人教B版高中数学选修2-2第1章1.1第1课时《函数的平均变化率》课时作业
人教版高中数学选修2-2课件 1.1.1变化率问题
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题型二 物理中平均速度的计 算
例2 一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直 距离h(单位：m)与时间t(单位：s)之间的函数关系为 h＝2t2＋2t，则：
(1)前3 s内球的平均速度为________； (2)在时间[2，3]内球的平均速度为________．
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解析：由题设知，Δs＝s(3＋Δt)－s(3)＝[3(3＋ Δt)2＋2(3＋Δt)＋6]－(3×32＋2×3＋6)＝3(Δt)2＋ 20Δt, 所以路程改变量为3(Δt)2＋20Δt.
1．1 变化率与导数 1．1.1 变化率问题
1
研题型 学方 法
2
题型一 求平均变化率或函数的增 量
3
4
规律方法：(1)函数的平均变化率可正可负，反映 函数y＝f(x)在[x1，x2]上变化的快慢，变化快慢是由平 均变化率的绝对值决定的，且绝对值越大，函数值变 化得越快．
(2)平均速度反映运动物体的位移随时间变化而变 化的情况．平均速度是运动物体在一个时间段里位移 的改变量与这段时间的比值．
答案：3(Δt)2＋20Δt
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析疑难 提能 力
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对变化率的概念理解不透致误．
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【易错剖析】平均变化率涉及三个概念：自变量的 改变量，函数值的改变量和平均变化率，这三个概念既 有区别，又有联系．求平均变化率时，容易错成求 f(Δx)．
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பைடு நூலகம்
人教版高中数学选修2-2第一章1.1.1变化率问题
新课导入为什么在相同的时间内木块的位移不一样呢？动动脑观察观察为什么跳水运动员的速度越来越快呢？解决以上2个问题,就需要我们来学习一种新的函数来解释这种现象！平均速度瞬时速度平均变化率瞬时变化率割线斜率切线斜率导数基本初等函数导数公式导数运算法则导数的简单应用微积分基本定理定积分曲边体形的面积变速直线运动的路程定积分在几何、物理中的应用3.1变化率与导数3.1.1 变化率问题丰富多彩的变化率问题随处可见.让我们从其中的两个问题，开始变化率与导数的学习吧！教学目标知识与能力掌握平均变化率的概念，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义.过程与方法(1) 体会平均变化率的思想及其内涵，通过分析实例，了解平均变化率的概念.(2)通过函数图象直观地理解平均变化率.情感态度与价值观让学生在知识的量上有所收获，体会到其中蕴含的丰富的思想，逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法.教学重难点重点体会平均变化率的思想及其内涵，求解步骤.难点平均变化率的概念及其意义.问题1 气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?● 气球的体积V(单位:L)与半径r 单位:(dm)之间的函数关系是 34V(r)=πr 3●如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么33V r(V)=4π●当V 从0增加到1时,气球半径增加 气球的平均膨胀率为 r(1)-r(0)0.62(dm)≈r(1)-r(0)(dm /L)1-00.62≈●当V 从1增加到2时,气球半径增加 气球的平均膨胀率为 r(2)-r(1)0.16(dm)≈r(2)-r(1)(dm /L)2-10.16≈ 显然0.62>0.16当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?2121()()r V r V V V --你想对了吗？问题2 高台跳水想想运动员跳水的过程？在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：秒）存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态?请计算0≦t≦0.5和1≦t≦2时的平均速度在0≦t ≦0.5这段时间里h(0.5)-h(0)（v==4.05m/s)0.5-0在1≦t ≦2这段时间里h(2)-h(1)v==-8.2m/s)（2-1探究计算运动员在这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：650t49≤≤（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题？平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态.想一想同学们，从上面的问题中能够发现什么共同点呢？总结以上两个问题都是求变化率， 我们可以用函数关系式y=f(x)来表 示. 那么变化率为 2121f(x )-f(x )x -x知识要点上述问题中的变化率可用式子 表示称为函数f(x)从x 1到x 2的平均变化率. 2121f(x )-f(x )x -x 很重要！一般我们用Δx 表示 ， 即 .21x -x 21Δx =x -x ()()21类似地,Δf =f x -f x ..于是,平均变化率可示为Δf Δx表是一个整体符号，而不是 与 相乘. 注意！ x ∆∆x很重要！例题11、已知函数f(x)=-x2的图象上的一点A(-1,-1)及临近一点B(0,0),则Δy/Δx=( )cA. 3B. 4C. 1D. -1解： =0-(-1)=1；=0-（-1）=1；y x 1y x ∆∴=∆思考•观察函数f(x)的图象平均变化率表示什么?2121f(x)-f(x)x-xOABxyY=f(x)x1 x2f(x1)f(x2) X2-x1f(x2)-f(x1)直线AB 的斜率例题2汽车在前两秒内速度由0增加到10m/s,在后两秒内增至30m/s,其运动状态如何呢？如果我们用平均速度描述其运动状态，前两秒内: v=5 (m/s) 后两秒内：v=10 (m/s) 你想对了吗？例题3想一想你还能想到生活中类似的问题吗？举个例子吧！课堂小结我们把式子 称为函数 f(x)从 到 的平均变化 率 .（ average rate of change ） ()()2121f x -f x x -x 1x 2x平均变化率的求解步骤：（1）求函数的增量Δf=Δy=f(x2)-f(x1); （2）计算平均变化率fx.2121f(x)-f(x) x-x1 、已知函数f(x)=-x 2+x 的图象上的一点A （-1,-2）及临近一点B （-1+Δx,-2+Δy ），则Δy/Δx =（ ）A . 3 B. 3Δx -(Δx)2C. 3-(Δx)2D. 3-ΔxD 随堂练习2 、函数 在区间 上的平均变化率是（ ） ()2f x =x[]-1,3A.4 B.2 1434C. D. B2Δy 3-1解：==2Δx 3-(-1)3、函数 在区间[1，1.5]上的平均变化率为_______________. 2y =2x 222-1.1 5.1.5-1y x ∆⨯==∆ 得（1.5）5解：由平均变化率的公式4、已知函数 ,则变化率可用式子_____________，此式称之为函数从 到的___________. 平均变化率可以表示为_____________. ()f x ()()2121fx -f x x -x 1x 2x 平均变化率 ΔyΔx你做对了吗？5、过曲线y=f(x)=x3上两点P（1，1）和Q （1+Δx,1+Δy）作曲线的割线，求出当Δx=0.1时割线的斜率.解：K=3Δx+(Δx)2=3+3×0.1+(0.1)2=3.31.y=f(x)6、已知一次函数在区间[-2，6]上的平均变化率为2，且函数图象过点（0，2），试求此一次函数的表达式.解：由平均变化率的含义可知该直线的斜率为2，设直线方程为y=2x+b,又因为直线经过点（0，2），代入方程得b=2.则直线方程为：y=2x+2.。
人教新课标版-数学-高二(人教B版)选修2-2教学设计 1.1.1 函数的平均变化率
