数值分析第五版全答案
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:
101210121
12120
(1)()()(0)();
(2)()()(0)();
(3)()[(1)2()3()]/3;
(4)()[(0)()]/2[(0)()];
h
h
h
h h
f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-??
??
解:
求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1)
()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
令()1f x =,则
1012h A A A -=++
令()f x x =,则
110A h A h -=-+
令2
()f x x =,则
3
221123
h h A h A -=+ 从而解得
01
1431313A h A h A h -?=??
?=??
?=??
令3
()f x x =,则
3()0h
h
h
h
f x dx x dx --==?
?
101()(0)()0A f h A f A f h --++=
故
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++?
成立。
令4
()f x x =,则
4551012()5
2()(0)()3
h
h
h
h
f x dx x dx h A f h A f A f h h ---==
-++=
?
?
故此时,
101()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≠-++?
故
101()()(0)()h h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
具有3次代数精度。 (2)若
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
令()1f x =,则
1014h A A A -=++
令()f x x =,则
110A h A h -=-+
令2
()f x x =,则
3
2211163
h h A h A -=+ 从而解得
1
143
8383A h A h A h -?=-??
?=??
?=??
令3
()f x x =,则
22322()0h
h
h
h
f x dx x dx --==?
?
101()(0)()0A f h A f A f h --++=
故
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --=-++?
成立。
令4
()f x x =,则
2245
2264()5
h
h
h
h
f x dx x dx h --==
?
?
5
10116()(0)()3
A f h A f A f h h --++=
故此时,
21012()()(0)()h
h
f x dx A f h A f A f h --≠-++?
因此,
21012()()(0)()h h
f x dx A f h A f A f h --≈-++?
具有3次代数精度。 (3)若
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++?
令()1f x =,则
1
121
()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++?
令()f x x =,则
120123x x =-++
令2
()f x x =,则
22
122123x x =++
从而解得
120.28990.5266x x =-??
=?或12
0.6899
0.1266x x =??=? 令3
()f x x =,则
1
1
31
1
()0f x dx x dx --==?
?
12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠
故
1
121
()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++?
不成立。
因此,原求积公式具有2次代数精度。 (4)若
20
()[(0)()]/2[(0)()]h
f x dx h f f h ah f f h ''≈++-?
令()1f x =,则
(),h
f x dx h =?
2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=
令()f x x =,则
2
022
1
()2
1
[(0)()]/2[(0)()]2
h
h f x dx xdx h h f f h ah f f h h ==''++-=?
?
令2
()f x x =,则
23
0232
1
()3
1
[(0)()]/2[(0)()]22
h
h
f x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-?
?
故有
33
211232
112
h h ah a =-=
令3
()f x x =,则
3
400
2444
1()4
1111[(0)()]/2[(0)()]12244h
h f x dx x dx h h f f h h f f h h h h
==''++-=-=??
令4
()f x x =,则
4
500
2555
1()5
1111[(0)()]/2[(0)()]12236
h
h
f x dx x dx h h f f h h f f h h h h
==''++-=-=??
故此时,
2
1()[(0)()]/2[(0)()],12
h
f x dx h f f h h f f h ''≠++
-?
因此,
20
1
()[(0)()]/2[(0)()]12
h
f x dx h f f h h f f h ''≈++-?
具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:
1
2
01
2
101
(1),8;4(1)
(2),10;
(3),4;
(4),6;
x x
dx n x e dx n x
n n ?-=+-===?
??
