人教版八年级数学下册竞赛专题04 初识非负数.doc
初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题04 初识非负数_答案[精品]
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专题04 初识非负数例1－2或－8例2B提示：｜a－b｜，｜a－c｜中必有一个为0，一个为1，不妨设｜a－b｜＝0，｜a－c｜＝1，则a＝b，｜b－c｜＝1，原式＝0＋1＋1＝2．例3 6 提示：由题意得x1＝1，x2＝1，…，x2003＝2003，原式＝2－22－23－…－22002－22003＝22003－22002－…－23－22＋2＝22002（2－1）－22001－…－22＋2＝22002－22001－…－22＋2＝…＝24－23－22＋2＝23（2－1）－22＋2＝23－22＋2＝6．例4－1或7 提示：分下列四种情形讨论：（1）若a，b，c均为正数，则ab>0，ac>0，bc>0，原式＝＝7；（2）若a，b，c中恰有两个正数，不失一般性，可设a>0，b>0，c<0，则ab>0，ac<0，bc<0，abc<0，则原式＝－1；（3）若a，b，c中只有一个正数，不失一般性，可设a>0，b<0，c<0，则ab<0，ac<0，bc>0，abc>0，则原式＝－1；（4）若a，b，c均为负数，则ab>0，bc>0，ac>0，abc<0，原式＝－1．例5根据绝对值的几何意义，题意可理解为“从数轴上点1出发，每次走一个整点，分别到达点2，点3，点4，点5，点6，最后回到点1，最少路程为多少?”为避免重复，从左到右走到6，再从右到左走到1为最短路线，取x1＝1，x2＝2，x3＝3，x4＝4，x5＝5，x6＝6，则S＝1＋1＋1＋1＋1＋5＝10，（也可以取x1＝1，x2＝4，x3＝6，x4＝5，x5＝3，x3＝2）．例6根据｜2a－b－1｜＝0知2a－b－1＝0，即b＝2a－1．代人原式中，得（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a ＋4．对3a－1的取值分情况讨论为：（1）当3a－1＞0，即a＞13时，∵（3a－1）2＞0，｜2a＋4｜＞0，2a＋4＞0．∴（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（2）当3a－1＜0，即a＜13时，①若2a＋4≤0，而（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞0，矛盾．②若2a＋4＞0，则（3a－1）2＋｜2a＋4｜＞2a＋4，矛盾．（3）当3a－1＝0，即13a 时，（3a－1）2＋｜2a＋4｜＝2a＋4成立，得b＝－13．综上可知a＝13，b＝－13，ab＝－19．A级1．（4）2．－2 33．1－2c＋b提示：－1<c<0<a<b∴c－1<0，a－c>0，a－b<0．∴原式＝1－c＋a－c＋b－a＝1－2c＋b．4．2 提示：原式变形为｜b －2｜＝2－b ，｜a －b ｜＝b －a ．∴b －2≤0，a －b ≤0．又∵a ≠b ，∴a <b ≤2．又∵a ，b 为正整数，故a ＝1，b ＝2．5．4 6．A 7．A 8．B 9．D 10．A11．－1 提示：a ，b ，c 中不能全为正值，也不能全为负数，只能是一正二负或二正一负，原式值都为－1．12．∵｜a －b ｜<9，｜c －d ｜≤16，故｜a －b ｜＋｜c －d ｜<25．又∵25＝｜a －b －c ＋d ｜＝｜(a －b )＋(d －c )｜≤｜a －b ｜＋｜c －d ｜<25，∴｜a －b ｜＝9，｜c －d ｜＝16，故原式＝9－16＝－7．B 级1．1 2．200320043．2 4．1或－3 5．－94 6．C 提示：利用绝对值的几何意义，结合数轴进行分析，当x 取15时，原式有最小值15．7．A 提示：b ＝－ka 且k >0．故｜b ｜ ＝k ｜a ｜，代人原式中，原式＝|a -k |a ||+||a |+2ka |k |a |． 当a ＞0时，原式＝|(1)|+|(2+1)|(1)+(2+1)==3k a k a k a k a ka ka --； 当a ＜0时，原式＝|(1)|+|(21)|(1)(21)==3k a k a k a k a ka ka+--+----． 故原式＝3．8．B 提示：分0≤a ≤2，2<a ≤3，3<a ≤4三种情况讨论．9．B 10．C11．提示：a ，b ，c 中不能全同号，必一正二负或二正一负，得a ＝－(b ＋c )，b ＝－(c ＋a )，c ＝－(a ＋b )，即1a b c =-+，1b a c =-+，1c b a =-+，∴||a b c +，||b a c +，||c b a+中必有两个同号，另一个符号与其相反，即其值为两个＋1，一个－1或两个－1，一个＋1，1＝1，原式＝1902．。
初中数学竞赛精品标准教程及练习48非负数
初中数学竞赛精品标准教程及练习48非负数教程部分：第一章：数与式的认识1.数的认识和计算（十进制、分数、百分数）2.四则运算的规则和性质（加、减、乘、除）3.代数式的认识和计算（表达式、方程式）4.点、线、面的认识和性质5.常见数的表示方法（科学计数法、循环小数）6.数列的认识和性质（等差数列、等比数列）第二章：方程与不等式1.一次方程的解与应用2.二次方程的解与应用3.一元二次不等式的解与应用4.一次不等式的解与应用5.复合不等式的解与应用6.根与系数的关系第三章：几何与图形1.初中几何基本概念（点、线、面、角、圆）2.相交线的性质与应用（相交线、平行线、垂直线）3.三角形的性质与应用（等腰三角形、直角三角形）4.四边形的性质与应用（矩形、正方形、菱形、平行四边形）5.圆的性质与应用（圆心角、圆周角、弧）6.空间几何与图形的投影应用第四章：函数与图像1.实数的认识和性质2.函数的认识和性质（定义域、值域、图像）3.一次函数的性质与图像（斜率、截距）4.二次函数的性质与图像（开口方向、顶点坐标）5.指数函数与对数函数的性质与图像（增减性、单调性）6.函数的复合与反函数（复合函数、反函数的求解）第五章：统计与概率1.数据的整理和分析（频数、频率、分布图）2.中心与离散的认识和计算（平均数、标准差）3.概率的认识和计算（事件的概率、相互关系）4.抽样与调查的方法与应用（随机抽样、问卷调查）5.实际问题的建立与解决（应用统计与概率知识解决问题）练习部分：第一章练习题目50道，包括选择题、填空题、计算题等，针对数与式的认识和计算。