1.1.1 函数的平均变化率教学目标：搞清变化率的意义，能够根据变化率研究实际问题，通过函数的图象研究函数的变化情况，利用数形结合解决实际问题. ．理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率的求法教学难点：平均变化率的概念，能够理解函数变化率的几何意义.教学过程（1）导入一：为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：一．已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等;二．求曲线的切线;三．求已知函数的最大值与最小值;四．求长度、面积、体积和重心等.导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具.(2)导入二：在研究函数的平均速度与平均增长率时经常用到平均变化率比如下面的问题就用到了平均变化率.问题1：气球膨胀率我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢?气球的体积V (单位:L )与半径r (单位:dm)之间的函数关系是334)(r r V π= 如果将半径r 表示为体积V 的函数,那么343)(πV V r =. 分析: 343)(πV V r =， 当V 从0增加到1时,气球半径增加了r (1)- r (0)≈0.62(dm)，气球的平均膨胀率为()()100.6210r r -≈-(dm/L)．当V 从1增加到2时,气球半径增加了r (2)- r (1)≈0.16(dm)，气球的平均膨胀率为()()210.1621r r -≈-(dm/L)． 可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少? 【答案】 1212)()(V V V r V r -- 问题2：高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速度v 粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，()()0.500.50h h v -==- 4.05(m/s)； 在21≤≤t 这段时间里，()()2121h h v -==--8.2(m/s). 典例分析 例：已知函数f (x )=2x x -+的图象上的一点A (-1,-2)及临近一点()1,2B x y -+∆-+∆,求y x∆∆． 解：()()2211,y x x -+∆=--+∆+-+∆∴()()21123.x xyx x x--+∆+-+∆-∆==-∆∆∆回顾总结1．平均变化率的概念2．函数在某点处附近的平均变化率布置作业。
2019_2020学年高中数学第1章1.1.1函数的平均变化率1.1.2瞬时速度与导数讲义新人教B版选修2_2
1.1.1 函数的平均变化率1.1.2 瞬时速度与导数一、函数的平均变化率函数的平均变化率的定义一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx ≠0时，商f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝ΔyΔx称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率． 二、瞬时速度与导数 1．物体运动的瞬时速度设物体运动路程与时间的关系是s ＝f (t )，当Δt 趋近于0时，函数f (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率f (t 0＋Δt )－f (t 0)Δt趋近于常数，我们把这个常数称为t 0时刻的瞬时速度．2．函数的瞬时变化率设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的瞬时变化率．记作：当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx→l .还可以说：当Δx →0时，函数平均变化率的极限等于函数在x 0的瞬时变化率l ，记作lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝l .3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率，通常称为f (x )在点x 0处的导数，并记作f ′(x 0)，即f ′(x 0)＝lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .4．函数的导数如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )可导．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f ′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f ′(x )构成一个新的函数，把这个函数称为函数y ＝f (x )的导函数．记为f ′(x )或y ′(或y ′x )．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)Δx 表示x 2－x 1，是相对于x 1的一个增量，Δx 的值可正可负，但不可为零． (2)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负，也可以为零． ( ) (3)ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))，(x 2，f (x 2))连线的斜率． ( ) (4)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数值与Δx 的正、负无关．( ) (5)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上的变化快慢的物理量．[答案] (1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)× 2.如图，函数y ＝f (x )在[1,3]上的平均变化率为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－2[解析]Δy Δx ＝f (3)－f (1)3－1＝－1． [答案] B3．函数f (x )＝x 2在x ＝1处的瞬时变化率是________________． [解析] ∵f (x )＝x 2，∴函数f (x )在x ＝1处的瞬时变化率是 lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－12Δx＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.[答案] 2A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44(2)已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．[思路探究] (1)由Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x ) ＝f (2＋0.1)－f (2)可得．(2)求Δx ＝x 2－x 1→求Δy ＝f (x 2)－f (x 1)→计算ΔyΔx[解析] (1)Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41． [答案] B(2)自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为 f (2)－f (1)2－1＝2＋12－(1＋1)1＝12；自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为 f (5)－f (3)5－3＝5＋15－⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋132＝1415.因为12<1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快．1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的增量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx的形式．1．函数y＝x2＋1在[1,1＋Δx]上的平均变化率是( ) A．2 B．2xC．2＋Δx D．2＋(Δx)2[解析]∵Δy＝(1＋Δx)2＋1－(12＋1)＝2Δx＋Δx2，∴ΔyΔx＝2Δx＋Δx2Δx＝2＋Δx，故选C.[答案] C【例2】 (1)以初速度v 0(v 0>0)垂直上抛的物体，t 秒时的高度为s (t )＝v 0t －2gt 2，则物体在t 0时刻的瞬时速度为__________．(2)某物体的运动方程为s ＝2t 3，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是__________． [思路探究] 先求出Δs Δt ，再求lim Δt →0 ΔsΔt.