解:
2
1(1)8,0,1,,()84x
n a b h f x x
=====+ 复化梯形公式为
7
81
[()2()()]0.111402k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
7781012
[()4()2()()]0.111576k k k k h
S f a f x f x f b +===+++=∑∑
1
2
1(1)
(2)10,0,1,,()10x e n a b h f x x
--====
= 复化梯形公式为
9
101
[()2()()] 1.391482k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
99101012
[()4()2()()] 1.454716k k k k h
S f a f x f x f b +===+++=∑∑
(3)4,1,9,2,()n a b h f x =====
复化梯形公式为
3
41
[()2()()]17.227742k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
3341012
[()4()2()()]17.32222
6(4)6,0,,,()6
36
k k k k h
S f a f x f x f b n a b h f x π
π
+===+++====
=
=∑∑
复化梯形公式为
5
61
[()2()()] 1.035622k k h
T f a f x f b ==++=∑
复化辛普森公式为
5561012
[()4()2()()] 1.035776k k k k h
S f a f x f x f b +===+++=∑∑
3。直接验证柯特斯教材公式(2。4)具有5交代数精度。
证明:
柯特斯公式为
01234()[7()32()12()32()7()]90
b
a
b a
f x dx f x f x f x f x f x -=
++++?
令()1f x =,则
01234()90
[7()32()12()32()7()]90
b
a
b a f x dx b a
f x f x f x f x f x b a -=
-++++=-?
令()f x x =,则
22
22012341()()2
1
[7()32()12()32()7()]()902b
b a a
f x dx xdx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令2
()f x x =,则
23333
012341()()3
1[7()32()12()32()7()]()903b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令3
()f x x =,则
3444
4012341()()4
1[7()32()12()32()7()]()904b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令4
()f x x =,则
455
55012341()()5
1
[7()32()12()32()7()]()905b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令5
()f x x =,则
56666012341()()6
1
[7()32()12()32()7()]()906b
b a a
f x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-??
令6
()f x x =,则
012340
()[7()32()12()32()7()]90
h
b a
f x dx f x f x f x f x f x -≠
++++?
因此,该柯特斯公式具有5次代数精度。 4。用辛普森公式求积分1
x e dx -?
并估计误差。
解:
辛普森公式为
[()4()()]62
b a a b
S f a f f b -+=
++ 此时,
0,1,(),x a b f x e -===
从而有
1
121
(14)0.632336
S e e --=++=
误差为
4(4)
04()()()1802
11
0.00035,(0,1)1802
b a b a R f f e ηη--=-≤
??=∈
5。推导下列三种矩形求积公式:
223()
()()()();2()
()()()();2()
()()()();
224b
a b
a b
a
f f x dx b a f a b a f f x dx b a f b b a a b f f x dx b a f b a ηηη'=-+
-'=---''+=-+-???
证明:
(1)()()()(),(,)f x f a f x a a b ηη'=+-∈Q
两边同时在[,]a b 上积分,得
()()()()()b
b
a
a
f x dx b a f a f x a dx η'=-+-?
?
即
2
()()()()()2
(2)()()()(),(,)
b
a
f f x dx b a f a b a f x f b f b x a b ηηη'=-+
-'=--∈?Q 两边同时在[,]a b 上积分,得
()()()()()b
b
a
a
f x dx b a f a f b x dx η'=---?
?
即
2
2
()()()()()2
()(3)()()()()(),(,)
22222
b
a
f f x dx b a f b b a a b a b a b f a b f x f f x x a b ηηη'=--
-''++++'=+-+-∈?Q
两连边同时在[,]a b 上积分,得
2
()()()(
)()()()22222b
b b a
a a a
b a b a b f a b f x dx b a f f x dx x dx η''++++'=-+-+-??? 即
3()()()(
)();224
b a
a b f f x dx b a f b a η''+=-+-?
6。若用复化梯形公式计算积分10
x
I e dx =?,问区间[0,1]应人多少等分才能使截断误差不超
过
51
102
-??若改用复化辛普森公式,要达到同样精度区间[0,1]应分多少等分? 解:
采用复化梯形公式时,余项为
2
()(),(,)12
n b a R f h f a b ηη-''=-
∈ 又1
x I e dx =
?
Q
故(),(),0, 1.x
x
f x e f x e a b ''====
221()()1212
n e R f h f h η''∴=
≤
若51
()102
n R f -≤
?,则 256
10h e
-≤?
