高三理科数学一轮总复习第十三章 统计案例

第十三章统计案例
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难度属于基础的思想解决一些简
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13.1 抽样方法与用样本估计总体
典例精析
题型一 抽样方法
【例1】某校有教师200人，男学生1 200人，女学生1 000人，用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n 的样本，已知女学生抽取的人数为80人，则n 的值为 .
【解析】根据分层抽样的意义， n 200＋1 200＋1 000＝80
1 000
，解得n ＝192.
【点拨】现实中正确的分层抽样一般有三个步骤：首先，辨明突出的统计特征和分类.其次，确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例，可计算出样本中每组(层)应抽取的人数.最后，必须从每层中抽取独立简单随机样本.
【变式训练1】从某厂生产的802辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能.请合理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.
【解析】第一步，将802辆轿车用随机方式编号.
第二步，从总体中剔除2辆(剔除方法可用随机数表法)，将剩余的800辆轿车重新编号(分别为001,002,003，…，800)，并分成80段.
第三步，在第一段001,002，…，010这十个编号中用简单随机抽样抽出一个(如005)作为起始号码. 第四步，将编号为005,015,025，…，795的个体抽出，组成样本. 题型二 频率分布直方图
【例2】(2010湖南)如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位：吨)的频率分布直方图.
(1)求直方图中x的值；
(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
【解析】(1)依题意及频率分布直方图知0.02＋0.1＋x＋0.37＋0.39＝1，解得x＝0.12.
(2)由题意知X～B(3,0.1)，因此
P(X＝0)＝C03×0.93＝0.729，
P(X＝1)＝C13×0.1×0.92＝0.243，
P(X＝2)＝C23×0.12×0.9＝0.027，
P(X＝3)＝C33×0.13＝0.001，
故随机变量X的分布列为
0.
X的数学期望为E(X)
(或E(X)＝1×0.243＋2×0.027＋3×0.001＝0.3)
【点拨】从频率分布直方图读取数据时，要特别重视组距，纵坐标是频率除以组距，故长方形的面积之和为1.
【变式训练2】如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据数据填空：
(1)样本数据落在[10,14)内的频数为；
(2)样本数据落在[6,10)内的频率为；
(3)总体落在[2,6)内的频率为.
【解析】(1)样本落在[10,14)内的频数为0.09×4×100＝36.
(2)样本落在[6,10)内的频率为0.08×4＝0.32.
(3)样本落在[2,6)内的频率为0.02×4＝0.08，所以总体落在[2,6)内的频率约为0.08.
题型三 平均数、方差的计算
【例3】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下： 甲 4 7 10 9 5 6 8 6 8 8 乙 7 8 6 8 6 7 8 7 5 9 试问谁10次射靶的情况较稳定？
【解析】本题要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，且样本数据不大时，可用简化公式计算方差.
甲x ＝1
10(4＋7＋…＋8)＝7.1， 乙x ＝1
10(7＋8＋…＋9)＝7.1，
s 2甲＝110(42＋72
＋…＋82－10×7.12)＝3.09， s 2乙＝110
(72＋82＋…＋92－10×7.12)＝1.29， 因为s 2甲＞s 2乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定.
【点拨】平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大，越不稳定；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.
【变式训练3】(2010北京市东城区)在一次数学统考后，某班随机抽取10名同学的成绩进行
样本分析，获得成绩数据的茎叶图如右图.
(1)计算此样本的平均成绩及方差；
(2)现从此样本中随机抽出2名学生的成绩，设抽出分数为90分以上的人数为X ，求随机变量X 的分布列和均值.
【解析】(1)样本的平均成绩x ＝80； 方差为s 2＝
1
10
[(92－80)2＋(98－80)2＋(98－80)2＋(85－80)2＋(85－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(74－80)2＋(60－80)2＋(60－80)2]＝175.
(2)由题意，随机变量X ＝0,1,2.
P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 13C 1
7
C 210＝715，P (X ＝2)＝115
.
随机变量X 的分布列为
E (X )＝0×715＋1×715＋2×115＝3
5
.
总结提高
1.统计的基本思想是用样本估计总体.这就要求样本具有很好的代表性，而样本良好客观的代表性，则完全依赖抽样方法.
2.三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础，它们的共同点都是等概率抽样.适用范围不同，要根据总体的具体情况选用不同的方法.
3.对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计.
4.用样本估计总体，一般分成以下几个步骤：
先求样本数据中的最大值和最小值(称为极值)，再确定合适的组数和组距，确定分点(每个分点只属于一组，故一般采用半开半闭区间)，然后列出频率分布表(准确，查数据容易)，画频率分布直方图.
13.2 两变量间的相关性、回归分析和独立性检验
典例精析
题型一 求回归直线方程
【例1】下表是关于某设备的使用年限(年)和所需要的维修费用(万元)的几组统计数据：
(1)若y 对x 呈线性相关关系，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝b
x ＋a ˆ； (2)估计使用年限为10年时，维修费用为多少？
【解析】(1)因为5
1
=∑i x i y i ＝112.3，5
1
=∑i x 2i ＝4＋9＋16＋25＋36＝90，且x ＝4，y ＝5，n ＝5，
所以b ˆ＝112.3－5×4×590－5×16＝12.310＝1.23，a ˆ＝5－1.23×4＝0.08，
所以回归直线方程为y ＝1.23x ＋0.08. (2)当x ＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38， 所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元.
【点拨】当x 与y 呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归直线方程进行计算和预测.
【变式训练1】某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量(吨)与相应的生产能耗(吨标准煤)有如下几组样本数据.
据相关性检验，y 与x 0.7，那么y 关于x 的回归直线方程是 .
【解析】先求得x ＝4.5，y ＝3.5，由y
ˆ＝0.7x ＋a 过点(x ，y )，则a ＝0.35，所以回归直线方程是y ˆ＝0.7x ＋0.35.
题型二 独立性检验
【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数据如下表所示：
【解析】由列联表得：
a ＝26，
b ＝184，
c ＝50，
d ＝200，a ＋b ＝210，c ＋d ＝250，a ＋c ＝76，b ＋d ＝384，n ＝460. 所以K 2
＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
＝460×(26×200－184×50)2
210×250×76×384≈4.804，
由于K 2≈4.804＞3.841，
所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的.
【变式训练2】(2010东北三省三校模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
(独立性检验随机变量K 2
值的计算公式：K 2
＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
)
【解析】由表可得a ＋b ＝5，c ＋d ＝15，a ＋c ＝7，b ＋d ＝13，ad ＝48，bc ＝3，n ＝20，运用独立性检验随机变量K 2
值的计算公式得K 2
＝20×(48－3)25×15×7×13＝540
91
≈5.934，
由于K 2≈5.934＞5.024，所以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.
总结提高
1.在研究两个变量之间是否存在某种关系时，必须从散点图入手.
2.样本的随机性导致由线性回归方程所作出的预报也具有随机性.。