块面积相等的图形组成，如图1中以一个四分之一图形为基本图形进行旋转就可以将这个正方形八等份。
而图2中则是将四分之一的图形为基本图形进行平移。
:
… …
先做一个二分之一的图形，将这个二分之一的图形四等份，然后以这个二分之一的图形为基本图形进行轴对称变换就可以得到。