数值分析第五版全答案
数值分析第五版答案(全)
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求nx 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯ 解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字；*57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****2442*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =-9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =，27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案
= (N + 1) − N 1 + N (N + 1)
=
N2
1， + N +1
∫N +1
因此
1
dx = α − β = arctan
1
。
N 1+ x2
N2 + N +1
9、正方形的边长大约为 100cm，应怎样测量才能使其面积误差不超过 1 cm2 ?
[ 解 ] 由 ε * ((l * )2 ) = [(l * )2 ]′ ε * (l * ) = 2l *ε * (l * ) 可 知 ， 若 要 求 ε * ((l * )2 ) = 1 ， 则
∆s = 2
2
2
s 所以
1 ab sin c
。
2
= ∆c + ∆b + ∆c ≤ ∆c + ∆b + ∆c c b tan c c b c
第二章 插值法（40-42）
1、根据（2.2）定义的范德蒙行列式，令
1
Vn
(x0
,
x1 ,,
xn−1 ,
x)
=
1
x0 xn−1
x02
x
2 n−1
2
2
2
= 0.59768 ×10−3 + 212.48488 ×10−3 + 0.01708255 ×10−3
= 213.09964255 ×10−3 = 0.21309964255
（3）
x
* 2
/
x4*
。
∑ e* (x2*
/
x
* 4
)
=
n k =1
∂f ∂xk
数值分析第五版_李庆扬_王能超_易大义主编课后习题答案
1 u * 4 2
故
6
y *
u * * u
1 gu * 0.0167 3
若改用等价公式
ln( x x 2 1) ln( x x 2 1)
则 f (30) ln(30 899) 此时，
* * * (1) ( x1 x2 x4 ) * * * ( x1 ) ( x2 ) ( x4 )
1 1 1 104 103 103 2 2 2 3 1.05 10
* * * x2 x3 ) (2) ( x1 * * * * * * * * * x2 ( x3 x3 ( x1 x3 ( x2 ) x2 ) x1 ) x1
1 1 1 1.1021 0.031 101 0.031 385.6 104 1.1021 385.6 103 2 2 2 0.215
* * (3) ( x2 / x4 )
* * * * x2 ( x4 ) x4 ( x2 ) * x4 2
* * * * * * * *
其中 x1 , x2 , x3 , x4 均为第 3 题所给的数。 解：
*
*
*
*
1
1 ( x1* ) 104 2 1 * ) 103 ( x2 2 1 * ( x3 ) 101 2 1 * ( x4 ) 103 2 1 * ( x5 ) 101 2
2 1.41 （三位有效数字） ，计算到 y10 时误差有多大？这个计算过程稳定吗？ 2 1.41
解：Q y0
1 ( y0 *) 102 2
又Q yn 10 yn1 1
y1 10 y0 1 ( y1*) 10 ( y0 *)
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=Q , 1||n p x nx C n n-⋅∴==又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅Q 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*11.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x x εεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===g g(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=g又(*)1r V ε=Q故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=Q10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
数值分析课程第五版课后习题答案(李庆扬等)
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x xx x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++；[解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
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第四章 数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度： 1012101211212(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];h h h h hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+从而解得 011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0h h hhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3h h hhf x dx x dx hA f h A f A f h h---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
数值分析第五版_李庆扬__课后习题答案
第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x x e x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()n f x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅ 且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=故度量半径R 时允许的相对误差限为1(*)10.333r R ε=⨯≈6．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=10099Y Y ∴=-9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =-依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
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第一章 绪论1．设0x >,x 的相对误差为δ，求ln x 的误差。