[解析] (1)∵Δs ＝v 0(t 0＋Δt )－12g (t 0＋Δt )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫v 0t 0－12gt 20＝v 0Δt －gt 0Δt －12g Δt 2，∴Δs Δt ＝v 0－gt 0－12g Δt ， ∴lim Δt →0 ΔsΔt＝v 0－gt 0， 即t 0时刻的瞬时速度为v 0－gt 0.(2)∵当t ＝1时，Δs ＝2(1＋Δt )3－2×13＝2[1＋(Δt )3＋3Δt ＋3(Δt )2]－2 ＝2＋2(Δt )3＋6Δt ＋6(Δt )2－2 ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt ，∴Δs Δt ＝2(Δt )3＋6(Δt )2＋6Δt Δt ＝2(Δt )2＋6Δt ＋6， ∴lim Δt →0 ΔsΔt＝6，则物体在第t ＝1时的瞬时速度是6. [答案] (1)v 0－gt 0 (2)61．求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度v ＝ΔsΔt；(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．2．一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s＝3t－t2(位移单位：m，时间单位：s)．(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t＝2时的瞬时速度；(3)求t＝0到t＝2时的平均速度．[解](1)初速度v0＝limΔt→0s(Δt)－s(0)Δt＝limΔt→03Δt－(Δt)2Δt＝limΔt→0(3－Δt)＝3，即物体的初速度为3 m/s.(2)v瞬＝llimΔt→0s(2＋Δt)－s(2)Δt＝llimΔt→03(2＋Δt)－(2＋Δt)2－(3×2－4)Δt＝limΔt→0－(Δt)2－ΔtΔt＝limΔt→0(－Δt－1)＝－1，即物体在t＝2时的瞬时速度为1 m/s，方向与初速度方向相反．(3)v＝s(2)－s(0)2－0＝6－4－02＝1，即t＝0到t＝2时的平均速度为1 m/s.一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 1．试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt ＝8－3(1＋Δt )2－(8－3×12)Δt＝－6－3Δt .2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度． 【例3】 (1)求函数f (x )＝－x 2＋x 在x ＝－1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数；(2)求函数y ＝3x 2在x ＝1处的导数．[思路探究] 求函数f (x )在任意点处的导数都应先求平均变化率，再求f ′(x 0)． [解] (1)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )＋2＝3Δx －(Δx )2，∴Δy Δx ＝3Δx －(Δx )2Δx＝3－Δx ， ∴f ′(－1)＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0(3－Δx )＝3.(2)∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝3(1＋Δx )2－3＝6Δx ＋3(Δx )2， ∴ΔyΔx＝6＋3Δx ， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 ΔyΔx＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6.1．通过本例(1)进一步感受平均变化率与瞬时变化率的关系，对于Δy 与Δx 的比值，感受和认识在Δx 逐渐变小的过程中趋近于一个固定的常数A 这一现象．2．用定义求函数在x ＝x 0处的导数的步骤(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；(2)求平均变化率Δy Δx； (3)求极限，得导数为f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx.简记为：一差、二比、三趋近．3．求函数f (x )＝x －1x在x ＝1处的导数． [解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1－11 ＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx， ∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴f ′(1)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2.1．已知函数y ＝f (x )＝2x 2的图象上点P (1,2)及邻近点Q (1＋Δx ，2＋Δy )，则Δy Δx的值为( )A ．4B ．4xC ．4＋2Δx 2D ．4＋2Δx [解析] Δy Δx ＝2(1＋Δx )2－2×12Δx＝4＋2Δx . [答案] D2．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2，其中s 的单位是：m ，t 的单位是：s ，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s[解析] ∵Δs Δt ＝1－(3＋Δt )＋(3＋Δt )2－(1－3＋32)Δt＝5＋Δt ， ∴lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(5＋Δt )＝5(m/s)．[答案] C3．质点运动规律s ＝12gt 2，则在时间区间(3,3＋Δt )内的平均速度等于________．(g ＝10 m/s 2)[解析] Δs ＝12g ×(3＋Δt )2－12g ×32＝12×10×[6Δt ＋(Δt )2]＝30Δt ＋5(Δt )2，v ＝Δs Δt＝30＋5Δt . [答案] 30＋5Δt4．一质点M 按运动方程s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)．若质点M 在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，则常数a ＝________.[解析] 因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1＝4a Δt ＋a (Δt )2，所以Δs Δt ＝4a ＋a Δt ，故当t ＝2时，瞬时速度为lim Δt →0 Δs Δt＝4a ，所以4a ＝8，所以a ＝2. [答案] 25．在曲线y ＝f (x )＝x 2＋3上取一点P (1,4)及附近一点(1＋Δx,4＋Δy )，求： (1)Δy Δx； (2)f ′(1)．[解] (1)Δy Δx ＝f (1＋Δx )－f (1)Δx＝ (1＋Δx )2＋3－(12＋3)Δx＝2＋Δx .(2)f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2.。
高中数学 1.1.1 函数的平均变化率课件 新人教B版选修2
课 时 作
学
业
“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直
课
堂 互
位移与水平位移之比Δy越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．
动
Δx
探
究
教 师 备 课 资 源
菜单
RB ·数学 选修2－2
教
学
易
教 法
函数的平均变化率的定义
错 易
分
误
析
一般地，已知函数 y＝f(x)，x0，x1 是其定义域内不同的
辨 析
课 时 作 业
教 师 备 课 资 源
RB ·数学 选修2－2
教
学
易
教
错
法
易
分
误
析
辨
析
教
学
当
方 案
1.通过实例了解函数平均变化率的
堂 双
设 计
课 前
课标 解读
意义． 2．掌握求函数f(x)在x0到x0＋Δx之 间的平均变化率的方法与步骤．(重
基 达 标
自 主
点、难点)
课 时
导
作
学
业
课 堂 互 动 探 究
易
分 析
2．过程与方法
误 辨 析
教 学
(1)通过观察直观的图形，培养学生的观察能力及抽象概 当
方
堂
案 设
括能力；
双 基
计
达
课
(2)引导学生体会特殊到一般，具体到抽象的思想方法． 标
前
自
3．情感、态度与价值观
课
主
时
导 学
(1)体会领悟不同曲线的变化率的区别；
作 业
课
(2)通过合作交流，树立自信心，形成合作意识．
函数的平均变化率(人教B版)
y y3
D1 (x3,y3)
近似看成直线段CD1.
