正弦定理教案全
1.1.1 正弦定理
教学要求:通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法;会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 教学重点:正弦定理的探索和证明及其基本应用.
教学难点:已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数. 教学过程:
一、复习引入:
1.在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角的边角关系?是否可以把边、角关系准确量化?
2.在ABC ?中,角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,,你能发现它们之间有什么关系吗? 结论★: 。 二、讲授新课:
探究一:在直角三角形中,你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?
直角三角形中的正弦定理: sin A =
c a sin B =c b
sin C =1 即c =sin sin sin a b c A B C
==. 探究二:能否推广到斜三角形? (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
当?ABC 是锐角三角形时,设边AB 上的高是CD ,根据三角函数的定义,有
sin sin CD a B b A ==,则
sin sin a b A B =. 同理,sin sin a c
A C
=
(思考如何作高?),从而sin sin sin a b c A B C
==
. 探究三:你能用其他方法证明吗? 1. 证明一:(等积法)在任意斜△ABC 当中
S △ABC =111
sin sin sin 222
ab C ac B bc A ==.
两边同除以12abc 即得:sin a A =sin b
B =sin c C
.
2.证明二:(外接圆法)如图所示,∠A =∠D ,∴2sin sin a a
CD R A D
===, 同理
sin b
B
=2R ,sin c C =2R .
3.证明三:(向量法)过A 作单位向量j 垂直于AC ,由AC +CB =AB 边同乘以单位向量j 得…..
正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即
sin sin a
b
A
B
=
sin c
C
=
=2R
[理解定理]
1公式的变形:
C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2)1(===C
B A c b a sin :sin :sin ::)3(=,2sin ,2sin ,2sin )2(R
c
C R b B R a A ===B
b C
c C c A a B b A a sin sin ,sin sin ,sin sin )
4(=
==
2.正弦定理的基本作用为:
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边,如sin sin b A
a B
=
; ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值,如sin sin a A B b
=。 一般地,已知三角形的某些边和角,求其他的边和角的过程叫作解三角形. 3.利用正弦定理解三角形使,经常用到:
①π=++C B A ②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+③C ab S abc sin 2
1
=? 三、 教学例题:
例1 已知在B b a C A c ABC 和求中,,,30,45,1000===?.
分析已知条件 → 讨论如何利用边角关系 → 示范格式 → 小结:已知两角一边 解:0030,45,10===C A c ∴00105)(180=+-=C A B
由C c
A a sin sin =
得 21030sin 45sin 10sin sin 0
0=?==C A c a 由C
c B b sin sin =得 256575sin 2030sin 105sin 10sin sin 0
0+==?==C B c b 评述:此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角和两角所夹的边,也是先
利用内角和180°求出第三角,再利用正弦定理.
例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===?
解:2
3
245sin 6sin sin ,sin sin 0=?==∴=a A
c C C c A a
0012060,1800或=∴?<
1360
sin 75sin 6sin sin ,75600
+==
===∴C
B
c b B C 时,当, 1360sin 15sin 6sin sin ,151200
-=====∴C B c b B C 时,当 或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b
练习:P4 —— 1.2题
例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===?
解:∵
21
3
60sin 1sin sin ,sin sin 0=?==∴=b B c C C c B b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B C B c b 为锐角,
∴222=+=c b a
【变式】 02,135,3,ABC a A b B ?===中,求 四、 小结:
五、课后作业
1在△ABC 中,
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( 2A ) A 2R B R
C 4R
D 2
(R 为△ABC 外接圆半径)
2 在ABC ?中,已知角3
3
4,2245=
==b c B , ,则角A 的值是 A. 15 B. 75 C.
105 D.
75或
15 3、在△ABC 中,?=?=c b a B A ::,60,30则若 2:3:1
4、在ABC ?中,若14,6760===a b B ,
,则A= 。
5、在△ABC 中,?=?==120,30,6B A AB ,则三角形ABC 的面积为 39 5、在ABC ?中,已知 45,2,3===B b a ,解三角形。
六、心得反思
1.1.1正弦定理学案
学习目标:
①发现并掌握正弦定理及其证明方法;②会用正弦定理解决三角形中的简单问题。 预习自测
1. 正弦定理的数学表达式
2. 一般地,把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边 叫做三角形的元素.已知三角形
的几个元素求其他元素的过程叫做 . 3.利用正弦定理可以解决两类三角形的问题 (1) (2)
问题引入:
1、在任意三角形行中有大边对大角,小边对小角的边角关系.是否可以把边、角关系准确量化?
