课时跟踪检测(二十六) 抛物线及其标准方程

课时跟踪检测（二十六） 抛物线及其标准方程

1．若抛物线x 2＝4y 上的点P (m ，n )到其焦点的距离为5，则n ＝( ) A ．19

4

B ．92

C ．3

D ．4

解析：选D 抛物线x 2＝4y 的准线方程为y ＝－1，根据抛物线定义可知5＝n ＋1，即n ＝4.

2．若坐标原点到抛物线y ＝mx 2的准线的距离为2，则m ＝( ) A ．±18

B ．±1

4

C ．±4

D ．±8

解析：选A 抛物线y ＝mx 2的准线方程为y ＝－14m ，由题意知1|4m |＝2，解得m ＝±1

8.

3．(2019·全国卷Ⅱ)若抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点是椭圆

x 23p ＋y 2

p

＝1的一个焦点，则p ＝( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．8

解析：选D 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点坐标为

????p 2，0，椭圆x 2

3p ＋y 2

p

＝1的焦点坐标为(±2p ，0)．

由题意得p

2

＝2p ，解得p ＝0(舍去)或p ＝8.

4．已知动点P (x ，y )满足5(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|，则点P 的轨迹为( ) A ．直线 B ．抛物线 C ．双曲线 D ．椭圆

解析：选B 把5

(x －1)2＋(y －2)2＝|3x ＋4y －1|化为

(x －1)2＋(y －2)2＝

|3x ＋4y －1|

5

，由于点(1,2)不在直线3x ＋4y －1＝0上，满足抛物线的定义，则点P 的轨迹为抛物线．

5.如图是抛物线形拱桥，当水面在AB 时，拱顶离水面2 m ，水面宽4 m ，当水位上升0.5 m 后，水面宽( )

A ． 3 m

B ． 6 m

C ．2 3 m

D ．2 6 m

解析：选C 如图建立直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝my ，将A (－2，－2)代入x 2＝my ，得m ＝－2，可得抛物线方程为x 2＝－2y ，将B ?

???x 0，－3

2代入，得x 0＝±3，故水面宽度为2 3 m. 6．已知抛物线

y 2＝2px (p >0)上一点

M (1，m )到其焦点的距离为5，双曲线

x 2－

y 2

a ＝1的

左顶点为A ，若双曲线的一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a ＝________.

解析：根据抛物线的定义得1＋p

2＝5，p ＝8.不妨取M (1,4)，则AM 的斜率为2，由已知

得－a ×2＝－1，故a ＝1

4

.

答案：1

4

7．已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，Μ是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N . 若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.

解析：设N (0，a )，F (2,0)，则M ????1，a 2，因为点M 在抛物线上，所以a

2

4

＝8，解得a ＝±42，所以N (0，±42)，故|FN |＝

(2－0)2＋(0±42)2＝6.

答案：6

8．抛物线y ＝－1

4x 2上的动点M 到两定点F (0，－1)，E (1，－3)的距离之和的最小值

为________．

解析：抛物线标准方程为x 2＝－4y ，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y ＝1，则|MF |的长度等于点M 到准线y ＝1的距离，从而点M 到两定点F ，E 的距离之和的最小值为点E (1，－3)到直线y ＝1的距离．即最小值为4.

答案：4

9.如图是抛物线型拱桥，设水面宽|AB |＝18 m ，拱顶距离水面8 m ，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF .若|CD |＝9 m ，那么|DE |不超过多少米才能使货船通过拱桥？

解：如图所示，以点O 为原点，过点O 且平行于AB 的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系，则B (9，－8)．

设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)． ∵B 点在抛物线上， ∴81＝－2p ·(－8)，∴p ＝81

16，

∴抛物线的方程为x 2＝－81

8

y .

当x ＝9

2时，y ＝－2，即|DE |＝8－2＝6.

∴|DE |不超过6 m 才能使货船通过拱桥．

10．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)，焦点为F ，准线为l ，抛物线C 上一点A 的横坐标为3，且点A 到准线l 的距离为5.

(1)求抛物线C 的方程；

(2)若P 为抛物线C 上的动点，求线段FP 的中点M 的轨迹方程．

解：(1)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线方程为x ＝－p

2，因为抛物线C 上一点A 的横坐标为

3，且点A 到准线l 的距离为5，所以根据抛物线的定义可知，3＋p

2

＝5，

所以p ＝4，所以抛物线C 的方程是y 2＝8x . (2)由(1)可知F (2,0)，设P (x 0，y 0)，M (x ，y )， 则???

