专题17 平面向量与其它知识点综合-2020年高考数学(理)一轮总复习之三角函数、三角形、平面向量(原卷版)

专题17 平面向量与其它知识点综合

一、本专题要特别小心：

1.平面向量的几何意义应用

2. 平面向量与三角形的心

3. 向量垂直的应用

4.向量的数量积问题等综合问题

5. 向量夹角为锐角、钝角时注意问题

6.向量数量积在解析几何中应用

7.向量数量积在三角形中的应用。

二．【学习目标】

1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．

2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题

三．【方法总结】

1.用向量解决平面几何问题的步骤

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

(3)把运算结果“翻译”成几何关系.

2.应用向量解决问题的关键是要构造合适的向量，观察条件和结构，选择使用向量的某些性质解决相应的问题，如用数量积解决垂直、夹角问题，用三角形法则、模长公式解决平面几何线段长度问题，用向量共线解决三点共线问题等，总之，要应用向量，如果题设条件中有向量，则可以联想性质直接使用，如果没有向量，则更需要有向量工具的应用意识，强化知识的联系，善于构造向量解决问题.

3.几点注意事项

(1)在处理三点共线问题时，转化为两个向量共线解决，需说明两个向量有公共点，两直线不能平行，只能重合.

(2)在解决夹角问题时，应注意向量的方向，向量的夹角与所求角可能相等，也可能互补.

(3)证明垂直问题一般要经过向量的运算得到数量积a·b ＝0，尽量用坐标运算.

四．【题型方法】

（一）向量与三角形的综合

例1.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 1:1:A B C =12ABC

S ∆=，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 的值是（ ）

A ．2 B

C ．2-

D ．

练习1. 已知ABC ∆，6AB =，3AC =，N 是边BC 上的点，且2BN NC =u u u r u u u r ，O 为ABC ∆的外心，AN AO u u u r u u u r

g 的值为（ ）

A ．8

B ．10

C ．18

D ．9

练习2.已知向量()()sin sin ,cos cos m A C n C A ==u r r ，

，,sin 2m n B ⋅=u r r .且A B C ∠∠∠、、分别是V ABC 的三边a b c 、、所对的角.

（1）求B ∠；

（2）若24b a c =+=，，求V ABC 的面积.

练习3. 在中，内角的对边分别为，已知．

（1）求角的大小；

（2）若在边上，且，•，且，求．

（二）向量几何意义的灵活应用

例2. 设O 、A 、B 是平面内不共线的三点，记

，若P 为线段AB 垂直平分线上任意一点，且当时,则等于 （ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

练习1. 如图，是边长为2的等边三角形，点分别是的中点.

（Ⅰ）连接并延长到点，使得，求的值;

（Ⅱ）若点为边上的动点，多长时，最小，并求最小值．

练习2. 如图在△AOB中，D是边OB的中点，C是边OA上靠近O的三等分点，AD与BC交于M点．设=，=．

（1）用，表示；

（2）过点M的直线与边OA，OB分别交于E，F．设=p，=p，求+的值．

练习3. 如图,M是矩形ABCD的边CD上的一点,AC与BM交于点N,BN=BM.

(1)求证:M是CD的中点;

(2)若AB=2,BC=1,H是BM上异于点B的一动点,求的最小值.

（三）向量与三角函数化简及性质综合

例3. 已知向量(sin ,cos 2sin )a θθθ=-r ，(1,2)b =r .

（1）若//a b r r ，求2sin cos 13cos θθθ⋅+的值； （2）若a b =r r ，0θπ<<，求θ的值.

练习1. 已知

，，函数． （Ⅰ）求

的对称轴方程； （Ⅱ）求使成立的的取值集合； （III ） 若对任意实数

，不等式恒成立，求实数的取值范围．

练习2. 已知向量，函数，

（1）若，求的值；

（2）在中，角对边分别是，且满足，当B 取最大值时，，面积为，求

的值．

（四）向量与圆综合 例4. 已知a r ，b r 是单位向量，0a b ⋅=r r ，若向量c r 满足1c a b --=r r r ，则c r 的取值范围是__________．

练习1. 已知直线

过定点，线段是圆的直径，则

________.

练习2．如图，已知，B 为AC 的中点，分别以AB ，AC 为直径在AC 的同侧作半圆，M ，N 分别为两半圆上的动点不含端点A ，B ，，且，则的最大值为______．

练习3. 已知圆，过点的直线与圆相交于不同的两点，. （I ）判断

是否为定值.若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. （Ⅱ）若，求直线的方程.

（五）向量与圆锥曲线综合

例5. 已知椭圆，为其左、右焦点,为椭圆上除长轴端点外的任一点，为内一点，满足,的内心为，且有（其中为实数），则椭圆的离心率=_____

练习1. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，3且椭圆C 的上顶点到椭圆C 的左、右顶点的距离之和为5

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知点,P Q 是直线x t =上的不同两点，点P 为椭圆C 上一点，若点,P Q 满足2OQ PQ OP PQ ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，点M 在直线23x =2OQ QM ⋅=u u u r u u u u r

，直线l 过点Q 且垂直于直线OM ，其中O 为坐标原点，求证：点F 在直线l 上．