一元二次不等式解法专题知识梳理及典型练习题(含答案)

一元二次不等式解法专题

一.一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系

判别式 Δ＝b 2－4ac Δ＞0

Δ＝0

Δ＜0

二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象

一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根 有两相异实根 x 1，x 2(x 1＜x 2) 有两相等实根 x 1＝x 2＝－b

2a

没有实数根

ax 2＋bx ＋c ＞0 (a ＞0)

的解集

{x |x ＞x 2或x ＜

x 1} ⎩

⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－b 2a

R

ax 2＋bx ＋c ＜0 (a ＞0)

的解集 {x |x 1＜x ＜x 2}

Φ Φ

二.穿针引线法

例 1 解下列不等式：（1）x x ≥-2414 （2）0822≥+--x x （3）

0)3)(2(>-+x x

例2 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝________，b ＝_____．

例3(穿针引线法） 解不等式：(x-1)2(x+1)(x-2)(x+4)<0

例4 不等式x

x ->

+11

1的解集为（ ）

A ．{x|x ＞0}

B ．{x|x≥1}

C ．{x|x ＞1}

D ．{x|x ＞1或x ＝0}

解不等式化为＋－

＞，通分得＞，即＞，

1x 0001

11122

----x

x x x

x ∵x 2＞0，∴x －1＞0，即x ＞1．选C ． 例5 与不等式

023

≥--x

x 同解得不等式是（ ） A ．(x －3)(2－x)≥0 B ．0＜x －2≤1

C ．

≥230

--x

x

D ．(x －3)(2－x)≤0 练习1：

1．不等式x 2－3x ＋2＜0的解集为( )． A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D ．(1,2)

答案 D

2．(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )． A.⎝ ⎛⎭⎪⎫

－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)

故原不等式的解集为⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)． 答案 D

3．不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．

A.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |x ≠－13

B.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

－13

C.⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

x |－13≤x ≤13 D ．R

答案 B

4．若不等式ax 2

＋bx －2＜0

的解集为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x |－2＜x ＜14，则ab ＝( )．

A ．－28

B ．－26

C ．28

D ．26 答案 C

5.函数f (x )＝2x 2＋x －3＋log 3(3＋2x －x 2)的定义域为________． 解析 依题意知⎩⎨⎧

2x 2＋x －3≥0，

3＋2x －x 2

＞0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ≤－32或x ≥1，－1＜x ＜3.∴1≤x ＜3.故函数f (x )的定义域为[1,3)．

答案 [1,3)

6.已知函数f (x )＝⎩⎨⎧

x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，

解不等式f (x )＞3.

[审题视点] 对x 分x ≥0、x ＜0进行讨论从而把f (x )＞3变成两个不等式组． 解 由题意知⎩⎨⎧ x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎨⎧

x ＜0，

－x 2＋2x ＞3，解得：x ＞1.

故原不等式的解集为{x |x ＞1}．

例不等式

＜的解为＜或＞，则的值为7 1{x|x 1x 2}a ax

x -1

A a

B a

C a

D a ．＜

．＞

．＝

．＝－

1212

1

21

2

分析可以先将不等式整理为

＜，转化为 0()a x x -+-11

1

[(a －1)x ＋1](x －1)＜0，根据其解集为{x|x ＜1或x ＞2}

可知－＜，即＜，且－

＝，∴＝．a 10a 12a 111

2

a - 选C ．

例解不等式≥．8 237

23

2x x x -+-

解 先将原不等式转化为

37

23

202x x x -+--≥

即≥，所以≤．

由于＋＋＝＋＋＞，

---+-+++-21232123

147

8

2222x x x x x x x x 002x x 12(x )022

∴不等式进一步转化为同解不等式x 2＋2x －3＜0，

即(x ＋3)(x －1)＜0，解之得－3＜x ＜1．解集为{x|－3＜x ＜1｝． 说明：解不等式就是逐步转化，将陌生问题化归为熟悉问题． 练习2

1.(x+4)(x+5)2(2-x)3＜0．

2.解下列不等式

(1);2

2

123+-≤-x x 127314)2(2

2<+-+-x x x x

3.解下列不等式

1x 5x 2)2(;3x 1x 1+>+-≤-）（