新人教版必修二高中数学 第四章 4.1.1圆的标准方程ppt课件
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高中数学4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)
[提出问题]
点与圆的位置关系
爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀
搞一场掷飞镖比赛，他们把靶子钉在土墙
上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜．如图A，B，C分别 是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：
(1)求以P1P2为直径的圆的方程； (2)试判断点M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圆上，在圆内，还 是在圆外．
10．求解圆的方程中漏解
[典例] 已知某圆圆心在x轴上，半径长为5，且截y轴所得 线段长为8，求该圆的标准方程．
[随堂即时演练]
1．圆(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圆心、半径分别是
()
A．(1，－2)，4
B．(1，－2)，2
C．(－1,2)，4
D．(－1,2)，2
答案：D
几何法
代数法
│MC│＝r⇔点M 在圆C上
│MC│<r⇔点M 在圆C内
│MC│>r⇔点M 在圆C外
点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＝r2
点M(x0，y0)在圆内⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＜r2
点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－ a)2＋(y0－b)2＞r2
求圆的标准方程
2．几种特殊位置的圆的标准方程：
条件
圆的标准方程
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)
圆心在x轴上且过原点 (x－a)2＋y2＝a2(a≠0)
2019-2020年人教版必修二数学4.1.1圆的标准方程--上课用ppt课件
解方程组
x 3y 3 0 x y 1 0
得
x 3,
y
2.
所以圆心C的坐标是 (3,2)
圆心为C的圆的半径长 r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C的圆的标准方程是
(x 3)2 ( y 2)2 25
圆心：两条直线的交点
半径：圆心到圆上一点
解：因为A(1, 1)和B(2, －2)，所以线段AB的中点D的坐标
(
3 2
,
1 2
), 直线AB的斜率:
k AB
21 2 1
3
因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y 1 1(x 3) 即x 3y 3 0
23 2
方程是：
(x 2)2 ( y 3)2 25
y
o
x
M2 A
M1
点与圆的位置关系
从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个 点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在 这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．
怎样判断点M 0 (x0 , y0 )在圆 (x a)2 ( y b)2 r 2 内呢？
M
在这个圆上；
1
把点 M 2 ( 5,1)的坐标代入此方程，左右两边 不相等，点M 2的坐标不适合圆的方程，所以点 M 2不 在这个圆上．
例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1(5,7) ，M 2 ( 5,1) 是否在这 个圆上．
解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准
a2 b 3
r 5
高中数学必修2第四章圆与方程课件__4.1.1圆标准方程_人教A版
( 3 , 1), 22
直线AB的斜率:
2 1 k AB 2 1 3
2020/1/13
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，且圆心C 在直线上l：x － y+1=0，求圆心为C的圆的标准方程．
解：因此线段AB的垂直平分线 l ' 的方程是
y 1 1(x 3) 23 2
2020/1/13
3．已知圆心在P(－2，3)并且与y轴相切， 则该圆的方程是（ ）B （A）(x－2)2+(y+3)2=4 （B）(x+2)2+(y－3)2=4 （C）(x－2)2+(y+3)2=9 （D）(x+2)2+(y－3)2=9
2020/1/13
4．过点A(1，－1)，B(5，6)且圆心在直线 x+y－2=0上的圆的方程为（ C ） （A）(x－3)2+(y+1)2=4 （B）(x+3)2+(y－1)2=4 （C）(x－1)2+(y－1)2=4 （D）(x+1)2+(y+1)2=4
将M，N点的坐标代入方程得
(6－5)2+(9－6)2=10，(5－5)2+(3－6)2<10,
所以点M在圆上，点N在圆内. 2020/1/13
例4．求过点A(6，0)，B(1，5)，且圆心在
直线l：2x－7y+8=0上的圆的方程。
解法1. 直线AB的斜率k=－1，所以AB的垂
直平分线m的斜率为1，
分析：已知道确定一个圆只需要确定圆心的位置与半径大 小．圆心为C的圆经过点A(1, 1)和B(2, －2)，由于圆心C与A, B 两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线 l上' ．又 圆心C在直线l 上，因此圆心C是直线l与直线 l的' 交点，半径长 等于|CA|或|CB|．
人教版高中数学必修2第四章第1节《圆的标准方程》ppt参考课件2
小1.结圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r
y
(x a)2 (y b)2
2.圆心
C
①两条直线的交点
（弦的垂直平分线）
②直径的中点
O
3.半径
C
①圆心到圆上一点的距离
②圆心到切线的距离
A
B
x
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
C(2,-8)
解题思路：圆心：两条中垂线的交点 半径：圆心到圆上一点
A(5,1) x
B(7,-3)
例2．已知圆的方程是 x2 y2 ，r求2 经过圆上一点
M x的0切, y线0 的方程．
y
解：设切线的斜率为 k,半径OM的斜率为k1
由题意：k
k1
y k1 0
x0
1
k
练习
求圆的圆心及半径 (1)、x2+y2=4 (2)、(x+1)2+y2=1
(3)、(x 2)2 (y 3)2 m2 (m 0)
例1 △ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1), B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
高中数学第四章圆与方程4.1-4.1.1圆的标准方程课件新人教A版必修2
1．利用圆的标准方程能直接求出圆心和半径，比较 点到圆心的距离与半径的大小能得出点与圆的位置关 系，求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径， 借助弦心距、弦、半径之间的关系计算时，可大大简化 计算的过圆心 C(3，0)，r＝2， 所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
图①
图②
[变式训练] 已知 x，y 满足 x2＋(y＋4)2＝4，求 （x＋1）2＋（y＋1）2的最大值与最小值．
解：由已知得点 P(x，y)在圆 x2＋(y＋4)2＝4 上，圆 心 C(0，－4)，半径 r＝2，
第四章 圆与方程
[知识提炼·梳理]
1．圆的标准方程 (1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径． (2)确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．
类型 1 求圆的标准方程(自主研析)
[典例 1] 求下列圆的标准方程： (1)圆心是(4，－1)，且过点(5，2)； (2)圆心在 y 轴上，半径长为 5，且过点(3，－4)； (3)求过两点 C(－1，1)和 D(1，3)，圆心在 x 轴上的 圆的标准方程．
高中数学必修二-第四章-圆的方程-全套PPT
的解．解此方程组，得
x 3,
y
2.