当对区间[0,1]进行等分时,
1,h n
=
故有
212.85n ≥
= 因此,将区间213等分时可以满足误差要求 采用复化辛普森公式时,余项为
4(4)
()()(),(,)1802
n b a h R f f a b ηη-=-
∈ 又(),x
f x e =Q
(4)4(4)4
(),1()|()|28802880
x n f x e e
R f h f h η∴=∴=-
≤ 若51
()102
n R f -≤
?,则 451440
10h e
-≤
? 当对区间[0,1]进行等分时
1n h
=
故有
1
54
1440(10) 3.71n e
≥?=
因此,将区间8等分时可以满足误差要求。
7。如果()0f x ''>,证明用梯形公式计算积分()b
a I f x dx =?所得结果比准确值I 大,并说
明其几何意义。
解:采用梯形公式计算积分时,余项为
3()
(),[,]12
T f R b a a b ηη''=-
-∈ 又()0f x ''>Q 且b a >
0T R ∴<
又1T R T =-Q
I T ∴<
即计算值比准确值大。
其几何意义为,()0f x ''>为下凸函数,梯形面积大于曲边梯形面积。 8。用龙贝格求积方法计算下列积分,使误差不超过5
10-.
1
20
3
(2)sin (3).
x
e dx
x xdx π
-??
解:
1
(1)x I e dx -=
因此
20
(2)sin I x xdx π
=?
因此
3
(3)I =?
因此10.2075922I ≈
9。用2,3n =的高斯-勒让德公式计算积分
3
1
sin .x e xdx ?
解:
3
1
sin .x I e xdx =?
[1,3],x ∈Q 令2t x =-,则[1,1]t ∈-
用2n =的高斯—勒让德公式计算积分
0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)
10.9484
I f f f ≈?-++?≈
用3n =的高斯—勒让德公式计算积分
0.3478548[(0.8611363)(0.8611363)]0.6521452[(0.3399810)(0.3399810)]10.95014
I f f f f ≈?-++?-+≈ 10 地球卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是
,S a θ=
这是a 是椭圆的半径轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,
H 为远地点距离,R=6371(km )为地球半径,则
(2)/2,()/2.a R H h c H h =++=-
我国第一颗地球卫星近地点距离h=439(km),远地点距离H=2384(km )。试求卫星轨道的周长。 解:
6371,439,2384R h H ===Q
从而有。
(2)/27782.5
()/2972.54a R H h c H h S a θ
=++==-==
1.564646
48708()
I S km ≈≈
即人造卫星轨道的周长为48708km 11。证明等式 3
5
2
4
sin
3!5!n n
n
n
π
πππ=-
+
-L
试依据sin()(3,6,12)n n n
π
=的值,用外推算法求π的近似值。
解
若()sin
,f n n n
π
=
又35
11sin 3!5!
x x x x =-+-Q L
∴此函数的泰勒展式为
353
5
2
4
()sin
11[()()]3!5!3!5!f n n n
n n n n
n
n
π
πππ
πππ==-+-=-
+
-L L
()k n T π≈
当3n =时, sin 2.598076n n
π
= 当6n =时, sin
3n n
π
=
当12n =时, sin 3.105829n n
π
=
故 3.14158π≈
12。用下列方法计算积分
3
1
dy
y
?
,并比较结果。 (1)龙贝格方法;
(2)三点及五点高斯公式;
(3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式。 解
3
1
dy I y
=?
(1)采用龙贝格方法可得
故有 1.098613I ≈ (2)采用高斯公式时
3
1
dy I y
=?
此时[1,3],y ∈
令,x y z =-则[1,1],x ∈-
1
11,2
1
(),
2
I dx x f x x -=+=+?
利用三点高斯公式,则
0.5555556[(0.7745967)(0.7745967)]0.8888889(0)
1.098039
I f f f =?-++?≈
利用五点高斯公式,则
0.2369239[(0.9061798)(0.9061798)]
0.4786287[(0.5384693)(0.5384693)]0.5688889(0)1.098609
I f f f f f ≈?-++?-++?≈ (3)采用复化两点高斯公式 将区间[1,3]四等分,得
12341.52 2.531
1.52
2.5I I I I I dy dy dy dy y y y
y =+++=+++?
???