于是此段山路的陡峭
y2 C(x2,y2)
程度可用直线CD1的斜 率近似表示:
设C(x2, y2 ), B(x3, y3)
O x2
x3
x
kCD1
y3 y2 x3 x2
y x
y
DFH
D1
C
AB
O X0 X1
X2
Xk
Xk+1
x
注意：AB段的y / x与CD段的y / x是不同的.
段时间[1，2]内的平均速度为（ C ）
A．－4
B．－8
C． －6
D．6
3. 将半径为R的球加热，若球的半径增加
△R，则球的表面积增加△S等于（ B ）
A． 8RR
B．8RR 4 R2
C．4RR 4 R2D．4 R2
4. 在曲线y=x2+1的图象上取一点(1, 2)及附
近一点(1+△x , 2+△y)，则y 为（ C ）
x
A．
x
1 x
2
B．
x
1 x
2
C． x 2 D． 2 x 1
x
课堂小结
1、平均变化率的概念：
一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定义域 内不同的两点，记△x=x1－x0，△y=y1－ y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0).
y
DF
C
AB
O X0 X1
X2
Xk
Xk+1
x
y
DFH
C
AB
人教b版高中数学课件_高二选修2-2：第一章1.1《变化率问题》
3V 如果将半径r表示为体积V的函数,那么 r (V ) 4
3
feixuejiaoyu
我们来分析一下: r (V ) 3
3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了 r (1) r (0) 0.62(dm)
r (1) r (0) 0.62(dm / L) 气球的平均膨胀率为 1 0 r (2) r (1) 0.16(dm / L) 气球的平均膨胀率为 2 1
第1章
导数及应用
1.1.1 变化率问题
feixuejiaoyu
变化率 问题
内容：函数平均变化率的概念,求函数平均 变化率的一般步骤. 求函数在某区间上的平均 变化率 求函数在某点附近的平均 变化率
应用
feixuejiaoyu
本课主要学习平均变化率的概念及内涵,掌握求平均变 化率的一般步骤.在问题引入、概念形成及概念深化都是 采用情境探究的方法 ,将有关情境材料提供给学生 ,学生 通过对这些材料进行分析、思考、提炼、探究,获得对平 均变化率概念的了解 .然后在探究的基础上 ,组织学生研 讨自己在探究中的发现 ,通过互相交流、补充、研讨 , 使 学生对平均变化率的认识从感性的认识上升到理性认识 , 获得一定水平层次的科学概念。针对平均变化率的求法 给出3个例题，通过解决具体问题强调正确应用平均变化 率的重要性。 在讲述平均变化率的应用时，采用例题与思考与探究 相结合的方法，通过3个例题。随后是课堂检测，通过设 置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材 施教。
65 h( ) h(0) 10 49
h v 0 t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 虽然运动员在这段时间里的平均速度为0(m/s)，但实际情况
高中数学选修2-2学案：1.1.1 函数的平均变化率.
2.2.1（一）综合法
【教学目标】结合已经学过的数学实例，了解直接证明的基本方法：综合法；会
用综合法证明问题；了解综合法的思考过程；体会数学逻辑推理的严谨性及数学
在现实生活中的应用.
【教学重点】了解综合法的思考过程、特点 【教学难点】综合法的思考
过程
一、课前预习：（阅读教材63页，完成知识点填空）
1．两类基本的证明方法: 和 .
2.综合法：是从 推导到 的思维方法，具体地说，是从 出发，经过逐步的 ，最后达到 .
二、课上学习：
综合法的应用：（自学63页例题，体会综合法的思考过程，探究下面例题）
例1：已知,0a b >,求证:2222
()()4a b c b c a abc +++≥.
例:2：已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证：1119a b c ++≥
三、课后练习：
1.已知,,a b c R +
∈，1a b c ++=，求证： 111(1)(1)(1)8a b c
---≥.
2.在△ABC 中，三个内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且C B A ,,成等差数列，
c b a ,,成等比数列. 求证：△ABC 为等边三角形.。
部编版2020高中数学第1章导数及其应用1.1导数学案新人教B版选修2-2
1.1 导数1．理解函数在某点的平均变化率的概念，并会求此平均变化率． 2．理解运动物体在某时刻的瞬时变化率(瞬时速度)．3．理解导数的几何意义，并会求曲线在某点处的切线方程．1．函数的平均变化率一般地，已知函数y ＝f (x )，x 0，x 1是其定义域内不同的两点，记Δx ＝x 1－x 0，Δy ＝y 1－y 0＝f (x 1)－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，则当Δx ≠0时，商________________称作函数y ＝f (x )在区间[x 0，x 0＋Δx ](或[x 0＋Δx ，x 0])的平均变化率．Δx ，Δy 的值可正、可负，但Δx 的值不能为0，Δy 的值可以为0.若函数f (x )为常数函数，则Δy ＝0.【做一做1－1】已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( )． A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44【做一做1－2】在x ＝1附近，取Δx ＝0.3，在四个函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝x 3；④y ＝1x中，平均变化率最大的是( )．A ．④ B．③ C．② D．① 2．瞬时变化率与导数(1)设函数y ＝f (x )在x 0及其附近有定义，当自变量在x ＝x 0附近改变量为Δx 时，函数值相应地改变Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．如果当Δx 趋近于0时，平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于一个常数l ，那么常数l 称为函数f (x )在点x 0的__________．(2)“当Δx 趋近于0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx趋近于常数l ”可以用符号“→”记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →l ”，或记作“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝l ”，符号“→”读作“趋近于”．函数y ＝f (x )在点x 0的瞬时变化率，通常称为f (x )在点x 0处的______，并记作f′(x 0)．