三乘三矩阵的逆矩阵表达式
第一章 第三讲 逆矩阵及初等矩阵_2-20_
定义 3.2 由单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。 由于矩阵有三种初等变换，所以初等矩阵也有三种类型： (1) E 的第 i , j 行(列)互换得到的矩阵，记 E (i, j )
1 ⋱ 1 0 ⋯ 1 i 1 E (i, j ) = ⋮ ⋱ ⋮ 1 1 ⋯ 0 j 1 ⋱ 1 i j
列 列
以 3 阶初等矩阵为例：
1 0 0 E (23(k )) = 0 1 k 0 0 1
的逆矩阵就是
1 0 0 E (23(− k )) = 0 1 − k 0 0 1
显然有
1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 k 0 1 − k = 0 1 0 = E3 0 0 1 0 0 1 0 0 1
0 ⋯ 0 = E, ⋮ ⋮ 1 ⋯ an ⋯ 0 ⋯ 0 = E, ⋮ ⋮ ⋯ an ⋯
0 a2 ⋮ 0
所以 A 可逆，且
1 a 1 0 −1 A = ⋮ 0
−1
⋯ ⋯ ⋮ ⋯
0 0 . ⋮ 1 an
我们知道矩阵 A 经过初等变换到 B ， A 和 B 之间不能用等号连接，因为 B 完全是另外 一个矩阵。当引入了初等方阵的概念后， A 和 B 之间就存在了某种等式关系.先看下面的例 子. 设
1 1 1 6 A = 1 0 −1 −2 1 −2 1 0
，令对 A 进行如下初等行变换得到的矩阵为 B ，即
−1 −1
（3）在矩阵方程 AX = B 中，若 A 可逆，则有 A AX = A B 即 X = A 方阵的逆矩阵具有以 方阵的逆矩阵具有以下 逆矩阵具有以下运算性质： (1) 可逆阵 A 的逆矩阵仍可逆，且 ( A ) = A ； 1 (2) λ ≠ 0 时，数乘 λ A 仍可逆，且 ( λ A ) = A ； λ (3) 若 A 、 B 为同阶可逆矩阵，则 AB 仍可逆，且 ( AB ) = B A ； (4) 可逆阵 A 的乘方仍可逆，且 ( A ) = ( A ) ； (5) 可逆阵 A 的转置仍可逆，且 ( A ) = ( A ) ； 这里只证（3） ，其它性质由同学自证。 因为 ( AB ) B A = A ( BB ) A = AEA = AA = E ，及 B A ( AB ) = B ( A A ) B = B EB = BB = E ，故结论成立。
矩阵的逆
矩
阵
第一节 矩阵的概念 第二节 矩阵的运算 第三节 矩阵的逆 第四节 矩阵的秩
第三节 矩阵的逆
本节主要内容: 本节主要内容: 一. 可逆矩阵与逆矩阵 二. 可逆矩阵的判别 三. 矩阵的初等变换 四. 用初等行变换求逆矩阵 五. 小结
一.可逆矩阵与逆矩阵
1. 定义
对于矩阵 A ， 如果存在一个矩阵 B , 使得
1 2 −2 r2 − 2r1 0 −7 6 → r3 + 2r1 0 3 −3
1 0 0 −2 1 0 2 0 1
1 2 −2 r2 + 2r3 0 −1 0 → 0 3 −3
1 0 0 2 1 2 2 0 1
A23 = 2,
A33 = −2 .
