高三数学第五次月考试题 理
2019届高三数学第五次月考试题 理
1．已知全集U ＝R ，集合1
{|2}2
x
A x ≤，
B ＝{x|x≤0}，则（U
A ）∩B＝
A ．（－1，0）
B ．（－∞，－1）
C ．（－1，0]
D ．（－∞，0]
2．若复数z 满足2z ＋1＝2i ，则z A ．12
i -- B ．
12i - C ．12i +
D ．12
i -+
3．若向量(1,2)=AB ，(4,2)=-BC ，则AC A ．25
B ．5
C ．20
D ．25
4．右图为射击使用的靶子，靶中最小的圆的半径为1，靶中各圆的半径依次加1，在靶中随机取一点，则此点取自黑色部分（7环到9环）的概率是
A ．
20
π
B．
25
3π
C．
25
3
D．
20
3
5．设x，y满足约束条件
10,
5,
1,
x y
x y
x
-+≤
?
?
+≤
?
?≥
?
则z＝－2x－y的最小值是
A．－8
B．－7
C．－6
D．－4
6．在公差为2的等差数列{a n}中，a3－2a5＝4，则a4－2a7＝
A．－4
B．－2
C．－6
D．－8
7．某几何体的三视图如图所示，其中圆的半径均为1，则该几何体的体积为
A．
4
208
3
π
+
B．
4
216
3
π
+
C．
32
208
3
π
+
D．
32
216
3
π
+
8．已知圆C：（x－3）2＋（y－4）2＝1与圆M关于x轴对称，Q为圆M上的动点，当Q到直线y＝x＋2的距离最小时，Q的横坐标为
A．
2 2
2 -
B．
2 2
2±
C．
2 3
2 -
D．
2 3
2±
9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论．主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题．其规律是：偶数项是序号平方再除以2，奇数项是序号平方减1再除以2，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，如图所示的程序框图是为了得到大衍数列的前100项而设计的，那么在两个“”中，可以先后填入
A．n是偶数，n≥100
B．n是奇数，n≥100
C．n是偶数，n＞100
D．n是奇数，n＞100
10．在侦破某一起案件时，警方要从甲、乙、丙、丁四名可疑人员中查出真正的嫌疑人，现有四条明确的信息：（1）此案是两人共同作案；（2）若甲参与此案，则丙一定没参与；（3）若乙参与此案，则丁一定参与；（4）若丙没参与此案，则丁也一定没参与．据此可以判断参与此案的两名嫌疑人是 A ．甲、乙 B ．乙、丙 C ．丙、丁 D ．甲、丁
11
．将函数sin 22y x x =的图象向左平移(0)2
??π
<≤个单位长度后得到f （x ）的图象．若f （x ）在（
4π，2
π
）上单调递减，则φ的取值范围为 A ．[
3π，2π] B ．[6π，2π]
C ．[3π，125π]
D ．[6π，12
5π]
12．设双曲线Ω：22
221x y a b
-=（a ＞0，b ＞0）的左顶点与右焦点分别为A ，F ，以线段AF
为底边作一个等腰△AFB ，且AF 边上的高h ＝|AF|．若△AFB 的垂心恰好在Ω的一条渐近
线上，且Ω的离心率为e ，则下列判断正确的是 A ．存在唯一的e ，且e ∈（
2
3
，2） B ．存在两个不同的e ，且一个在区间（1，23）内，另一个在区间（2
3
，2）内 C ．存在唯一的e ，且e ∈（1，
2
3
） D ．存在两个不同的P ，且一个在区间（1，23）内，另一个在区间∈（2，2
5
）内 二、填空题
13．若x ＝1是函数3
()a
f x x x
=+
的一个极值点，则a ＝________． 14．设正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 7－S 5－3（a 4＋a 5），则37
9
4a a +的最小值为________．
15．若2
5
1
(3)(2)x a x x
--的展开式中x 3的系数为80，则a ＝________．
16．在四面体ABCD 中，AD ⊥底面ABC
，AB AC ==BC ＝2，点G 为△ABC 的重
心，若四面体ABCD的外接球的表面积为
9
244
π，则tan ∠AGD ＝________． 三、解答题
17．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a －b ＝1，2
2cos cos 212
A B
C +-=，3sinB ＝2sinA ．
（1）求角C 的大小； （2）求
c
b
的值． 18．如图，三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，BC ＝BD ＝2，23AB =，E ，F ，G 分别是棱CD ，AD ，AB 的中点．
（1）证明：平面ABE ⊥平面ACD ； （2）求二面角A －EG －F 的余弦值．
19．自xx10月习近平主席提出建设“一带一路”的合作倡议以来，我国积极建立与沿线国家的经济合作伙伴关系．某公司为了扩大生产规模，欲在海上丝绸之路经济带（南线）：泉州－福州－广州－海口－北海（广西）－河内－吉隆坡－雅加达－科伦坡－加尔各答－内罗毕－雅典－威尼斯的13个城市中选择3个城市建设自己的工业厂房，根据这13个城市的需求量生产某产品，并将其销往这13个城市．