??

x ＝x 0＋22，y ＝y 0

2，

即?????

x 0＝2x －2，

y 0＝2y ，

而点P (x 0，y 0)在抛物线C 上，所以y 20＝8x 0， 所以(2y )2＝8(2x －2)，即y 2＝4(x －1)， 所以点M 的轨迹方程是y 2＝4(x －1)．

1．O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝2x 的焦点，P (x 0，y 0)为C 上一点，若|PF |＝3

2x 0，

则△POF 的面积为( )

A ．1

B ． 2

C ．

22

D ．

24

解析：选D 由题意知，F 的坐标为????12，0，因为点P (x 0，y 0)为C 上一点，|PF |＝32x 0，则12＋x 0＝32x 0，解得x 0＝1，所以P (1，±2)，则△POF 的面积为：12×12×2＝2

4

. 2.如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )

A ．直线

B ．圆

C ．椭圆

D ．抛物线

解析：选D ∵ABCD -A 1B 1C 1D 1是正方体，∴直线C 1D 1⊥侧面BB 1C 1C ，∴C 1D 1⊥PC 1，则|PC 1|为点P 到直线C 1D 1的距离．又点P 到直线C 1D 1的距离等于点P 到直线BC 的距离，即点P 到点C 1的距离等于点P 到直线BC 的距离，∴动点P 的轨迹所在的曲线是抛物线．

3.已知△FAB ，点F 的坐标为(1,0)，点A ，B 分别在图中抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝4的实线部分上运动，且AB 总是平行于x 轴，那么△FAB 的周长的取值范围是( )

A ．(2,6)

B ．(4,6)

C ．(2,4)

D ．(6,8) 解析：选B 抛物线的准线l ：x ＝－1，焦点F (1,0)，由抛物线定义可得|AF |＝x A ＋1，所以△FAB 的周长＝|AF |＋|AB |＋|BF |＝x A ＋1＋(x B －x A )＋2＝3＋x B ，由抛物线y 2＝4x 及圆(x －1)2＋y 2＝4可得交点的横坐标为1，所以x B ∈(1,3)，所以3＋x B ∈(4,6)．

4．对标准形式的抛物线，给出下列条件：

①焦点在y 轴上；②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．

其中满足抛物线方程为y 2＝10x 的是________．(要求填写适合条件的序号)

解析：抛物线y 2＝10x 的焦点在x 轴上，②满足，①不满足；设M (1，y 0)是y 2＝10x 上一点，则|MF |＝1＋p 2＝1＋52＝7

2≠6，所以③不满足；由于抛物线y 2＝10x 的焦点为????52，0，过该焦点的直线方程为y ＝k ????x －5

2，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k ＝－2，此时存在，所以④满足．

答案：②④

5．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1上的点均在圆C 2：(x －5)2＋y 2＝9外，且对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值．求曲线C 1的方程．

解：法一：设点M 的坐标为(x ，y )，由已知得|x ＋2|＝(x －5)2＋y 2－3.

易知圆C 2上的点位于直线x ＝－2的右侧， 于是x ＋2＞0，所以

(x －5)2＋y 2＝x ＋5.

化简得曲线C 1的方程为y 2＝20x .

法二：由题设知，条件“对C 1上任意一点M ，M 到直线x ＝－2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值”等价于“曲线C 1上任意一点M 到圆心C 2(5,0)的距离等于它到直线x ＝－5的距离”．所以曲线C 1是以点(5,0)为焦点，直线x ＝－5为准线的抛物线，所以曲线C 1的方程为y 2＝20x .

6.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过点A 作AB 垂直于y 轴，垂足为点B ，OB 的中点为M .

(1)求抛物线的方程；

(2)过点M 作MN ⊥FA ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线方程为x ＝－p

2，

于是4＋p

2＝5，p ＝2，所以抛物线的方程为y 2＝4x .

(2)由题意得A (4,4)，B (0,4)，M (0,2)．又F (1,0)， 所以k AF ＝43，则直线FA 的方程为y ＝4

3(x －1)．

因为MN ⊥FA ，所以k MN ＝－3

4，

则直线MN 的方程为y ＝－3

4

x ＋2.

解方程组??? y ＝－3

4x ＋2，

y ＝4

3(x －1)

得???

x ＝8

5，

y ＝4

5，

所以N ????

85，45.