第二章练习题目50道，包括选择题、计算题、解答题等，针对方程与不等式的解与应用。
第三章练习题目50道，包括选择题、计算题、证明题等，针对几何与图形的性质和应用。
第四章练习题目50道，包括选择题、计算题、图像题等，针对函数与图像的性质和应用。
第五章练习题目50道，包括选择题、计算题、应用题等，针对统计与概率的计算和应用。
初中数学课件：巧用“非负数”性质解题(2021年人教版)
变式：
(4)平方数、绝对值与二次根式之和为0
即若 a2＋|b |＋ c 0， 则a=b=c=0.
变式：
同步课程之初一专题复习课： 巧用“非负数”性质解题
正数和零统称为非负数. 目前实数中常见的非负数有：
①绝对值 a ；
②偶数次幂 a 2n ；
③非负数的算术平方根 a (a 0) .
非负数有如下常用的性质： (1)非负数大于或等于0. (2)非负数中含有有理数和无理数. (3)非负数的和或积仍是非负数. (4)若非负数的和为0，则每个非负数必等于0.
一、单一型
(1)平方数之和为0 即若a2＋b2=0，则a=b=0. 1.已知(2x+4)2+(1－3y)2=0，
则2x+y的值ຫໍສະໝຸດ ______.一、单一型(2)绝对值之和为0
即若|a|＋|b|=0，则a=b=0.
2.已知|a-3|+|b-4|=0，则 a b =
.
ab
变式：已知实数a在数轴上的位置如图所示，
则| 10 -a|+| 2 -a|=
．
一、单一型
(3)二次根式之和为0
即若 a b 0，则a=b=0.
3.
变式：
二、复合型
(1)平方数与绝对值之和为0 即若a2＋|b|=0，则a=b=0.
(2)平方数与二次根式之和为0
即若 a2＋ b 0，则a=b=0.
变式：
(3)绝对值与二次根式之和为0 即若|a|＋ b =0，则a=b=0.
初中数学竞赛标准教程及练习04：零的特性
初中数学竞赛标准教程及练习04：零的特性初中数学竞赛精品标准教程及练习（4）零的特性一、内容提要1.零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。
零是自然数，是整数，是偶数。
零是表示具有相反意义的量的基准数。
例如：海拔0米的地方表示它与基准的海平面一样高收支衡可记作结存0元。
零是判定正、负数的界限。
若a ＞0则a是正数，反过来也成立，若a是正数，则 a＞0记作 a＞0 a是正数读作a＞0等价于a是正数b_lt;0 b 是负数c≥0 c是非负数（即c不是负数，而是正数或0）d 0 d是非正数 (即d不是正数，而是负数或0)e 0 e不是0 （即e不是0，而是负数或正数）在一切非负数中有一个最小值是0。
例如绝对值、平方数都是非负数，它们的最小值都是0。
记作：|a|≥0，当a=0时，｜a｜的值最小，是0，a2≥0，a2有最小值0（当a=0时）。
在一切非正数中有一个最大值是0。
例如－|_|≤0，当_＝0时，－|_|值最大，是0，（∵_≠0时都是负数），22 －（_－2） 0，当_＝2时，－（_－2）的值最大，是0。
2，零具有独特的运算性质乘方：零的正整数次幂都是零。
2，除法：零除以任何不等于零的数都得零；零不能作除数。
从而推出，0没有倒数，分数的分母不能是0。
乘法：零乘以任何数都得零。
即a__215;0＝0，反过来如果 ab=0,那么a、b中至少有一个是0。
要使等式_y=0成立,必须且只需_=0或y=0。
加法互为相反数的两个数相加得零。
反过来也成立。
即a、b互为相反数 a+b=0减法两个数a和b的大小关系可以用它们的差的正负来判定，若a-b=0,则a=b; 若a-b＞0,则a＞b; 若a-b＜0,则a＜b。
反过来也成立，当a=b时，a-b=0；当a_gt;b时,a-b_gt;0；当a_lt;b时,a-b_lt;0.三，在近似数中，当0作为有效数字时，它表示不同的精确度。
例如近似数1.6米与1.60米不同，前者表示精确到0.1米（即1分米）,误差不超过5厘米；后者表示精确到0.01米（即1厘米），误差不超过5毫米。
人教版八年级数学下册理科竞赛数学拓展专题训练
初二下理科竞赛数学拓展专题训练第1讲《二次根式》 一:典型例题例题1:.已知n 24是整数,则正整数n 的最小值是（ ） A.4 B.5 C.6 D.2 变式练习:8n 是整数,则正整数n 的最小值是__________.例题2:化简下列各题: （1）当2＜m ＜3时,化简33m -269m m -+－32(4)m -（2）实数a ,b 在数轴上的位置如图所示,化简:2(1)a -－2b -+222a ab b -+.例题3:阅读材料,解答问题:例:若代数式(1)2a -+2(3)a -的值是常数2,则a 的取值范围是 1≤a ≤3 .分析:原式＝1a -+3a -,我们知道a 表示数a 在数轴上的点到原点的距离,则1a - 表示数a 在数轴上的点到数1的点的距离,所以我们可以借助数轴进行分析.解:原式＝1a -+3a -,在数轴上看,讨论a 在数1表示的点左边,在数1表示的点和数3表示的点之间,还是在数3表示的点右边,分析可知:当1≤a ≤3时,1a -+3a -＝a －1+3-a ＝2,故a 的范围是1≤a ≤3.问题:（1）此例题的解答过程中用了哪些数学思想？请列举.（2）运用上述解题思想,化简:244a a -++22510a a -+.例题4:若()2333n m a +=+,且n m a ,,均为正整数,求a 的值．变式练习:已知a 为实数,求代数式2284a a a +--+-的值例题5:如图,在Rt △ABC 中,∠BAC ＝90°,AD 为BC 边长的 中线,若AD ＝5,△ABC 的周长为6+25,则△ABC 的面积是________.课堂练习一、选择题 1、设4a ,小数部分为b ,则21--b a 的值为( ) A.222B.222D.2、已知1a a +=则21⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 的值为（ ）(():3=3计算A. 237+ B. 237- C. 273-D. 237--4.