6 −4 2 A* = −3 −6 5 2 2 −2
所以 A−1
3 −2 2 6 −4 1 * A 1 5 3 = = −3 −6 5 = − −3 det A 2 2 2 2 2 −2 1 1 −1
A1 A2 ⋯ Am 也可逆 且 (A A ⋯A )−1 = A−1⋯A−1A−1 也可逆, 1 2 m m 2 1
性质5 性质 若矩阵 A 可逆 则 AT也可逆 且 可逆, 也可逆,
(AT)−1 = (A−1 )T
性质6 性质 若矩阵 A 可逆 则 det( A−1 ) = (det A)−1 可逆, 说明 若矩阵 ,B ,C 满足 若矩阵A 满足AB=AC, 且A可逆 则 可逆, 可逆 AB=AC
1 2 3 −3 −4 可逆 = 0 −3 −4= = 4≠ 0, 所以 A可逆 . 1 0 0 1 0
1 2 ∵ A11 = = −3, 3 3 2 1 A13 = = 5, 1 3 2 2 A12 = − = −4, 1 3
矩阵转置和逆的关系
矩阵转置和逆的关系矩阵是线性代数中的重要概念，常用于描述线性方程组、向量空间和线性变换等。
矩阵的转置和逆是矩阵运算中常见的操作，它们之间存在着一定的关系。
一、矩阵转置的定义和性质矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调，得到一个新的矩阵。
设A是一个m×n的矩阵，记作A^T。
矩阵A的第i行第j列元素变成A^T 的第j行第i列元素。
矩阵转置具有以下性质：1. (A^T)^T = A，即一个矩阵转置两次等于它本身。
2. (A + B)^T = A^T + B^T，即两个矩阵相加后再转置等于它们的转置相加。
3. (kA)^T = kA^T，即一个常数乘以一个矩阵转置等于该矩阵转置后再乘以该常数。
二、矩阵逆的定义和性质矩阵的逆是指对于一个可逆矩阵A，存在一个矩阵B，使得AB = BA = I。
其中，I是单位矩阵。
矩阵逆具有以下性质：1. (A^{-1})^{-1} = A，即一个矩阵的逆的逆等于它本身。
2. (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}，即两个矩阵的乘积的逆等于这两个矩阵的逆的乘积的逆。
3. (kA)^{-1} = \frac{1}{k}A^{-1}，即一个常数乘以一个矩阵的逆等于该矩阵的逆再乘以该常数的倒数。
三、矩阵转置和逆的关系矩阵转置和逆之间存在着一定的关系。
设A是一个可逆矩阵，则有以下结论：1. (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T，即一个矩阵转置的逆等于该矩阵的逆的转置。
2. (A^T A)^{-1} = (A^{-1})^T (A^T)^{-1}，即一个矩阵和它的转置的乘积的逆等于该矩阵的逆的转置和该矩阵的转置的逆的乘积。
这些结论可以通过矩阵的定义和性质来证明。
矩阵转置和逆的关系在线性代数中有着重要的应用。
四、矩阵转置和逆的应用矩阵转置和逆在许多领域中都有着广泛的应用。
以下列举几个典型的应用：1. 线性方程组的求解：对于一个线性方程组Ax = b，其中A是一个可逆矩阵，x和b是向量，可以通过求解A^{-1}b来得到方程组的解x。
三阶方阵逆矩阵公式
三阶方阵逆矩阵公式
1、方阵的逆矩阵等于方阵的伴随矩阵与方阵对应的行列式的值的倒数的积；
即A^-1=A*/(|A|).
只有当|A|≠0时，方阵A才可逆。
这种方法并不简便。
2、利用初等变换求逆矩阵；
一般是将矩阵(A,E)化为(E,A^-
1)的形式；从而得到A逆矩阵；
3、也可以利用分块矩阵求逆矩阵；
但是，这种方法不能单独使用。
其实就是把一个高阶方阵分成若干个低阶方阵，然后利用前两种方法求出低阶方阵的逆矩阵。
这种方法不适用于三阶矩阵的逆矩阵。
因为三阶矩阵本身是很低阶的。
使用下面的示例来演示前两种方法。
例如，求以下三阶矩阵的逆矩阵:
解法1：(1)先求|A|，即A所对应的行列式，判断A有没有逆矩阵：
∴A有逆方阵.
