数值分析第五章矩阵分析基础1解析
数值分析Ch5.1
单位向量
k
定义2 u lk 0 0 mk1 mn ，v ek 0 1 0 0 ，
1，称E
(
l
k
,
e
k
,1)
k
I
lk
e
T k
Lk (lk )
指标为k初等下三角阵。
0
1
k
Lk (lk )
I
lk ekT
I
0
mk
1
0
k 1
0
0
1 mk1
1
k行，
mn
mn
1
1
0
1
I ij
。
1
0 Leabharlann 1 2.3 初等反射阵（称为境面反射阵或Householder变换）
1、定义
定义4 设向量 w Rn，且wT w 1（模或范数等于1)， 2，
称矩阵 E(w, w,2) I 2wwT H (w) 为初等反射阵。 2、性质 定理2 设H (w) I 2wwT ,其中wT w 1 ，为初等反射阵，则
（1）H是对称阵，即 H T H;
（2）H是正交阵，即 H 1 H T ;
（3）设A为对称矩阵，那么A1 H 1 AH HAH 亦是对称阵。 证明：（1）H T (I 2ww T )T I 2(wT )T wT I 2wwT H；
（2）H T H HHT H 2 (I 2wwT )( I 2wwT )
1)
||2 ，
于是由定理3
存在H变换：
记
u
x
e1
w (u1 ,
|| u2
x e1 ，使 x e1 ||2
,, un )T，于 是
HxHyI12||2u||u||ue22u1|， T|22
数值分析5.1
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10
定理5.3 矩阵的从属范数具有下列基本性质：
1） A 0 ，当且仅当 A0时， A 0 2) R ,
A | | A
A x A x
n n 3 )A B A B , A , B R ;
4) 5)
x Rn 时
A B A B , A 、B Rnn
T 2
1 3 1 2 1 0 1 4 A A 24 34 1 4 2 0
1 5 2 2 1
A ( A A ) 1 52 2 1 5 . 4 6 2
T
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定理5.3中的性质 1), 2) 和 3)是一般范数所满 足的基本性质，性质 4)、5) 被称为相容性条件， 一般矩阵范数并不一定满足该条件.
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三种从属范数计算：
（1）矩阵的1-范数（列和范数）:
A1 m ax | aij |
j i1 n
i
n
（2）矩阵的 -范数（行和范数）: A m ax | aij |
j1
（3）矩阵的2-范数: 其中
1
A 2 1
T A A 的最大特征值 :
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12
例
1 2 求 A , p 1 ,2 , 已知矩阵 A , p 3 4
A1 6
解：பைடு நூலகம்按定义
T
A 7
1 0 1 4 I A A 3 0 4 0 1 4 2 0
第五章 线性代数方程组的解法
5.1 预备知识
数值分析课件 (第5、6章)
(1 ( La1n) b11) (2) (2) a L 2n b2 = A(3) : b(3) LM M (3) (3) Lamn bn
[
]
( ( ( aij3) = aij2) −mij a22) j (3) ( bi = bi(2) −mi2b22)
(i = 3,L m j = 3,L n) , ; , (i = 3,L m) ,
[
]
( ( ( aij2) = aij1) − mij a11) j (2) bi = bi(1) − mi1b(1) 1
研究生公共课程数学系列
(i = 2,L m j = 2,L n) , ; , (i = 2,L m) ,
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(2)
[A
(2)
: b(2)
]
(1 (1 a11) a12) (2 0 a22) = M M (2) 0 am2
(n)
续 述 程 到 成 s 消 计 。 继 上 过 , 直 完 第步 元 算
后 到 原 程 等的 单 程 A 最 得 与 方 组 价 简 方 组 (s+1) x = b,(s+1) 中（ ） 上 形 其 A s+1 为 梯 。
(1 (1 (1 a11) a12) L a1n) (2 ( a22) L a22) n = O M (n ann)
( a2k ) k m = (k ) ik akk
(k (akk ) ≠0)
−−−−−→
(i=k+1,Lm) ,
(1 (1 ( a11) a12) L a11) k (2 ( a22) L a22) k O M (k akk ) M 0
数值分析第五章线性方程组-数值分析课件