解：近似值*x 的相对误差为*****r e x xe x x δ-=== 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln **e x x x e x =-≈进而有(ln *)x εδ≈2．设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
解：设()nf x x =，则函数的条件数为'()||()p xf x C f x = 又1'()n f x nx-=, 1||n p x nx C n n-⋅∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈⋅且(*)r e x 为2((*))0.02n r x n ε∴≈3．下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差限不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, *456.430x =,*57 1.0.x =⨯解：*1 1.1021x =是五位有效数字； *20.031x =是二位有效数字； *3385.6x =是四位有效数字； *456.430x =是五位有效数字； *57 1.0.x =⨯是二位有效数字。
4．利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限：(1) ***124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x .其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数。
解：*41*32*13*34*151()1021()1021()1021()1021()102x x x x x εεεεε-----=⨯=⨯=⨯=⨯=⨯***124***1244333(1)()()()()1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=⨯+⨯+⨯=⨯ ***123*********123231132143(2)()()()()1111.10210.031100.031385.610 1.1021385.6102220.215x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯≈**24****24422*4335(3)(/)()()110.0311056.430102256.43056.43010x x x x x x xεεε---+≈⨯⨯+⨯⨯=⨯=5计算球体积要使相对误差限为1，问度量半径R 时允许的相对误差限是多少？ 解：球体体积为343V R π=则何种函数的条件数为23'4343p R V R R C V R ππ===(*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈=又(*)1r V ε=%1故度量半径R 时允许的相对误差限为εr (V ∗)=13∗1%=13006．设028Y =，按递推公式1n n Y Y -= （n=1,2,…）计算到100Y 27.982≈（5位有效数字），试问计算100Y 将有多大误差？解：1n n Y Y -=-10099Y Y ∴=9998Y Y =9897Y Y =……10Y Y =依次代入后，有1000100Y Y =-即1000Y Y =27.982≈, 100027.982Y Y ∴=-*310001()()(27.982)102Y Y εεε-∴=+=⨯100Y ∴的误差限为31102-⨯。
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第四章 数值积分与数值微分 1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：10121012112120(1)()()(0)();(2)()()(0)();(3)()[(1)2()3()]/3;(4)()[(0)()]/2[(0)()];hhhh hf x dx A f h A f A f h f x dx A f h A f A f h f x dx f f x f x f x dx h f f h ah f f h -----≈-++≈-++≈-++''≈++-⎰⎰⎰⎰解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
（1）若101(1)()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1012h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则3221123h h A h A -=+ 从而解得011431313A h A h A h -⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则3()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则4551012()52()(0)()3hhhhf x dx x dx h A f h A f A f h h ---==-++=⎰⎰故此时，101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰故101()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
（2）若21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰令()1f x =，则1014h A A A -=++令()f x x =，则110A h A h -=-+令2()f x x =，则32211163h h A h A -=+ 从而解得11438383A h A h A h -⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩令3()f x x =，则22322()0hhhhf x dx x dx --==⎰⎰101()(0)()0A f h A f A f h --++=故21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰成立。
令4()f x x =，则22452264()5hhhhf x dx x dx h --==⎰⎰510116()(0)()3A f h A f A f h h --++=故此时，21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≠-++⎰因此，21012()()(0)()h hf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰具有3次代数精度。
（3）若1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -≈-++⎰令()1f x =，则1121()2[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -==-++⎰令()f x x =，则120123x x =-++令2()f x x =，则22122123x x =++从而解得120.28990.5266x x =-⎧⎨=⎩或120.68990.1266x x =⎧⎨=⎩ 令3()f x x =，则11311()0f x dx x dx --==⎰⎰12[(1)2()3()]/30f f x f x -++≠故1121()[(1)2()3()]/3f x dx f f x f x -=-++⎰不成立。
