最新期末考试监考安排 数学建模

承诺书

我们仔细阅读了数学建模竞赛选拔的规则.

我们完全明白，在做题期间不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与选拔题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反选拔规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守选拔规则，以保证选拔的公正、公平性。如有违反选拔规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： A

队员签名：1. 罗艳兵

2. 王玉霄

3. 刘卫想

日期： 2012 年 8 月 19 日

编号专用页评阅编号（评阅前进行编号）：

题目：期末考试监考安排

摘要

本文就期末考试监考考场安排问题，提出一般性的假设，确定合适的约束条件，建立了相应的数学规划模型，并结合人工排考方法，进一步优化排考问题。并分别从时间安排，考场安排、监考安排三个方面建立相应的数学模型，以解决考试时间，考场，考试专业以及监考教师安排的问题。

针对问题一、二，我们假设具有同一门课程的专业同时考试，建立考场安排与监考教师安排模型时，仅安排无限制的教师监考，再结合人工排考方法将具有特殊情况的教师安排监考。利用Excel等数据处理工具统计出各课程考试的人数（见表二）。并通过排列组合，用枚举法列出所有的考试时间模式，从中筛选出合理的考试时间模式（见表一）。再分别结合考试时间、考场情况、监考老师等约束条件建立线性规划模型，经Lingo 求解得最短考试时间为2天。进而得到相应的考场安排表分别见表四、表五。

针对问题三，假设考试课程最多的专业每天均考一门，则最短考试时间为6天，每场考试采用30个考场，因而我们得出共有12个考试时间段，建立数学优化模型，来求出每门课程考试的时间间隔，而对部分考场安排结合人工排考，可得具体考试安排见表六。。

针对第四问，在建立完数学模型后，我们建立平均考场容量利用率的评价模型来评价各时间段考场安排的合理程度，得出本文所建模式的平均考场容量利用率约为93%，此利用率对于一整天而言考场利用率已经较大，但也存在数个考场利用率低于90%的情况，对延长考试总天数产生影响。

关键词：线性规划模型；整数规划模型；数学优化模型；枚举法

一、问题重述

1.背景

每学期期末,各院系教务人员都要针对学校教务处下达的考试任务进行监考教师安排,传统的手工安排方式效率低且容易出错。我们从数学方面分析该问题，以期能给各院系教务人员有所帮助。

假设某学院期末考试开始时间为2013年1月6日，每天（周一到周日均可）可分为三个考试时间段即：上午8:00—11:45；下午14:20—17:30；晚上19:45—21:20。现有80位监考教师(A1—A80)，其中A1—A10、A11—A20监考场数分别不能超过两场，三场。A21-A80监考场数没有限制。要求每2个老师监考一个考场，并保证各种情况下的教师监考场数尽量平均。学院共有100门考试(B1-B100)，其中B1—B20、B21—B80、B81-B100所需的考试时间分别是60分钟、90分钟、120分钟。参加考试的共有50个专业，各专业的人数，参加考试的课程见附表一的excel表格，同时假设每个专业内的学生所选的课程一致。目前共有50个教室(D1-D50)可供选择，其中,D1—D15可以容纳30人考试；D16——D40可以容纳45人考试；D41——D50可以容纳60人考试。一个教室前后2门课程的考试时间间隔不能少于20分钟。

2.问题

（1）、假设不能出现合考的情况，即不能把2门不同的课程放在同一考场一起考试。求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。

（2）、如果允许合考的情况，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。

（3）、为了便于学生的期末复习，学校规定每个专业一天只能考试一门课程，并且老师一天最多监考2场，2场考试不能在同一时间段，其他条件不变，求出期末考试的最短时间，并做出期末考试的考场安排表。

（4）、请给各院系教务人员安排期末监考的一些建议，并评价一下模型的优缺点。

二、问题分析

首先，应当确定出考试时间段的划分的所有可能的组合模式，即在上午、下午、晚上各个考试时间段中，可以安排60min,90min,120min3种情况不同的组合模式。其次从中挑选出合理的时间组合模式，合理的考试时间组合模式是在每个考试时间段中除去在该时间段中考试时间后所剩余的时间应小于每场考试的时间。因而通过筛选利用枚举法得出18种组合模式，如表一所示。再通过约束条件用LINGO求解得出采用某种模式以及其采用该模式的天数，最终得出考试时间的具体情况。

监考教师的安排属于指派问题。受监考教师的具体情况限制，每场考试最多采用40个考场考试，因此对于问题二在允许合考的情况下，应充分利用考场容量,对各考场进

行合理的安排,即整个考试过程中存在两个D10-D50，一个D16-D50，其余全为D20-D50,进而缩短考试时间。

对于问题三，提出假设有最多门考试课程的专业每天都只能考一门，若每场考试采用30个考场，则每场考试的最大考场容量可为1500人。则符合若每天在两个时间段共进行两场考试，所有专业每天参加考试的考生人数不超过其考场总容量3000。同时有最多考试课程的专业要考试的课程有六门,因此，我们得出最多有12个时间段。最后,建立模型求解并结合人工排考优化考场安排。

