2018-2019学年高中数学人教A版选修2-2习题 第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测试卷(三)Word版含解析
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.2 含答案
选修2-2 第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B .若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是导学号 10510741( )A ．4＋8iB ．8＋2iC ．2＋4iD ．4＋i[答案] C[解析] 由题意知A (6,5)，B (－2,3)，∴C (2,4)，∴点C 对应的复数为2＋4i ，故选C. 2．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应复数为导学号 10510742( )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i[答案] B[解析] 由题意知A 点坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则B 点坐标为(2,1)，所以向量OB →对应复数为2＋i.故应选B.3．在复平面内，复数z 1、z 2对应点分别为A 、B .已知A (1,2)，|AB |＝25，|z 2|＝41，则z 2＝导学号 10510743( )A ．4＋5iB ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i[答案] D[解析] 设z 2＝x ＋y i(x 、y ∈R )，由条件得，⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2＋(y －2)2＝20，x 2＋y 2＝41.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4.或⎩⎨⎧x ＝15，y ＝325.故选D.4．已知复数z 1＝2－a i(a ∈R )对应的点在直线x －3y ＋4＝0上，则复数z 2＝a ＋2i 对应的点在导学号 10510744( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 复数z 1＝2－a i 对应的点为(2，－a )，它在直线x －3y ＋4＝0上，故2＋3a ＋4＝0，解得a ＝－2，于是复数z 2＝－2＋2i ，它对应的点在第二象限，故选B.5．复数z ＝－2(sin100°－icos100°)在复平面内所对应的点Z 位于导学号 10510745( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限[答案] C[解析] z ＝－2sin100°＋2icos100°. ∵－2sin100°<0,2cos100°<0， ∴点Z 在第三象限．故应选C.6．复数1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为导学号 10510746( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2[答案] B[解析] 所求复数的模为 (1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2，∵π＜α＜2π，∴π2＜α2＜π，∴cos α2＜0，∴4cos 2α2＝－2cos α2.二、填空题7．(湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1、z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.导学号 10510747[答案] －2＋3i[解析] ∵z 1＝2－3i ，∴z 1对应的点为(2，－3)，关于原点的对称点为(－2,3)． ∴z 2＝－2＋3i.8．复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________.导学号 10510748[答案] 5[解析] 复数3－5i,1－i 和－2＋a i 在复平面内对应的点分别为(3，－5)，(1，－1)，(－2，a )，所以由三点共线的条件可得－1－(－5)1－3＝a －(－1)－2－1.解得a ＝5.9．若复数z ＝(m 2－9)＋(m 2＋2m －3)i 是纯虚数，其中m ∈R ，则|z |＝________.导学号 10510749[答案] 12[解析] 由条件知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －3≠0m 2－9＝0，∴m ＝3，∴z ＝12i ，∴|z |＝12. 三、解答题10．实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：导学号 10510750(1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．[解析] (1)由m 2－2m －15>0，得知m <－3或m >5时，z 的对应点在x 轴上方； (2)由(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)＋5＝0，得知： m ＝－3－414或m ＝－3＋414，z 的对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．一、选择题1．若复数(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 对应的点在虚轴上，则实数m 的值是导学号 10510751( )A ．－1B ．4C ．－1和4D ．－1和6[答案] C[解析] 由m 2－3m －4＝0得m ＝4或－1，故选C. 2．下列命题中，假命题是导学号 10510752( ) A ．复数的模是非负实数B ．复数等于零的充要条件是它的模等于零C ．两个复数模相等是这两个复数相等的必要条件D ．复数z 1>z 2的充要条件是|z 1|＞|z 2|[答案] D[解析] ①任意复数z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )的模|z |＝a 2＋b 2≥0总成立．∴A 正确；②由复数相等的条件z ＝0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝0⇔|z |＝0，故B 正确；③若z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1、b 1、a 2、b 2∈R )， 若z 1＝z 2，则有a 1＝a 2，b 1＝b 2，∴|z 1|＝|z 2|. 反之由|z 1|＝|z 2|，推不出z 1＝z 2，如z 1＝1＋3i ，z 2＝1－3i 时|z 1|＝|z 2|，故C 正确；④不全为零的两个复数不能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，∴D 错． 二、填空题3．已知复数z 1＝－1＋2i 、z 2＝1－i 、z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A 、B 、C ，若O C →＝x O A →＋y O B →(x 、y ∈R )，则x ＋y 的值是______.导学号 10510753[答案] 5[解析] 由复数的几何意义可知，O C →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x (－1＋2i)＋y (1－i)， ∴3－2i ＝(y －x )＋(2x －y )i ， 由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧ y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.∴x ＋y ＝5.4．设(1＋i)sin θ－(1＋icos θ)对应的点在直线x ＋y ＋1＝0上，则tan θ的值为________.导学号 10510754[答案] 12[解析] 由题意，得sin θ－1＋sin θ－cos θ＋1＝0， ∴tan θ＝12.三、解答题5．已知两向量a ，b 对应的复数分别是z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，且a ，b 的夹角为60°，求m 的值.导学号 10510755[解析] 因为a ，b 对应的复数分别为z 1＝－3，z 2＝－12＋m i(m ∈R )，所以a ＝(－3,0)，b＝(－12，m )．又a ，b 的夹角为60°，所以cos60° ＝(－3，0)·(－12，m )(－3)2＋02·(－12)2＋m 2，即12＝32314＋m 2，解得m ＝±32.6．已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹.导学号 10510756[解析] 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则复数z 的对应点为P (x ，y )，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，b ＝y ＋2.① ∵z 0＝a ＋b i ，|z 0|＝2，∴a 2＋b 2＝4. 将①代入得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.∴点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第三章 数系的扩充和复数的引入 章末复习 Word版含答案
章末复习1．复数的概念：(1)虚数单位i ；(2)复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数． 2．复数集复数a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数(b ＝0)⎩⎨⎧有理数⎩⎪⎨⎪⎧整数分数无理数(无限不循环小数)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)3．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ) (1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ； (2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ； (3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：z 1z 2＝(a 1a 2＋b 1b 2)＋(a 2b 1－a 1b 2)i a 22＋b 22＝a 1a 2＋b 1b 2a 22＋b 22＋a 2b 1－a 1b 2a 22＋b 22i(z 2≠0)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算； (1±i)2＝±2i ；若ω＝－12±32i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.4．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则z ＝a －b i ，z ＋z 为实数，z －z 为纯虚数(b ≠0)． (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝a 2＋b 2， 且z ·z ＝|z |2＝a 2＋b 2. 5．复数的几何形式(1)用点Z (a ，b )表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用向量OZ →表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，Z 称为z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)． (2)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量OZ →.6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量OZ 1→、OZ 2→不共线，则复数z 1＋z 2是以OZ 1→、OZ 2→为两邻边的平行四边形的对角线OZ →所对应的复数． (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量OZ 1→、OZ 2→的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．题型一 分类讨论思想的应用当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．