（1）求所选的3个城市中至少有1个在国内的概率；
（2）已知每间工业厂房的月产量为10万件，若一间厂房正常生产，则每月可获得利润100万；若一间厂房闲置，则该厂房每月亏损50万．该公司为了确定建设工业厂房的数目n （10≤n≤13，n ∈N *），统计了近5年来这13个城市中该产品的月需求量数据，得如下频数分布表：
月需求量（单位：万件）
100 110 120 130 月份数
6
24
18
12
若以每月需求量的频率代替每月需求量的概率，欲使该产品的每月总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房多少间？
20．已知椭圆C1：
22
22
1
x y
a b
+=（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，右顶点为A，且
C1过点
2
B，圆O是以线段F1F2为直径的圆，经过点A且倾斜角为30°的直线与圆O相切．
（1）求椭圆C1及圆O的方程；
（2）是否存在直线l，使得直线l与圆O相切，与椭圆C1交于C，D两点，且满足||||
OC OD CD
+=？若存在，请求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．
21．已知函数
ln ()
ax x
g x
x
+
=．
（1）求g（x）的单调区间与最大值；
（2）设f（x）＝x·g（x）在区间（0，e]（e为自然对数底数）上的最大值为－1－ln10，求a的值．
22．[选修4－4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
2
21,
21,
x t
y t
?=-
?
=-
?
（t为参数）．以直角坐标系的原点
为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为ρ（2sinθ－cosθ）＝m
（1）求曲线C的普通方程；
（2）若l与曲线C相切，且l与坐标轴交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．23．[选修4－5：不等式选讲]
已知函数f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|，g（x）＝|4x－1|－|x＋2|．
（1）求不等式g（x）＜6的解集；
（2）若存在x1，x2∈R，使得f（x1）和g（x2）互为相反数，求a的取值范围．
高三数学试卷参考答案（理科）
1．C
2．A
3．B
4．D
5．B
6．B
7．A
8．C
9．D
10．C
11．D
12．A
13．3
14．4
15．－2 16．2
17．解：（1）由2
2cos
cos 212
A B
C +-=，得cos2C ＋
cosC ＝0， 所以2cos 2C ＋cosC －1＝0， 解得1
cos 2
C =，cosC ＝－1（舍去）． 从而3
C π=
． （1）因为3sinB －2sinA ，所以3b ＝2a ． 又a －b ＝1，所以a ＝3，b ＝2． 根据余弦定理口可得9467c =+-=
，
所以
72
c b =． 18．（1）证明：因为BC ＝BD ，E 是棱CD 的中点，所以BE ⊥CD ． 又三棱锥B －ACD 的三条侧棱两两垂直，且BC∩BD＝B ， 所以AB ⊥平面BCD ，则AB ⊥CD ．
因为AB∩BE＝B ，所以CD ⊥平面ABE ，
又CD ?平面ACD ，所以平面ABE ⊥平面ACD ．
（2）解：以B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系B －xyz ， 则A （0，0，23），G （0，0，3），E （1，1，0），F （0，1，3），
(0,1,0)GF =，(1,0,3)EF =-，
设平面EFG 的法向量为n ＝（x ，y ，z ），
则00
n GF n EF ??=???=??，即030y x z =???-+=??，
令3x =
，则(3,0,1)n =．
由（1）知，平面AEG的一个法向量为(2,2,0)
CD=-，
所以cos,
CD n ==．
由图可知，二面角A－EG－F为锐角，故二面角A－EG
－F的余弦值为
4
19．解：（1）记事件A为“该公司所选的3个城市中至少有1个在国内”，
则
3
8
3
13
28115 ()1()11
143143
C
P A P A
C
=-=-=-=，
所以该公司所选的3个城市中至少有1个在国内的概率为115 143
．
（2）设该产品每月的总利润为Y．
①当n＝10时，Y＝1000万元．
所以E（Y）＝950×0.1＋1100×0.9＝1085万元．
③当n＝12时，y的分布列为
所以E（Y）＝900×0.1＋1050×0.4＋1200×0.5＝1110万元．
④当n＝13时，Y的分布列为
综上①②③④可知，当n＝12时，E（Y）＝1110万元最大，
所以欲使公司该产品的总利润的数学期望达到最大，应建设工业厂房12间．20．解：（1）易知F1（－c，0），F2（c，0），A（a，0），圆O的方程为x2＋y2＝c2．
由题可知22222sin 303
314c
a a
b a b
c ?=???