=化简()A.B. 22D. 2二、填空题5、已知12y y ==2212_________y y +=6、已知:()260a +=,则224b b a --的值为_________7、已知a a a =-+-20172016,求_______20162=-a 8、若m =,则m 5－2m 4－2016m 3的值是________三．解答题: 9、计算下列各式:（1）44.1-21.1 （2）2328-+（3）0)31(33122-++ （4）2)75)(75(++-（5）()()123123+--+（6）50＋122+－412＋2(2－1)010、已知()0112=-+-ab a ,求)017 2)(017 2(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值11、如图,已知等腰△ABC 中,AB ＝AC ,D 是BC 边上的一点,DE ⊥AB ,DF ⊥AC ,E ,F 分别为垂足,若DE +DF ＝22,△ABC 的面积为32+26,试求AB 的长.第2讲《一元二次方程》一:典型例题例题1:如果关于x 的一元二次方程2(1)10a x ax -++=的一个整数根恰好是关于x 的方程22()330m m x mx ++-=的一个根,试求a 和m 的值变式练习: 已知关于x 的方程22(2)23m m x x ---=是一元二次方程,求m 的值。
人教版八年级数学下学期期末重难点知识专题04一次函数重难点知识1(解析版).doc
学校班级姓名1【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】2专题04 一次函数期末总复习重难点知识一遍过1一、基础知识点综述基础讲解基 础 知 识函数与变量一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x 与y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数.常见自变量取值范围：00100y x x y x xy x x =≥=≠=≠ ()() ()常量：其值在变化过程中始终保持不变的量叫常量. 变量：其值在变化过程中会发生变化的量叫变量. 正比例函数 解析式 y =kx （k ≠0）形状一条过（0,0）、（1，k ）的直线 坐标系中位置k >0时过一、三象限；k <0时过二、四象限 增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小一次函数解析式 y =kx +b （k ≠0）形状一条过（0,b ）、（bk-，0）的直线 坐标系中位置k >0，b >0时过一、二、三象限；k >0,b <0时过一、三、四象限；k <0，b >0时过一、二、四象限；k <0,b <0时过二、三、四象限增减性k >0时，y 随x 的增大而增大；k <0时，y 随x 的增大而减小【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】3基 础 知 识一次函数图象的位置关系 l 1∥l 2，则k 1=k 2，b 1≠b 2；l 1⊥l 2，则k 1·k 2=－1一次函数图象平移 上下平移与b 有关，上加下减；左右平移与x 有关，左加右减一次函数图象的对称y =kx +b 关于y 轴对称的解析式为：y =－kx +b ；y =kx +b 关于x 轴对称的解析式为：y =－kx －b ；一次函数与二元一次方程组方程组的解是两条直线的交点坐标一次函数与不等式会借助图象判断y =0，y <0，y >0时自变量取值范围；会借助图象判断y 1=y 2，y 1<y 2，y 1>y 2时自变量取值范围；求一次函数解析式方法待定系数法上表中，l 1：y 1=k 1x +b 1；l 2：y 2=k 2x +b 2二、典型例题讲解题1. （1）函数11y x x=+-自变量的取值范围是（2）函数()02y x x=--自变量的取值范围是（3）函数214y x x =-+自变量的取值范围是（4）在三角形中，它的一条边是a ，这条边上的高是h ，则其面积S =0.5ah ，当a 为定长时，在此式中变量是，常量是（5）将一盛有部分水的圆柱形小玻璃杯放入事先没有水的大圆柱形容器内，现用一注水管沿大容器内壁匀速注水（如图所示），则小水杯内水面的高度h （cm ）与注水时间t （min ）的函数图象大致为（ ）【答案】（1）x ≥－1且x ≠0；（2）x >0且x ≠2；（3）全体实数；（4）S 、h ；0.5、a ；（5）B ；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】4【解析】解：（1）由10x x +≥⎧⎨≠⎩，解得：x ≥－1且x ≠0；（2）由020x x >⎧⎨-≠⎩，解得：x >0且x ≠2；（3）由2211042x x x ⎛⎫-+=-≥ ⎪⎝⎭，得x 为全体实数；（4）由题意知S 随h 的变化而变化，所以S 和h 是变量，a 、0.5是常量；（5）通过分析可知，在注水开始至水面与小玻璃杯水面平齐过程中，水面高度不变，随后增大至最大后不再变化，故选B .题2. （1）正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大,则一次函数y =x +k 的图象过象限；（2）若函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，则m 的取值范围（3）在平面直角坐标系中，将直线l 1：y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，则应向上平移个单位，或向右平移个单位；（4）已知点A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数y =﹣x +9的图象上，则y 1y 2（5）直线y =k 1x +b 1（k 1＞0）与y =k 2x +b 2（k 2＜0）相交于点（﹣2，0），且两直线与y 轴围成的三角形面积为4，那么b 1﹣b 2等于（6）一次函数y =（m 2-4）x +（1-m ）和y =（m -1）x +m 2-3的图象与y 轴分别交于点P 和点Q ，若点P 与点Q 关于x 轴对称，则m =（7）函数y =－2x ＋4的图象上存在点P ，使得点P 到y 轴的距离等于1，则点P 的坐标为 . （8）过点（﹣1，7）的一条直线与x 轴，y 轴分别相交于点A ，B ，且与直线123+-=x y 平行.