例1 已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－1≠0∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1或a ＝6a ≠±1，∴当a ＝6时，z 为实数． (2)当z 为虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ≠±1，∴a ≠±1且a ≠6， 即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6≠0a 2－7a ＋6a 2－1＝0，a 2－1≠0∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1且a ≠6a ＝6且a ≠±1∴不存在实数a ，使z 为纯虚数． 跟踪演练1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i. (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.解 (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＝0，a 2－3a ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝2，a ≠1且a ≠2.故a ＝0. (3)z 对应的点在第一象限，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＞0，a 2－3a ＋2＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，或a ＞2，a ＜1，或a ＞2，∴a ＜0，或a ＞2. ∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0， ∴a ＝2.题型二 数形结合思想的应用数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2 已知等腰梯形OABC 的顶点A 、B 在复平面上对应的复数分别为1＋2i ，－2＋6i ，OA ∥BC .求顶点C 所对应的复数z . 解设z ＝x ＋y i ，x ，y ∈R ，如图． ∵OA ∥BC ，|OC |＝|BA |， ∴k OA ＝k BC ，|z C |＝|z B －z A |， 即⎩⎪⎨⎪⎧21＝y －6x ＋2，x 2＋y 2＝32＋42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝－5y 1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－3y 2＝4.∵|OA |≠|BC |，∴x 2＝－3，y 2＝4(舍去)， 故z ＝－5.跟踪演练2 已知复数z 1＝i(1－i)3.(1)求|z 1|；(2)若|z |＝1，求|z －z 1|的最大值． 解 (1)|z 1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2 2.(2)如图所示，由|z |＝1可知，z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O (0,0)的圆，而z 1对应着坐标系中的点Z 1(2，－2)．所以|z －z 1|的最大值可以看成是点Z 1(2，－2)到圆上的点的距离的最大值．由图知|z －z 1|max ＝|z 1|＋r (r 为圆半径)＝22＋1. 题型三 转化与化归思想的应用在求复数时，常设复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，把复数z 满足的条件转化为实数x ，y 满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3 已知z 是复数，z ＋2i ，z 2－i 均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2. 又z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i 为实数， ∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>08(a －2)>0，解得2<a <6. ∴实数a 的取值范围是(2,6)．跟踪演练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y . 解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i. 又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ， ∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a 2＝4，a 2＋b 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－1.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋i ，y ＝1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1－i ，y ＝1＋i 或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋i ，y ＝－1－i 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1－i ，y ＝－1＋i. 题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i 2＝－1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i ；(3)设ω＝－12±32i ，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)等；(4)⎝⎛⎭⎫12±32i 3＝－1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧：a ＋b i b －a i ＝(a ＋b i )i (b －a i )i ＝(a ＋b i )ia ＋b i ＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化． 例4 计算：(1)(1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)；(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014. 解 (1)法一 (1－i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i (1＋i)＝⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＋12i －32i 2(1＋i) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3－12＋3＋12i (1＋i)＝3－12＋3＋12i ＋3－12i ＋3＋12i 2＝－1＋3i.法二 原式＝(1－i)(1＋i)⎝⎛⎭⎫－12＋32i＝(1－i 2)⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝2⎝⎛⎭⎫－12＋32i ＝－1＋3i.(2)－23＋i 1＋23i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21－i 2 014＝(－23＋i )i (1＋23i )i ＋⎝⎛⎭⎫2－2i 1 007＝(－23＋i )i i －23－1i 1 007＝i －1－i ＝i －i ＝0. 跟踪演练4 计算：(2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0151－i .解 (2＋i )(1－i )21－2i ＋(1－i )－(1＋i )2i 5－1－i 2 0151－i＝(2＋i )·(－2i )1－2i ＋(1－i )－2i i －1＋i 1－i＝2－4i 1－2i＋1－3i i －(1＋i )22＝2－(i ＋3)－i ＝－1－2i.高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a ＋b i(a ，b ∈R )的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.2.2
3.2.2 复数代数形式的乘除运算课时过关·能力提升基础巩固1若复数z 1=1+i,z 2=3-i,则z 1·z 2等于( )A.4+2iB.2+iC.2+2iD.3+i解析由z 1=1+i,z 2=3-i,所以z 1·z 2=(1+i)(3-i)=3-i 2+2i =4+2i .答案A2已知=b+i(a ,b ∈R ),其中i 为虚数单位,则a+b 等于()a +2i i A.-1 B.1 C.2 D.3解析∵=b+i,a +2i i ∴a+2i =-1+b i .∴a=-1,b=2.∴a+b=1.答案B3复数(i 为虚数单位)的虚部是( )i1-2i A.i B.-1515C.-iD.1515解析=-i,其虚部为,故选D.i 1-2i =i (1+2i )12+22=i +2i 2525+1515答案D4若z 是复数,且(3+z )i =1(i 为虚数单位),则z 为( )A.-3+iB.3+iC.-3-iD.3-i解析由(3+z )i =1,得3+z==-i,1i 所以z=-3-i,故选C.答案C5若复数z=1+i,为z 的共轭复数,则z -z-1=( )z z A.-2i B.-i C.i D.2i解析∵z=1+i,∴=1-i,z ∴z ·=|z|2=2,z ∴z ·-z-1=2-(1+i)-1=-i .z 答案B6已知a=,则a 4= .-3-i1+2i 解析∵a==-1+i,-3-i 1+2i =(-3-i )(1-2i )5∴a 4=[(-1+i)2]2=(-2i)2=-4.答案-47已知复数z=a+3i(i 为虚数单位,a>0),若z 2是纯虚数,则a= .解析z 2=(a+3i)2=a 2+6a i +9i 2=(a 2-9)+6a i,由题易知解得a=3.{a 2-9=0,6a ≠0,a >0,答案38若复数z 满足z (2-3i)=6+4i(i 为虚数单位),则z 的模为 .解析由z (2-3i)=6+4i,得z==2i,所以|z|=2.6+4i 2-3i =(6+4i )(2+3i )(2-3i )(2+3i )答案29设复数z 满足|z|=1,且(3+4i)·z 是纯虚数,求.z 分析利用复数问题实数化的思想,设z=a+b i(a ,b ∈R ),利用已知条件建立关于a ,b 的方程组,求解即可.解设z=a+b i(a ,b ∈R ),由|z|=1,得=1.a 2+b 2由题意,得(3+4i)·z=(3+4i)(a+b i)=3a-4b+(4a+3b )i 是纯虚数,则{3a -4b =0,4a +3b ≠0.由{a 2+b 2=1,a -4b =0,4a +3b ≠0,解得{a =45,b =35或{a =-45,b =-35.所以z=i 或z=-i .45+3545‒35故i 或=-i .z =45‒35z 45+35能力提升1若复数z 满足(z-i)(2-i)=5,则z 等于( )A.-2-2iB.-2+2iC.2-2iD.2+2i解析由题意可得,z-i ==2+i,52-i=5(2+i )(2-i )(2+i )所以z=2+2i .答案D2=( )(1+i )3(1-i )2A .1+iB .1-iC .-1+iD .-1-i 答案D3是z 的共轭复数,若z+=2,(z-)i =2(i 为虚数单位),则z=( )z z z A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i 解析设z=a+b i(a ∈R ,b ∈R ),则=a-b i .z 由z+=2,得2a=2,z 即a=1.又由(z-)i =2,z 得2b i·i =2,即b=-1.故z=1-i .答案D ★4已知复数z 1=a+2i,z 2=a+(a+3)i,且z 1z 2>0,则实数a 的值为( )A.0B.0或-5C.-5D.以上均不对解析z 1z 2=(a+2i)·[a+(a+3)i]=(a 2-2a-6)+(a 2+5a )i,由z 1z 2>0知z 1z 2为实数,且为正实数,因此应满足{a 2+5a =0,a 2-2a -6>0,解得a=-5(a=0舍去).故a=-5.答案C5设复数z 满足z 2=3+4i(i 是虚数单位),则|z|等于 .解析因为z 2=3+4i,所以|z 2|==5,所以|z|=.32+42556若关于x 的方程x 2+(1+2i)x-(3m-1)i =0有实根,则纯虚数m= . 解析设m=b i(b ∈R ,且b ≠0),x 0为方程的一个实根,由题意得+(1+2i)x 0-(3b i -1)i =0,x 20∴(+x 0+3b )+(2x 0+1)i =0,x 20∴{x 20+x 0+3b =0,2x 0+1=0,解得{x 0=-12,b =112.∴m=i .112答案i1127计算下列各题:(1);(1+i )71-i +(1-i )71+i ‒(3-4i )(2+2i )34+3i (2)i)5+;1i (2+2(11+i )4+(1+i 1-i )7(3);(-32-12i )12+(2+2i 1-3i )8(4).