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想 例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或 除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方 程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个 部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次 数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11
矩阵分析1
矩阵分析矩阵分析是数学中一门重要的分支，主要研究矩阵及其运算规律、性质和应用。
矩阵分析被广泛应用于各个领域，如物理学、经济学、工程学、信息科学、生物学等，成为现代科技和工程中不可或缺的一部分。
一、矩阵介绍矩阵是一种数学对象，由m行n列的元素数排列成一个矩形阵列。
一般用大写字母A、B、C等表示矩阵，而用小写字母a、b、c等表示元素。
如下所示：A = [a11 a12 (1)a21 a22 (2)… … …am1 am2 … amn]其中，a11、a12、a21和a22等都是矩阵A的元素，其中第i行第j列的元素表示为aij，i表示行数，j表示列数。
二、矩阵的运算矩阵的运算包括加、减、乘和求逆，下面分别介绍。
1、加法令A、B是两个矩阵，则矩阵的加法定义为相加其对应的元素。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A + B的结果为：A +B = [a11+b11 a12+b12a21+b21 a22+b22]2、减法矩阵的减法也是按照对应元素相减的规则。
例如，如果A和B都是两行两列的矩阵，则A - B的结果为：A -B = [a11-b11 a12-b12a21-b21 a22-b22]3、乘法矩阵乘法是指将一个矩阵的行乘以另外一个矩阵的列的结果所组成的矩阵。
例如，如果A是m行n列的矩阵，B是n行p列的矩阵，则它们的乘积C是m行p列的矩阵，C中第i行第j列的元素可以表示为：Cij = Σk=1,2,…n aikbkj其中，Σ表示求和符号，k表示矩阵A和B相乘的公共维度，即行数或列数。
4、求逆如果矩阵A是非奇异矩阵，即其行列式不为0，则可以求出其逆矩阵A-1，使得A×A-1=I，其中I为单位矩阵。
求逆矩阵的公式如下：A-1 = 1/|A| adj(A)其中，|A|表示A的行列式，adj(A)表示A的伴随矩阵。
三、矩阵的性质矩阵有很多基本的性质，其中包括：1、矩阵的行和列数可以不相等；2、矩阵可以相加和相乘，但不可以相减和相除；3、矩阵加法和乘法有结合律、分配律和交换律；4、矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
《数值分析》第五章
(1)左矩形公式： a f(x)dx f(a)(ba)(2)右矩形公式： a f(x)dxf (b)(b a)⑶中矩形公式：b af(x)dxf(a b2)(b a)习题51 •导出如下3个求积公式，并给出截断误差的表达式 解：⑴f(x)a f(x)dxa f ( )(xf (a)， b f (x)dx b f (a)dx f (a)(b a)aa””Kf(a)(b a) a f (x)dx a f (a)dx a (f(x)2a) f (), f (a))dx⑵ f(x)bia)dx f ( ) a (x a)dx ^(ba f(x)dx a f(b)dxf(b)，f(a)(b a) (a,b)a f(x)dxf(b)(ba) a f (x)dx:f (b )dx b f (x)f (b)]dxb a f( )(xb)dxbf ( ) a (x b)dx2(ba)2f ()，(a,b)⑶法1 f (x)f (专ba f(x)dx"(叮)dxa2f(aa)(x)dxf (宁)(b a)ba f(x)dxb a a f (-b)dx2f(X )咛) dxf (专)(x2f()(x 旦b )2dx2f()>U)2dx2于是13r ()(b a)3可以验证所给公式具有1次代数精度。
作一次多项式H(x)H (— )f( -)，H (2 2…a b 、 …a b H(x) f( ) f (-2 2f(x)1 H(x) -f ()(x满足)(x 叮)2a b a b r, 亍)f (丁)，则有a b )2〒丿，(a,b)ba H(x)dxH (兮)(b a)f (丁)(ba)ba f(x)dxf(¥)(b a)ba f(x)dxba H(x)dxb b f ()a f (X)盹心 a~2H(X"dx2 f ( ) ^ a b 、2」 (x ) dx2 a' 22 •考察下列求积公式具有几次代数精度: 24f ()(b a)3(1) 1 10f(x)dx f(0) J(1)； 1 1f (x)dx f (f( 13)。
数值分析 第5章haha
, 其中
1 m k 1, k m n ,k 1
1
最后， L n 1 L 2 L1 A
(1 )
A
(n)
U ， L n 1 L 2 L1b
(1 )
b
(n)
.
