概率论与数理统计几种重要的分布

例7、已知X ~ B(n, p), EX 6, DX 42, 计算P( X 5).
解 : 首先计算n, p.
EX np 6 n 20 则X ~ B( 20,0.3).查表得 : , DX npq 42 p 0.3 P ( X 5) 1 P ( X 4) 0.7625 .
2、数字特征
N1 N1 N 2 N n EX n , DX n . N N N N 1
3、超几何分布与二项分布的关系
C N1 C N 2 N1 p时, P{ X m } 证明：当N , n N CN
N1 定理 : 对于固定的n,当N , p时, 有 N m n m CN C N2 m m n m 1 P( X m) C p q . n n CN m n m
解 : 设X表示30次命中目标的次数, 且X ~ B(30,0.8), 令Y 30 X , 则Y ~ B(30,0.2).
X P 0.6 P ( X 18) P (Y 12) P (Y 12) P (Y 11) 30 0.9969 0.9905 0.0064
2 x ,0 x 1 例8、设X ~ f ( x ) , 现对X进行n次独立观测, 用Y表示 0, 其它 观测值不大于0.1的次数, 求Y的分布.
解：p P ( X 0.1) 因此Y ~ B( n,0.01)
0.1

f ( x )dx 2 xdx 0.01
m n
当N 时，超几何分布以二项 分布为极限， N1 N2 p, 1 p. N N
例3、一大批种子的发芽率为90％，从中任取10粒，求 (1)播种后恰好有8粒发芽的概率。 (2)播种后不少于8粒发芽的概率。 解 设X为10粒种子中发芽的种子数目，服从超几何分布。 但是N很大，n=10项对于N很小，可以认为X近似服从二 项分布B（10，0.9）。
n! N 1 ( N 1 1)( N 1 ( m 1)) N 2 ( N 2 1)( N 2 ( n m 1)) n! m! ( n m )! N ( N 1)( N ( n 1)) m! ( n m )!
n m N 1m N 2 (1
X P 0 1 2 3 4
0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
定理 : 若X ~ B(n, p)且Y n X , 则Y ~ B(n, q), 其中q 1 p.
证明：对于m 0,1,, n, 有
P(Y m) P(n X m) P( X n m)
n
n ( n 1)! p p k 1q ( n 1 ) ( k 1 ) k 1 ( k 1)!( n 1) ( k 1)!
np C
k 1
n
k 1 n 1
p
k 1
q
nk
m m n 1 m n p C n p q 1 m k 1 m 0
n m n m m Cn p q
则Y ~ B(n, q).
推论 : 若X ~ B(n, p),Y ~ B(n, q ),则有 (1) P ( X m ) P (Y n m ); ( 2) P ( X m ) P (Y n m ).
例6、某人射击的命中率为0.8，今连续射击30次，计算命中率为 60％的概率。
0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
例3、10部机器各自独立工作，因修理调整等原因，每部机 器停车的概率为0.2。求同时停车数目X的分布。 解：X服从二项分布，n=10, p=0.2。利用二项分布公式计算
X
P
0
0.11
1
0.27
2
0.30
3
k 4 k C5 C15 P( X k ) 4 C 20
(k 0,1,2,3,4)
例2：某班有学生20名，其中3名女同学，今从班上任选4名 学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X 的分布。
k 4 k C3 百度文库17 P( X k ) 4 C 20
( k 0,1,2,3)
1、定义 X ~ B(n, p)
若X的分布为P ( X k ) C p q
k n k n k
, k 0,1,, n
其中0 p 1, q 1 p, 则称X ~ B( n, p)。
2、数字特征
EX kC p q
k 0 k n k
n
n
nk
n! k p k q n k k! ( n k )! k 0
0
0.1
例9、计算机在进行加法运算时，每个加数按四舍五入取 整数，假定每个加数的取整误差服从[-0.5,0.5]上的均匀分 布，今有五个加数相加，计算它们中至少有三个加数的 取整误差绝对值概率不超过0.3的概率。
§4.2 超几何分布
例1：某班有学生20名，其中5名女同学，今从班上任选4名 学生去参观展览，被选到的女学生数X是一个随机变量，求X 的分布。
k 若X的分布为P ( X k ) e , k 0,1,2, , 其中 0, k! 则称X ~ P ( ).
2、数字特征
k 1 k m m k 1 EX k k ! e e ( k 1) ! e m ! m 0 k 1 k 0
1、定义
X ~ H (n, M , N )
设N个元素分为两类, 其中N 1个属于第一类, N 2个属于 第二类, 从中不放回抽取n个, 令X表示这n个中第一类 元素的个数, 则称X的分布为超几何分布:
P( X m)
m n m CN C N N1 1
C
n N
, ( m 0,1,2,, min{ n, N 1 }).
3、二项分布的最可能值
定义 : 使概率P ( X k )取最大值的k , 记作k0 , 称k0为二项分布 的最可能值.
设k k0时, P( X k0 )最大, 则有下面不等式:
P ( X k0 ) k np p 1 0 P ( X k 1) 0 P ( X k 0 ) 1 k0 np p 1 P ( X k 0 1)
n 1
np( p q )n 1 np；
EX k C p q
2 2 k 1 k n k
n
n
nk
n! k p k q n k k! ( n k )! k 0
2
n
n! k ( k 1) k p k q n k k! ( n k )! k 0
i n1
i 1
pqn n q . 1 q
P ( X m n | X n)
P ( X m n, X n) P ( X n) P ( X m n) q m n n qm P ( X n) q
P ( X m ).
例1、 ( 离散随机等待时间) 每张彩票中奖概率 0.01，某人每次只买一张。
(1) 他买到第 k张才中奖的概率，(2) 买了 8 张都
没有中奖的概率。 解. 买到第一张中奖彩票需要的次数 X ~ G (0.01 )
(1) P( X k ) 0.01 0.99k 1
(2) P( X 8) 0.998
§4.3
Poisson (泊松) 分布
1、定义 X ~ P ( )
第四章
几种重要的分布
§4.1 二项分布
§4.2 超几何分布
§4.3 泊松分布 §4.4 指数分布 §4.6 正态分布
§4.1 二项分布
一、两点分布
1、定义
只取两个可能值的随机 变量所服从的分布。
X
P
x1
p
x2
q
其中p q 1.
若x1 1, x2 0, 称r .v. X服从参数为p的0 1分布。
n
n(n 1) p2 np
DX EX 2 ( EX )2 npq .
例2、某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4，求最近6天 内用水量正常的天数的分布。 解：设最近六天内用水量保持正常的天数为X。它服从二 项分布，n=6, p=0.75。利用二项分布公式计算
X P 0 1 2 3 4 5 6


