高三数学一轮复习 三角函数及三角变换

三角函数及三角恒等变换
1三角函数
1.1任意角和弧度制及任意角的三角函数
了解任意角的概念、弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；理解同角三角函数的基本关系式：2
2
sin sin cos 1,tan cos x
x x x x
+== 1.2三角函数的诱导公式
能利用单位圆中的三角函数线推导出,π
απα±±的正弦、余弦、正切的诱导公式。

1.3三角函数的图象与性质
能画出y=sinx, y=cosx, y=tanx 的图象，了解三角函数的周期性；理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等），理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫
- ⎪⎝⎭
内的单调性。

1.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义；能画出函数y=Asin(ωx+φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响，函数y=Asin(ωx+φ)的周期性、奇偶性、单调性、值域与最值是高考考查的重点；会用“五点作图法”作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，同时考查三角函数图象的变换和对称性；了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题； 1.5两角和与差的正弦、余弦和正切公式
能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2、二倍角的正弦、余弦、正切公式
.
sin α=
2
2tan
21tan 2
α
α
+, cos α=
22
1tan 21tan 2
αα
-+ 3、形如asin α+bcos α的化简
asin α+bcos α
α+β).其中cos β
,sin β
2三角恒等变换
能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式）。

2
- 22 , 22
, C B A C B A C B A πππ=+=++=++
()()()()⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+22Cos 2Cos 2 C Cos Cos C Sin B A C B A Sin B A C Sin B A Sin
正弦定理：
SinC
SinB SinA c
b a R SinC
c SinB b SinA a ++++====2 余弦定理：
2 2 , 22
2
2
222222abCosC b a c acCosB c a b bcCosA c b a -+=-+=-+=
变形：ab c
b a CosC ac
b c a CosB bc a c b CosA 2
2
,2 2
22222222-+=-+=-+= C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++
1、用cos α表示sin 2
2α,cos 22α,tan 22
α sin 22α=1cos 2α-;cos 22α=1cos 2α+;tan 22α=1cos 1cos αα
-+
上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用；从右到左起到一个缩角升幂的作用。

2、用cos α表示sin
2α,cos 2α,tan 2
α
sin
2α
=2α
=2α
= 3、用sin α,cos α表示tan
2
α
tan 2α=sin 1cos 1cos sin αα
α
α-=+
例题讲解
1已知角α的终边落在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值。

2（1）如果点P （sin θ·cos θ,2cos θ）位于第三象限，试判断角θ所在的象限； （2）若θ是第二象限角，则
sin(cos )
cos(sin 2)
θθ的符号是什么？
3若α是第二象限角，试分别确定2α、
2α、3
α
的终边所在位置
4已知α是三角形的内角，且sin α+cos α=15.（1）求tan α的值；（2）把221
cos sin αα
-用tan α表示出
来，并求其值。

5化简：
sin()cos[(1)]
()sin[(1)]cos()
k k k Z k k παπαπαπα---∈+++
6已知cos()2sin()22ππ
αα+=-，求3sin ()cos()
575cos()3sin()22
πααπππαα-++-+-的值。

7在ΔABC 中，若sin(2π
-A)=sin(π-β)
π-β)求ΔABC 的三内角。

8是否存在α∈（2
π
-
，2π
），β∈（0，π），使等式sin(3π-α
2
π
-β
), α
)= π+β)同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由。

9求下列函数的定义域：
（1）求的定义域；
（2）求函数的定义域。

10（1）求函数sin(
2),3y x π
=-[,]x ππ∈-的单调递减区间； （2）求3tan()64
x
y π=-的周期及单调区间。

11已知函数()2sin(2)3f x a x b π
=-+的定义域为0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，函数的最大值为1，最小值为-5，求a 和b 的值。

12已知函数22()cos 2sin cos sin f x x x x x =--。

（1）作出函数()f x 在区间[]0,π上的图象 （2）求函数()f x 在区间[,0]2
π
-
上的最大值和最小值。

13已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+b(ω>0,|φ|<
2
π
)的图象的一部分如图所示： （1）求f(x)的表达式；（2）试写出f(x)的对称轴方程。

对称性问题
已知函数
ωx +φ)-cos(ωx +φ)(0<φ<π, ω>0)为偶函数，且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
2π。

（1）求f(8π)的值；（2）将函数y=f(x)的图象向右平移6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间。

三角函数的化简求值
1（1）化简
（2）求值
2 已知3335
0,cos(),sin()4445413π
πβαπαπβ<<<<-=+=，求sin()αβ+的值。

3 2
0,0,3sin sin(2),4tan
1tan ,22
2
2
ππ
α
α
αββαβαβ<<<<
=+=-+已知且求的值.
三角恒等变换
1 若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.
（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 2
已知函数17()()cos (sin )sin (cos ),,12f t g x x f x x f x x ππ⎛⎤
=
=⋅+⋅∈ ⎥⎝⎦
（1）将函数g(x)化简成Asin(ωx+ϕ)+B(A>0,ω>0, ϕ[)0,2π的形式；（2）求函数g(x)的值域。

3（1）求证：2
2
12(3cos 4)
tan ;tan 1cos 4x x x x
++
=- （2）1tan tan 1m
m
βαβαβα+≠-已知sin =msin(2+)(m 1),求证：(+)=
4已知3110,tan .4tan 3
παπαα<<+=-
，求2
2
5sin 8sin
cos
11cos 8
2
2
2
2
)
2
α
α
α
α
α
α++--的值
高考真题 1
函数2()sin(2)4f x x x
π
=--的最小正周期是__________________ .
2 在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a,b,c ，已知1
cos 24C =-
(I)求sinC 的值；
(Ⅱ)当a=2， 2sinA=sinC 时，求b 及c 的长．
3已知函数
()()21cot sin sin sin 44f x x x m x x ππ⎛
⎫⎛⎫=+++- ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭。

(1) 当m=0时，求
f(x)在区间384ππ⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦，上的取值范围；
(2) 当tan 2a =时，f(a)=5
3
，求m 的值。