A L1 L 2 L n 1U LU ，其中 1 m 21 m 31 m n1 1
2
结束
关于线性方程组的解法一般分为两大类,一类是直接法, 即经过有限次的算术运算,可以求得(5.1)的精确解(假定计 算过程没有舍入误差).如线性代数课程中提到的克莱姆算
法就是一种直接法.但该法对高阶方程组计算量太大,不是
一种实用的算法.实用的直接法中具有代表性的算法是高斯 消元法,其它算法都是它的变形和应用. 另一类是迭代法,它将(5.1)变形为某种迭代公式,给出初 始解 x0 ,用迭代公式得到近似解的序列｛xk｝,k=0,1,2, ,在一定的条件下 xk→x* (精确解).迭代法显然有一个收 敛条件和收敛速度问题. 这两种解法都有广泛的应用,我们将分别讨论,本章介绍 直接法. 3 结束
(5.3) (5.6) (5.8)
回代:解(5.8)得x3,将x3 代入(5.6)得x2,将x2, x3 代入(5.3) 得x1,得到解 x*=(2,1,-1)T
容易看出第一步和第二步相当于增广矩阵［Ａ:b］在作 行变换,用ri表示增广阵［A:b］的第i行: 6 结束
1 A : b 2 1
(1)
(1) x1 b1 (k ) xk b k ( k 1) . x k 1 bk 1 ( k 1) x n bn
李庆扬-数值分析第五版第5章和第7章习题答案解析
WORD格式.分享第5章复习与思考题1、用高斯消去法为什么要选主元？哪些方程组可以不选主元？k答：使用高斯消去法时，在消元过程中可能出现a的情况，这时消去法无法进行；即kkk时主元素0和舍入增长a，但相对很小时，用其做除数，会导致其它元素数量级的严重kk计误差的扩散，最后也使得计算不准确。
因此高斯消去法需要选主元，以保证计算的进行和算的准确性。
当主对角元素明显占优（远大于同行或同列的元素）时，可以不用选择主元。
计算时一般选择列主元消去法。
2、高斯消去法与LU分解有什么关系？用它们解线性方程组Ax=b有何不同？A要满足什么条件？答：高斯消去法实质上产生了一个将A分解为两个三角形矩阵相乘的因式分解，其中一个为上三角矩阵U，一个为下三角矩阵L。
用LU分解解线性方程组可以简化计算，减少计算量，提高计算精度。
A需要满足的条件是，顺序主子式（1,2，⋯，n-1）不为零。
3、楚列斯基分解与LU分解相比，有什么优点？楚列斯基分解是LU分解的一种，当限定下三角矩阵L的对角元素为正时，楚列斯基分解具有唯一解。
4、哪种线性方程组可用平方根法求解？为什么说平方根法计算稳定？具有对称正定系数矩阵的线性方程可以使用平方根法求解。
，切对角元素恒为正数，因此，是一个稳定的平方根法在分解过程中元素的数量级不会增长算法。
5、什么样的线性方程组可用追赶法求解并能保证计算稳定？对角占优的三对角方程组6、何谓向量范数？给出三种常用的向量范数。
向量范数定义见p53，符合3个运算法则。
正定性齐次性三角不等式x为向量，则三种常用的向量范数为：（第3章p53,第5章p165）设n||x|||x|1ii11n22||x||(x)2ii1||x||max|x i|1in7、何谓矩阵范数？何谓矩阵的算子范数？给出矩阵A=(a ij)的三种范数||A||1，||A||2，精品.资料WORD格式.分享||A||∞，||A||1与||A||2哪个更容易计算？为什么？向量范数定义见p162，需要满足四个条件。
第五章_矩阵代数数值计算
ann
为实现这一过程，我们先考虑以下简单问题。设
1,2 , ,n '