对于问题四，目前需要考虑的有监考老师，考试总时间和考场三个因素。一个合理的考场安排不仅仅追求考试总时间最小，还要给教师、学生一定的休息时间，因此我们应使考场的利用率最大，即用平均考场容量利用率来评价各时间段考场安排的合理程度。

三 模型假设

1.假设具有相同课程的专业同时参加考试；

2.每场考试需参加考试的学生均到场；

3.每个安排有考试的考场均能正常进行考试。

四 符号说明

a A ：表示监考老师编号，1,2,3,,80;a =

b B ：表示考试课程编号，1,2,3,,100;b =

c C ：表示考试专业编号，1,2,3,,50;c =

d D ：表示考场教室编号，1,2,3,

,50;d =

m M ：表示第m 种考场安排模式，1,2,3,,18;m =

d R ：表示第d 个考场的容量，1,2,3,

,50;d =

bt Y ：表示第b 门课程在时间t 是否考试（取1表示是，0表示否）

； b N ：表示参加第b 门课程考试的人数； m X ：表示采用第m 种考试模式所需的天数； dm P ：表示第d 考场采用第m 种考试模式；

0T ：表示安排所有考试的时间段集合，{}01,2,3,4,5,6T ?；

atd E ：表示第a 位监考老师在t 时间段是否监考第d 个考场（取0表示是，0表示否）； td F ：表示时间t 考场d 是否使用（取1表示是，0表示否）

； tbd G ：表示时间t 课程b 在d 考场考试；

cb H ：表示第c 个专业是否有第b 门考试课程（取1表示是，0表示否）

； T ：表示安排考试的时间段,1,2,3,,12T =；

五 模型建立与求解

1.问题一 1.1 模型建立 1.1.1考试时间安排

用m X 表示采用第m 种考试模式（m =1,2，…，18）所用的天数，m X 是非负整数。由此以采用某些合理的考试模式所需的考试天数最少为目标，得到目标函数：

18

1min m m z X ==∑，m X N ∈

由于无特殊情况的监考教师为60人，因此我们假设给定的考场数量为30个，为使

考场容量最大化，假设采用的考场为D21-D50，因此每场考试所有考场可容纳1500（20451060*+*）人考试。为满足60min,90min,120min 各个考试时间段的考试人数要求，即考试人数不超过考场容量，有以下约束条件： 1)采取某些合理考试模式下，考试时间为60min 的考试总人数不应超过其所用考场的总容量：

()5311

9

616171415121317421081500234563725

m m m m m m m m X X X X X X X X X X X X X ====????????++++++++++++≥?? ? ? ?????????

∑∑∑∑,m x N ∈

2）采取某些合理考试模式下，考试时间为90min 的考试总人数不应超过其所用考场容

量：

()39

1512461013171816281415002348400

m m m m m m X X X X X X X X X X X ===??????

++++++++++≥?? ? ???????

∑∑∑

，m x N ∈

3）采取某些合理考试模式下，考试时间为120min 的考试总人数不应超过考场容量：

()41218

5611117150022050m m m m m m X X X X X ===????

++++≥?? ?????

∑∑∑，m x N ∈，

综上所述，建立模型：

18

1min m m z X ==∑，m X N ∈

..s t

()5311

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616171415121317421081500234563725

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()39

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()41218

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++++≥?? ?????∑∑∑，m x N ∈

18

1

0m

m x

=?∑，m x N ∈

1.1.2考场安排

在完成考试时间段安排后，我们引进0-1变量tbd G 表示时间t 课程b 在第d 考场是否考试，取1表示是，取0表示否。其中：

(){}0(,),1,,1,2,3,100bt t b Y t b Y t T b ∈=| =∈=…，，{}1,2,3,,50d ∈…，在时间t 考场d 可

能用也可能不用，用0-1变量td F 表示，取1表示是，0表示否，0t T ∈，{1,2,330}d ∈……。

目标是在每个考试时间段t ，考场的利用率应尽可能高，即所有考场余量尽可能少，

即()050

1,min d td b tbd t T d t b Y R F N G ∈=∈??

- ? ???

∑∑∑。要满足的约束条件为：

1）保证每门课程都有考场，50

=1

=1tbd d G ∑；

2）时间t 考场d 内的考生总数不超过考场容量，即

(),b tbd d td t b Y

N G R F ∈≤∑

，{1,2,3}d ∈……50，