作变换5
4
x y +=
,则 1
1111,5
1
(),
5
(0.5773503)(0.5773503)0.4054054I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
作变换7
4
x y +=
,则 1
2121,71
(),
7
(0.5773503)(0.5773503)0.2876712I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
作变换9
4
x y +=
,则 1
3131,9
1
(),
9
(0.5773503)(0.5773503)0.2231405I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
作变换11
4
x y +=
,则 1
4141
,11
1
(),
11
(0.5773503)(0.5773503)0.1823204I dx x f x x I f f -=+=+≈-+≈?
因此,有
1.098538I ≈
13.用三点公式和积分公式求2
1
()(1)
f x x =
+在 1.0,1.1x =,和处的导数值,并估计误差。()f x 的值由下表给出:
解:
2
1
()(1)
f x x =
+
由带余项的三点求导公式可知
2
00122
1022
20121()[3()4()()]()
231()[()()]()
261()[()4()3()]()
23
h f x f x f x f x f h h f x f x f x f h h f x f x f x f x f h ξξξ''''=-+-+''''=-+-''''=-++ 又012()0.2500,()0.2268,()0.2066,f x f x f x ===Q
001210220121
()[3()4()()]0.24721
()[()()]0.21721
()[()4()3()]0.187
2f x f x f x f x h
f x f x f x h f x f x f x f x h
'∴≈-+-='≈
-+=-'=-+=- 又2
1
()(1)f x x =
+Q
5
24
()(1)
f x x -'''∴=
+ 又[1.0,1.2]x ∈Q
()0.75f ξ'''∴≤
故误差分别为
2
3
02
312
3
2()() 2.5103()() 1.25106()() 2.5103
h R x f h R x f h R x f ξξξ---'''=≤?'''=≤?'''=≤?
利用数值积分求导, 设()()x f x ?'=
1
1()()()k k
x k k x f x f x x dx ?++=+?
由梯形求积公式得
1
1()[()()]2
k k
x k k x h x dx x x ???++=+?
从而有
11()()[()()]2
k k k k h
f x f x x x ??++=++
故
011012212()()[()()]
2
()()[()()]
x x f x f x h
x x f x f x h
????+=-+=-
又1
1
11()()()k k x k k x f x f x x dx ?+-+-=+?
Q
且
1
1
11()[()()]k k x k k x x dx h x x ???+--+=+?
从而有
1111()()[()()]k k k k f x f x h x x ??+--+=++
故02201
()()[()()]x x f x f x h
??+=- 即
01120
2()()0.464()()0.404()()0.434
x x x x x x ??????+=-??
+=-??+=-? 解方程组可得
012
()0.247
()0.217()0.187x x x ???=-??
=-??=-?
数值分析课后题答案
数值分析 第二章 2.当1,1,2x =-时,()0,3,4f x =-,求()f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23 537623 l x l x x x x x x x =-+=---+ -+= +- 6.设,0,1,,j x j n =L 为互异节点,求证: (1) 0()n k k j j j x l x x =≡∑ (0,1,,);k n =L (2)0 ()()0n k j j j x x l x =-≡∑ (0,1,,);k n =L 证明 (1) 令()k f x x = 若插值节点为,0,1,,j x j n =L ,则函数()f x 的n 次插值多项式为0 ()()n k n j j j L x x l x == ∑。 插值余项为(1)1() ()()()()(1)! n n n n f R x f x L x x n ξω++=-= + 又,k n ≤Q
(1)()0 ()0 n n f R x ξ+∴=∴= 0()n k k j j j x l x x =∴=∑ (0,1,,);k n =L 0 000 (2)()() (())()()(()) n k j j j n n j i k i k j j j i n n i k i i k j j i j x x l x C x x l x C x x l x =-==-==-=-=-∑∑∑∑∑ 0i n ≤≤Q 又 由上题结论可知 ()n k i j j j x l x x ==∑ ()()0 n i k i i k i k C x x x x -=∴=-=-=∑原式 ∴得证。 7设[]2 (),f x C a b ∈且()()0,f a f b ==求证: 21 max ()()max ().8 a x b a x b f x b a f x ≤≤≤≤''≤- 解:令01,x a x b ==,以此为插值节点,则线性插值多项式为 10 101010 ()() ()x x x x L x f x f x x x x x --=+-- =() () x b x a f a f b a b x a --=+-- 1()()0()0 f a f b L x ==∴=Q 又 插值余项为1011 ()()()()()()2 R x f x L x f x x x x x ''=-= -- 011 ()()()()2 f x f x x x x x ''∴= --
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位 有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1 234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y . (五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字 . 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相 对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…), 若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一 等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 { 101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?