我们要求一个H 型正交矩阵Hi ，使得后 n-I 个元素为 0，
Hi
In
1
uu'
1
uu'
1
u' u
其中 a u' / 为常数，
为使后n-i个元素为0，可以取
0
0
u i sign(i )s
i 1
n
这里 s2 i s,
（5.2.9) 可以改写如下：
(5.2.9)
1
U'
AU
D
n
（5.2.10)
即A是经过正交变换后化为对角阵的，我们可以利用 Householder和Givens方法的思路来构造这样的正交变换，具 体来讲，我们可以将（5.2.8）式中的U分解为一系列简单的正交 矩阵乘积的形式，具体算法为：
A0 A,
特征值分解式：
1
A UDU' U
U '
2
（5.2.8)
其中 U 为 n 阶正交方阵，D为对角阵， 1, 2 , , n 称
为矩阵 A 的谱或称特征值，若记
记 U U1,U2 , ,Un ，则上式可以写成
n
A iuiui' i 1
如果 A 是实对称矩阵，则 A 的谱分解一定存在。 （2）矩阵谱分解的计算方法
第五章 矩阵代数数值计算
一、矩阵的基本运算 二、矩阵的三角分解 三、矩阵的正交变换 四、矩阵的谱分解 五、IMSL中的线性系统、特征
值分析模块
矩阵代数运算是统计模型的基础，统计模型的所 有估计几乎都是用矩阵代数运算计算出结果。例如最 小二乘估计、典型相关分析、因子分析以及各类回归 分析。从计算的角度来说为使计算结果可靠，我们总 是先对矩阵进行三角分解，然后进行各种计算例如， 矩阵的逆、求解线性方程组以及对矩阵进行谱分解等。
矩阵论 第5章剖析
（2）非方矩阵.
事实上， Penrose（彭罗司）广义逆矩阵涵盖了以 上两种情况．
15 October 2020
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矩阵论
对于满秩方阵 A，A1存在，且 AA1 A1A I ， 故当然有
AA-1A A
A-1AA-1 A-1
( AA-1)* AA-1
上述四个等式又依次称为 Penrose 方程（1）， （2）， （3）， （4）．
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矩阵论
定义 对矩阵 A mn，若矩阵G nm满足 Penrose 方程中的第i, j, ,l 个方程，则称G 为 A的{i, j, ,l} 逆，记作： A{i, j, ,l}，其全体记作： A{i, j, , l}．
{i, j, , l}逆共有C41 C42 C43 C44 15类，但实际上 常用的为如下 5 类：A{1}，A{1,2}， A{1,3}， A{1,4}， A{1, 2, 3, 4}．
15 October 2020
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矩阵论
(i) A{1}：矩阵的{1}逆是最基本的广义逆矩阵，通 常记为 A，它与相容线性方程组 AX b的解有密切 联系； (ii) A{1,2}：矩阵的{1,2}逆称为自反广义逆矩阵，此 时，矩阵 A和G 的地位完全一样，他们互为{1,2}逆；
15 October 2020
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矩阵论
定义 设 A mn，若存在G nm，使得 (1) AGA A，
则称G为 A的（一般）广义逆矩阵，简称 g 逆或减号 逆，记作： A，其全体记作： A{1}.