最新江苏高考数学考试说明

2019年江苏省高考说明－数学科

一、命题指导思想

2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度. 1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查

对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.

2．重视数学基本能力和综合能力的考查

数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.

（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.

（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.

（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，

运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.

（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.

（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.

数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.

3．注重数学的应用意识和创新意识的考查

数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.

创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.

二、考试内容及要求

数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C

表示）.

了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.

理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.

掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.

具体考查要求如下：

1．必做题部分

2．附加题部分

三、考试形式及试卷结构

（一）考试形式

闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.

（二）考试题型

1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.

2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.

填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（三）试题难易比例

必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.

附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.

四、典型题示例

A.必做题部分

1. 设复数i 满足(34)|43|i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_____ 【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题. 【答案】45

2. 设集合}1{},3,{},2,1{2=+==B A a a B A I 若，则实数a 的值为_ 【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题. 【答案】1.

3. 右图是一个算法流程图，则输出的k

【解析本题属容易题. 【答案】5

4. 函数ln(1)()1

x f x x +=-的定义域为

【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题.

【答案】(1,1)(1,)-?+∞

5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间]40,5[中，其频率分布直方图 如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根 棉花纤维的长度小于mm 20.

【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于mm 20的频率为

3.0501.0501.050

4.0=?+?+?,故频数为301003.0=?.

6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.

【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题. 【答案】6

5

7. 已知函数)0)(2sin(cos π?<≤+==x x y x y 与，它们的图像有一个横坐标为3

π的交点，则?的值是________.

【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函

数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题. 【答案】6

π.

8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若64682,,1a a a a a 则+==的值是______.

【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题.

【答案】4.

9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线13

22

=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于Q P ,，

其焦点是1F ，2F ，则四边形Q PF F 21的面积是______.

【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题. 【答案】32

10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，

12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为

cm 3

．

【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题. 【答案】6.

11.设直线12

y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln 21-.

12.设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间)1,1[-上，,,1001,,|5

2

|)(<≤<≤-?????-+=x x x a x x f 其中

R a ∈.若)2

9

()25(f f =-，则)5(a f 的值是 .

【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题. 【答案】5

2-

13.如图，在ABC ?中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4=?CA BA ，1-=?CF BF ，则CE BE ?的值是 .

D

A

B

C 1C 1D

1A

1B

【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识，考查数形结合和等价转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题. 【答案】8

7.

14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b

a

的取值范围是 ． 【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题. 【答案】[,7]e 二、解答题

15．在ABC ?中，角c b a C B A ,,,,的对边分别为.已知.2623A B b a ===，， （1）求A cos 值； （2）求c 的值.

【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力. 本题属容易题. 【参考答案】

（1）在ABC ?中，因为A B b a 2623===，，， 故由正弦定理得A A 2sin 62sin 3=，于是3

6

2sin cos sin 2=A A A . 所以3

6

cos =

A . (2)由(1)得36cos =A .所以33

cos 1sin 2=-=A A .

又因为A B 2=，所以3

11cos 22cos cos 2=-==A B . 从而3

2

2cos 1sin 2=

-=B B . 在π=++?C B A ABC 中，因为，

所以9

3

5sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C . 因此由正弦定理得5sin sin ==

A

C

a c . 16．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .

求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）AD ⊥AC.

【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 本题属容易题 【参考答案】

证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ?平面ABC ，AB ?平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD I 平面BCD =BD ，

BC ?平面BCD ，BC BD ⊥，

所以BC ⊥平面ABD .

因为AD ?平面ABD ，所以BC ⊥AD .

又AB ⊥AD ，BC AB B =I ，AB ?平面ABC ，BC ?平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ?平面ABC ， 所以AD ⊥AC.

17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆10:＞＞22

22x y +=(a b )a b

E 的左、右焦点分别为

F 1，F 2，离心率为12

，两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2. （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.

【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题. 【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c .

因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以1

2c a =

，228a c =，

解得2,1a c ==

，于是b

因此椭圆E 的标准方程是22

143x y +=.

（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .

设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.

当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为0

01y x -.

因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为0

01

x y --，

从而直线1l 的方程：00

1

(1)x y x y +=-

+， ①

直线2l 的方程：

00

1

(1)x y x y -=-

-. ②

由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2

001(,)

x Q x y --.