这时又称f (x )在点x 0处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当Δx →0时，f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx →________”或“0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝________”．(3)如果f (x )在开区间(a ，b )内每一点x 都是可导的，则称f (x )在区间(a ，b )______．这样，对开区间(a ，b )内每个值x ，都对应一个确定的导数f′(x )．于是，在区间(a ，b )内，f′(x )构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y ＝f (x )的______，记为f′(x )或y′(或yx′)．导函数通常简称为______．(1)Δx 是自变量x 在x 0处的改变量，Δx ≠0，而Δy 是函数值的改变量，可以是零． (2)对于导函数的定义的几种形式表示如下：y′＝0lim x ∆→f (x ＋Δx )－f (x )Δx ；y′＝0limx ∆→f (x )－f (x ＋Δx )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x －Δx )－f (x )－Δx ；y′＝0lim x ∆→f (x )－f (x 0)x －x 0.【做一做2－1】若质点按规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( )． A ．6 B ．18 C ．54 D ．81【做一做2－2】已知函数f (x )在x ＝x 0处可导，则lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx( )．A ．与Δx ，x 0都有关B ．仅与x 0有关而与Δx 无关C ．仅与Δx 有关而与x 0无关D ．与x 0，Δx 均无关 3．导数的几何意义设函数y =f (x )的图象如图所示．AB 是过点A (x 0，f (x 0))与点B (x 0+Δx ，f (x 0+Δx ))的一条割线．由此割线的斜率是()()00f x x f x y x x+∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线在点A 的切线．于是，当Δx →0时，割线AB 的斜率趋近于在点A的切线AD 的斜率，即0lim x ∆→f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))的切线的斜率等于________．【做一做3－1】曲线y ＝－3x 2＋2在点(0,2)处的切线的斜率为( )． A ．－6 B ．6 C ．0 D ．不存在 【做一做3－2】下面说法正确的是( )．A ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线B ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处有切线，则f′(x 0)必存在C ．若f′(x 0)不存在，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率不存在D ．若曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处没有切线，则f′(x 0)有可能存在1．“函数f (x )在点x ＝x 0处的导数”“导函数”“导数”三者有何关系？ 剖析：(1)函数在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)是一个数值，不是变量． (2)导函数也简称导数，所以(3)函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数f′(x 0)就是导函数f′(x )在点x ＝x 0处的函数值．所以求函数在一点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算导函数在这点的函数值．2．曲线的切线与曲线只有一个公共点吗？剖析：回答是否定的．这就是我们为什么要用割线的极值位置来定义切线，而不说与曲线只有一个公共点的直线叫切线，其理由如下：在初中我们学习过圆的切线：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．圆是一种特殊的曲线，能不能将圆的切线的定义推广为一般曲线的切线的定义：直线和曲线有唯一公共点时，该直线叫做曲线在该点的切线，显然这种推广是不妥当的．观察图中的曲线C ，直线l 1虽然与曲线C 有唯一的公共点M ，但我们不能说直线l 1与曲线C 相切；而直线l 2尽管与曲线C 有不止一个公共点，我们还是说直线l 2是曲线C 在点N 处的切线．因此，对于一般的曲线，必须重新寻求曲线切线的定义．一般地，过曲线y ＝f (x )上一点P (x 0，y 0)作曲线的割线PQ ，当点Q 沿着曲线无限趋近于点P 时，若割线PQ 趋近于某一确定的位置，则称这一确定位置的直线为曲线y ＝f (x )在点P 处的切线．在这里，要注意，曲线y ＝f (x )在点P 处的切线：(1)与点P 的位置有关；(2)要依据割线PQ 是否存在极限位置来判定与求解．如有极限，则在此点处有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线．题型一 求瞬时速度【例题1】已知物体的运动方程如下：()223 1 (1<3),233 (3)t t s t t ⎧+≤⎪=⎨+-≥⎪⎩求此物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度．(位移的单位：m ，时间的单位：s )分析：先求平均变化率，即平均速度，再取极限(注意定义域的限制)．反思：质点运动的瞬时速度不同于质点在某段时间内运动的平均速度． 题型二 导数定义的应用【例题2】过曲线y ＝f (x )＝x 3上两点P (1,1)和Q (1＋Δx ,1＋Δy )作曲线的割线，求出当Δx ＝0.1时割线的斜率．分析：割线PQ 的斜率即为函数f (x )在x ＝1到x ＝1＋Δx 之间的平均变化率ΔyΔx.反思：一般地，设曲线C 是函数y ＝f (x )的图象，P (x 0，y 0)是曲线上的定点，点Q (x 0＋Δx ，y 0＋Δy )是C 上与点P 邻近的点，有y 0＝f (x 0)，y 0＋Δy ＝f (x 0＋Δx )， Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)， 割线PQ 的斜率为tan β＝Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx，曲线C 在点P 处的斜率为tan α＝0limx yx ∆→∆∆＝000()()lim x f x x f x x∆→+∆-∆.题型三 求切线方程【例题3】已知曲线C ：y ＝x 3.(1)求曲线C 上横坐标为1的点处的切线方程；(2)第(1)问中的切线与曲线C 是否还有其他公共点？分析：求切线方程可先求出切线的斜率，再应用点斜式写出切线方程；判断直线与曲线的交点个数，可联立方程组求其解的个数．