则在线段AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是【答案】（1）一、二、三；（2）m <－1；（3）5，53；（4）>；（5）4或－4；（6）－1； （7）（1,2）或（－1,6）；（8）（1,4）、（3,1）；【解析】解：（1）∵正比例函数y =kx (k ≠0)的函数值y 随x 的增大而增大， ∴k >0，则y =x +k 的图象过一、二、三象限；（2）∵函数y =(m +1)x ﹣(4m ﹣3)的图象在第一、二、四象限，【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】5∴()10430m m +<⎧⎨-->⎩，解得：m <－1；（3）y =-3x -3平移后，得到直线l 2：y =-3x +2，可向上平移5个单位；设向右平移m 个单位，则y =－3（x －m ）－3，即－3（x －m ）－3=－3x +2，解得：m =53即向右平移53个单位； （4）y =﹣x +9中，y 随x 的增大而减小，因为A （﹣5，y 1），B （10，y 2）在一次函数图象上， 而－5<10，所以y 1>y 2 （5）由题意知：12122S b b =⨯⨯-， 即121422b b =⨯⨯-解得：b 1﹣b 2=4或－4 （6）由题意知：221304010m m m m ⎧-+-=⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得：m =－1； （7）点P 到y 轴的距离等于1，则P 点的横坐标为1或－1， 在y =－2x ＋4中，当x =1时，y =2；x =－1时，y =6， 即P 点坐标为（1,2）或（－1,6）；（8）设直线AB 解析式为y =kx +b ，由题意知：k =32-， 将（﹣1，7）代入得：7=32-×（－1）+b ，解得：b =112， 即直线AB 解析式为：y =32-x +112，整理得：2y +3x =11，由题意知x 、y 均为整数时，有x =1，y =4；x =3，y =1，即符合要求的点的坐标是（1,4）、（3,1）. 题3. （1）一次函数y =kx +b ，当1≤x ≤4时，3≤y ≤6，求k 、b 的值.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】6【答案】见解析.【解析】解：①当k >0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =3；x =4，y =6，代入y =kx +b 得：346k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：12k b =⎧⎨=⎩ ②当k <0时，由当1≤x ≤4时，3≤y ≤6得： x =1，y =6；x =4，y =3，代入y =kx +b 得：643k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得：17k b =-⎧⎨=⎩即k =1，b =2或k =－1，b =7.（2）如图3-1,函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4),则不等式2x <ax +4的解集为图3-1【答案】x <2.【解析】解：因为函数y =2x 和y =ax +4的图象相交于点A (m ,4)， 所以当y =4时，x =2，由图象知：不等式2x <ax +4的解集为x <2.（3）甲骑摩托车从A 地去B 地,乙开汽车从B 地去A 地,同时出发,匀速行驶，各自到达终点后停止,设甲、乙两人间距离为s (千米)，甲行驶的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数关系如图3-2所示.有下列结论：①出发1小时时，甲、乙在途中相遇； ②出发1.5小时时，乙比甲多行驶了60千米； ③出发3小时时，甲、乙同时到达终点； ④甲的速度是乙速度的一半． 其中正确结论是.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】7图3-2【答案】①②④.【解析】解：由图象可得：出发1小时，甲、乙在途中相遇，故①正确；甲骑摩托车的速度为：120÷3=40（千米/小时），设乙开汽车的速度为a 千米/小时， 则120140a=+，解得：a =80，∴乙开汽车的速度为80千米/小时， ∴甲的速度是乙速度的一半，故④正确；∴出发1.5小时，乙比甲多行驶了：1.5×（80-40）=60（千米），故②正确； 乙到达终点所用的时间为1.5小时，甲得到终点所用的时间为3小时，故③错误； ∴正确的结论是①②④.题4. 如图4-1所示,在平面直角坐标系xOy 中,矩形ABCD 的AB 边在x 轴上,AB =3,AD =2,经过点C 的直线y =x ﹣2与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ．（1）求：①点D 的坐标；②经过点D ,且与直线FC 平行的直线的函数表达式；（2）直线y =x ﹣2上是否存在点P ,使得△PDC 为等腰直角三角形？若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．（3）在平面直角坐标系内确定点M ,使得以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M 的坐标．图4-1【答案】见解析.【解析】解：（1）①设点C的坐标为（m，2），∵点C在直线y=x﹣2上，∴2=m﹣2，解得m=4，即点C的坐标为（4，2），∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=3，AD=BC=2，∴点D的坐标为（1，2）；②设经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+b，将D（1，2）代入y=x+b，得b=1，∴经过点D且与FC平行的直线函数表达式为y=x+1；（2）存在．