因为点Q 在椭圆上，由对称性，得2

001x y y -=±，即22001x y -=或22

001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故22

00

1

43x y +=.

由220022001143x y x y ?-=??+=??，解得004737

,77x y ==；22

002

2

001143x y x y ?+=??+

=??，无解.

因此点P 的坐标为737

(

)7

7. 18. 如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端

O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，

点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4

tan 3

BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；

（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？

【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力.. 【参考答案】 解法一：

如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐

标系xOy .

由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43

.

又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =3

4

. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =

04,1703b a -=-- k AB =603

,04

b a -=- 解得a =80，b=120. 所以BC 22(17080)(0120)150-+-=. 因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4

(170)3

y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|680355

d d

r --==

. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,

所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805

6803(60)80

5d

d d d -?-??

?-?--??

≥≥解得

1035d ≤≤

故当d =10时,68035

d

r -=

最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .

因为tan ∠BCO =43

.所以sin ∠FCO =45

，cos ∠FCO =35

. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =680

3

. CF =

850cos 3OC FCO =

∠,从而500

3

AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，

又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==400

3

，从而BC =CF －BF =150.

因此新桥BC 的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60). 因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ，

故由(1)知，sin ∠CFO =

3

,6805

3

MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=

. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,

所以80(60)80r d r d -??--?≥≥即6803805

6803(60)805d

d d d -?-???-?--??

≥≥解得1035d ≤≤

故当d =10时,68035

d

r -=

最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 19. 设函数ax e x g ax x x f x -=-=)(,ln )(，其中a 为实数.

（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围； （2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题． 【参考答案】解：(1)令f ′(x )＝11ax

a x

x

--=

＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)?(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e. 综上，有a ∈(e ，＋∞)．

(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a .

因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1. 结合上述两种情况，有a ≤e －1.

①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1

x

＞0，得f (x )存在唯一的零点；

②当a＜0时，由于f(e a)＝a－a e a＝a(1－e a)＜0，f(1)＝－a＞0，且函数f(x)在[e a,1]上的图象不间断，所以f(x)在(e a,1)上存在零点．

－a＞0，故f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(x)只有另外，当x＞0时，f′(x)＝1

x

一个零点．

－a＝0，解得x＝a－1.当0＜x＜a－1时，f′(x)＞0，当x＞a ③当0＜a≤e－1时，令f′(x)＝1

x

－1时，f′(x)＜0，所以，x＝a－1是f(x)的最大值点，且最大值为f(a－1)＝－ln a－1.

当－ln a－1＝0，即a＝e－1时，f(x)有一个零点x＝e.

当－ln a－1＞0，即0＜a＜e－1时，f(x)有两个零点．

实际上，对于0＜a＜e－1，由于f(e－1)＝－1－a e－1＜0，f(a－1)＞0，且函数f(x)在[e－1，a －1]上的图象不间断，所以f(x)在(e－1，a－1)上存在零点．

－a＞0，故f(x)在(0，a－1)上是单调增函数，所以f(x)另外，当x∈(0，a－1)时，f′(x)＝1

x

在(0，a－1)上只有一个零点．

下面考虑f(x)在(a－1，＋∞)上的情况．先证f(e a－1)＝a(a－2－e a－1)＜0.

为此，我们要证明：当x＞e时，e x＞x2.设h(x)＝e x－x2，则h′(x)＝e x－2x，再设l(x)＝h′(x)＝e x－2x，则l′(x)＝e x－2.

当x＞1时，l′(x)＝e x－2＞e－2＞0，所以l(x)＝h′(x)在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，

h′(x)＝e x－2x＞h′(2)＝e2－4＞0，

从而h(x)在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x＞e时，

h(x)＝e x－x2＞h(e)＝e e－e2＞0.即当x＞e时，e x＞x2.

当0＜a＜e－1，即a－1＞e时，f(e a－1)＝a－1－a e a－1＝a(a－2－e a－1)＜0，又f(a－1)＞0，且函数f(x)在

[a－1，e a－1]上的图象不间断，所以f(x)在(a－1，e a－1)上存在零点．又当x＞a－1时，f′(x)