所以圆心C 的坐标是(3,2)
圆心为C 的圆的半径长
r | AC | (1 3)2 (1 2)2 5
所以，圆心为C 的圆的标准方程是
(x 3)2 (y 2)2 25
小结
1.圆的标准方程的结构特点.
2.点与圆的位置关系的判定.
3.求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②代入法.
表示点（2，3）
(3)x2 y2 4x 6 y 15 0
(x 2)2 ( y 3)2 2 不表示任何图形
比较
圆的一般方程和圆的标准方程各有什么特点？ 圆的一般方程的特点 ：
（1）x2、y2 的系数相同，都不为0． （2）没有形如xy的二次项．
圆的一般方程与圆的标准方程各有特点： （1）圆的标准方程带有明显的几何的影
例3 已知圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)， 且圆心C 在直线上l：x - y+1=0，求圆心为C 的圆的标
准方程．
分析：如图，确定一个圆只需确定圆心位置与半
径大小．圆心为C 的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)，由 于圆心C 与A,B 两点的距离相等，所以圆心C 在线段 AB 的垂直平分线 l '上．又圆心C 在直线l 上，因此圆 心C 是直线 l 与直线 l ' 的交点，半径长等于|CA|或
一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到气象 台的台风预报：台风中心位于轮船正西70km处，受 影响的范围是半径长为30km的圆形区域．已知港口 位于台风中心正北40km处，如果这艘轮船不改变航 线，那么它是否会受到台风的影响？
为解决这个问题，我们
以台风中心为原点O，东西 方向为x 轴，建立如图所
高中数学第四章 圆与方程 411 圆的标准方程课件 新人教A版必修2
探究点三 利用圆的定义与标准方程求最值 已知 x，y∈R，且圆 C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，求(x＋2)2 ＋(y－2)2 的最大值与最小值．
[解] 因为(x－1)2＋(y＋2)2＝4 表示以 C(1，－2)为圆心，半径 r ＝2 的圆， 所以 （x＋2）2＋（y－2）2表示圆上的动点 M(x，y)与定点 A(－2，2)的距离(如图)．
在本例中，条件不变，求x－y 4的最大值与最小值．
解：法一：(数形结合法) 如图： x－y 4即为圆上的点 M(x，y)与 A(4，0)的连线所在直线的斜率 k， 过 A 的两条切线分别为 AA1，AA2，则 kAA1 圆与方程
4．1 圆的方程
4．1.1 圆的标准方程
第四章 圆与方程
1.会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特 点． 2.会根据已知条件求圆的标准方程． 3．能准确判断点与圆的位置关系．
1．圆的标准方程 设圆心坐标为(a，b)，半径为 r，则圆的标准方程为
___(x__－__a_)_2＋___(y_－___b_)_2_＝__r2_． 特别地，当圆心在坐标原点时，圆的标准方程为__x_2_＋__y_2_＝__r_2_．
2．点与圆的位置关系
设点 P 到圆心的距离为 d，半径为 r.
d 与 r 的大小
点与圆的位置关系
d_<__r
点 P 在圆内
d_＝__r
点 P 在圆上
d_>__r
点 P 在圆外
探究点一 求圆的标准方程 求下列圆的标准方程． (1)圆心在 y 轴上，半径为 5，且过点(3，－4)； (2)求过点 A(1，－1)，B(－1，1)且圆心在直线 x＋y－2＝0 上的 圆的标准方程． [解] (1)设圆心为 C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52， 所以 b＝0 或 b＝－8， 所以圆心为(0，0)或(0，－8)，又 r＝5， 所以圆的标准方程为 x2＋y2＝25 或 x2＋(y＋8)2＝25.