(1+i 1-i)6+2+3i 3-2i 解(1)原式=[(1+i)2]3+[(1-i)2]3·1+i 1-i 1-i 1+i‒8(3-4i )(1+i )2(1+i )(3-4i )i =(2i)3·i +(-2i)3·(-i)-8·2i (1+i )i =8+8-16-16i =-16i .(2)i)5+1i (2+2(11+i )4+(1+i 1-i )7=-i·()5·[(1+i)2]2·(1+i)++i 72[1(1+i )2]2=16(-1+i)--i 214=-+(16-1)i .(162+14)2(3)(-32-12i )12+(2+2i 1-3i )8=(-i)12·(-3-12i )12+(1+i 12-32i )8=(-12+32i )12+[(1+i )2]4·(12-3i )[(12-32i )3]3=+(-8+8i)[(-12+32i )3]43=1-8+8i =-7+8i .33(4)方法一:原式=[(1+i )22]6+(2+3i )(3+2i )(3)2+(2)2=i 6+=-1+i .6+2i +3i -65方法二:原式=[(1+i )22]6+(2+3i )i (3-2i )i =i 6+=-1+i .(2+3i )i2+3i ★8已知复数z 1=2+i,2z 2=.z 1+i(2i +1)-z 1(1)求z 2;(2)若△ABC 三内角A ,B ,C 依次成等差数列,且u=cos A+2icos 2,求|u+z 2|的取值范围.C2解(1)z 2==-i .12[(2+i )+i ](2i +1)-(2+i )=1+i i -1=-2i 2(2)在△ABC 中,∵A ,B ,C 依次成等差数列,∴2B=A+C ,∴B=60°,A+C=120°.∵u+z 2=cos A+2icos 2-iC2=cos A+i =cos A+icos C ,(2cos 2C2-1)∴|u+z 2|2=cos 2A+cos 2C=cos 2A+1-sin 2C=1+(sin 2C+cos 2C )cos 2A-(sin 2A+cos 2A )sin 2C=1+cos 2A cos 2C-sin 2A sin 2C =1+cos(A+C )cos(A-C )=1+cos 120°cos(A-C )=1-cos(A-C ).12由A+C=120°,得A-C=120°-2C ,∴-120°<A-C<120°,∴-<cos(A-C )≤1.12∴≤1-cos(A-C )<.121254∴|u+z 2|的取值范围是.[22,52)。
2018秋新版高中数学人教A版选修2-2习题：第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.2
3.1.2 复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( ) A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B32复数z=+i2对应的点在复平面内的( )A.第一象限B.实轴上C.虚轴上D.第四象限33解析因为z=+i2=-1∈R,所以z对应的点在实轴上.故选B.答案B3复数z与它的模相等的充要条件是( )A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数解析因为z=|z|,所以z为实数,且z≥0.故选D.答案D4在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i解析由题意得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得C(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.答案C5已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是( )35A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)a2+1解析|z|=.∵0<a<2,∴0<a2<4.a2+1<55∴1<,即1<|z|<.故选B.答案B6已知复数z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z 对应点的轨迹为( )A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3.故所求的轨迹为一个圆,故选A.答案A7复数z=-5-12i 在复平面内对应的点到原点的距离为 .解析因为|z|==13,(-5)2+(-12)2所以z 对应的点到原点的距离为13.答案138已知复数x 2-6x+5+(x-2)i 在复平面内的对应点在第三象限,则实数x 的取值范围是 .解析由已知得解得1<x<2.{x 2-6x +5<0,x -2<0,答案(1,2)9若复数z=(x-1)+(2x-1)i 的模小于,求实数x 的取值范围.10分析根据复数的模的意义及题设中复数模的范围,建立关于实数x 的不等式求解即可.解由题意,可得,(x -1)2+(2x -1)2<10化简得5x 2-6x-8<0,解得-<x<2.45故x 的取值范围是.{x |x ∈R ,且-45<x <2}10实数m 分别取什么数值时,复数z=(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)i:(1)对应的点在实轴上方;(2)对应的点在直线x+y+5=0上?分析解答本题的关键是利用复数z 对应点的特点,转化为关于m 的方程或不等式求解.解(1)由题意知m 2-2m-15>0,得m<-3或m>5.故当m<-3或m>5时,z 对应的点在实轴上方.(2)由题意得(m 2+5m+6)+(m 2-2m-15)+5=0,解得m=或m=.-3-414-3+414故当m=或m=时,z 对应的点在直线x+y+5=0上.-3-414-3+414能力提升1若复数z 1,z 2在复平面内对应的点关于虚轴对称,且z 1=2+i,则z 2=( )A.2+iB.-2+iC.2-iD.-2-i答案B2若z=(2t 2+5t-3)+(t 2+2t+3)i,t ∈R ,则以下结论正确的是( )A.z 对应的点在第一象限B.z 一定不是纯虚数C.z 一定是纯虚数D.z 对应的点在实轴上方解析∵2t 2+5t-3=2≥-,(t +54)2‒498498t 2+2t+3=(t+1)2+2≥2,所以复数z 对应的点在实轴上方.故选D.答案D3使|lo x-4i |≥|3+4i |成立的x 的取值范围是( )g 12A.[18,8]B.(0,1]∪[8,+∞)C.∪[8,+∞)(0,18]D.(0,1)∪(8,+∞)解析由已知得(lo x )2+(-4)2≥32+42,g 12∴(lo x )2≥9.g 12∴lo x ≥3或lo x ≤-3.g 12g 12∴x ∈∪[8,+∞).(0,18]答案C ★4已知复数3-5i,1-i 和-2+a i 在复平面内对应的点在同一条直线上,则实数a 的值为( )A.5B.-2C.-5D.35解析设复数3-5i,1-i,-2+a i 对应的向量分别为(O 为坐标原点),OA ,OB ,OC 则=(3,-5),=(1,-1),=(-2,a ).OA OB OC ∵A ,B ,C 三点共线,∴=t +(1-t ),OA OB OC 即(3,-5)=t (1,-1)+(1-t )(-2,a ).∴{3=t -2(1-t ),-5=-t +a (1-t ),解得即a 的值为5.{t =53,a =5,答案A5在复平面内,O 为坐标原点,向量对应的复数为3-4i,如果点B 关于原点的对称点为A ,点A 关于虚轴的对称点OB 为C ,那么向量对应的复数为 .OC 解析∵点B 的坐标为(3,-4),∴点A 的坐标为(-3,4).∴点C 的坐标为(3,4),故向量对应的复数为3+4i .OC 答案3+4i6在复平面内,O 是原点,已知复数z 1=-1+2i,z 2=1-i,z 3=3-2i,它们所对应的点分别是A ,B ,C.若=x +y (x ,y ∈R ),OC OA OB 则x+y 的值是 .解析由已知,得=(-1,2),=(1,-1),=(3,-2),所以x +y =x (-1,2)+y (1,-1)=(-x+y ,2x-y ).OA OB OC OA OB 由=x +y ,OC OA OB 可得解得故x+y=5.{-x +y =3,2x -y =-2,{x =1,y =4,答案57复数z 的模为1,求|z-1-i|的最大值和最小值.解由|z|=1表示与z 对应的点Z 在以原点为圆心,1为半径的圆上,则|z-1-i |=|z-(1+i)|表示圆上的点到A (1,1)的距离,如图.由于点A 到原点的距离是,因此圆上的点到点A (1,1)的最大距离是+1,最小距离是-1.222因此|z-1-i |的最大值为+1,最小值为-1.22★8已知z 1=x 2+ i,z 2=(x 2+a )i,对任意的x ∈R 均有|z 1|>|z 2|成立,试求实数a 的取值范围.x 2+1分析本题主要考查有关复数模的综合问题.解题的关键是取模之后,要转化为求含参数的二次不等式的参数的取值范围.解∵|z 1|=,|z 2|=|x 2+a|,且|z 1|>|z 2|,x 4+x 2+1∴>|x 2+a|对x ∈R 恒成立,等价于(1-2a )x 2+(1-a 2)>0对x ∈R 恒成立.x 4+x 2+1当1-2a=0时,解得a=,12∴当a=时,0·x 2+>0恒成立.12(1-14)当时,{1-2a >0,Δ=-4(1-2a )(1-a 2)<0解得-1<a<.12综上可得,实数a 的取值范围是.{a |-1<a ≤12}。
2018-2019学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A版选修2-2
【成才之路】2015-2016学年高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入综合检测 新人教A 版选修2-2时间120分钟，满分150分。
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．(2014·浙江理，2)已知i 是虚数单位，a 、b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算，当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ，反之，(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ＝2i ，则a 2－b 2＝0,2ab ＝1，解a ＝1，b ＝1或a ＝－1，b ＝－1，故a ＝1，b ＝1是(a ＋b i)2＝2i 的充分不必要条件，选A.2．(2015·衡阳二模)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数是z －，则2－z －z等于( )A ．－1－2iB ．－2＋iC ．－1＋2iD ．1＋2i[答案] C[解析] 由题意可得2－z －z ＝2－－1＋－1－i ＝－－1＋－1－－1＋＝－1＋2i ，故选C.3．复数z ＝m －2i1＋2i(m ∈R ，i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] A[解析] z ＝m －2i1＋2i＝m －－＋－＝15[(m －4)－2(m ＋1)i]，其实部为15(m －4)，虚部为－25(m ＋1)，由⎩⎪⎨⎪⎧m －4>0，－m ＋得⎩⎪⎨⎪⎧m >4，m <－1.此时无解．故复数在复平面上对应的点不可能位于第一象限．4．(2014·东北三省三校联考)已知复数z ＝－12＋32i ，则z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32i D ．12－32i [答案] D[解析] 因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋－122＋322＝12－32i. 5．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B [解析] θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时， sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故对应点(cos θ＋sin θ，sin θ－cos θ)在第二象限． [点评] 由于θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4时，据选项知，此复数对应点只能在某一象限，∴取θ＝π检验知，对应点在第二象限．6．(2015·石家庄市二模)已知复数z 满足(1－i)z ＝i 2015(其中i 为虚数单位)，则z －的虚部为( )A.12 B ．－12C.12i D ．－12i[答案] B[解析] ∵2015＝4×503＋3， ∴i2015＝i 3＝－i.∴z ＝－i 1－i ＝12－12i.∴z 的虚部为－12.故选B.7．设z 的共轭复数为z －，若z ＋z －＝4，z ·z －＝8，则z －z等于( )A ．iB ．－iC ．±1D ．±i[答案] D[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z－＝a －b i ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎨⎧z ＝2＋2i ，z －＝2－2i ，或⎩⎨⎧z ＝2－2i ，z －＝2＋2i.