,
k k 2 EX k k! e k (k 1) e EX 2 ， k! k 0 k 2


0
DX EX 2 ( EX )2
.
3、泊松分布与二项分布的关系
定理 : 若X ~ B( n, pn ),0 pn 1, 且 l i mnpn 0, 则
0.20
4
0.09
5
0.03
6
0.01
7
0.00
8
0.00
9
0.00
10
0.00
例4、 一批产品的废品率为0.03，进行20次重复抽样（有放 回）。求出现废品的频率为0.1的概率。
解：X表示20次中抽到废品的次数，服从二项分布，n=20, p=0.03。利用二项分布公式计算
X P 0.1 P ( X 2) 0.0988 . 20
8 (1)P( X 8) C10 0.98 0.12 0.1937
k ( 2) P ( X 8) C10 0.9k 0.110 k 0.9298 k 8 10
几何分布
1、定义
X ~ G ( p)
在无穷次贝努利试验中，事件 A 首次发生时所 需要的试验次数X的分布。
X的一切可能取值为正整 数, 分布为:
P( X k ) pqk 1
2、数字特征
1 q EX , DX 2 . p p
3、无记忆性
对任意非负的m, n, 都有 P ( X m n | X n) P ( X m ).
证明： P( X n)
i n 1
P( X i ) pq
2、数字特征
EX p,
DX pq.
二、二项分布
例1、一批产品的合格率为 0.9, 重复抽取三次, 每次一件, 连续3次, 求3次中取到的合格品件数 X的分布.
如果在一次试验中 , 事件A成功的概率为p(0 p 1), 则在n重贝努里试验中事件A成功的次数 X的分布为:
k k n k P( X k ) Cn p q .
np p或np p 1, 当np p为整数 即k0 当np p不是整数 [np p] ,
p 1 k0 p np p 1 k0 np p p p n n n n
k0 n , p n
n很大时，频率为概率的可能最大
例5、某批产品有80％的一等品，对它们进行重复抽样检验， 共取出4个样品，求其中一等品数X的最可能值k，并用贝努 利公式验证。 解：一等品数X服从二项分布，np+p=3.2+0.8=4， 所以k=3,4时P{X=k}最大。
n ( n 1) ( n 2)! p 2 p k 2q ( n 2 )( k 2 ) EX k 2 ( k 2)!( n 2) ( k 2)!
n
k 2 k 2 n k n( n 1) p 2 C n q np 2 p k 2
1 2 m 1 1 2 n m 1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) N1 N1 N1 N2 N2 N2 1 2 n1 N n (1 )(1 )(1 ) N N N
m n m
N 1 N 2 C m pmqnm ( N ) C n N N