牛吃草问题(课堂PPT)
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[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 9×20=180份……原草量+20天的生长量 15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份
每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级) 自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
17
[自主训练] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走， 男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶 梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。 问该扶梯共有多少级？
草每天的减少量： （240-225）÷（9-8）=15份
原草量： 240+8×15=360份 或220+9×15=360份
11
例3 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发 现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀 完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在 6小时舀完，需要多少人？
解：假设1人1小时舀1份水
12×3=36份……原水量+3小时进水量
5×10=50份……原水量+10小时的进水量
每小时的进水量： （50-36）÷（10-3）=2份
原水量： 36-3×2=30份 或50-10×2=30份
12
30份 + 2份
2×6=12份 （30+12）份水需要几个人6小时舀完？
（30+12）÷6=7小时
牧 场 原有 草 量
6周 新 长的 草 量 23头 牛 吃9周 的 草量
牧 场 原有 草 量
9周 新 长的 草 量
3
解：假设1头牛每周吃的草的数量是1份
27×6=162份……原草量+6周的生长量 23×9=207份……原草量+9周的生长量
草每周的生长量： （207-162）÷（9-6）=15份
原草量： 27×6-15×6=72份 23×9-15×6=72份
分析] 这个问题的难点在于草的总量在变，但牧场上的牧草时刻都在匀速
生长，因此，草的总量是由两部分组成： （1）某个时间期限前，草场上原有的草量,并且是不变的 （2）某个时间期限后，草场每单位时间生长而新增的草量，并
且也是不变的。 因此，必须先设法求出这两个量来 ，我们可以画以下线段图:
27头 牛 吃6周 的 草量
3×36=108份……原水量+36分钟进水量
5×20=100份……原水量+20分钟的进水 每分量钟的进水量：
（108-100）÷（36-20）=0.5份 原水量： 108-36×0.5=90份
或100-20×0.5=90份
15Βιβλιοθήκη Baidu
90份 + 0.5份
8-0.5=7.5份 90份水需要8台抽水机几分钟舀完？
13
360份 - 15份
15头牛在吃 360份草可供21头牛吃几天？
360÷（21+15）=10天
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[自主训练] 有一口水井，持续不断地涌出水，而且每分 钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水36分钟可以抽 完，如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完，现在用8 台抽水机抽完水，需要几分钟？
解：假设1台抽水机1小时抽1份水
90÷（8-0.5）=12小时
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例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的 孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每 分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用 了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
男孩： 20×5 = 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
女孩： 15×6 = 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
原草量： 180-20×3=120份 150-10×3=120份
7
120份 + 3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？ 120÷（18-3）=8天
8
例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃 5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃 10天？
3×100=自动扶梯级数+100秒新增的级数
2×300=自动扶梯级数+300秒新增的级数 每秒新增的级数：
4
72份 + 15份
剩下21-15=6头
15头
6头牛吃72份草能吃几周？
72÷（21-15）=12 周
吃
5
同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： • ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； • ⑵草的生长速度=(对应牛的头数×对应较多天数-相应牛的头数×对应吃
÷ 的少的天数) （吃的较多的天数-吃的较少的天数）；
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份
原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
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150份 - 10份
剩下150-100=50份
10天减少 10×10=100份
• ⑶原来的草量=（对应牛的头数×吃的天数）-（草的生长速度×吃的天数）
• ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； • ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等， 只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路， 才能以不变应万变，轻松解决此类问题
1
1、牛吃草问题 牛吃草问题最先在牛顿的《普通算术》中出现，所以
人们又习惯上称之为牛顿的牛吃草问题。 2、牛顿牧场 牛顿牧场是理想牧场，在这个牧场上草是匀速生长的 3、牛吃草问题三部曲 （1）先算新生草量
（2）再算原有草量
（3）最后计算问题
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例1 牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃 9周.如果牧草每周匀速生长,可供21头牛吃几周？
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
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[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均 匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天， 可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 30×8=240份……原草量-8天的减少量 25×9=225份……原草量-9天的减少量
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 9×20=180份……原草量+20天的生长量 15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份
每分钟减少的级数= (20×5-15×6) ÷(6-5)=10(级) 自动扶梯的级数= 20×5+5×10=150（级）