所以z －z ＝2－2i 2＋2i ＝1－i 1＋i ＝－2＋－＝－2i 2＝－i ，或z －z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝＋2－1＋＝2i2＝i ， 所以z－z＝±i.8．若关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，则实数m 等于( ) A.112B ．112iC ．－112D ．－112i[答案] A[解析] 设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)， 则a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，m ＝112.故选A.9．已知复数z ＝(x －2)＋y i(x 、y ∈R )在复平面内对应的向量的模为3，则y x的最大值是( )A.32B ．33C.12 D ． 3[答案] D[解析] 因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y )在以C (2,0)为圆心，以3为半径的圆上，如图，由平面几何知识知－3≤y x≤ 3.10．(2014·河北衡水中学模拟)设a ∈R ，i 是虚数单位，则“a ＝1”是“a ＋ia －i为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件[答案] A[解析] 当a ＝1时，1＋i1－i＝＋22＝i 为纯虚数．当a ＋i a －i ＝a ＋2a 2＋1＝a 2－1＋2a i a 2＋1为纯虚数时， a 2＝1即a ＝±1，故选A.11．已知复数a ＝3＋2i ，b ＝4＋x i(其中i 为虚数单位，x ∈R )，若复数a b∈R ，则实数x 的值为( )A ．－6B ．6 C.83 D ．－83[答案] C [解析] a b ＝3＋2i4＋x i＝＋－x16＋x2＝12＋2x 16＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3x 16＋x 2·i∈R ，∴8－3x 16＋x2＝0，∴x ＝83.12．设z ＝(2t 2＋5t －3)＋(t 2＋2t ＋2)i ，t ∈R ，则以下结论正确的是( ) A ．z 对应的点在第一象限 B ．z 一定不为纯虚数 C.z 对应的点在实轴的下方 D ．z 一定为实数 [答案] C[解析] ∵t 2＋2t ＋2＝(t ＋1)2＋1>0，∴z 对应的点在实轴的上方． 又∵z 与z 对应的点关于实轴对称． ∴C 项正确．二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上) 13．(2015·重庆理，11)设复数a ＋b i(a ，b ∈R )的模为3，则(a ＋b i)(a －b i)＝________.[答案] 3[解析] 由题易得a 2＋b 2＝3，故a 2＋b 2＝3；(a ＋b i)(a －b i)＝a 2＋b 2＝3. 14．已知x ＋1x ＝－1，则x 2014＋1x2014的值为________________．[答案] －1[解析] ∵x ＋1x＝－1，∴x 2＋x ＋1＝0.∴x ＝－12±32i ，∴x 3＝1.∵2014＝3×671＋1，∴x 2014＝x ，∴x2014＋1x2014＝x ＋1x＝－1.15．已知复数z 1＝cos α＋isin α，z 2＝cos β＋isin β，则复数z 1·z 2的实部是_____________[答案] cos(α＋β)[解析] z 1·z 2＝(cos α＋isin α)(cos β＋isin β) cos αcos β－sin αsin β＋(cos αsin β＋sin αcos β)i ＝cos(α＋β)＋sin(α＋β)i 故z 1·z 2的实部为cos(α＋β)．16．设θ∈[0,2π]，当θ＝________________时，z ＝1＋sin θ＋i(cos θ－sin θ)是实数．[答案]π4或54π [解析] 本题主要考查复数的概念．z 为实数，则cos θ＝sin θ，即tan θ＝1.因为θ∈[0,2π]，所以θ＝π4或54π.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本题满分12分)(2015·长春外国语学校高二期中)设复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m2＋3m ＋2)i(m ∈R )，试求m 取何值时(1)z 是实数． (2)z 是纯虚数．(3)z 对应的点位于复平面的第一象限．[解析] (1)由m 2＋3m ＋2＝0且m 2－2m －2>0，解得m ＝－1，或m ＝－2，复数表示实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m 2－2m －2)＝0，且m 2＋3m ＋2≠0， 求得m ＝3，故当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(3)由lg(m 2－2m －2)>0，且m 2＋3m ＋2>0，解得m <－2，或m >3，故当m <－2，或m >3时，复数z 对应的点位于复平面的第一象限．18．(本题满分12分)(2014·洛阳市高二期中)(1)已知复数z 在复平面内对应的点在第四象限，|z |＝1，且z ＋z －＝1，求z ；(2)已知复数z ＝5m21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)为纯虚数，求实数m 的值．[解析] (1)设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R )，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝1，2a ＝1.解得a ＝12，b ＝±32.∵复数z 在复平面内对应的点在第四象限，∴b ＝－32. ∴z ＝12－32i.(2)z ＝5m 21－2i －(1＋5i)m －3(2＋i)＝(m 2－m －6)＋(2m 2－5m －3)i ，依题意，m 2－m －6＝0，解得m ＝3或－2.∵2m 2－5m －3≠0.∴m ≠3.∴m ＝－2.19．(本题满分12分)虚数z 满足|z |＝1，z 2＋2z ＋1z＜0，求z .[解析] 设z ＝x ＋y i (x 、y ∈R ，y ≠0)，∴x 2＋y 2＝1. 则z 2＋2z ＋1z ＝(x ＋y i)2＋2(x ＋y i)＋1x ＋y i＝(x 2－y 2＋3x )＋y (2x ＋1)i. ∵y ≠0，z 2＋2z ＋1z<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＝0， ①x 2－y 2＋3x ＜0， ②又x 2＋y 2＝1. ③ 由①②③得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝±32.∴z ＝－12±32i.20．(本题满分12分)设z ＝log 2(1＋m )＋ilog 12(3－m )(m ∈R )．(1)若z 在复平面内对应的点在第三象限，求m 的取值范围； (2)若z 在复平面内对应的点在直线x －y －1＝0上，求m 的值． [解析] (1)由已知，得 ⎩⎪⎨⎪⎧log 2＋m ， ①log 12－m， ②解①得－1<m <0. 解②得m <2.故不等式组的解集为{x |－1<m <0}， 因此m 的取值范围是{x |－1<m <0}．(2)由已知得，点(log 2(1＋m )，log 12(3－m ))在直线x －y －1＝0上，即log 2(1＋m )－log 12(3－m )－1＝0，整理得log 2[(1＋m )(3－m )]＝1.从而(1＋m )(3－m )＝2，即m 2－2m －1＝0，解得m ＝1±2，且当m ＝1±2时都能使1＋m >0，且3－m >0.故m ＝1± 2. 21．(本题满分12分)满足z ＋5z是实数，且z ＋3的实部与虚部是相反数的虚数z 是否存在？若存在，求出虚数z ，若不存在，请说明理由．[解析] 存在．设虚数z ＝x ＋y i(x 、y ∈R ，且y ≠0)． z ＋5z ＝x ＋y i ＋5x ＋y i ＝x ＋5x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －5y x 2＋y 2i.由已知得⎩⎪⎨⎪⎧y －5y x 2＋y2＝0，x ＋3＝－y .∵y ≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝5，x ＋y ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1.∴存在虚数z ＝－1－2i 或z ＝－2－i 满足以上条件．22．(本题满分14分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1、2、3、4、5、6)先后抛掷两次，记第一次出现的点数为a ，第二次出现的点数为b .(1)设复数z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，求事件“z －3i 为实数”的概率；(2)求点P (a ，b )落在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋2≥0，0≤a ≤4，b ≥0.表示的平面区域内(含边界)的概率．[解析] (1)z ＝a ＋b i(i 为虚数单位)，z －3i 为实数，则a ＋b i －3i ＝a ＋(b －3)i 为实数，则b ＝3.依题意得b 的可能取值为1、2、3、4、5、6，故b ＝3的概率为16.即事件“z －3i 为实数”的概率为16.(2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界)． 由图知，点P (a ，b )落在四边形ABCD 内的结果有：(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6)，共18种．所以点P (a ，b )落在四边形ABCD 内(含边界)的概率为P ＝1836＝12.。
2018学年高中数学人教A版选修2-2习题 第3章 数系的扩充与复数的引入3.1.1 含答案
选修2-2 第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．若sin2θ－1＋i(2cos θ＋1)是纯虚数，则θ的值为导学号 10510708( ) A ．2k π－π4B ．2k π＋π4C ．2k π±π4D ．k π2＋π4(以上k ∈Z )[答案] B[解析] 由⎩⎨⎧sin2θ－1＝02cos θ＋1≠0得⎩⎨⎧2θ＝2k π＋π2，θ≠2k π＋π±π4，(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π4.选B.2．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为导学号 10510709( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4[答案] C[解析] 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a .解得：a ＝－4.故应选C.3．已知复数z ＝cos α＋icos2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为导学号 10510710( )A ．{π，2π3，4π3}B ．{π3，5π3}C ．{π，π6，11π6}D ．{π3，π，5π3}[答案] D[解析] 由条件知，cos α＋cos2α＝0， ∴2cos 2α＋cos α－1＝0， ∴cos α＝－1或12，∵0<α<2π，∴α＝π，π3或5π3，故选D.4．若复数z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R )，z 1＝z 2，则θ等于导学号 10510711( )A ．k π(k ∈Z )B ．2k π＋π3(k ∈Z )C ．2k π±π6(k ∈Z )D ．2k π＋π6(k ∈Z )[答案] D[解析] 由复数相等的定义可知，⎩⎨⎧sin2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ.∴cos θ＝32，sin θ＝12. ∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D.5．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R )不是纯虚数，则导学号 10510712( ) A ．a ＝－1 B ．a ≠－1且a ≠2 C ．a ≠－1 D ．a ≠2[答案] C[解析] 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.6．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a 、b ∈R )为实数的充要条件是导学号 10510713( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0[答案] D[解析] 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0. 