反思：(1)求曲线的切线的斜率的步骤：①求函数值的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)；②求割线的斜率tan β＝ΔyΔx；③求极限0limx ∆→yx ∆∆＝0lim x ∆→00()()f x x f x x+∆-∆；④若极限存在，则切线的斜率0lim x yk x∆→∆=∆.(2)由导数的几何意义得出求切线方程的步骤： ①先求出函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f′(x 0)； ②根据点斜式得切线方程为y －y 0＝f′(x 0)(x －x 0)． 题型四 易错辨析易错点：在求曲线过某点的切线方程时，不注意判断该点是否在曲线上，而直接把点当成在曲线上求切线方程，导致方程求错，避免错误的方法是看到此类题目先判断该点是否在曲线上，然后根据不同情况求解．【例题4】试求过点M (1,1)且与曲线y ＝x 3＋1相切的直线方程．错解：Δy Δx ＝(x ＋Δx )3＋1－x 3－1Δx ＝3x (Δx )2＋3x 2Δx ＋(Δx )3Δx ＝3x Δx ＋3x 2＋(Δx )2，0lim x ∆→Δy Δx＝3x 2，因此y ′＝3x 2，所以切线在x ＝1处的斜率k ＝3.故切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.1一质点运动的方程为s ＝5－3t 2，则在时间[1,1＋Δt ]内的平均速度为( )． A ．3Δt ＋6 B ．－3Δt ＋6 C ．3Δt －6 D ．－3Δt －62设函数f (x )＝ax 3＋2，若f′(－1)＝3，则a ＝( )．A ．－1B ．12C ．1D ．133设f(x)为可导函数且满足0(1)(12)lim=12x f f x x→---,则过曲线y ＝f (x )上的点(1，f (1))的切线的斜率为( )．A ．2B ．－1C ．1D ．－24一木块沿某一斜面自由下滑，测得下滑的水平距离s (m)与时间t (s)之间的函数关系为s ＝18t 2，则t ＝2 s 时，此木块在水平方向的瞬时速度为______ m/s.5已知函数f (x )＝x －1x，则它与x 轴交点处的切线方程为____________________．答案：基础知识·梳理【做一做1－1】B ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (x ＋Δx )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝0.41.【做一做1－2】B 根据平均变化率的定义可求得四个函数的平均变化率依次为1,2.3,3.99，－1013.2．(1)瞬时变化率 (2)导数 f′(x 0) f′(x 0) (3)可导 导函数 导数【做一做2－1】B 瞬时速度v ＝lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s 3＋Δt －s 3Δt ＝lim Δt →0(3Δt ＋18)＝18.【做一做2－2】B 由导数的定义，对给定的可导函数f (x )有limx ∆→∞f x 0＋Δx －f x 0Δx ＝f′(x 0)．显然，f′(x 0)仅与x 0有关而与Δx 无关．3．f′(x 0)【做一做3－1】C f′(0)＝0lim x ∆→∞－30＋Δx2＋2－0＋2Δx＝0lim x ∆→∞(－3Δx )＝0.【做一做3－2】C 函数f (x )在一点x ＝x 0处的导数f′(x 0)的几何意义是y ＝f (x )在这一点处切线的斜率，但f′(x 0)不存在，并不能说明这一点处不存在切线，而是说明在这一点处的切线的斜率不存在，即若在这一点处的切线的斜率不存在，曲线在该点处也可能有切线．所以函数f (x )在某点可导，是相应曲线上过该点存在切线的充分不必要条件．典型例题·领悟【例题1】解：当t ＝1时，s ＝3t 2＋1，v ＝0limt ∆→∞Δs Δt ＝0limt ∆→∞s t ＋Δt －s tΔt＝0limt ∆→∞31＋Δt2＋1－3×12－1Δt＝0limt ∆→∞6Δt ＋3Δt2Δt ＝6(m/s)．当t ＝3时，s ＝2＋3(t －3)2，v ＝0lim t ∆→∞s t ＋Δt －s t Δt ＝0limt ∆→∞2＋33＋Δt －32－2－33－32Δt＝0limt ∆→∞3Δt 2Δt＝0lim t ∆→∞3Δt ＝0 (m/s)．∴物体在t ＝1和t ＝3时的瞬时速度分别为6 m/s 和0 m/s.【例题2】解：∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )3－1＝3Δx ＋3(Δx )2＋(Δx )3. ∴割线PQ 的斜率 Δy Δx＝Δx3＋3Δx 2＋3ΔxΔx＝(Δx )2＋3Δx ＋3.当Δx ＝0.1时，设割线PQ 的斜率为k ， 则k ＝Δy Δx ＝(0.1)2＋3×0.1＋3＝3.31.【例题3】解：(1)将x ＝1代入曲线C 的方程， 得y ＝1，所以切点为P (1,1)． 因为y′＝0lim x ∆→∞ΔyΔx ＝0limx ∆→∞x ＋Δx 3－x 3Δx ＝0limx ∆→∞3x 2Δx ＋3x Δx2＋Δx3Δx ＝lim x ∆→∞[3x 2＋3x Δx ＋(Δx )2]＝3x 2，所以1'|3x y ==.所以过点P 的切线方程为y －1＝3(x －1)，即3x －y －2＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝3x －1，y ＝x 3，可得(x －1)2(x ＋2)＝0，解得x 1＝x 2＝1，x 3＝－2.从而求得公共点为P (1,1)或P (－2，－8)，说明切线与曲线C有除切点外的公共点．【例题4】错因分析：错解中将点M (1,1)当成了曲线y ＝x 3＋1上的点．因此在求过某点的切线时，一定要先判断点是否在曲线上，再根据不同情况求解．正解：由错解可知y′＝3x 2，因为点M (1,1)不在曲线y ＝x 2＋1上，所以设过点M (1,1)的切线与y ＝x 3＋1相切于点P (x 0，x 30＋1)，依据导数的几何意义，函数在点P 处的切线的斜率为k ＝3x 2①，过点M (1,1)的切线的斜率k ＝x 30＋1－1x 0－1②，由①＝②得，3x 20＝x 30x 0－1，解之得x 0＝0或x 0＝32，所以k ＝0或k ＝274，因此曲线y ＝x 3＋1过点M (1,1)的切线方程有两条，分别为y －1＝274(x －1)和y ＝1，即27x －4y －23＝0和y ＝1.随堂练习·巩固 1．D v ＝5－31＋Δt2－5－3×12Δt＝－3Δt －6.2．C ∵f′(－1)＝0lim x ∆→∞f －1＋Δx －f －1Δx ＝0lim x ∆→∞[a (Δx )2－3a Δx ＋3a ]＝3a ＝3，∴a ＝1.3．Blimx ∆→∞f 1－f 1－2x 2x＝limx ∆→∞f 1－2x －f 1－2x＝20limx -→f [1＋－2x ]－f 1－2x ＝f′(1)＝－1.4．12 t ＝2 s 时瞬时速度为lim Δt →0182＋Δt 2－18×22Δt ＝lim Δt →018(4＋Δt )＝12. 5．2x －y ＋2＝0和2x －y －2＝0 令x －1x＝0，得x ＝±1，∴曲线与x 轴的交点坐标为(±1,0)，又f′(x )＝1＋1x2，∴f′(±1)＝2，∴所求切线方程为y ＝2(x ±1)，即2x －y ±2＝0.。