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[自主训练] 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走， 男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶 梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。 问该扶梯共有多少级？
草每天的减少量： （240-225）÷（9-8）=15份
原草量： 240+8×15=360份 或220+9×15=360份
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例3 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发 现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀 完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在 6小时舀完，需要多少人？
解：假设1人1小时舀1份水
12×3=36份……原水量+3小时进水量
5×10=50份……原水量+10小时的进水量
每小时的进水量： （50-36）÷（10-3）=2份
原水量： 36-3×2=30份 或50-10×2=30份
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30份 + 2份
2×6=12份 （30+12）份水需要几个人6小时舀完？
（30+12）÷6=7小时
牧 场 原有 草 量
6周 新 长的 草 量 23头 牛 吃9周 的 草量
牧 场 原有 草 量
9周 新 长的 草 量
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解：假设1头牛每周吃的草的数量是1份
27×6=162份……原草量+6周的生长量 23×9=207份……原草量+9周的生长量
草每周的生长量： （207-162）÷（9-6）=15份
原草量： 27×6-15×6=72份 23×9-15×6=72份
分析] 这个问题的难点在于草的总量在变，但牧场上的牧草时刻都在匀速
生长，因此，草的总量是由两部分组成： （1）某个时间期限前，草场上原有的草量,并且是不变的 （2）某个时间期限后，草场每单位时间生长而新增的草量，并
且也是不变的。 因此，必须先设法求出这两个量来 ，我们可以画以下线段图:
27头 牛 吃6周 的 草量
3×36=108份……原水量+36分钟进水量
5×20=100份……原水量+20分钟的进水 每分量钟的进水量：
（108-100）÷（36-20）=0.5份 原水量： 108-36×0.5=90份
或100-20×0.5=90份
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90份 + 0.5份
8-0.5=7.5份 90份水需要8台抽水机几分钟舀完？
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360份 - 15份
15头牛在吃 360份草可供21头牛吃几天？
360÷（21+15）=10天
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[自主训练] 有一口水井，持续不断地涌出水，而且每分 钟涌出的水量相等。如果用3台抽水机抽水36分钟可以抽 完，如果用5台抽水机抽水，20分钟可以抽完，现在用8 台抽水机抽完水，需要几分钟？
解：假设1台抽水机1小时抽1份水
90÷（8-0.5）=12小时
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例4 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的 孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每 分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用 了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？
男孩： 20×5 = 自动扶梯的级数-5分钟减少的级数
女孩： 15×6 = 自动扶梯的级数-6分钟减少的级数
原草量： 180-20×3=120份 150-10×3=120份
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120份 + 3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？ 120÷（18-3）=8天
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例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反 而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃 5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃 10天？
3×100=自动扶梯级数+100秒新增的级数
2×300=自动扶梯级数+300秒新增的级数 每秒新增的级数：
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72份 + 15份
剩下21-15=6头
15头
6头牛吃72份草能吃几周？
72÷（21-15）=12 周
吃
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同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为： • ⑴设定1头牛1天吃草量为“1”； • ⑵草的生长速度=(对应牛的头数×对应较多天数-相应牛的头数×对应吃
÷ 的少的天数) （吃的较多的天数-吃的较少的天数）；
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
20×5=100份……原草量-5天的减少量
15×6=90份……原草量-6天的减少量
草每天的减少量： （100-90）÷（6-5）=10份
原草量： 100+5×10=150份 或90+6×10=150份
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150份 - 10份
剩下150-100=50份
10天减少 10×10=100份
• ⑶原来的草量=（对应牛的头数×吃的天数）-（草的生长速度×吃的天数）
• ⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)； • ⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．
“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等， 只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路， 才能以不变应万变，轻松解决此类问题
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1、牛吃草问题 牛吃草问题最先在牛顿的《普通算术》中出现，所以
人们又习惯上称之为牛顿的牛吃草问题。 2、牛顿牧场 牛顿牧场是理想牧场，在这个牧场上草是匀速生长的 3、牛吃草问题三部曲 （1）先算新生草量
（2）再算原有草量
（3）最后计算问题
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例1 牧场上有一片牧草,可供27头牛吃6周,或者供23头牛吃 9周.如果牧草每周匀速生长,可供21头牛吃几周？
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
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[自主训练] 由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均 匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天， 可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份 30×8=240份……原草量-8天的减少量 25×9=225份……原草量-9天的减少量