∵△EBC为等腰直角三角形，∴∠CEB=∠ECB=45°，∵DC∥AB，∴∠DCE=∠CEB=45°，∴△PDC是以P、D为直角顶点的等腰直角三角形，如图4-2所示，图4-2①当∠D=90°时，延长DA与直线y=x﹣2交于点P1，8【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】9∵点D 的坐标为（1，2）， ∴点P 1的横坐标为1，把x =1代入y =x ﹣2得，y =﹣1，即P 1（1，﹣1）；②当∠DPC =90°时，作DC 的垂直平分线与直线y =x ﹣2的交点即为点P 2， 点P 2的横坐标为52， 将x =52代入y =x ﹣2得，y =12，即P 2（52，12）， 综上所述，符合条件的点P 的坐标为（1，﹣1）、（52，12）； （3）当y =0时，x ﹣2=0，解得x =2， ∴OE =2，∵以点M 、D 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形， ①若DE 是对角线，则EM =CD =3， OM =EM ﹣OE =3﹣2=1， 点M 的坐标为（﹣1，0），②CE 是对角线，则EM =CD =3，OM =OE +EM =2+3=5， 点M 的坐标为（5，0），③CD 是对角线，则平行四边形的中心坐标为（52，2）， 设点M 的坐标为（x ，y ）， 则2522x +=，22y=， 解得x =3，y =4，此时，点M 的坐标为（3，4），综上所述，点M 的坐标为（﹣1，0），（5，0）（3，4）．题5. 小华和爸爸上山游玩，爸爸乘电缆车，小华步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小华行走到缆车终点的路程是爸爸乘缆车到山顶的线路长的2倍，爸爸在小华出发后50min 才乘上电缆车，电缆车的平均速度为180m /min ．设小华出发x （min ）行走的路程为y （m ），图5-1中的折线表示小华在整个行走过程中y （m ）与x （min ）之间的函数关系．（1）小华行走的总路程是＿＿＿＿＿m ，他途中休息了＿＿＿＿＿min ； （2）当50≤x ≤80时，求y 与x 的函数关系式；【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】10（3）当爸爸到达缆车终点时，小华离缆车终点的路程是多少？图5-1【答案】（1）3600，20；（2）（3）见解析. 【解析】解：（2）①当50≤x ≤80时， 设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ， 根据题意，当x =50时，y =1950； 当x =80时，y =3600，得：195050360080k bk b =+=+⎧⎨⎩解得k =55，b =－800，∴函数关系式为：y =55x －800；（3）缆车到山顶的线路长为3600×2=1800米， 缆车到达终点所需时间为1800÷180=10分钟 小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60分钟， 把x =60代入y =55x ﹣800，得y =55×60﹣800=2500， ∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600﹣2500=1100米.题6. 某校运动会需购买A 、B 两种奖品.若购买A 种奖品3件和B 种奖品2件，共需60元；若购买A 种奖品5件和B 种奖品3件，共需95元.(1)求A 、B 两种奖品单价各是多少元？(2)学校计划购买A 、B 两种奖品共100件，购买费用不超过1150元，且A 种奖品的数量不大于B 种奖品数量的3倍.设购买A 种奖品m 件，购买费用为W 元，写出W （元）与m （件）之间的函数关系式，求出自变量m 的取值范围，并确定最少费用W 的值.【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】11【解析】解：（1）设A 奖品的单价是x 元，B 奖品的单价是y 元，由题意，得：60329553x y x y =+=+⎧⎨⎩， 解得：1015x y ==⎧⎨⎩．答：A 奖品的单价是10元，B 奖品的单价是15元；（2）由题意，得W =10m +15（100-m ）=-5m +1500∴()150051150310m m m -≤≤-⎧⎨⎩， 解得：70≤m ≤75．∵m 是整数，∴m =70，71，72，73，74，75．在W =-5m +1500中，∴-5＜0，∴W 随m 的增大而减小，∴m =75时，W 最小=1125．∴应买A 种奖品75件，B 种奖品25件，才能使总费用最少为1125元．题7. 在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx ＋4(k ≠0)与y 轴交于点A .(1)如图，直线y =-2x ＋1与直线y =kx ＋4(k ≠0)交于点B ，与y 轴交于点C ，点B 的横坐标为－1.①求点B 的坐标及k 的值；②直线y =－2x ＋1与直线y =kx ＋4与y 轴所围成的△ABC 的面积等于；(2)直线y =kx ＋4(k ≠0)与x 轴交于点E (x 0，0)，若－2＜x 0＜－1，求k 的取值范围．【答案】见解析.【本文档由书林工作坊整理发布，谢谢你的下载和关注！】12【解析】解：（1）①∵直线y =-2x +1过点B ，点B 的横坐标为-1，∴y =2+1=3，即B （-1，3），∵直线y =kx +4过B 点，∴3=-k +4，解得：k =1；②∵k =1，∴直线AB 的解析式为：y =x +4，∴A （0，4），在y =-2x +1中，当x =0时，y =1，∴C （0，1），∴AC =4-1=3， ∴△ABC 的面积为：12×1×3=32； 故答案为：32； （2）∵直线y =kx +4（k ≠0）与x 轴交于点E （x 0，0），-2＜x 0＜-1，∴当x 0=-2，则E （-2，0），代入y =kx +4得：0=-2k +4，解得：k =2，当x 0=-1，则E （-1，0），代入y =kx +4得：0=-k +4，解得：k =4，故k 的取值范围是：2＜k ＜4．中考数学知识点代数式一、 重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