数值分析第五版全答案chap1
第一章 绪 论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又1'()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*5 7 1.0.x =? 解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) *** 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24 /x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:
*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 2 3 '4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值*x 的相对误差为***** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'()||() p xf x C f x = 又 1'()n f x nx -=, 1||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =, *57 1.0.x =? 解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:
*4 1*3 2*13*3 4*1 51 ()102 1()102 1()102 1()102 1()102x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? ***124***1244333 (1)() ()()() 111101010222 1.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? ***123*********123231132143 (2)() ()()() 1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ **24****24422 *4 33 5 (3)(/)()() 110.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈??+??=?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343V R π= 则何种函数的条件数为 23'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=%1
第五章习题解答_数值分析
第五章习题解答 1、给出数据点:0134 19156 i i x y =?? =? (1)用012,,x x x 构造二次Lagrange 插值多项式2()L x ,并计算15.x =的近似值215(.)L 。 (2)用123,,x x x 构造二次Newton 插值多项式2()N x ,并计算15.x =的近似值215(.)N 。 (3)用事后误差估计方法估计215(.)L 、215(.)N 的误差。 解: (1)利用012013,,x x x ===,0121915,,y y y ===作Lagrange 插值函数 2 20 2 1303011915 01031013303152933 ()()()()()() ()()()()()()()() i i i x x x x x x L x l x y x x =------== ?+?+?-------++= ∑ 代入可得2151175(.).L =。 (2)利用 134,,x x x ===,9156,,y y y ===构造如下差商表: 229314134196()()()()()N x x x x x x =+-+---=-+- 代入可得215135(.).N =。 (3)用事后误差估计的方法可得误差为 ()()()02222 03-x 150 x x x -=117513506563-04.()()()(..).x f L R L x N x x x --≈= -≈- ()()()3222203-154 x x -=1175135-1.0938-04 .()()()(..)x x f N R x L x N x x x --≈=-≈- 2、设Lagrange 插值基函数是 0012()(,,,,)n j i j i j j i x x l x i n x x =≠-==-∏ 试证明:①对x ?,有 1()n i i l x ==∑ ②00110001211()()(,,,)()()n k i i i n n k l x k n x x x k n =?=?==??-=+? ∑ 其中01,,,n x x x 为互异的插值节点。 证明: ①由Lagrange 插值多项式的误差表达式10 1()()()()()!n n i i f R x x x n ξ+==-+∏知,对于函数1()f x =进行
数值分析第四版习题及答案
第四版 数值分析习题 第一章 绪 论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误 差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?
