系统的性能指标 一阶系统的时域分析

第三章 线性系统的时域分析法

分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，就可求出已知输入信号作用下系统的输出响应。第二步分析控制性能，即对系统做定性的分析和定量的计算。分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。

第一节 控制系统的性能指标

一、典型输入信号

1.阶跃信号 数学表达式： 拉氏变换：

当R 0=1，称为单位阶跃信号，记为)(t ε。

2.斜坡信号 数学表达式： 拉氏变换：

当v 0=1，称为单位斜坡信号。

3.抛物线（等加速度）信号

数学表达式： 拉氏变换：

当a 0=1，称为单位抛物线函数。

4.脉冲信号 数学表达式：

拉氏变换：

当a 0=1，称为单位抛物线函数。

5.正弦信号 数学表达式： 拉氏变换：

二、系统性能指标：

控制系统的性能指标分为动态性能指标和稳态性能指标。动态性能指标又分为跟随性能指标和扰动性能指标。一般讨论的是跟随性能指标，即在给定信号作用下，有系统输出导出的性能指标。常用的性能指标：

1. 上升时间t r ：响应曲线从零开始，第一次上升到稳态值所需的时间。上升时间越短，⎩⎨⎧≥<=000)(0t R t t r ，，为常数。，00)(R s R s R =为常量。，020)(v s v s R =⎩⎨⎧≥<=000)(0t t v t t r ，，为常量。，030)(a s

a s R =⎪⎩⎪⎨⎧≥<=02100)(20t t a t t r ，，为常量。，030)(a s a s R =数。，称为单位理想脉冲函。若令脉宽时，记为，当，，，0)(10/00)(→=⎩⎨⎧≤≤><=εδεεεt H t H t t t r 22)(ωω+=s A s R ⎩⎨⎧≥<=0sin 00)(t t A t t r ，，ω

响应速度越快 。

2. 峰值时间tp ：响应曲线达到过调量的第一个峰值所需要的时间。

3. 调节时间t s ：响应曲线达到并永远保持在稳态值的误差范围内，即响应进入并保持在所需的误

差带之内所需的时间。 4. 超调量%σ：指系统输出响应超出稳态值的最大偏离量占稳态值的百分比，即

5. 稳态误差e ss ：系统期望值与实际输出的最终稳态值的差值。

第二节 一阶系统的时域分析

一、一阶系统的数学模型

当控制系统的数学模型为一阶微分方程时，称为一阶系统。

如图3-5系统的闭环传递函数：

二、一阶系统的时域响应及性能分析

1. 一阶系统的单位脉冲响应

当输入信号为理想单位脉冲函数时，即R(s)＝1，输出量的拉氏变换与系统的传递函数相同，即 则单位脉冲响应为： 2. 一阶系统的单位阶跃响应

设输入 则输出量的拉氏变换: 单位阶跃响应为：

由响应曲线看出，系统响应由零开始按指数规律上升，最后趋于1。系统没有振荡，也没有超调。一阶系统的动态性能指标为调节时间。

当t=T 时，c(T)=0.632，这表明响应达到稳态值的63.2%所需的时间。

当t=3T 时，c(t)=0.95，故t s =3T （按%5±误差带）

当t=4T 时，c(t)=0.98，故t s =4T （按%2±误差带）

稳态误差e ss =0。

3. 一阶系统的单位斜坡响应

设输入 则输出量的拉氏变换：

单位斜坡响应为： 为时间常数。，T TS s R s C s G 1

1)()()(+==01)(≥=-t e T t c T t TS T S T S S TS s R s s C ++-=⋅+==11111)()()(222φt T

t T Te T t e T t t c 11)1()(--+-=--=T s T

Ts s s C 11

11)()(+=+==φ2/1)(s

s R =s s R /1)(=T S T S S TS s R s s C 11111)()()(+-=⋅+==φT t e t c --=1)(%100)()()(%⨯∞∞-=c c t c p σ)1()()()()(11T t T e T Te T t t t r t c t e ---=+--=-=

输入与输出之间的误差为：

则稳态误差T t e t ess =∞→=)(lim 例3-1：一阶系统的结构如图所示，k k 为放大系数，K H 为反馈系数。若K K =100，K H =0.1。求系统的调节时间t s （按%5±误差带）。如果t s =0.1s ，求反馈系数。 解：由结构图得系统的闭环传递函数：

()。，，得s T t s T s s s s s 3.031.011.0101.01001100

===+=⨯+=Φ