高中数学选修2-2课时作业5：1.1.1 变化率问题
1.1.1 变化率问题一、选择题1．在表达式00()()f x x f x x+-V V 中，Δx 的值不可能( ) A ．大于0 B ．小于0 C ．等于0 D ．大于0或小于02．函数y ＝f (x )当自变量x 由x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( )A ．f (x 0＋Δx )B ．f (x 0)＋ΔxC ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)3．已知函数f (x )＝－x 2＋x ，则f (x )从－1到－0.9的平均变化率为( )A ．3B ．0.29C ．2.09D ．2.94．已知函数f (x )＝x 2＋4上两点A 、B ，x A ＝1，x B ＝1.3，则直线AB 的斜率为( )A ．2B ．2.3C ．2.09D ．2.15．一运动物体的运动路程S (x )与时间x 的函数关系为S (x )＝－x 2＋2x ，则S (x )从2到2＋Δx 的平均速度为( )A ．2－ΔxB ．－2－ΔxC ．2＋ΔxD ．(Δx )2－2·Δx6．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，f (1＋Δx ))，则Δy Δx＝( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x二、填空题7．已知函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________________. 8．在x ＝2附近，Δx ＝14时，函数y ＝1x的平均变化率为________________． 9．已知曲线y ＝x 2－1上两点A (2,3)，B (2＋Δx,3＋Δy )，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率是____________；当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率是________________．三、解答题10．已知函数f (x )＝2x ＋1，g (x )＝－2x ，分别计算在区间[－3，－1]、[0,5]上函数f (x )及g (x )的平均变化率．三、解答题11．比较y＝x3与y＝x2在x＝2附近平均变化率的大小．12．路灯距地面8m，一个身高为1.6m的人以84m/min的速度在地面上从路灯在地面上的射影点C处沿直线匀速离开路灯．(1)求身影的长度y与人距路灯的距离x之间的关系式；(2)求人离开路灯10s内身影的平均变化率．——★ 参 考 答 案 ★——一、选择题1.[答案]C[解析]Δx 可正，可负，但不为0，故应选C.2.[答案]D[解析]由定义，函数值的改变量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故应选D.3.[答案]D4.[答案]B5.[答案]B6.[答案]B[解析]Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－2＋1＝2·(Δx )2＋4·Δx ，所以Δy Δx＝2Δx ＋4. 二、填空题7.[答案](Δx )2＋6Δx ＋128.[答案]－29[解析]Δy Δx ＝12＋Δx －12Δx ＝－14＋2Δx＝－29. 9．[答案] 5 4.1[解析]当Δx ＝1时，割线AB 的斜率k 1＝Δy Δx ＝22(2)121x x +--+V V ＝22(21)21+-＝5. 当Δx ＝0.1时，割线AB 的斜率k 2＝Δy Δx ＝22(20.1)1210.1+--+＝4.1. 三、解答题10．[解析]函数f (x )在[－3，－1]上的平均变化率为 (1)(3)[2(1)1][2(3)1]2(1)(3)2f f ---⨯-+-⨯-+==---. 函数f (x )在[0,5]上的平均变化率为(5)(0)50f f --＝2. 函数g (x )在[－3，－1]上的平均变化率为(1)(3)2(1)(3)g g ---=----. 函数g (x )在[0,5]上的平均变化率为(5)(0)250g g -=--.11．[解析]当自变量x 从x ＝2变化到x ＝2＋Δx 时，y ＝x 3的平均变化率k 1＝33(2)2x x+-V V ＝(Δx )2＋6Δx ＋12， y ＝x 2的平均变化率k 2＝22(2)2x x+-V V ＝Δx ＋4， ∵k 1－k 2＝(Δx )2＋5Δx ＋8＝(Δx ＋52)2＋74>0，∴k 1>k 2. ∴在x ＝2附近y ＝x 3的平均变化率较大．12.[解析](1)如图所示，设人从C 点运动到B 处的路程为x m ，AB 为身影长度，AB 的长度为y m ，由于CD ∥BE ，则AB AC ＝BE CD ，即y y ＋x ＝1.68，所以y ＝f (x )＝14x .(2)84m/min ＝1.4m/s ，在[0,10]内自变量的增量为x 2－x 1＝1.4×10－1.4×0＝14，f (x 2)－f (x 1)＝14×14－14×0＝72.所以2121()()f x f x x x --＝7214＝14. 即人离开路灯10s 内身影的平均变化率为14.。
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【成才之路】2017-2018学年高中数学 第1章 1.1第1课时 函数的
平均变化率课时作业 新人教B版选修2-2
一、选择题
1．在表达式fx0＋Δx－fx0Δx中，Δx的值不可能( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．大于0或小于0
[答案] C
[解析] Δx可正，可负，但不为0，故应选C.
2．自由落体运动的公式为s(t)＝12gt2(g＝10m/s2)，若v＝s＋Δt－sΔt，则下
列说法正确的是( )
A．v是在0～1s这段时间内的速率
B．v是从1s到(1＋Δt)s这段时间内的速率
C．5Δt＋10是物体在t＝1s这一时刻的速率
D．5Δt＋10是物体从1s到(1＋Δt)s这段时间内的平均速率
[答案] D
[解析] v＝s＋Δt－sΔt＝5Δt＋10，
由平均速度的定义可知选D.
3．一质点运动的方程为s＝5－3t2，则在一段时间[1,1＋Δt]内相应的平均速度为
( )
A．3Δt＋6 B．－3Δt＋6
C．3Δt－6 D．－3Δt－6
[答案] D
[解析] ΔsΔt＝s＋Δt－sΔt
＝5－＋Δt2－5＋3Δt
＝－3Δt－6.
4．函数y＝1x在x＝1到x＝2之间的平均变化率为( )
A．－1 B．－12
C．－2 D．2
[答案] B
[解析] ΔyΔx＝12－11＝－12.
5．函数f(x)＝2x＋1在区间[1,5]上的平均变化率为( )
A.115 B．－115
C．2 D．－2
[答案] C
[解析] ΔyΔx＝fx2－fx1x2－x1＝f－f5－1＝2.
6．在曲线y＝x2＋1的图象上取一点(1,2)及附近一点(1＋Δx,2＋Δy)，则ΔyΔx为( )
A．Δx＋1Δx＋2 B．Δx－1Δx－1
C．Δx＋2 D．Δx－1Δx＋2
[答案] C
[解析] ΔyΔx＝＋Δx2＋1－12－1Δx＝Δx＋2.