(2)然后求A的伴随矩阵：
(3)最后代入公式求A的逆矩阵：
解法2：对(A,E)施行初等变换：即
（1）第三行乘以-1加到第一行得：
(2)第三行加到第二行得：
(3)第一行乘-2加到第三行得：
(4)第三行乘以负1交换到第二行得：
(5)第三行除以5，然后第三行分别乘以12和4，加到第二行和第一行，得：
看，两种方法得到的结果是一样的。
二阶、三阶矩阵逆矩阵的口诀
求二、三阶矩阵逆矩阵的记忆口诀1、问题的提出在各类理工科的课程中，往往有求解矩阵逆矩阵的问题，题目本身虽然简单，但是如果按照教材给出的方法计算的话，要费一些时间，更可怕的是计算过程难免有误，容易造成结果出错。
经过一些研究，我们发现，大部分求解逆矩阵的题目，都是要求解二阶、三阶矩阵的逆。
针对此问题，给出学生相应的记忆口诀，帮助学生快速求解。
2、知识储备1.1对于n 阶方阵，如果同时存在一个n 阶方阵，使得AB=BA=E 则称A 阵可逆，并把方阵B 成为方阵A 的逆矩阵，记作A -11.2n 阶行列式A 的各个元素的代数余子式构成的矩阵，叫做A 的伴随矩阵，如下：1.3方阵A 可逆的充分必要条件是0A ≠，当A 可逆时，*1A A A -= 3、二阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：主对调，次换号，除以行列式推导：假设a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，,,,a b c d R ∈，且A 可逆，那么根据知识储备1.2*d b A c a -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦所以呢，*1d b c a A A A A--⎡⎤⎢⎥-⎣⎦== 4、三阶矩阵的逆矩阵的记忆口诀记忆口诀：除以行列式，别忘记。
去一行，得一列，二变号，余不变，2313121） 整体要除以行列式，不能忘记2） 去掉第一行，得到矩阵剩余两行，求得逆矩阵第一列3） 所求得的逆矩阵的第二列是按照231312规律得到数字加了一个负号，其余的第一列，第三列不加负号对于三阶矩阵33,ab c A de f A R g h i ⨯⎡⎤⎢⎥=∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦，且A 可逆 1()1()()ei hf bi hc bf ce A fg id cg ia cd af A dh ge ah gb ae hd -----⎡⎤⎢⎥=----⎢⎥⎢⎥----⎣⎦（1） 先分析公式（1）的第一列，研究如下表格公式（1）矩阵的第一列是表1所有元素的组合，组合规律称为（231312规律）Step1:表格1第一行的第二、三、一列乘以第二行的三、一、二列得到ei,fg,dhStep2：表格1中第二行的二、三、一列乘以第一行的三、一、二列得到hf,id,geStep3：由step1得到的数据减去step2得到的数据，得到公式（1）的第一列。
人教版高中数学选修 4-2矩阵变换 第三章 第一节 逆变换与逆矩阵
导入新课除了我们已学过的一些矩阵的性质之外还有其他性质么?知识回顾矩阵乘法的运算性质结合律(ab)c=a(bc)交换律ab=ba消去律设a≠0,若ab=a,则b=c;若ba=ca,则b=c.类比实数的乘法运算中有一条重要的运算性质：.aa a a ,a 1=1•=•10则如果 ≠把恒等变换I 和单位矩阵E 作为数1的类比对象知识与能力掌握逆矩阵的概念和简单性质过程与方法●通过线性变换理解逆矩阵的性质情感态度与价值观●培养学生提出问题,解决问题的能力重点：●逆矩阵的概念与简单性质.●逆矩阵的概念;●用线性变换的角度理解逆矩阵的简单性质.难点：探究1对于一个线性变换ρ,是否存在一个线性变换σ,使得σ·ρ=ρ·σ= I ?对于一个二阶矩阵A,是否存在一个二阶矩阵B,使得AB=BA=E?Oyx30°R －30°R 30°αα′例1 旋转变换R 30°：.y x y ,y x x 23+21=′2123=′－R －30°：.y x y ,y x x 23+21=′21+23=′－对于直角坐标系xOy 内的任意一个向量α由图可得：α′ αα有：（R 30°· R －30°）= R 30°（R －30°）= α α α同理可得：R －30°· R 30°=I∴R 30°· R －30°= I23212123－23212123－对于二阶矩阵,存在二阶矩阵,使得23212123－23212123－23212123－23212123－==E 2思考一般的旋转变换Rψ,也有相似的结论么?探究2对于切变变换、伸缩变换、反射变换等线性变换,能否找到一个线性变换,使得它们的复合变换是恒等变换I?同学们:我会了哦!你们会了么?类比书本看看答对了么?定义设ρ是一个线性变换,若存在线性变换σ,使得σρ=ρσ= I,则称变换ρ可逆,并称σ是ρ的逆矩阵.用矩阵的语言表述:设A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使得AB=BA=E2,则称矩阵A可逆,或A是可逆矩阵,并称B是A的逆矩阵.设A是一个二阶可逆矩阵,对于对应的线性变换为ρ,由矩阵和变换的对应关系,得到A的逆矩阵就是ρ逆变换对应的矩阵.