4.1.1《圆的标准方程》课件(新人教A版必修2)
2
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当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定 了．
因此一个圆最基本要素是圆心和半径． 如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用 坐标 (a,b) 表示，半径r的大小等于圆上任意点M(x, y) 与圆心A (a,b) 的距离．
y M (x, y) r A(a,b) O x
3
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我们在前面学过，在平面直角坐标系中，两 点确定一条直线，一点和倾斜角也能确定一条直 线．在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
y M
r
A O x
4
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圆的方程
( x a) ( y b) r
2 2
2
得： 整理得：
( x 0) ( y 0) r
2 2
2
x y r
2 2
2
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典型例题
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例1 写出圆心为 A(2,3) ，半径长等于5的圆的 方程，并判断点 M1 (5,7) ， 2 ( 5 ,1) 是否在这 M 个圆上． 解：圆心是 A(2,3) ，半径长等于5的圆的标准 方程是： ( x 2) 2 ( y 3) 2 25
把这个方程称为圆心为A(a, b)，半径长为r 的圆 的方程，把它叫做圆的标准方程（standard equation of circle）.
7
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特殊位置的圆方程
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圆心在坐标原点，半径长为r 的圆的方程是什么？ 因为圆心是原点O(0, 0)，将x＝0，y＝0和半径 r 带入圆的标准方程：
高中数学必修二第四章圆与圆的方程 4.1.1.圆的方程(课件)
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
解析 答案
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命题角度2 待定系数法求圆的标准方程 例2 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋ 1＝0上的圆的标准方程.
解答
阳光教育 多彩人生
反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
阳光教育 多彩人生
阳光教育规律多与彩方人生法
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的 方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适 时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆 的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其 中利用几何特征较为直观、快捷.
梳理 (1)把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为A(a，b)，半径 长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. (2)以原点为Байду номын сангаас心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系阳光教育 多彩人生
思考 点A(1，1)，B(4，0C)(，2， 2)
同圆x2＋y2＝4的位置
阳光教育 多彩人生
跟踪训练3 点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，那么a 的取值范围为_(_－__∞__，__－__1_)_∪__(1_，__＋__∞__)_. 解 析 由 题 意 知 ， (1 － a)2 ＋ (1 ＋ a)2>4， 2a2－2>0， 即a<－1或a>1.
解析 答案
达标检测：完成+2
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问题导学
知识点一 圆的标准方程 阳光教育 多彩人生
解析 答案
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命题角度2 待定系数法求圆的标准方程 例2 求经过点P(1，1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋ 1＝0上的圆的标准方程.
解答
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反思与感悟 待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
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阳光教育规律多与彩方人生法
1.确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a，b，r的 方程组求a，b，r或直接求出圆心(a，b)和半径r.另外依据题意适 时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率. 2.讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆 的方程)或几何特征(点到圆心的距离与半径的关系)去考虑，其 中利用几何特征较为直观、快捷.
梳理 (1)把方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2称为圆心为A(a，b)，半径 长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程. (2)以原点为Байду номын сангаас心，r为半径的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.
知识点二 点与圆的位置关系阳光教育 多彩人生
思考 点A(1，1)，B(4，0C)(，2， 2)
同圆x2＋y2＝4的位置
阳光教育 多彩人生
跟踪训练3 点(1，1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的外部，那么a 的取值范围为_(_－__∞__，__－__1_)_∪__(1_，__＋__∞__)_. 解 析 由 题 意 知 ， (1 － a)2 ＋ (1 ＋ a)2>4， 2a2－2>0， 即a<－1或a>1.
解析 答案
达标检测：完成+2
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知识点一 圆的标准方程 阳光教育 多彩人生
人教A版高中数学必修二4.1.1《圆的标准方程》课件
布置作业
必做题P96 B组 选做题
第1题,第2题
1. △ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.
2. 图2是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆 拱跨度AB=20 m,拱高OP=4 m,在建造时 每隔4 m需用一个支柱支撑,求支柱A2P2的 长度(精确到0.01 m).
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
rM C
x
显然，圆上任意一点M (x，y)适合方程，若点 M (x，y)的坐标适合方程(x-a)2+(y-b)2=r2 ， 可|MC|=r那么点M一定在这个圆上
(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2
称为圆心为C(a,b),半径长为r的圆的标准方程 特别地：圆心在原点，半径为r的圆的方程是什么？
练习 2、写出下列圆的方程
（1）圆心在原点，半径为3； （2）圆心在(-3、4),半径为 5 .
(3). 圆心为（1，2），且过点（0,0） (1) x2+y2=9 (2) (x+3)2+(y-4)2=5 (3) (x-1)2+(y-2)2=5
典例分析
例1、求圆心在（-1、2）， 且与y轴相切的圆的方程
25 8
点评:(1)圆的标准方程中有a、b、r三个量,要 求圆的标准方程即要求a、b、r三个量,有时可 用待定系数法.
(2)要重视平面几何中的有关知识在解题中的 运用.
赵1的4州单0问 之0桥 肩年题一，石的,:那建 拱历你假于 桥史该设隋,，是怎桥炀出世样梁帝自界去圆大著造修拱业名桥缮损年匠史桥坏间师上梁需（李的圆修春5一9拱缮之5个-呢,手6若创0?，5你造年是修。）世缮，界专至上家今最已古有老