二、填空题7．如果x －1＋y i 与i －3x 为相等复数，x ，y 为实数，则x ＝______，y ＝______导学号 10510714[答案] 141[解析] 由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1.8．方程(2x 2－3x －2)＋(x 2－5x ＋6)i ＝0的实数解x ＝________.导学号 10510715 [答案] 2[解析] 方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－3x －2＝0，x 2－5x ＋6＝0.解得x ＝2.9．如果z ＝a 2＋a －2＋(a 2－3a ＋2)i 为纯虚数，那么实数a 的值为________.导学号 10510716[答案] －2[解析] 如果z 为纯虚数，需⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －2＝0，a 2－3a ＋2≠0.，解之得a ＝－2.三、解答题10．已知z 1＝⎝⎛⎭⎫cos α－45＋i ⎝⎛⎭⎫sin α－35，z 2＝cos β＋isin β，且z 1＝z 2，求cos(α－β)的值.导学号 10510717[解析] 由复数相等的充要条件，知⎩⎨⎧cos α－45＝cos β，sin α－35＝sin β.即⎩⎨⎧cos α－cos β＝45， ①sin α－sin β＝35. ②①2＋②2得2－2(cos α·cos β＋sin α·sin β)＝1， 即2－2cos(α－β)＝1，所以cos(α－β)＝12.一、选择题1．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R )有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于导学号 10510718( )A ．3＋iB ．3－iC ．－3－iD ．－3＋i[答案] B[解析] 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝－1.∴z ＝3－i ，故应选B.2．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈Z }，在集合A 中任取一个元素a ，则复数z ＝(a 2－1)＋(a 2－a －2)i 为实数的概率为p 1，z 为虚数的概率为p 2，z ＝0的概率为p 3，z 为纯虚数的概率为p 4，则导学号 10510719( )A ．p 3<p 1<p 4<p 2B ．p 4<p 2<p 3<p 1C ．p 3<p 4<p 1<p 2D ．p 3＝p 4<p 1<p 2[答案] D[解析] 由条件知A ＝{－2，－1,0,1,2}，若z ∈R ，则a 2－a －2＝0，∴a ＝－1或2，∴p 1＝25；若z ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－a －2＝0，∴a ＝－1，∴p 3＝15；若z 为虚数，则a 2－a －2≠0，∴a ≠－1且a ≠2， ∴p 2＝35；若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝0，a 2－a －2≠0，∴a ＝1，∴p 4＝15.∴p 3＝p 4<p 1<p 2. 二、填空题3．若cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数，则θ＝________.导学号 10510720 [答案] 2k π＋π2(k ∈Z )[解析] 由cos θ＋(1＋sin θ)i 是纯虚数知，⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝0，1＋sin θ≠0. 所以θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．4．若x 是实数，y 是纯虚数，且满足2x －1＋2i ＝y ，则x ＝________，y ＝________.导学号 10510721[答案] 122i[解析] 设y ＝b i(b ∈R, 且b ≠0)，则2x －1＋2i ＝b i ，再利用复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝0，2＝b .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，b ＝2.∴x ＝12，y ＝2i.三、解答题5．若不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立，求实数m 的值.导学号 10510722 [解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0，m 2－4m ＋3＝0，m 2<10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝3，m ＝3或m ＝1，|m |<10.∴当m ＝3时，原不等式成立．6．当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m ＋(m 2－2m )i 为导学号 10510723(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？[解析] (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数； (2)当m 2－2m ≠0，且m ≠0， 即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数； (3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0，m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．。
2018年高中数学人教A版选修1-2第3章数系的扩充与复数的引入检测习题含解析.docx
人教 A 版 2018-2019 学年高中数学选修1-2 习题第三章检测(时间 :90 分钟满分:120分)一、选择题 (本大题共 10 小题 ,每小题 5 分,共 50 分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 )1.已知a,b∈ R ,则“a=b”是“(a-b)+ (a+b )i为纯虚数”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 (a-b)+ (a+b )i 为纯虚数的充要条件是实数a,b 满足-即a=b ,且 a≠-b,也就是 a=b ≠0.故选B.答案 B2.如图,在复平面内,点A表示复数z,则图中表示z的共轭复数的点是()A. AB. BC.CD.D解析设 z=a+b i( a,b∈R),则其共轭复数为所以表示 z与的两点关于 x 轴对称 .故选 B .答案 B3.设i是虚数单位,若复数a∈ R)是纯虚数,则a的值为()-A. -3B. -1C.1D.3解析由已知 ,得 a-复数 a为纯虚数 ,∴a- 3=0,即 a= 3.--答案 D4.设z=1+ i(i是虚数单位),则等于A. -1-iB. -1+iC.1 -iD.1+ i解析∵z=1+ i,= (1-i)+ (1+ 2i-1)= 1+ i,故选 D.答案 D5.设a,b为实数,若复数则1人教 A 版 2018-2019 学年高中数学修1-2 A. aC.a解析由可得1+ 2i = (a-b )+ (a+b )i .-解得故 A .由两复数相等可以得到答案 A6. i是虚数位,复数i3A. -iB.iC.-1D.1解析原式 =- i-答案 D7.已知复数z=( a2-a-2)+ (|a-1|- 1)i(a∈ R )不是虚数,有()A. a≠0B. a≠2C.a≠0,且 a≠2D.a≠-1解析若 z 虚数 ,- -解得 a=- 1.--而已知 z 不是虚数 ,所以 a≠-1.故 D.答案 D8.已知i虚数位,a数,复数z= (1-2i)( a+ i)在复平面内的点M ,“a是点在第四象限的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析 z=(1- 2i)(a+ i)=a+ 2+ (1-2a)i, 所以复数z 在复平面内的点M 的坐 (a+ 2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是a+ 2> 0,且 1-2a< 0,解得 a故 C.答案 C9.投两枚骰子,得到其向上的点数分m 和 n,复数 (m+n i)( n-mi) 数的概率 ()A2222,所以 m=n ,可以取解析因 (m+n i)( n-mi)= 2mn+(n -m )i 数 ,所以 n =m .因骰子的点数正数1,2,⋯ ,6,共 6 种可能 .所以所求概率故 C.2答案 C10.复数z= (x-2)+y i(x,y∈ R)在复平面内对应向量的模为2,则|z+ 2|的最大值为 ()A.2B.4C.6D.8解析因为 |z|= 2,所以-即(x-2)2+y 2= 4,故点 (x,y)在以 (2,0) 为圆心 ,2 为半径的圆上,而|z+2|=|x+y i|它表示点 (x,y)与原点的距离,结合图形 (图略 )易知 |z+ 2| 的最大值为4,故选 B.答案 B二、填空题 (本大题共 5 小题 ,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在题中的横线上)11.i是虚数单位,计算-的结果为解析---- - ---答案 -i12.设复数z满足i(z+ 1)=- 3+ 2i(i为虚数单位 ),则 z的实部是.---故 z的实部为 1.解析∵i( z+1)=- 3+2i,∴ z+1-答案 113.设复数z在对应法则f的作用下和复数w ·i对应 ,即f:z→w·i,则当 w=- 1+ 2i 时 ,复数z=.解析∵f:z→ w·i,且 w=- 1+ 2i,·i=- 1+2i, 则答案 2-i14.在复平面内,若z=m2(1+ i) -m(4+ i) -6i所对应的点在第二象限,则实数 m 的取值范围是.解析∵z=m 2-4m+ (m2-m- 6)i 所对应的点在第二象限,-解得 3<m< 4.- -答案 (3,4)2有实数根 ,则纯虚数 m=.15.若关于x的方程x + (2-i) x+(2m-4)i = 0解析设 m=b i( b∈R ,且 b≠0),方程的实根为x0,则有从而有于是解得-于是 m= 4i.-答案 4i三、解答题 (本大题共 5 小题 ,共 45 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)32求实数取什么值时复数是16.(8分)已知复数z=(2+ i) m-(1) 零 ;(2) 虚数 ;(3) 纯虚数 ;(4) 复平面上第二、四象限平分线上的点对应的复数.分析先将复数z化简整理为a+b i( a,b∈R) 的代数形式 ,再根据复数的分类及其几何意义求解即可.解因为 m∈R ,所以复数222z=(2+ i) m -3m(1+ i)- 2(1-i)= (2m -3m-2)+ (m -3m+2)i .--即 m= 2时 ,z 为零 .(1)当-(2)当 m2-3m+2≠0,即 m≠2,且 m≠1 时,z 为虚数 .--即 m=时 ,z 为纯虚数 .(3)当-(4)当 2m2-3m-2=- (m2-3m+2),即 m= 0 或 m=2 时,z 是复平面内第二、四象限平分线上的点对应的复数 .17.(8分)设复数z的共轭复数为已知(1)求复数 z及(2) 求满足 |z1-1|=|z| 的复数 z1对应的点的轨迹方程.解 (1--故z=2+ i.(2)设 z1=x+y i(x,y∈R ),则 |(x-1)+y i|故(x-1)2+y2=5.即复数 z1对应的点的轨迹方程为(x-1)2+y 2= 5.18.(9分)已知z=1+ i,a,b为实数.(1)若ω=z 2+求(2)若-求的值解(1)∵ ω=z 2+∴|ω|--(2)由条件-得即∴ (a+b )+ ( a+ 2)i=1+i,4解得19.(10分)已知复数z满足|z|的虚部为所对应的点在第一象限(1)求 z;(2)22在复平面上对应的点分别为A,B,C,求 cos∠ ABC.若 z,z,z-z解(1)设 z=x+y i( x,y∈R ).∵ |z|①又z2= (x+y i) 2=x 2-y2+ 2xyi,∴ 2xy= 2,∴ xy= 1.②-由①② 可解得或-∴z=1+i 或 z=- 1- i.又x>0,y> 0,∴ z=1+ i.222(2)z = (1+ i) = 2i, z-z = 1+ i-2i=1-i .∴ A(1,1),B(0,2),C(1,-1),∴ cos∠ ABC20.(10分)已知复数z1= cosα+ isinα,z2= cosβ-isinβ,且z1求复数分析解答本题的关键是利用复数相等的充要条件先将复数问题实数化,再结合三角函数的知识求解.解由 z1得 cos α+ isin α-∴ cos α+ isin α+cos β+ isin β即 (cos α+ cos β)+ i(sin α+ sin β)5∴ cos2α+ sin2α--整理,得cosβ= 1β,①将①代入 sin 2β+ cos2β= 1,可解得 sin β= 0 或 sin β当sin β= 0 时 ,cos β= 1,cos α=当 sin β时,cosβ=α= 1,sinα= 0.∴ z1=或 z12= 1,z =6。