思考是否每一个二阶矩阵都可逆?若能,请说明理由;若不能,请举例说明.答案:不是.如A =0012探究31.若一个线性变换是可逆的,则它的逆变换是唯一的么?2.若一个二阶矩阵是可逆的,则它的逆矩阵是唯一的么?以例1中的两个旋转变换为例反证法证明:假设不唯一,则存在变换R 30°的任意一个逆变换σ,使得σ R 30°= R 30°σ= I .∴对平面上任意一个向量有,α()()()()()().R I R R R R R R R I α=α=ασ•=ασ=ασ=ασ=ασ°30°30°30°30°30°30°30°30 －－－－－）（.=σ°30假设不成立－,R ∴∴逆变换是唯一的.性质1设A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.证明：设B,B2都是A的逆矩阵,则1B1A=AB1=E2,B2A=AB2=E2.∴B=E2B1=(B2A)B1=B2(AB1）1=B2E2=B2.即：B=B2.1探究4两个可逆变换的复合变换仍可逆么?yy ,x x 2=′=′伸缩变换ρ:yx y ,y x x 23+21=′2123=′－旋转变换R 30°:它们的逆矩阵分别为:y y ,x x 21=′=′：－ρ1yx y ,y x x 23+21=′21+23=′－R －30°:任意一个平面向量: = .αy x 先经ρ·R 30°的复合变换,再经R －30°·ρ－1,最终仍得到α如图:ρOyxαR °30－R °30ρ1－()()().RR R R .I R R I R R 1°301°3011°30°30°301°30°30°301ρ=ρ=ρ•,ρ•=ρ•ρ•=ρ••ρ－－－－－－－－－且可逆即：变换）（类似：；）（∴性质2设A , B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB 也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.证明：∵(AB)(B－1A－1)=A(BB－1)A－1=AE2A－1=AA－1=E2,(B－1A－1) (AB)= B－1( AA－1)B= B－1E2B= B－1B=E2,即:(AB)(B－1A－1)=(B－1A－1)(AB)=E2∴AB可逆,且(AB)－1 = B－1A－1.课堂小结1. A是一个二阶矩阵,若存在二阶矩阵B,使,则称矩阵A可逆.得AB=BA=E22.A是一个二阶矩阵,若A是可逆的,则A的逆矩阵是唯一的.3.A, B是二阶矩阵,若A,B都可逆,则AB也可逆,且(AB)－1=B－1A－1.教材习题答案：）伸缩变换（ρ11.：其逆变换为可逆σ,kyy ,x x =′=′yky ,x x 1=′=′：轴的反射变换）关于（ρ2x 可逆，yy ,x x －=′=′.y y ,x x －=′=′：其逆变换为ρ1201－1201）（12.其逆矩阵为可逆,10021021）（2其逆矩阵为可逆,1000）（3不可逆θθθθcos sin sin cos －θθθθcos sin sin cos －）（4其逆矩阵为可逆,()()..I I .I ,I ,.逆变换是唯一的则矩阵都是它的逆，是可逆的，设线性变换∴∴σ=σ•=σ•ρ•σ=σ•ρ•σ=•σ=σ=ρ•σ=σ•ρ=ρ•σ=σ•ρσσρ322212*********().A AA .E A A A A ,E A A A A ,A .=====41111111－－－－－－－可逆且即：则可逆设二阶矩阵∴()()()()()().A A A .E A A EA A A A A A A A ,E A A A AE A AAA A A .E A A A A ,A .211221111221111121211===========5－－－－－－－－－－－－－－也可逆且则可逆设二阶矩阵∴∴∴。
逆矩阵的求法及逆矩阵的应用
逆矩阵的几种求法及逆矩阵的应用摘要：在现代数学中，矩阵是一个非常有效而且应用广泛的工具，而逆矩阵则是矩阵理论中一个非常重要的概念。
关于逆矩阵的求法及逆矩阵的应用的探讨具有非常重要的意义。
目前，对于逆矩阵的求法及其应用领域的研究已比较成熟。
本文将对逆矩阵的定义、性质、判定方法及求法进行总结，并初步探讨矩阵的逆在编码、解码等方面的应用。
关键词：矩阵逆矩阵逆矩阵的求法逆矩阵的应用The methods for identifying inverse matrix and application of inverse matrix Abstract: In modern mathematics，matrix is an effective tool with extensive application，and inverse matrix is a significant concept in matrix theory. The disduss about the way to evaluating inverse matrix and its application is of an important meaning with mature development at present. This