初中数学竞赛专题复习 实数 讲义(无答案)
实数考点·方法·破译1．平方根与立方根：假设2x＝a(a≥0)那么x叫做a的平方根，记为：a的平方根为x＝a的平方根为x a的算术平方根．假设x3＝a，那么x叫做a的立方根．记为：a的立方根为x2．无限不循环小数叫做无理数，有理数和无理数统称实数．实数与数轴上的点一一对应．任何有理数都可以表示为分数pq〔p、q是两个互质的整数，且q≠0〕的形式．3非负数：实数的绝对值，实数的偶次幂，非负数的算术平方根〔或偶次方根〕都是非负数．即a>0，2na≥0〔n为正整数〕0(a≥0) ．经典·考题·赏析【例1】假设2m－4与3m－1是同一个数的平方根，求m的值．【解法指导】一个正数的平方根有两个，并且这两个数互为相反数．∵2m−4与3m−l 是同一个数的平方根，∴2m−4 ＋3m−l＝0，5m＝5，m＝l．【变式题组】01．一个数的立方根与它的算术平方根相等，那么这个数是____．02．m m的平方根是____．03____．04．如图，有一个数值转化器，当输入的x为64时，输出的y是____．【例2】〔全国竞赛〕非零实数a 、b 满足24242a b a -++=，那么a ＋b 等于( )A ．－1B ． 0C ．1D ．2有意义，∵a 、b 为非零实数，∴b 2>0∴a －3≥0 a ≥3 ∴()22030b a b +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，∴32a b =⎧⎨=-⎩，应选C ．【变式题组】0l3b +＝0成立，那么a b ＝____．02()230b -=，那么a b的平方根是____． 03．〔天津〕假设x 、y 为实数，且20x +=，那么2009x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值为〔 〕 A ．1 B ．－1 C ．2 D ．－204．x1x π-的值是( )A ．11π- B ．11π+ C ．11π- D ．无法确定【例3】假设a 、b都为有理效，且满足1a b -=+．求a ＋b 的平方根．【解法指导】任何两个有理数的和、差、积、商〔除数不为0〕还是有理数，但两个无理数的和、差、积、商〔除数不为0〕不一定是无理数．∵1a b -=+，∴1a b -=⎧⎪=1a b -=⎧⎪，∴1312a b =⎧⎨=⎩， a ＋b ＝12 ＋13＝25．∴a＋b的平方根为：5==±．【变式题组】01．〔西安市竞赛题〕m、n2〕m＋(3－n＋7＝0求m、n．02．〔希望杯试题〕设x、y都是有理数，且满足方程〔123π+〕x＋〔132π+〕y−4−π＝0，那么x−y＝____．【例4】假设a−2的整数局部，b−1是9的平方根，且a b b a-=-，求a＋b的值．【解法指导】−2＝整数局部＋小数局部．整数局部估算可得2，那么小数局部−2 −2−4．∵a＝2，b−1＝±3，∴b＝－2或4∵a b b a-=-．∴a<b，∴a＝2，b＝4，即a＋b＝6．【变式题组】01．假设3a，b，那么a＋b的值为____．02a，小数局部为b a〕·b＝____．演练稳固反应进步0l．以下说法正确的选项是( )A．－2是(－2)2的算术平方根B．3是－9的算术平方根C．16的平方根是±4 D．27的立方根是±302．设a=b＝－2，c=，那么a、b、c的大小关系是( )A．a<b<c B．a<c<b C．b<a<c D．c<a<b03．以下各组数中，互为相反数的是( )A．－9与81的平方根B．4与C．4D．304．在实数1.414，0.1•5•，π，3.1•4•中无理数有( ) A．2个B．3个C．4个D．5个05．实数a、b在数轴上表示的位置如下图，那么( )A．b>a B．a b>C．－a＜b D．－b>a0611之间的有( ) A．1个B．2个C．3个D．4个07．设m n＝2．那么m，n的关系是( )A. m＝±nB.m＝n C .m＝－n D.m n≠08．〔烟台〕如图，数轴上A、B两点表示的数分别为－1点B关于点A的对称点C，那么点C所表示的数为( )A．－2B．－1C．－2 D．l09．点A点B在数轴上和原点相距3个单位，且点B在点A左边，那么A、B之间的间隔为____．10．用计算器探究：按一定规律排列的一组数：1．假如从中选出假设干个数，使它的和大于3，那么至少要选____个数．11．对于任意不相等的两个数a、b，定义一种运算※如下：a※b，如3※212.※4＝____．12．〔长沙中考题〕a、b为两个连续整数，且a<b，那么a＋b＝____．13．对实数a、b，定义运算“*〞，如下a*b＝()()22a b a bab a b⎧⎪⎨⎪⎩≥<，3*m＝36，那么实数m＝____．14．设a是大于1的实数．假设a，23a+，213a+在数轴上对应的点分别是A、B、C，那么三点在数轴上从左自右的顺序是____．15.如图，直径为1的圆与数轴有唯一的公共点P．点P表示的实数为－1．假如该圆沿数轴正方向滚动一周后与数轴的公共点为P′，那么点P′所表示的数是____．16．整数x、yx、y．17．2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，求a＋b＋1的立方根．18．小颖同学在电脑上做扇形滚动的游戏，如图有一圆心角为60°，半径为1个单位长的扇形放置在数轴上，当扇形在数轴上做无滑动的滚动时，当B点恰好落在数轴上时，(1)求此时B点所对的数；(2)求圆心O挪动的路程．19．假设b＋3l，且a＋11的算术平方根为m，4b＋1的立方根为n，求〔mn−2〕(3mn＋4)的平方根与立方根．20．假设x、y为实数，且〔x−y＋1〕2的值．培优晋级奥赛检测01．〔荆州市八年级数学联赛试题〕一个正数x的两个平方根分别是a＋1与a−3，那么a值为( )A．2 B．－1 C．1 D．002．( ) A．0 B．1C．1 D．203−2的最小值为____．04．设a 、b 为有理数，且a 、b 满足等式a 2＋3b ＋a ＋b ＝____． 05．假设a b -＝1，且3a ＝4b ，那么在数轴上表示a 、b 两数对应点的间隔 为____．06．实数a 满足2009a a -+=，那么a − 20212＝_______．07．假设m 满足关系式199y x =--试确定m 的值．08．〔全国联赛〕假设a 、b 满足5b ＝7，S ＝3b ，求S 的取值范围． 09．〔北京市初二年级竞赛试题〕0<a <1，并且123303030a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦2830a ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦2930a ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦18=，求[10a ]的值[其中[x ]表示不超过x 的最大整数] ．10．〔北京竞赛试题〕实数a 、b 、x 、y 满足y 21a =-，231x y b -=--，求22x y a b +++的值．11．〔全国竞赛试题〕巳知x ＝b a，a 、b 为互质的正整数．且a ≤8x 1， (1)试写出一个满足条件的x ；(2)求所有满足条件的x ．。