高中数学(人教A版选修2-2)本章练测：第三章数系的扩充与复数的引入(含答案详解).docx
m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3)z z －－z －1i ＋a i(其中i 是虚数单sin 2x |，x ∈R }，N ＝x ∈R }，则M ∩N 为4分，共16为虚数单位），则1－i ，z 3＝3－4i ，它A ，B ，C ，OC u u u r ＝λOA u u u rμ的值是________．(m 2－4m ＋3)i ＋10成14.如果i(,,0)z a b a b a =+∈≠R 且是虚数，则222,,,,,,,,z z z z z z z z z z ⋅中是虚数的有_______个，是实数的有 个，相等的有 组三、解答题（本大题共5个小题，共44分.） 15.（6分） 证明：i i zz+-＝1． 16．（6分）若x ∈R ，试确定a 是什么实数时，等式3x 2－a 2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立．17.(10分) 已知复数12z z ，满足121z z ==，且12z z -=，求证：12z z +=．18．（10分）设z 是虚数，zz 1+=ω是实数，且－1<ω<2.(1)求|z |的值及z 的实部的取值范围； (2)设z zM +-=11，求证：M 为纯虚数；（3）求2M -ω的最小值.19.（12分）证明：在复数范围内，方程|z |2+(1−i )z −(1+i )z =5−5i 2+i（i 为虚数单位）无解.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2)答题纸得分： 一、选择题二、填空题11． 12． 13. 14. 15. 三、解答题 16. 17. 18. 19.第三章数系的扩充与复数的引入测试(人教实验A 版选修2-2)答案一、选择题1. D 解析：由复数的有关概念逐个判定．对于复数a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0且b ≠0时为纯虚数．在①中，若a ＝－1，则(a ＋1)i 不是纯虚数，故①错误；在③中，若x ＝－1，也不是纯虚数，故③错误；a ＋i 3＝a －i ，b ＋i 2＝b －1，复数a －i 与实数b －1不能比较大小，故②错误；④正确．故应选D.2.A 解析： (1＋z )·z ＝z ＋z 2＝1＋i ＋(1＋i)2＝1＋i ＋2i ＝1＋3i.3.A 解析:由复数性质知：i 2＝－1，故i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)＋(－i)＝－1.4.D 解析：由(a ＋i)i ＝b ＋i ，得－1＋a i ＝b ＋i ，根据两复数相等的充要条件得a ＝1，b ＝－1.5.A 解析: 法一：因为1＋a i 2－i ＝(1＋a i )(2＋i )(2－i )(2＋i )＝2－a ＋(2a ＋1)i5为纯虚数，所以2－a ＝0，a ＝2. 法二：因为1＋a i 2－i ＝i (a －i )2－i 为纯虚数，所以a ＝2. 6.A 解析：i 1＋2i ＝2＋i 5，所以实部为25. 7. A 解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝1或m ＝－2，所以m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件． 8.B 解析：依题意得z z －z －1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i. 9.B 解析：由(1＋i)z ＝1＋a i 得z ＝(1+ai )(1−i)2＝1+a+(a−1)i2，设在复平面内z 对应的点的坐标为(x ，y )，则x ＝1+a 2，y ＝a−12.法一：易知x －y ＝1，即复数z 对应的点在直线x －y ＝1上，直线不经过第二象限，故复数z 对应的点不可能位于复平面内的第二象限．法二：若复数z 对应的点在第一象限，则只要a >1，若在第二象限，需要1+a 2<0，且a−12>0，即a <－1且a >1，无解，故复数z 对应的点不可能在第二象限．10.C 解析：∵ y ＝|cos 2x －sin 2x |＝|cos 2x |，且x ∈R ，∴ y ∈[0,1],∴ M ＝[0,1]．在N 中，x ∈R 且|x －1i|<2，∴ |x ＋i|<2，∴x 2＋1<2，解得－1<x <1，∴ N ＝(－1,1)．∴ M ∩N ＝[0,1)． 二、填空题11.6-2i 解析：因为12i =+z ,所以1412i ⋅+=++-=z z z 6-2i.12 1 解析：由条件得OC u u u r ＝(3，－4)，OA u u u r ＝(－1,2)，OB uuu r＝(1，－1)，根据OC u u u r ＝λOA u u u r ＋μOB uuu r得(3，－4)＝λ(－1,2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－λ＋μ＝3，2λ－μ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2.∴λ＋μ＝1.复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题. 13.3 解析：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法．∵ m 2－(m 2－3m)i ＜(m 2－4 m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴22210,-3=0,-4+3=0,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩解得=0=3,=3=1,m m m m m ⎧<⎪⎨⎪⎩或或，∴ m =3. 当m ＝3时，原不等式成立．14.4,5,3 解析：2,,,z z z z -=四个为虚数；22,,,,z z z z z z --⋅五个为实数；2,,z z z z z z z =--==⋅=三组相等. 三、解答题15.解法一：设z ＝a ＋bi(a, b ∈R )，则i i z z +-=i ii i a b a b +---=(1)i (1)i a b a b +--+-解法二：∵ i z +=i +z=-i+z ，∴i i z z +- =-i i z z+-=-(i -)i z z -=1. 16.解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0，①10－x －2x 2＝0.②由②得x ＝2或x ＝－52，代入①，得a ＝11或a ＝－715. 17. 证明：设复数12z z ，在复平面上对应的点为1Z ，2Z ，由条件知1212z z -==，所以以1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r为邻边的平行四边形为正方形，而12z z +在复平面上对应的向量为正方形的一条对角线，所以12z z +=．18.（1）解：设z ＝a ＋b i （a ，b ）,.因为ω是实数，0≠b ,所以，即|z |＝1.因为ω＝2 a ，－1<ω<2， 所以.所以z 的实部的取值范围（－1,21）. （2）证明：zzM +-=11＝.（这里利用了（1）中122=+b a ） 因为a ∈（－1,21），0≠b ，所以M 为纯虚数. （3）解：2M -ω112)1(12)1(22222+--=+-+=++=a a a a a a a b a 3]11)1[(21212-+++=++-=a a a a . 因为a ∈（－1,21），所以a ＋1>0，1 ) 1 (2 1 ) 1 )( 1 ( ) 1 )( 1 ( 1 1 22 2 2 + -= + + - - - = - + + + - + - - = + + - - a b ib a b i b a b i a b i a b i a b i a b i a b i a 12 1< < - a 1 2 2= + b a) ( ) ( 1 2 2 2 2 i ba bb b a a a b i a b i a + - + + + = + ++ = ω 0 , ≠ ∈ b R所以2M -ω≥2×2－3＝1.当a ＋1＝11+a ，即a ＝0时上式取等号， 所以2M -ω的最小值是1.19.证明：原方程化简为|z |2+(1−i )z −(1+i )z =1−3i , 设z ＝x ＋y i(x 、y )，代入上述方程得x 2+y 2−2xi −2yi =1−3i. 根据上式可得{x 2+y 2=1，2x +2y =3，整理得051282=+-x x .方程无实数解.∴ 原方程在复数范围内无解.,∴ < - = ∆ 0 16R ∈。
最新人教A版高中数学选修2-2：第三章 数系的扩充与复数的引入 章末测试卷
第三章 数系的扩充与复数的引入测试卷第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知i 为虚数单位，z 为复数，下列叙述正确的是( )A ．z －z 为纯虚数B ．任何数的偶数次幂均为非负数C ．i ＋1的共轭复数为i －1D ．2＋3i 的虚部为3解析：当z 为实数时，A 不正确；由i 2＝－1，知B 不正确；由共轭复数的定义知1＋i 的共轭复数为1－i ，C 不正确，由复数的定义知2＋3i 的虚部为3，D 正确，故选D.答案：D2．设复数z 满足z ＋i ＝3－i ，则z ＝( ) A ．－1＋2i B ．1－2i C ．3＋2i D ．3－2i解析：由z ＋i ＝3－i ，得z ＝3－2i ，∴z ＝3＋2i ，故选C. 答案：C3．若z ＝1＋2ii，则复数z 等于( )A ．－2－iB ．－2＋iC ．2－iD ．2＋i解析：z ＝1＋2ii＝2－i ，∴z ＝2＋i ，故选D.答案：D4．若复数1＋i ，－2＋i,3－2i 在复平面上的对应点分别为A ，B ，C ，BC 的中点为D ，则向量AD →对应的复数是( )A.32－52iB.12＋32i C ．－32＋52i D ．－12－32i解析：依题意A (1,1)，B (－2,1)，C (3，－2)，∵D 是BC 的中点，∴D ⎝⎛⎭⎫12，－12，∴AD →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴向量AD →对应的复数是－12－32i ，故选D. 答案：D5．设a 是实数，且a1＋i＋1＋i 2是实数，则a ＝( )A.12 B ．1 C.32D ．2 解析：∵a1＋i ＋1＋i 2＝a (1－i )(1＋i )(1－i )＋1＋i 2＝a ＋12＋1－a 2i 是实数，∴1－a 2＝0，解得a ＝1，故选B.答案：B6．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3iC ．3＋iD ．1－3i解析：由定义，得⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ＝z (1＋i)＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝(4＋2i )(1－i )(1＋i )(1－i )＝(2＋i)(1－i)＝3－i ，故选A.答案：A7．已知复数z ＝2－i1＋3i，其中i 为虚数单位，则复数z 在复平面内对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：由题可得z ＝2－i 1＋3i ＝(2－i )(1－3i )(1＋3i )(1－3i )＝－1－7i 10＝－110－710i ，所以复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫－110，－710，位于第三象限，故选C. 答案：C8．欧拉公式e i x ＝cos x ＋isin x (i 为虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，设复数z ＝e π4i ，根据欧拉公式可知，z1－i＝( )A ．－22i B.2iC.22i D ．i 解析：因为z ＝e π4i ＝cos π4＋isin π4＝22＋22i ，∴z 1－i ＝22·1＋i 1－i ＝22i ，故选C.答案：C9．计算(－1＋3i )3(1＋i )6＋－2＋i1＋2i的值是( )A ．0B ．1C ．iD ．2i解析：原式＝(－1＋3i )3[(1＋i )2]3＋(－2＋i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝(－1＋3i )3(2i )3＋－2＋4i ＋i ＋25＝1－i ⎝⎛⎭⎫－12＋32i 3＋i ＝i ＋i ＝2i ，故选D.答案：D10．已知i 为虚数单位，复数z 满足z (3－i)＝2＋i ，则下列说法正确的是( ) A ．复数z 的模为2B ．复数z 的共轭复数为－12＋12iC ．复数z 的虚部为－12D ．复数z 在复平面内对应的点在第一象限解析：由题可得z ＝2＋i 3－i ＝12＋12i ，所以复数z 的虚部为12，|z |＝⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫122＝22，z ＝12－12i ，复数z 在复平面内对应的点为⎝⎛⎭⎫12，12，在第一象限，故选D. 