paper will summarize the definition and properties of inverse matrix and disscuss the methods evaluating inverse matrix.We will also talk about the application of inverse matrix, especially its application in encoding and decoding. Keywords: Matrix Inverse matrix The way to evaluating inverse matrix Application of inverse matrix一：引言在现代数学中，矩阵是一个有效而应用广泛的工具。
初等变换求逆矩阵技巧
初等变换求逆矩阵技巧 (用初等变换求三阶方阵逆矩阵的技巧》。 一、什么是初等变换和逆矩阵。 咱先得搞清楚什么是初等变换和逆矩阵哈。初等变换，就是对矩阵进行一些简单的操作，就像给一个方阵变变样子。它主要有三种类型：
交换矩阵的两行（列）。比如说有个矩阵(12 34)，把第一行和第二行交换一下，就变成(34 12)。
用一个非零数乘矩阵的某一行（列）。比如刚才那个矩阵(12 34)，咱把第一行都乘以2，就得到(24 34)。
把矩阵的某一行（列）的倍数加到另一行（列）上。像(12 34)，把第一行的2倍加到第二行上，就变成(12 58)。
那逆矩阵又是什么？对于一个方阵A，如果存在一个方阵B，使得AB = BA = E（E是单位矩阵，就是主对角线都是1，其他地方都是0的矩阵），那B就是A的逆矩阵，记为A^-1。比如说，对于矩阵A=(20 02)，它的逆矩阵A^-1=((1)/(2)0 0(1)/(2))，因为AA^-1=(20 02)((1)/(2)0 0(1)/(2))=(10 01)。
二、用初等变换求逆矩阵的方法步骤。 用初等变换求逆矩阵有个很实用的办法，就是把矩阵A和单位矩阵E拼成一个大矩阵(A|E)，然后对这个大矩阵进行初等行变换，当左边的A变成单位矩阵E的时候，右边原来的E就变成了A的逆矩阵A^-1。具体步骤如下：
第一步：构造大矩阵。 比如说咱要求矩阵A=(123 014 560)的逆矩阵，那就先构造大矩阵(A|E)=(123100 014010 560001)。 第二步：进行初等行变换。 先把第一行乘以-5加到第三行上，这样就把第三行第一个数变成0，得到(123100 014010 0-4-15-501)。
再把第二行乘以4加到第三行上，得到(123100 014010 001-541)。 接着把第三行乘以-4加到第二行，再把第三行乘以-3加到第一行，得到(12016-12-3 01020-15-4 001-541)。
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三乘三矩阵的逆矩阵表达式
摘要：
1.三乘三矩阵的逆矩阵概念
2.三乘三矩阵的逆矩阵表达式推导
3.三乘三矩阵的逆矩阵应用示例
正文：
一、三乘三矩阵的逆矩阵概念
在线性代数中，矩阵的逆矩阵是指一个矩阵与其转置矩阵的乘积等于单位矩阵。
简单来说，如果一个矩阵A 可以表示为B 的逆矩阵，那么
AB=BA=I，其中I 是单位矩阵。
对于三乘三矩阵来说，它的逆矩阵也是一个三乘三矩阵，我们需要找到一个合适的矩阵来表示它的逆矩阵。
二、三乘三矩阵的逆矩阵表达式推导
对于一个三乘三矩阵A，表示为：
A = | a11 a12 a13 |
| a21 a22 a23 |
| a31 a32 a33 |
我们假设它的逆矩阵为B，表示为：
B = | b11 b12 b13 |
| b21 b22 b23 |
| b31 b32 b33 |
根据逆矩阵的定义，我们有：
AB = | a11*b11 a12*b12 a13*b13 |
| a21*b21 a22*b22 a23*b23 |
| a31*b31 a32*b32 a33*b33 |
= | 1 0 0 |
| 0 1 0 |
| 0 0 1 |
因为AB=BA=I，所以我们可以得到以下方程组：
a11*b11 + a21*b21 + a31*b31 = 1
a12*b12 + a22*b22 + a32*b32 = 0
a13*b13 + a23*b23 + a33*b33 = 0
a11*b11 + a12*b21 + a13*b31 = 0
a21*b11 + a22*b21 + a23*b31 = 0
a31*b11 + a32*b21 + a33*b31 = 0
a11*b12 + a12*b22 + a13*b32 = 0
a21*b12 + a22*b22 + a23*b32 = 0
a31*b12 + a32*b22 + a33*b32 = 0
解这个方程组，我们可以得到三乘三矩阵的逆矩阵表达式。
三、三乘三矩阵的逆矩阵应用示例
假设有一个三乘三矩阵A：
A = | 1 2 3 |
| 4 5 6 |
| 7 8 9 |
我们需要求解这个矩阵的逆矩阵。
首先，我们计算矩阵的行列式：|A| = 1*5*9 - 2*4*7 + 3*6*8 = 0
因为行列式为0，所以这个矩阵没有逆矩阵。