人教版八年级数学下册竞赛专题12 数余的扩充.doc
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】专题12 数余的扩充———实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。
数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。
在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式（这里p ，q 是互质的整数，且p ≠0）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等；3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4．明确无理数的真实性. 克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例1】 已知02)4(22=-++++-c b a b a ．则bac )(的平方根是________.（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性，求出a ，b ，c 的值．【例2】若a ，b 是实数，且42212+-+-=b b a ．则b a +的值是( ).A ．3或－3B ．3或－1C ．－3或－1D ．3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得1-b ≥0，b 22-≥0，求出b ＝1．代入原式中可得a ＝±2．由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性：①a 中a ≥0； ②a ≥0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】 已知实数m ，n ，p 满足等式=--⋅+-n m n m 199199p n m p n m -++--+32253，求p 的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现）（n m +-199，）（n m --199互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．【例4】已知a ，b 是有理数，且032091412)12341()2331(=---++b a ，求a ，b 的值． 解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a ，b 的方程组.实数有以下常用性质：①若a ，b 都是有理数，c 为无理数，且0c b a =+，则a ＝b ＝0;②若a ，b ，c ，d 都是有理数，c ，d 为无理数，且“d b +=+c a ，则a ＝b ，d c =． 要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾. 想一想怎样证明2是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数x ，y ，z 满足xyz ≠0．且0=++z y x .求证：zy x z y x 111111222++=++ 在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题： (1)设a ，b ，c 为两两不相等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为 有理数．（2）设222222200912008113121121111+++⋅⋅⋅++++++=S ，求S 的整数部分. 解题思路：从公式)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++入手． 【例6】设22121111++=S ，22231211++=S ，22341311++=S ，…，22)1(111+++=n n S n ， 求n S S S +⋅⋅⋅++21的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．（四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将n S 变形为一个代数式的平台。
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专题4 初识非负数
阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的
算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中的一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、
解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：
1.去绝对值符号法则
0000aaaa
a
a
2.绝对值的几何意义
从数轴上看，a即表示数a的点到原点的距离，即a代表的是一个长度，故a表示一个非负数，
ba
表示数轴上数a、数b的两点间的距离.