答案：D11．如果复数z 满足|z ＋3i|＋|z －3i|＝6，那么|z ＋1＋i|的最小值是( ) A ．1 B. 2C ．2 D. 5解析：复数z 满足|z ＋3i|＋|z －3i|＝6，∴z 的几何意义是以A (0,3)，B (0，－3)为端点的线段AB ，则|z ＋1＋i|＝|z －(－1－i)|的几何意义为线段AB 上的点到点C (－1，－1)的距离，由图象知，点C 到线段AB 的距离的最小值为1，故选A.答案：A12．已知复数z ＝－3＋2i(i 为虚数单位)是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为实数)的一个根，则p ＋q 的值为( )A ．22B ．36C ．38D ．42解析：由复数z ＝－3＋2i 是关于x 的方程2x 2＋px ＋q ＝0(p ，q 为实数)的一个根，则z ＝－3－2i 也是方程2x 2＋px ＋q ＝0的根，由韦达定理得⎩⎨⎧－p2＝z ＋z ＝－6，q2＝z ·z ＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，q ＝26.∴p ＋q ＝38，故选C.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在题中的横线上) 13．已知i 为复数单位，若复数z 的共轭复数z 满足(1－i)z ＝3＋i ，则|z |＝________. 解析：由题可得z ＝3＋i 1－i ，则|z |＝|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋i 1－i ＝|3＋i||1－i|＝102＝ 5 答案： 514．若复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0，则m ＝________. 解析：∵复数z ＝m ＋(m 2－1)i(m ∈R )满足z <0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 2－1＝0，解得m ＝－1. 答案：－115．若n ∈N *，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝________.解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 22＝2i 2＝i ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 22＝－2i 2＝－i ，而i 2＝－1，(－i)2＝－1.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 24n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－i 24n ＝(－1)n ＋(－1)n ＝2×(－1)n . 当n 为奇数时，原式＝－2；当n 为偶数时，原式＝2.答案：⎩⎪⎨⎪⎧－2，n 为奇数，2，n 为偶数16．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：∵x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i，∴x (1＋i )(1－i )(1＋i )＋y (1＋2i )(1－2i )(1＋2i )＝5(1＋3i )(1－3i )(1＋3i )，即x ＋x i 2＋y ＋2y i 5＝5＋15i 10，即⎝⎛⎭⎫x 2＋y 5＋⎝⎛⎭⎫x 2＋2y 5i ＝12＋32i ，由实部与虚部分别相等，得⎩⎨⎧x 2＋y 5＝12，x 2＋2y 5＝32，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，∴x ＋y ＝4.答案：4三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明或演算步骤)17．(10分)已知复数z ＝(1－i )2＋3(1＋i )2－i，其中i 是虚数单位．(1)求复数z ；(2)若z 2＋az ＋b ＝1－i ，求实数a ，b 的值．解析：(1)由题可得z ＝－2i ＋3＋3i 2－i ＝3＋i 2－i＝(3＋i )(2＋i )5＝1＋i.(2)把z ＝1＋i 代入z 2＋az ＋b ＝1－i ， 可得(1＋i)2＋a (1＋i)＋b ＝1－i ， 整理得a ＋b ＋(2＋a )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝12＋a ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝4. 18．(12分)已知m ∈R ，复数z ＝(m 2－2m －3)＋(m 2－1)i. (1)当实数m 取什么值时，复数z 为纯虚数；(2)若复数z 在复平面内对应的点在第三象限，求实数m 的取值范围．解析：(1)因为复数z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3＝0m 2－1≠0，解得m ＝3，所以当m ＝3时，复数z 为纯虚数．(2)因为复数z 在复平面内对应的点在第三象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －3<0m 2－1<0，解得－1<m <1，所以当m ∈(－1,1)时，复数z 在复平面内对应的点在第三象限．19．(12分)设z 是虚数，w ＝z ＋1z是实数，且－1<w <2，求|z |的值及z 的实部的取值范围．解析：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R 且y ≠0)，可得w ＝z ＋1z ＝(x ＋y i)＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i ，因为w 是实数，且y ≠0，所以y －yx 2＋y2＝0，即x 2＋y 2＝1，所以|z |＝1，此时w ＝2x . 由－1<w <2得－1<2x <2，所以－12<x <1，即z 的实部的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，1. 20．(12分)在复平面内A ，B ，C 三点对应的复数分别为1,2＋i ，－1＋2i.(1)求AB →，BC →，AC →对应的复数； (2)判断△ABC 的形状； (3)求△ABC 的面积．解析：(1)AB →对应的复数为(2＋i)－1＝1＋i. BC →对应的复数为(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i. AC →对应的复数为(－1＋2i)－1＝－2＋2i.(2)由(1)可得：|AB →|＝2，|BC →|＝10，|AC →|＝22，所以|AB →|2＋|AC →|2＝|BC →|2， 所以△ABC 为直角三角形．(3)由(2)可知，三角形ABC 为直角三角形，∠A 为直角，所以S ＝12|AB →||AC →|＝12×2×22＝2.21．(12分)已知i 为虚数单位，复数z ＝1＋i. (1)如果w ＝z 2＋3z －4，求w ；(2)如果z 2＋az ＋bz 2－z ＋1＝1－i ，求实数a ，b 的值．解析：(1)因为z ＝1＋i ，所以w ＝z 2＋3z －4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝1＋2i －1＋3－3i －4＝－1－i. (2)由z ＝1＋i ，可得z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝(1＋i )2＋a (1＋i )＋b(1＋i )2－(1＋i )＋1＝1＋2i －1＋a ＋a i ＋b 1＋2i －1－1－i ＋1 ＝a ＋b ＋(a ＋2)i i＝[a ＋b ＋(a ＋2)i](－i )i (－i )＝a ＋2－(a ＋b )i ，因为z 2＋az ＋b z 2－z ＋1＝1－i ，所以a ＋2－(a ＋b )i ＝1－i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋2＝1a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝2.22．(12分)已知关于t 的一元二次方程t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )． (1)当方程有实根时，求点(x ，y )的轨迹． (2)求方程实根的取值范围． 解析：(1)设实根为t ，则t 2＋(2＋i)t ＋2xy ＋(x －y )i ＝0(x ，y ∈R )， 即(t 2＋2t ＋2xy )＋(t ＋x －y )i ＝0.根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧t 2＋2t ＋2xy ＝0，①t ＋x －y ＝0，②由②得t ＝y －x ，代入①得(y －x )2＋2(y －x )＋2xy ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.③所以所求的点(x ，y )的轨迹方程是(x －1)2＋(y ＋1)2＝2， 轨迹是以点(1，－1)为圆心，2为半径的圆． (2)由③得圆心为(1，－1)，半径r ＝2，直线t ＝y －x 与圆有公共点，从而应用|1－(－1)＋t |2≤2，即|t ＋2|≤2，所以－4≤t ≤0， 故方程实根的取值范围是[－4,0]．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第三章 数系的扩充和复数的引入 章末复习 pdf版含答案
章末复习1．复数的概念：(1)虚数单位i ；(2)复数的代数形式z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )；(3)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数．2．复数集Error!复数a ＋b i(a ，b ∈R )3．复数的四则运算，若两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i(a 1，b 1，a 2，b 2∈R )(1)加法：z 1＋z 2＝(a 1＋a 2)＋(b 1＋b 2)i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a 1－a 2)＋(b 1－b 2)i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ；(4)除法：＝＝＋i(z 2≠0)；z 1z 2(a 1a 2＋b 1b 2)＋(a 2b 1－a 1b 2)ia 2＋b 2a 1a 2＋b 1b 2a 2＋b 2a 2b 1－a 1b 2a 2＋b 2(5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况；(6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数)的周期性运算；(1±i)2＝±2i ；若ω＝－±i ，则ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.12324．共轭复数与复数的模(1)若z ＝a ＋b i ，则＝a －b i ，z ＋为实数，z －为纯虚数(b ≠0)．z z z (2)复数z ＝a ＋b i 的模|z |＝，a 2＋b 2且z ·＝|z |2＝a 2＋b 2.z 5．复数的几何形式(1)用点Z (a ，b )表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，用向量表示复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，Z 称OZ → 为z 在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0)．(2)任何一个复数z ＝a ＋b i 一一对应着复平面内一个点Z (a ，b )，也一一对应着一个从原点出发的向量.OZ → 6．复数加、减法的几何意义(1)复数加法的几何意义若复数z 1、z 2对应的向量、不共线，则复数z 1＋z 2是以、为两邻边的平行OZ 1→ OZ 2→ OZ 1→ OZ 2→四边形的对角线所对应的复数．OZ → (2)复数减法的几何意义复数z 1－z 2是连接向量、的终点，并指向Z 1的向量所对应的复数．OZ 1→ OZ 2→题型一 分类讨论思想的应用 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分类讨论．分别确定什么情况下是实数、虚数、纯虚数．当x ＋y i 没有说明x ，y ∈R 时，也要分情况讨论．例1 已知复数z ＝＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 分别取什么值时，z 分别a 2－7a ＋6a 2－1为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当z 为实数时，则有Error!∴Error!，∴当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则有Error!