?+=???=+??
，解得a ＝2
，b =c ＝1．
所以椭圆C 1的方程22
143
x y +=，圆0的方程为x 2＋y 2＝1． （2）假设存在直线l 满足题意．
（i ）当直线l 的斜率不存在时，此时l 的方程为x ＝±1． 当l ：x ＝1，C （1，3
2），D （1，32
-
），||2OC OD +=，||3CD =，所以||||OC OD CD +≠． 同理可得，当l ：x ＝－1时，||||OC OD CD +≠．
（ii ）当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y ＝kx ＋m ，设C （x 1，x 2），D （x 2，y 2）， 因为直线l 与圆O
1=，即m 2＝k 2＋1①，
联立方程组2214
3y kx m
x y =+??
?+=??，整理得（3＋4k 2）x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0，
由根与系数的关系得122
2
12283441234km x x k m x x k -?+=??+?-?=?+?
． 因为||||OC OD CD +=，所以||||OC OD OD OC +=-，则0OC OD ?=， 即x 1x 2＋y 1y 2＝0．
所以x 1x 2＋（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）＝（1＋k 2）x 1x 2＋km （x 1＋x 2）＋m 2＝0，
所22
222
4128(1)03434m km
K km m k k
--+++=++， 整理得7m 2－12k 2－12＝0②，
联立①②，得k 2＝－1，此时方程无解． 由（i ）（ii ）可知，不存在直线l 满足题意． 21．解：（1）g （x ）的定义域为（0，＋∞）． 因为ln ()x g x a x =+
，所以2
1ln ()x
g x x -'=．令g′（x ）＝0，得x ＝e ．
当x ∈（0，e ）时，g′（x ）＞0，在（0，e ）上g （x ）是增函数；
当x ∈（e ，＋∞）时，g′（x ）＜0，在（e ，＋∞）上g （x ）是减函数， 所以max 1()()g x g e a e
==+
． （2）因为f （x ）＝x ·g （x ）＝ax ＋lnx ，所以1()f x a x '=+
，x ∈（0，e]，则11
[,)x e
∈+∞． ①若1
a e ≥-，则f′（x ）≥0，从而f （x ）在（0，e]上是增函数， 所以f （x ）max ＝f （e ）＝ae ＋1≥0，不合题意． ②若1a e
<-，则由f ′（x ）≥0，1()0f x a x '=+≥，得10x a
<≤-． 由1()0f x a x '=+
≤，得1
x e a
-≤≤， 从而f （x ）在（0，1a -]上为增函数，在[1
a -，e]为减函数，
所以max 11
()()1ln()1ln10f x f a a
=-=-+-=--．
由1
ln()ln10a
-=-，得a ＝－10．
22．解：（1）由y ＝2t －1，得1
2
y t +=，
22
1212()12
y x t +=-=-，即（y ＋1）2＝2（x ＋1）
， 故曲线C 的普通方程为（y ＋1）2＝2（x ＋1）． （2）由ρ（2sinθcosθ）＝m ，得2y －x ＝m ，
联立2(1)2(1)2y x y x m
?+=+?-=?，得y 2－2y ＋2m －1＝0，
因为l 与曲线C 相切，所以Δ＝4－4（2m －1）＝0，m ＝1． 所以l 的方程为2y －x ＝1，不妨假设A （0，
12），则B （1，0），线段AB 的巾点为（12
-，1
4
）．
所以||2
AB =
，又OA ⊥OB ，
故以AB 为直径的圆的直角坐标方程为2
2
2
11()()(2
4
4
x y ++-=， 其对应的极坐标方程为1
sin cos 2
ρθθ=
-．
23．解：（1）由题意可得
33,2
1 ()51,2
4
1
33,
4
x x
g x x x
x x
?
?-+≤-
?
?
=---<<
?
?
?
-≥
??
，
当x≤－2时，－3x＋3＜6，得x＞－1，无解；
当
1
2
4
x
-<<，－5x－1＜6，得
7
5
x>-，即
71
54
x
-<<；
当
1
4
x≥，3x－3＜6，得
1
3
4
x
≤<．
综上，g（x）＜6的解集为
7
{|3}
5
x x
-<<．
（2）因为存在x1，x2∈R，使得f（x1）＝－g（x2）成立，
所以{y|y＝f（x），x∈R}∩{y|y＝－g（x），x∈R}≠?．
又f（x）＝3|x－a|＋|3x＋1|≥|（3x－3a）－（3x＋1）|＝|3a＋1|，
由（1）可知g（x）∈[
9
4
-，＋∞]，则－g（x）∈（－∞，
9
4
]．
所以
9
|31|
4
a+≤，解得
135
1212
a
-≤≤．
故a的取值范围为[
13
12
-，
5
12
]．
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