3.绝对值常用的性质
①0a ②222aaa ③baab ④0bbaba
⑤baba ⑥baba
例题与求解
【例1】已知3,5ba，且abba，那么ba .
（祖冲之杯邀请赛试题）
解题思路：由已知求出a、b的值，但要注意条件abba的制约，这是解本题的关键.
【例2】已知a、b、c均为整数，且满足11010caba，则accbba（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
（全国初中数学联赛试题）
解题思路：10ba≥0，10ca≥0，又根据题中条件可推出ba，ca中一个为0，一个为
1.
2
【例3】已知11x＋22x＋33x＋…＋20022002x＋20032003x＝0，求代数式
321222xxx…－2003200222xx
的值.
解题思路：运用绝对值、非负数的概念与性质，先求出,,,321xxx…，20032002,xx的值，注意
nn221
的化简规律.
【例4】设a、b、c是非零有理数，求abcabcbcbcacacababccbbaa的值.
解题思路：根据a、b、c的符号的所有可能情况讨论，化去绝对值符号，这是解本例的关键.
（希望杯邀请赛试题）
【例5】设654321,,,,,xxxxxx是六个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6.
记||||||||||||166554433221xxxxxxxxxxxxS，求S的最小值.
（四川省竞赛试题）
解题思路：利用绝对值的几何意义建立数轴模型.
【例6】已知55)(2bbba，且012ba，求ab的值.
（北京市迎春杯竞赛试题）
解题思路：由012ba知012ba，即12ab，代入原式中，得
3
4242)13(2aaa
，再对13a的取值，分情况进行讨论.
A级
1.若nm,为有理数，那么，下列判断中：
（1）若nm，则一定有nm；
（2）若nm，则一定有nm；
（3）若nm，则一定有nm；
（4）若nm，则一定有22)(nm；正确的是 .（填序号）
2.若有理数pnm,,满足1ppnnmm，则mnpmnp22 .
3.若有理数cba,,在数轴上的对应的位置如下图所示，则bacac1化简后的结果
是 .
4.已知正整数ba,满足022bb，0baba，且ba，则ab的值是 .
（四川省竞赛试题）
5.已知,3,2,1cba且cba，那么2cba .
6.如图，有理数ba,在数轴上的位置如图所示：
则在4,2,,,2,babaababba中，负数共有（ ）
A．3个 B．1个 C．4个 D．2个
（湖北省荆州市竞赛试题）
4
7. 若5,8ba，且0ba，那么ba的值是（ ）
A．3或13 B．13或－13 C．3或－3 D．－3或－13
8.若m是有理数，则mm一定是（ ）
A．零 B．非负数 C．正数 D．负数
9.如果022xx，那么x的取值范围是（ ）
A．2x B．2x C．2x D．2x
10.ba,是有理数，如果baba，那么对于结论（1）a一定不是负数；（2）b可能是负数，其中
（ ）
A．只有（1）正确 B．只有（2）正确
C．（1）（2）都正确 D．（1）（2）都不正确
（江苏省竞赛试题）
11.已知cba,,是非零有理数，且0cba，求acaccbcbbaba的值.
12.已知dcba,,,是有理数，16,9dcba，且25dcba，求cdab的值.
（希望杯邀请赛试题）
B级
1.若52x，则代数式xxxxxx2255的值为 .
2.已知0212aba ，那么)2002)(2002(1)2)(2(1)1)(1(11bababaab的值
为 .
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3.数a在数轴上的位置如图所示，且21a，则73a .
（重庆市竞赛试题）
4.若0ab，则ababbbaa的值等于
（五城市联赛试题）
5.已知06)5(22yyx，则32251xxxyy .
（希望杯邀请赛试题）
6.如果150p，那么代数式1515pxxpx在p≤x≤15的最小值（ ）
A.30 B.0 C.15 D.一个与p有关的代数式
7.设k是自然数，且0bka，则21baba等于（ ）
A.3 B.2 C.k33 D.k22
（创新杯邀请赛试题）
8.已知40a，那么aa32的最大值等于（ ）
A．1 B．5 C．8 D．9
（希望杯邀请赛试题）
9.已知cba,,都不等于零，且abcabcccbbaax，根据cba,,的不同取值，x有（ ）
A．唯一确定的值 B．3种不同的值 C．4种不同的值 D．8种不同的值
10.满足baba成立的条件是（ ）
A．0ab B．1ab C．0ab D．1ab
（湖北省黄冈市竞赛试题）
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11.有理数cba,,均不为0，且0cba，设bacbcbcbax，试求代数式
20009919xx
的值.
（希望杯邀请赛训练题）