最新数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)1
第一章 绪论(12) 1、设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差。 [解]设0*>x 为x 的近似值,则有相对误差为δε=)(*x r ,绝对误差为**)(x x δε=,从而x ln 的误差为δδεε=='=* ****1)()(ln )(ln x x x x x , 相对误差为* * ** ln ln ) (ln )(ln x x x x r δ εε= = 。 2、设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 [解]设*x 为x 的近似值,则有相对误差为%2)(*=x r ε,绝对误差为**%2)(x x =ε,从而n x 的误差为n n x x n x n x x n x x x ** 1 *** %2%2) ()()()(ln * ?=='=-=εε, 相对误差为%2) () (ln )(ln *** n x x x n r == εε。 3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: 1021.1*1=x ,031.0*2=x ,6.385*3=x ,430.56*4=x ,0.17*5 ?=x 。 [解]1021.1*1 =x 有5位有效数字;0031.0* 2=x 有2位有效数字;6.385*3=x 有4位有效数字;430.56* 4 =x 有5位有效数字;0.17*5?=x 有2位有效数字。 4、利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限,其中* 4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给 的数。 (1)* 4*2*1x x x ++; [解]3 334* 4*2*11** *4*2*1*1005.1102 1 10211021)()()()()(----=?=?+?+?=++=? ??? ????=++∑x x x x x f x x x e n k k k εεεε; (2)* 3*2 *1x x x ;
数值分析第五版全答案
第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: 101210121 12120 (1)()()(0)(); (2)()()(0)(); (3)()[(1)2()3()]/3; (4)()[(0)()]/2[(0)()]; h h h h h f x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-?? ?? 解: 求解求积公式的代数精度时,应根据代数精度的定义,即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立,但对于m+1次多项式就不准确成立,进行验证性求解。 (1)若101(1) ()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++? 令()1f x =,则 1012h A A A -=++ 令()f x x =,则 110A h A h -=-+ 令2 ()f x x =,则 3 221123 h h A h A -=+ 从而解得 01 1431313A h A h A h -?=?? ?=?? ?=?? 令3 ()f x x =,则 3()0h h h h f x dx x dx --==? ? 101()(0)()0A f h A f A f h --++= 故 101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --=-++? 成立。 令4 ()f x x =,则
数值分析第五版答案
第一章 绪论 p19 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又 1 '()n f x nx -=, 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又 ((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2% ((*))0.02n r x n ε∴≈ 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又 (*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε= ?≈ 7.求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有427.982 =)。 解:2 5610x x -+= , 故方程的根应为1,228x =故 128 2827.98255.982x = ≈+= 1x ∴具有5位有效数字 211 280.0178632827.98255.982 x =-= ≈ =≈+ 2x 具有5位有效数字
9.正方形的边长大约为了100cm ,应怎样测量才能使其面积误差不超过2 1cm ? 解:正方形的面积函数为2 ()A x x = p7 当*100x =时,若(*)1A ε≤, 则21 (*)102 x ε-≤ ? 故测量中边长误差限不超过0.005cm 时,才能使其面积误差不超过2 1cm 第二章 插值法p48 1.当1,1,2 x =-时,()0,3,4f x =-, 分别用单项式基底、拉格朗日基底、牛顿基底求() f x 的二次插值多项式。 解: 0120121200102021101201220211,1,2, ()0,()3,()4;()()1 ()(1)(2)()()2()()1 ()(1)(2) ()()6 ()()1 ()(1)(1) ()()3 x x x f x f x f x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x x x x x l x x x x x x x ==-===-=--==-+-----==------= =-+-- 则二次拉格朗日插值多项式为 2 20 ()()k k k L x y l x ==∑ 0223()4() 14 (1)(2)(1)(1)23537623 l x l x x x x x x x =-+=---+-+=+- 2.给出()ln f x x =的数值表 用线性插值及二次插值计算的近似值。 解:由表格知,
数值分析第五版答案
第一章 绪论 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解: *4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51 ()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈
** 24**** 24422 * 4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε= 故度量半径R 时允许的相对误差限为1 (*)10.333 r R ε=?≈ 6.设028Y = ,按递推公式1n n Y Y -= (n=1,2,…) 计算到100Y 27.982≈(5位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 解:1n n Y Y -=- 10099Y Y ∴=- 9998Y Y = 9897Y Y =-…… 10Y Y =- 依次代入后,有1000100Y Y =- 即1000Y Y = 27.982, 100027.982Y Y ∴=-
数值分析第四版习题和答案解析
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2%,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝ 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大这个计算过程 稳定吗 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3.
4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误 差做比较. 2.求证: (a)当时,. (b)当时,. 3.在次数不超过6的多项式中,求在的最佳一致逼近多项式.