7．一质点的运动方程是s＝4－2t2，则在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度是( )
A．2Δt＋4 B．－2Δt＋4
C．2Δt－4 D．－2Δt－4
[答案] D
[解析] ΔsΔt＝4－＋Δt2－4＋2×12Δt＝－2Δt－4.
8．在x＝1附近，取Δx＝0.3，在四个函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝1x中，平
均变化率最大的是( )
A．④ B．③
C．② D．①
[答案] B
[解析] Δx＝0.3时，①y＝x在x＝1附近的平均变化率k1＝1；②y＝x2在x＝1附近
的平均变化率k2＝2＋Δx＝2.3；③y＝x3在x＝1附近的平均变化率k3＝3＋3Δx＋(Δx)2＝
3.99；④y＝1x在x＝1附近的平均变化率k4＝－11＋Δx＝－1013.∴k3＞k2＞k1＞k4.故选B.
二、填空题
9．一物体运动方程是s＝2t2，则从2s到(2＋Δt)s这段时间内位移的增量Δs为
________．
[答案] 8Δt＋2(Δt)2
[解析] Δs＝2(2＋Δt)2－2(22)
＝2[4＋4Δt＋(Δt)2]－8
＝8Δt＋2(Δt)2.
10．函数f(x)＝8x－6在区间[m，n]上的平均变化率为________．
[答案] 8
[解析] fn－fmn－m＝n－－m－n－m＝8.
11．已知函数y＝x3－2，当x＝2时，ΔyΔx＝________.
[答案] (Δx)2＋6Δx＋12
[解析] ΔyΔx＝＋Δx3－2－23＋2Δx＝(Δx)2＋6Δx＋12.
12．函数y＝x在x＝1附近，当Δx＝12时平均变化率为________．
[答案] 6－2
[解析] ΔyΔx＝1＋Δx－1Δx＝11＋Δx＋1＝6－2.
三、解答题
13．求函数f(x)＝x2＋3在[3,3＋Δx]内的平均变化率．
[解析] ΔyΔx＝f＋Δx－fΔx
＝＋Δx2＋3－2－3Δx
＝6Δx＋Δx2Δx
＝Δx＋6.
一、选择题
1．函数y＝f(x)，当自变量从x0到x1时，函数值的增量与相应自变量的增量之比是函
数( )
A．在区间[x0，x1]上的平均变化率
B．在x0处的变化率
C．在x1处的变化率
D．在[x0，x1]上的变化率
[答案] A
2．已知曲线y＝14x2和这条曲线上的一点P1，14，Q是曲线上点P附近的一点，则点
Q
的坐标为( )
A.1＋Δx，14Δx2
B.Δx，14Δx2
C.1＋Δx，14Δx＋2
D.Δx，14＋Δx2
[答案] C
3．函数y＝－x2、y＝1x、y＝2x＋1、y＝x在x＝1附近(Δx很小时)，平均变化率最
大的一个是( )
A．y＝－x2 B．y＝1x
C．y＝2x＋1 D．y＝x
[答案] C
[解析] y＝－x2在x＝1附近的平均变化率为k1＝－(2＋Δx)；y＝1x在x＝1附近的平
均变化率为k2＝－11＋Δx；y＝2x＋1在x＝1附近的平均变化率为k3＝2；y＝x在x＝1附
近的平均变化率为k4＝11＋Δx＋1；当Δx很小时，k1<0，k2<0,0
4．物体做直线运动所经过的路程s可以表示为时间t的函数s＝s(t)，则物体在时间
间隔[t0，t0＋Δt]内的平均速度是( )
A．v0 B．Δtst0＋Δt－st0
C.st0＋Δt－st0Δt D．stt
[答案] C
[解析] 由平均变化率的概念知C正确，故应选C.
二、填空题
5．在x＝2附近，Δx＝14时，函数y＝1x的平均变化率为________．
[答案] －29
[解析] ΔyΔx＝12＋Δx－12Δx＝－14＋2Δx＝－29.
6．已知圆的面积S与其半径r之间的函数关系为S＝πr2，其中r∈(0，＋∞)，则当
半径r∈[1,1＋Δr]时，圆面积S的平均变化率为________．
[答案] 2π＋πΔr
[解析] ΔSΔr＝＋Δr2·π－π·12Δr＝2π＋π·Δr.
7．函数y＝cosx在x∈0，π6时的变化率为________；在x∈π3，π2时的变化率为
________．
[答案] 33－6π －3π
[解析] 当x∈0，π6时，ΔyΔx＝cosπ6－cos0π6－0＝33－6π；
当x∈π3，π2时，ΔyΔx＝cosπ2－cosπ3π2－π3＝0－12π6＝－3π.
因此，y＝cosx在区间0，π6和区间π3，π2上的平均变化率分别是33－6π和－3π.
三、解答题
8．已知函数f(x)＝2x＋1，g(x)＝－2x，分别计算在下列区间上f(x)及g(x)的平均变
化率：
(1)[－3，－1]；(2)[0,5]．
[解析] (1)函数f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为f－－f－－－－
＝－＋1]－－＋1]2＝2，
g(x
)在区间[－3，－1]上的平均变化率为
g－－g
－
－－－
＝[－－－[－－2＝－2.
(2)函数f(x)在区间[0,5]上的平均变化率为
f－f
5－0
＝＋－＋5＝2，
g(x
)在区间[0,5]上的平均变化率为
g－g
5－0
＝－2×5－－5＝－2.
9．已知函数y＝f(x)＝x3＋x，证明函数f(x)在任意区间[x，x＋Δx]上的平均变化率
都是正数．
[证明] ΔyΔx＝fx＋Δx－fxΔx
＝x＋Δx3＋x＋Δx－x3－xΔx
＝3x2＋1＋3xΔx＋(Δx)2
＝3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1.
由于方程3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1＝0的判别式为(3Δx)2－4×3[(Δx)2＋1]＝－
3(Δx)2－12<0，
则3x2＋3Δx·x＋(Δx)2＋1>0对一切x∈R恒成立，所以fx＋Δx－fxΔx>0，故
f(x)在任意区间[x，x＋Δx
]上的平均变化率都是正数．