定积分知识点

1.定积分的概念：一般地，设函数()f x 在区间[,

]a b 上连续，用分点将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x （b a

），在每个小区

间1,i i x x 上任取一点()1,2,,i i n ξ=，作和式：1

()()n

n i i i i b a

S f x f n

ξξ==-=?=∑∑

如果x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b

a S f x dx =?，

其中-?积分号，b －积分上限，a －积分下限，()f x －被积函数，x －积分变量，

[,]a b －积分区间，()f x dx －被积式。说明：（1）定积分()b

a f x dx ?是一个常数，即

n S 无限趋近的常数S （n →+∞时）记为()b

f x dx ?,而不是n S ．

（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间,a b ；②近似代替：取点[]1,i i i x x ξ-∈；③求

和：1

()n

i i b a f n ξ=-∑；④取极限：()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑?;（3）曲边图形面积：()b

S f x dx =?；变速运动路程2

()t t S v t dt =?；变力做功()b

W F r dr =?

2．定积分的几何意义

续且恒

从几何上看，如果在区间,

a b 上函数()f x 连有()0f x ≥，那么定积分()b

f x dx ?表示由直线

边梯形

,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x 所围成的曲

(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()b a

f x dx ?的几何意义。

说明：一般情况下，定积分()b

a f x dx ?的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及

直线,x a x b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方

的面积去负号。

分析：一般的，设被积函数()y

f x ，若()y

f x 在[,]a b 上可取负值。

考察和式()()()12()i n f x x f x x f x x f x x ?+?+

+?+

不妨设1(),(),,()0i i n f x f x f x +<

于是和式即为()()()121(){[()][]}i i n f x x f x x f x x f x x f x x -?+?+

+?--?+

+-?

()b a

f x dx ∴=?阴影A 的面积—阴影B 的面积（即x 轴上方面积减x 轴下方的面积）

3．定积分的性质性质1()b

a kdx k

b a =-?；

性质2()()()b b

a a kf x dx k f x dx k =??为常数（定积分的线性性质）；性质31212[()()]()()b

a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±???（定积分的线性性质）；

性质4()()()()b

a a c f x dx f x dx f x dx a c

b =+<

a b f x dx f x dx =-??； (2) ()0a

f x dx =?；

说明：①推广：

②推广:12

()()()()k

c c b

c c f x dx f x dx f x dx f x dx =++

+????

4.微积分基本定理（牛顿—莱布尼兹公式）：?-==b

a b a a F b F x F dx x f )()(|)()(

（熟记'???

? ??+=+11n x x n n （1-≠n ），()'=x x ln 1，()'-=x x cos sin ，()'=x x sin cos ，'???

? ??=a a a x

x ln ，()'=x x e e ）巩固训练题

一．选择题：

1． 5

0(24)x dx -?=（） A ．5 B. 4 C. 3 D. 2

2． 211

ln xdx x ?=（） A ．21ln 22

B. 2

ln 2 D.ln 2

3．若11

(2)3ln 2a

x dx x

+=+?，且a ＞1，则a 的值为（）A ．6

4．已知自由落体运动的速率v=gt ，则落体运动从t=0到t=t 0所走的路程为（

）

A ．203gt

B ．2

0gt C ．202gt D ．206

5.由抛物线x y =2

和直线

x =1所围成的图形的面积等于（）

A ．1

B ．3

4 C ．3

D ．3

6.如图，阴影部分的面积是（ )

A ．32

B ．329-

C ．332

D ．3

7.320|4|x dx -?=（）A ．321 B ．322 C ．323 D ．325

8． dx e e x x ?-+10

)(=（）A ．e e 1+ B ．2e C ．e 2 D ．e

e 1- 9．曲线]2

,0[,cos π∈=x x y 与坐标轴围成的面积（）

A ．4

B ．2

C ．2

D ．3

10．230(2cos 1)2x dx π

-?=（） A ．3- B.1

- C.12 D.3 二．填空题：

11.若20(345)a

x x dx +-?=a 3-2（a ＞1），则a=

12.曲线2x y =与直线2+=x y 所围成的图形的面积等于 13.由曲线22y x =-与直线y x =-所围成的平面图形的面积为

14.已知弹簧每拉长0. 02 米要用9. 8N 的力，则把弹簧拉长0. 1米所作的功为 15.222

4x dx --=

三．计算下列定积分的值

16.

?--3

)4(dx x x ； 17. dx x x ?+20

)sin (π

； 18. dx x ?π

π222

cos ; 19．94(1)d x x x +?; 20.(cos 5sin 2)d a a x x x x --+? 21. 12

0(9)x x dx -?;

四．解答题：

22.设)(x f y =是二次函数，方程0)(=x f 有两个相等的实根，且22)(+='x x f ．

第6题图

（1）求)(x f 的表达式．（2）若直线)10(<<-=t t x 把)(x f y =的图象与坐标轴所围成的图形的面积二等分，求t 的值． 23. 求曲线x x x y 22

3++-=与x 轴所围成的图形的面积．

答案：AADCB ，CCDDD ；；12.29

;13.2

9;14.变力函数为F = 490x ．于是所求的功为

0.10.10

490490()

2.45 2

x W xdx ===?

（J ）;15. 2π; 16. 20

3；17.2

18π+；18.2

14-π;

19. 提示：3

2221()32

x x x '+=;271

6;20. 提示：(sin 6cos 2)cos 5sin 2x x x x x x x '++=-+，4a;

21. 提示：31

32322

2((9))(9)9x x x '--=-，529;22. （1）12)(2++=x x x f ；（2）32

11-=t ．

23. 首先求出函数x x x y 223++-=的零点：11-=x ，02=x ，23=x .又易判断出在

)0 , 1(- 内，图形在x 轴下方，在)2 , 0(内，图形在x 轴上方，所以所求面积为

dx x x x A ?

-++--

23)2(dx x x x ?

++-+

23)2(12

。