因此，原求积公式具有2次代数精度。
（4）若20()[(0)()]/2[(0)()]hf x dx h f f h ah f f h ''≈++-⎰令()1f x =，则(),hf x dx h =⎰2[(0)()]/2[(0)()]h f f h ah f f h h ''++-=令()f x x =，则20221()21[(0)()]/2[(0)()]2hh f x dx xdx h h f f h ah f f h h ==''++-=⎰⎰令2()f x x =，则2302321()31[(0)()]/2[(0)()]22hhf x dx x dx h h f f h ah f f h h ah ==''++-=-⎰⎰故有33211232112h h ah a =-=令3()f x x =，则340024441()41111[(0)()]/2[(0)()]12244hh f x dx x dx h h f f h h f f h h h h==''++-=-=⎰⎰令4()f x x =，则450025551()51111[(0)()]/2[(0)()]12236hhf x dx x dx h h f f h h f f h h h h==''++-=-=⎰⎰故此时，21()[(0)()]/2[(0)()],12hf x dx h f f h h f f h ''≠++-⎰因此，201()[(0)()]/2[(0)()]12hf x dx h f f h h f f h ''≈++-⎰具有3次代数精度。
2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分：12012101(1),8;4(1)(2),10;(3),4;(4),6;x xdx n x e dx n xn n ϕ-=+-===⎰⎰⎰解：21(1)8,0,1,,()84xn a b h f x x=====+ 复化梯形公式为781[()2()()]0.111402k k hT f a f x f b ==++=∑复化辛普森公式为7781012[()4()2()()]0.111576k k k k hS f a f x f x f b +===+++=∑∑121(1)(2)10,0,1,,()10x e n a b h f x x--===== 复化梯形公式为9101[()2()()] 1.391482k k hT f a f x f b ==++=∑复化辛普森公式为99101012[()4()2()()] 1.454716k k k k hS f a f x f x f b +===+++=∑∑(3)4,1,9,2,()n a b h f x =====复化梯形公式为341[()2()()]17.227742k k hT f a f x f b ==++=∑复化辛普森公式为3341012[()4()2()()]17.322226(4)6,0,,,()636k k k k hS f a f x f x f b n a b h f x ππ+===+++======∑∑复化梯形公式为561[()2()()] 1.035622k k hT f a f x f b ==++=∑复化辛普森公式为5561012[()4()2()()] 1.035776k k k k hS f a f x f x f b +===+++=∑∑3。
直接验证柯特斯教材公式（2。
4）具有5交代数精度。
证明：柯特斯公式为01234()[7()32()12()32()7()]90bab af x dx f x f x f x f x f x -=++++⎰令()1f x =，则01234()90[7()32()12()32()7()]90bab a f x dx b af x f x f x f x f x b a -=-++++=-⎰令()f x x =，则2222012341()()21[7()32()12()32()7()]()902bb a af x dx xdx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰令2()f x x =，则23333012341()()31[7()32()12()32()7()]()903bb a af x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰令3()f x x =，则34444012341()()41[7()32()12()32()7()]()904bb a af x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰令4()f x x =，则45555012341()()51[7()32()12()32()7()]()905bb a af x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰令5()f x x =，则56666012341()()61[7()32()12()32()7()]()906bb a af x dx x dx b a b a f x f x f x f x f x b a ==--++++=-⎰⎰令6()f x x =，则012340()[7()32()12()32()7()]90hb af x dx f x f x f x f x f x -≠++++⎰因此，该柯特斯公式具有5次代数精度。
4。
用辛普森公式求积分1x e dx -⎰并估计误差。
解：辛普森公式为[()4()()]62b a a bS f a f f b -+=++ 此时，0,1,(),x a b f x e -===从而有1121(14)0.632336S e e --=++=误差为4(4)04()()()1802110.00035,(0,1)1802b a b a R f f e ηη--=-≤⨯⨯=∈5。
推导下列三种矩形求积公式：223()()()()();2()()()()();2()()()()();224ba ba baf f x dx b a f a b a f f x dx b a f b b a a b f f x dx b a f b a ηηη'=-+-'=---''+=-+-⎰⎰⎰证明：(1)()()()(),(,)f x f a f x a a b ηη'=+-∈两边同时在[,]a b 上积分，得()()()()()bbaaf x dx b a f a f x a dx η'=-+-⎰⎰即2()()()()()2(2)()()()(),(,)baf f x dx b a f a b a f x f b f b x a b ηηη'=-+-'=--∈⎰两边同时在[,]a b 上积分，得()()()()()bbaaf x dx b a f a f b x dx η'=---⎰⎰即22()()()()()2()(3)()()()()(),(,)22222baf f x dx b a f b b a a b a b a b f a b f x f f x x a b ηηη'=---''++++'=+-+-∈⎰两连边同时在[,]a b 上积分，得2()()()()()()()22222bb b aa a ab a b a b f a b f x dx b a f f x dx x dx η''++++'=-+-+-⎰⎰⎰ 即3()()()()();224b aa b f f x dx b a f b a η''+=-+-⎰6。