《数值分析》第五章答案
习题5 1.导出如下3个求积公式,并给出截断误差的表达式。 (1) 左矩形公式:?-≈b a a b a f dx x f ))(()( (2) 右矩形公式:))(()(a b b f dx x f b a -≈? (3) 中矩形公式:?-+≈b a a b b a f dx x f ))(2 ( )( 解:(1) )()(a f x f ≈, )()()()(a b a f dx a f dx x f b a b a -=≈?? (2) )()(b f x f ≈,??-=≈b a b a a b a f dx b f dx x f ))(()()( )()(2 1)()()()(2 ηηξf a b dx b x f dx b x f b a b a '--=-'=-'=??,),(,b a ∈ηξ (3) 法1 )2 ( )(b a f x f +≈ , 法2 可以验证所给公式具有1次代数精度。作一次多项式 )(x H 满足 )2()2( b a f b a H +=+,)2 ()2(b a f b a H +'=+',则有 2 )2 )((!21)()(b a x f x H x f +-''= -ξ, ),(b a ∈ξ 于是 2.考察下列求积公式具有几次代数精度: (1) ?'+ ≈1 )1(2 1 )0()(f f dx x f ; (2) )3 1()31()(1 1f f dx x f +- ≈?-。 解: (1)当1)(=x f 时,左=1,右=1+0=1,左=右; 当x x f =)(时,左21= ,右=2 1 210=+,左=右; 当2 )(x x f =时,左=3 1 ,右=1,左≠右,代数精度为1。
数值分析作业答案(第5章)
5.1.设A 是对称矩阵且011≠a ,经过一步高斯消去法后,A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 证明2A 是对称矩阵。 证明 由消元公式及A 的对称性,有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 对称。 5.2.设n ij a A )(=是对称正定矩阵,经过高斯消去法一步后,A 约化为 ?? ????21 110 A a a T 其中1)2(2)(-=n ij a A 。证明: (1).A 的对角元素;,,2,1,0n i a ii => (2).2A 是对称正定矩阵。 证明 (1).因为A 对称正定,所以 n i e Ae a i i ii ,,2,1,0),( =>=, 其中T i e )0,,0,1,0,,0( =为第i 个单位向量。 (2).由A 的对称性及消元公式,有 ,,,3,2,,)2(111 11111 )2(n j i a a a a a a a a a a ji i j ji j i ij ij ==-=- = 故2A 也对称。 又由A L A a a T 121110=????? ?,其中
??? ?????- =? ????? ? ?????????--=-111 1 11111 21101 1011n n I a a a a a a L , 可见1L 非奇异,因而对任意0≠x ,由A 的正定性,有 ,0),(),(,011111>=≠x AL x L x AL L x x L T T T T 故T AL L 11正定。 由,000110211 111121111 1?? ? ?? ?=????????-??????=-A a I a a A a a AL L n T T T 而011>a ,故知2A 正定
数值分析第五版复习资料
第一章绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值*x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= = = 而ln x 的误差为()1 ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -=Q , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈?Q 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解:* 1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中**** 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为343 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ===g g (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g 又(*)1r V ε=Q %1
数值分析习题集及答案
数值分析习题集 (适合课程《数值方法A》和《数值方法B》) 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2%,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 .