2、在ABC 中,角A 、B 、C 的正弦对边分别是c b a ,,,你能发现它们之间有什么关系吗? 结论★: 。 二 合作探究:
1、探究一:在直角三角形中,你能发现三边和三边所对角的正弦的关系吗?
2、探究二:能否推广到斜三角形? (先研究锐角三角形,再探究钝角三角形)
3、探究三:你能用其他方法证明吗?
4、正弦定理的变形:
5、正弦定理的应用(能解决哪类问题):
三例题讲解
例1 已知在B b a C A c ABC 和求中,,,30,45,1000===?
例2 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中,===?
例3在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中,===?
【变式】02,135,3,ABC a A b B ?===中,求
思考:通过上面的问题,你对使用正弦定理有什么想法? 四 课堂练习:必修5课本P4 T1、2 五 课后作业:
1在△ABC 中,
k C
c
B b A a ===sin sin sin ,则k 为( ) A 2R B R
C 4R
D R 2
1
(R 为△ABC 外接圆半径)
2△ABC 中,sin 2A = sin 2B +sin 2C ,则△ABC 为( )
A 直角三角形
B 等腰直角三角形
C D 等腰三角形
3在ABC ?中,已知角3
3
4,2245=
==b c B ,
,则角A 的值是 A. 15 B. 75 C.
105 D.
75或
15
4、在ABC ?中,若14,6760===a b B ,
,则A= 。
5、在ABC ?中,已知 45,2,3===B b a ,解三角形。
六 心得反思
1.1.2解三角形的进一步讨论
教学目标
掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;三角形各种类型的判定方法。 教学重点
在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形; 三角形各种类型的判定方法。 教学过程 Ⅰ.课题导入 [创设情景]
思考:在?ABC 中,已知22a cm =,25b cm =,0133A =,解三角形。
(由学生阅读课本第9页解答过程)
从此题的分析我们发现,在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 Ⅱ.讲授新课 [探索研究]
探究一.在?ABC 中,已知,,a b A ,讨论三角形解的情况
分析:先由sin sin b A
B a
=
可进一步求出B ; 则0180()C A B =-+ ,从而A
C
a c sin sin =
1.当A 为钝角或直角时,必须a b >才能有且只有一解;否则无解。 2.当A 为锐角时,如果a ≥b ,那么只有一解; 3.如果a b <,那么可以分下面三种情况来讨论: (1)若sin a b A >,则有两解; (2)若sin a b A =,则只有一解; (3)若sin a b A <,则无解。
(以上解答过程详见课本第910页)
评述:注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时,有两解;其它情况时则只有一解或无解。 探究二 你能画出图来表示上面各种情形下的三角形的解吗?
三例题讲解
例1.根据下列条件,判断解三角形的情况 (1) a =20,b =28,A =120°.无解 (2)a =28,b =20,A =45°;一解 (3)c =54,b =39,C =115°;一解 (4) b =11,a =20,B =30°;两解
[随堂练习1]
(1)在?ABC 中,已知80a =,100b =,045A ∠=,试判断此三角形的解的情况。 (2)在?ABC 中,若1a =,1
2
c =
,040C ∠=,则符合题意的b 的值有_____个。 (3)在?ABC 中,a xcm =,2b cm =,045B ∠=,如果利用正弦定理解三角形有两解,求x 的取值范围。
(答案:(1)有两解;(2)0;(3)222x <<)
例2.在ABC ?中,已知,cos cos cos a b c
A B C
==判断ABC ?的形状. 解:令
sin a
k A
=,由正弦定理,得sin a k A =,sin b k B =,sin c k C =.代入已知条件,得sin sin sin cos cos cos A B C A B C
==
,即tan tan tan A B C ==.又A ,B ,C (0,)π∈,所以A B C ==,从而ABC ?为正三角形.
说明:(1)判断三角形的形状特征,必须深入研究边与边的大小关系:是否两边相等?是否三边相等?还要研究角与角的大小关系:是否两角相等?是否三角相等?有无直角?有无钝角? (2)此类问题常用正弦定理(或将学习的余弦定理)进行代换、转化、化简、运算,揭示出边与边,或角与角的关系,或求出角的大小,从而作出正确的判断. [随堂练习2]
1.△ABC 中, C B A 2
2
2
sin sin sin += ,则△ABC 为( A )
A.直角三角形
B.等腰直角三角形
C.等边三角形
D.等腰三角形
2. 已知?ABC 满足条件cos cos a A b B =,判断?ABC 的类型。 答案: ?ABC 是等腰或直角三角形 Ⅳ.课时小结
(1)在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时,有两解或一解或无解等情形;