，∴Error!，∴a ≠±1且a ≠6，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有Error!∴Error!∴不存在实数a ，使z 为纯虚数．跟踪演练1 当实数a 为何值时，z ＝a 2－2a ＋(a 2－3a ＋2)i.(1)为实数； (2)为纯虚数；(3)对应的点在第一象限内；(4)复数z 对应的点在直线x －y ＝0.解 (1)z ∈R ⇔a 2－3a ＋2＝0，解得a ＝1或a ＝2.(2)z 为纯虚数，Error!即Error!故a ＝0.(3)z 对应的点在第一象限，则Error!∴Error!∴a ＜0，或a ＞2.∴a 的取值范围是(－∞，0)∪(2，＋∞)．(4)依题设(a 2－2a )－(a 2－3a ＋2)＝0，∴a＝2.题型二 数形结合思想的应用 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法．本章中，复数本身的几何意义、复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现．它们得以相互转化．涉及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等．例2 已知等腰梯形OABC的顶点A、B在复平面上对应的复数分别为1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求顶点C所对应的复数z.解 设z＝x＋y i，x，y∈R，如图．∵OA∥BC，|OC|＝|BA|，∴k OA＝k BC，|z C|＝|z B－z A|，即Error!解得Error!或Error!.∵|OA|≠|BC|，∴x2＝－3，y2＝4(舍去)，故z＝－5.跟踪演练2 已知复数z1＝i(1－i)3.(1)求|z1|；(2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值．解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i|·|1－i|3＝2.2(2)如图所示，由|z|＝1可知，z在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆，而z1对应着坐标系中的点Z1(2，－2)．所以|z－z1|的最大值可以看成是点Z1(2，－2)到圆上2的点的距离的最大值．由图知|z－z1|max＝|z1|＋r(r为圆半径)＝2＋1.题型三 转化与化归思想的应用 在求复数时，常设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，把复数z满足的条件转化为实数x，y满足的条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要．例3 已知z 是复数，z ＋2i ，均为实数，且(z ＋a i)2的对应点在第一象限，求实数a 的z2－i 取值范围．解 设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i 为实数，∴y ＝－2.又＝＝(x －2i)(2＋i)z2－i x －2i 2－i 15＝(2x ＋2)＋(x －4)i 为实数，1515∴x ＝4.∴z ＝4－2i ，又∵(z ＋a i)2＝(4－2i ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i 在第一象限．∴Error!，解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．跟踪演练3 已知x ，y 为共轭复数，且(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，求x ，y .解 设x ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则y ＝a －b i.又(x ＋y )2－3xy i ＝4－6i ，∴4a 2－3(a 2＋b 2)i ＝4－6i ，∴Error!∴Error!，或Error!或Error!或Error!∴Error!或Error!或Error!或Error!题型四 类比思想的应用复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i 2＝－1.在运算的过程中常用来降幂的公式有(1)i 的乘方：i 4k ＝1，i 4k ＋1＝i ，i 4k ＋2＝－1，i 4k ＋3＝－i(k ∈Z )；(2)(1±i)2＝±2i ；(3)设ω＝－±i ，则ω3＝1，ω2＝，1＋ω＋ω2＝0，＝ω2，ω3n ＝1，ω3n ＋1＝ω(ω∈N *)1232ω1ω等；(4)3＝－1；(12±32i )(5)作复数除法运算时，有如下技巧：＝＝＝i ，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．a ＋b i b －a i (a ＋b i )i (b －a i )i (a ＋b i )ia ＋b i 例4 计算：(1)(1－i)(1＋i)；(－12＋32i )(2)＋ 2 014.－23＋i1＋23i (21－i )解 (1)法一 (1－i)(1＋i)(－12＋32i )＝(1＋i)(－12＋32i ＋12i －32i2)＝(1＋i)(3－12＋3＋12i )＝＋i ＋i ＋i 23－123＋123－123＋12＝－1＋i.3法二 原式＝(1－i)(1＋i)(－12＋32i )＝(1－i 2)＝2＝－1＋i.(－12＋32i )(－12＋32i )3(2)＋ 2 014＝＋ 1 007＝－＝i －＝i －i ＝0.－23＋i 1＋23i (21－i )(－23＋i )i (1＋23i )i (2－2i )(－23＋i )i i －231i1 0071－i 跟踪演练4 计算：＋－.(2＋i )(1－i )21－2i (1－i )－(1＋i )2i51－i2 0151－i 解 ＋－(2＋i )(1－i )21－2i (1－i )－(1＋i )2i51－i2 0151－i ＝＋－(2＋i )·(－2i )1－2i(1－i )－2i i 1＋i 1－i ＝＋－2－4i1－2i 1－3ii (1＋i )22＝2－(i ＋3)－i ＝－1－2i. 高考对本章考查的重点1．对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、纯虚数、共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念．2．对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似；对于复数的除法运算，将分子分母同时乘以分母的共轭复数．最后整理成a ＋b i(a ，b ∈R )的结构形式．3．对复数几何意义的考查．在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的几何意义、复数加减法的几何意义．。
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章末检测试卷(三)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．若i为虚数单位，则复数z＝5i(3－4i)在复平面内对应的点所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点 复数的乘除法运算法则
题点 运算结果与点的对应
答案 A
2．“复数z是实数”的充分不必要条件为( )
A．|z|＝z B．z＝z
C．z2是实数 D．z＋z是实数
考点 复数的概念
题点 复数的概念及分类
答案 A
解析 由|z|＝z可知z必为实数，但由z为实数不一定得出|z|＝z，如z＝－2，此时|z|≠z，故
“|z|＝z”是“z为实数”的充分不必要条件．
3．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2等于( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的运算法则
答案 A
解析 ∵a，b∈R，a＋i＝2－bi，
∴a＝2，b＝－1，
∴(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i.
4．若复数z满足z1－i＝i，其中i是虚数单位，则z等于( )
A．－1－i B．1＋i
C．1－i D．－1＋i
考点 共轭复数的定义与应用
题点 利用定义求共轭复数
答案 C
解析 z＝(1－i)i＝－i2＋i＝1＋i，z＝1－i.
5．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．i(1＋i)2 D．i(1＋i)
考点 复数的乘除法运算法则
题点 复数的乘除法运算法则
答案 A
解析 A项，(1＋i)2＝1＋2i＋i2＝2i，是纯虚数；
B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；
C项，i(1＋i)2＝i(1＋2i＋i2)＝2i2＝－2，不是纯虚数；
D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．
故选A.
6．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→对应的复数分别为－2＋i，3＋2i,1＋5i，i为虚数
单位，那么BC→对应的复数为( )
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
考点 复数的加减法运算法则
题点 复数加减法与向量的对应
答案 C
解析 因为OA→，OC→，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，BC→＝OC→－OB→＝OC→－(OA→＋
AB→)，所以BC→对应的复数为3＋2i－[(－2＋i)＋(1＋5i)]＝4－4i.
7．已知复数z＝－12＋32i，i为虚数单位，则z＋|z|等于( )
A．－12－32i B．－12＋32i
C.12＋32i D.12－32i
考点 复数加减法的运算法则
题点 复数加减法的运算法则
答案 D
解析 因为z＝－12＋32i，
所以z＋|z|＝－12－32i＋－122＋322
＝12－32i.
8．已知i是虚数单位，若z(i＋1)＝i，则|z|等于( )
A．1 B.22
C.32 D.12
考点 复数的模的定义与应用
题点 利用定义求复数的模
答案 B
解析 ∵z(i＋1)＝i，∴z＝ii＋1＝i1－i2＝12(1＋i)，
则|z|＝22.
9．已知复数z满足(1－i)z＝i2016(其中i为虚数单位)，则z的虚部为( )
A.12 B．－12
C.12i D．－12i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 利用乘除法求复数中的未知数
答案 B
解析 ∵i4＝1，∴i2016＝(i4)504＝1，
∴z＝11－i＝1＋i2，则z＝12－12i，∴z的虚部为－12.
10．已知关于复数z＝21＋i的四个命题：p1：|z|＝2，p2：z2＝2i，p3：z的共轭复数为1＋i，p4：
z在复平面内对应的点位于第四象限．其中的真命题为( )
A．p2，p3 B．p1，p4
C．p2，p4 D．p3，p4
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 D
解析 z＝21＋i＝21－i1＋i1－i＝1－i，
p1：|z|＝1＋－12＝2.
p2：z2＝(1－i)2＝－2i.
p3：z的共轭复数为1＋i，真命题．
p4：z在复平面内对应点的坐标为(1，－1)，位于第四象限，真命题．故选D.
11．已知复数z1＝2＋i，z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，且满足z1·z2是实数，则z
2
等于( )
A．1－12i B．1＋12i
C.12＋i D.12－i
考点 复数的乘除法运算法则
题点 乘除法的综合应用
答案 B
解析 由z1＝2＋i，得z1＝2－i，
由z2在复平面内对应的点在直线x＝1上，
可设z2＝1＋bi(b∈R)，
则z1·z2＝(2－i)·(1＋bi)＝2＋b＋(2b－1)i.
又z1·z2为实数，所以2b－1＝0，b＝12.
所以z2＝1＋12i.
12．如果复数z满足|z＋2i|＋|z－2i|＝4，那么|z＋i＋1|的最小值是( )
A．1 B.2
C．2 D.5
考点 复数几何意义的综合应用
题点 利用几何意义解决距离、角、面积
答案 A
解析 设复数－2i,2i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，
因为|z＋2i|＋|z－2i|＝4，|Z1Z2|＝4，所以复数z的几何意义为线段Z1Z2，
如图所示，问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求ZZ3的最小值．
因此作Z3Z0⊥Z1Z2于Z0，则Z3与Z0的距离即为所求的最小值，|Z0Z3|＝
1.故选A.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知i是虚数单位，若a＋3ii＝b＋i(a，b∈R)，则ab的值为________．