2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误
数值分析习题
第一章 绪论 习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数0.003400有几位有效数字?(有效数字的计算) 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少?(有效数字的计算) 3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +,b a ?有几位有效数字?(有效数字的计算) 4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差?(误差的计算) 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5* =,已知 cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v 2 π=的绝对误差限与相对误差 限。(误差限的计算) 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。(函数误差的计算) 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r 时允许的相对误差限为多大?(函数误差的计算) 8 设? -=1 1dx e x e I x n n ,求证: (1))2,1,0(11 =-=-n nI I n n (2)利用(1)中的公式正向递推计算时误差逐步增大;反向递推计算时误差逐步减小。(计算方法的比较选择)
第二章 插值法 习题主要考察点:拉格朗日插值法的构造,均差的计算,牛顿插值和埃尔米特插值构造,插值余项的计算和应用。 1 已知1)2(,1)1(,2)1(===-f f f ,求)(x f 的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值) 2 已知9,4,10=== x x x y ,用线性插值求7的近似值。(拉格朗日线性插值) 3 若),...1,0(n j x j =为互异节点,且有 ) ())(())(()())(())(()(11101110n j j j j j j j n j j j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x l ----------= +-+- 试证明 ),...1,0()(0 n k x x l x n j k j k j =≡∑=。 (拉格朗日插值基函数的性质) 4 已知352274.036.0sin ,333487.034.0sin ,314567.032.0sin ===,用抛物线插值计 算3367.0sin 的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值) 5 用余弦函数x cos 在00=x ,4 1π =x ,2 2π = x 三个节点处的值,写出二次拉格朗日插值 多项式, 并近似计算6 cos π 及其绝对误差与相对误差,且与误差余项估计值比较。(拉格朗 日二次插值) 6 已知函数值212)6(,82)4(,46)3(,10)1(,6)0(=====f f f f f ,求函数的四阶均差 ]6,4,3,1,0[f 和二阶均差]3,1,4[f 。(均差的计算) 7 设)())(()(10n x x x x x x x f ---= 求][1,0p x x x f 之值,其中1+≤n p ,而节点 )1,1,0(+=n i x i 互异。(均差的计算) 8 如下函数值表 建立不超过三次的牛顿插值多项式。(牛顿插值多项式的构造) 9求一个次数小于等于三次多项式)(x p ,满足如下插值条件:2)1(=p ,4)2(=p , 3)2(='p ,12)3(=p 。(插值多项式的构造)
数值分析第五章答案
数值分析第五章答案 【篇一:数值分析第五版计算实习题】 第二章 2-1 程序: clear;clc; x1=[0.2 0.4 0.6 0.8 1.0]; y1=[0.98 0.92 0.81 0.64 0.38]; n=length(y1); c=y1(:); or j=2:n %求差商 for i=n:-1:j c(i)=(c(i)-c(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1)); end end syms x df d; df(1)=1;d(1)=y1(1); for i=2:n %求牛顿差值多项式 df(i)=df(i-1)*(x-x1(i-1)); d(i)=c(i)*df(i); end disp(4次牛顿插值多项式); p4=vpa(collect((sum(d))),5) %p4即为4次牛顿插值多项式,并保留小数点后5位数 pp=csape(x1,y1, variational);%调用三次样条函数 q=pp.coefs; disp(三次样条函数); for i=1:4 s=q(i,:)*[(x-x1(i))^3;(x-x1(i))^2;(x-x1(i));1]; s=vpa(collect(s),5) end x2=0.2:0.08:1.08; dot=[1 2 11 12]; figure ezplot(p4,[0.2,1.08]); hold on y2=fnval(pp,x2); x=x2(dot);
y3=eval(p4); y4=fnval(pp,x2(dot)); plot(x2,y2,r,x2(dot),y3,b*,x2(dot),y4,co); title(4次牛顿插值及三次样条); 结果如下: 4次牛顿插值多项式 p4 = - 0.52083*x^4 + 0.83333*x^3 - 1.1042*x^2 + 0.19167*x + 0.98 三次样条函数 x∈[0.2,0.4]时, s = - 1.3393*x^3 + 0.80357*x^2 - 0.40714*x + 1.04 x∈[0.4,0.6]时,s = 0.44643*x^3 - 1.3393*x^2 + 0.45*x + 0.92571 x∈[0.6,0.8]时,s = - 1.6964*x^3 + 2.5179*x^2 - 1.8643*x + 1.3886 x∈[0.8,1.0]时,s =2.5893*x^3 - 7.7679*x^2 + 6.3643*x - 0.80571 输出图如下 2-3(1) 程序: clear; clc; x1=[0 1 4 9 16 25 36 49 64]; y1=[0 1 2 3 4 5 6 7 8];%插值点 n=length(y1); a=ones(n,2); a(:,2)=-x1; c=1; for i=1:n c=conv(c,a(i,:)); end q=zeros(n,n); r=zeros(n,n+1); for i=1:n [q(i,:),r(i,:)]=deconv(c,a(i,:));%wn+1/(x-xk) end dw=zeros(1,n); for i=1:n dw(i)=y1(i)/polyval(q(i,:),x1(i));%系数 end p=dw*q; syms x l8; for i=1:n