湖南省炎德英才杯2019-2020学年高一下学期基础学科知识竞赛数学试题
2020年“炎德英才杯”高一基础学科知识竞赛
数学
时量：120分钟 满分：100分
得分：_____________
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.已知集合{
}|22x
A x =>，{
}
2
|,B y y x x ==∈R ，则(
)R
A B =（ ）
A.[)0,1
B.()0,2
C.(],1-∞
D.[]0,1
2.设()f x 是定义域为R 的偶函数，且()()31f x f x +=-，若当[]2,0x ∈-时，()2x f x -=，记
21log 4a f ?
?= ??
?，b f
=，()2
3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）
A.a b c >>
B.c b a >>
C.c a b >>
D.a c b >>
3.在ABC △中，D 是边AC 上的点，且AD AB =，BD =，2BC BD =，则sin C 的值为（ ） A.
12
B.
14
C.18
D.
112
4.如图，圆O 是边长为ABC 的内切圆，其与BC 边相切于点D ，点M 为圆O 上任意一点，若BM xBA yBD =+（x ，y ∈R ），则2x y +的最大值为（ ）
C.2
D.
5.如图，正四面体ABCD 中，E 是棱AD 的中点，P 是棱AC 上一动点，BP PE +正四面体的外接球的表面积是（ ）
A.12π
B.32π
C.8π
D.24π
6.已知函()2f x x ax b =++，m ，n 满足m n <且()f m n m =-，()f n m n =-，则当m x n <<时，有（ ） A.()f x x n +<
B.()f x x m +>
C.()0f x x -<
D.()0f x x ->
7.将函数()44sin cos f x x x =+的图象向左平移
8
π
个单位长度后，得到()g x 的图象，若函数()y g x ω=在,124ππ??
-????
上单调递减，则正数ω的最大值为（ ） A.
12
B.1
C.
32
D.
23
8.在平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P ，向圆C ；()2
2
2
5x m y m -+=+（16m <<）引两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 过定点（ ） A.1,12??- ???
B.31,
2??- ???
C.13,22??
-
???
D.11,
2??- ???
二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.已知圆O ：2
2
4x y +=和圆C ：()()22
231x y -+-=.现给出如下结论，其中正确的是（ ）
A.圆O 与圆C 有四条公切线
B.过C 且在两坐标轴上截距相等的直线方程为5x y +=或10x y -+=
C.过C 且与圆O 相切的直线方程为916300x y -+=
D. P 、Q 分别为圆O 和圆C 上的动点，则PQ 33
10.如图，在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，CDE △是正三角形，M 为线段DE 的中点，点N 为底面ABCD 内的动点，则下列结论正确的是（ ）
A.若BC DE ⊥，则平面CDE ⊥平面ABCD
B 若B
C DE ⊥，则直线EA 与平面ABC
D 所成的角的正弦值为4
C.若直线BM 和EN 异面，则点N 不可能为底面ABCD 的中心
D.若平面CDE ⊥平面ABCD ，且点N 为底面ABCD 的中心，则BM EN = 11.已知函数()()sin sin f x x x π=+，现给出如下结论，其中正确的是（ ） A.()f x 是奇函数
B.()f x 是周期函数
C.()f x 在区间()0,π上有三个零点
D.()f x 的最大值为2
12.已知函数(){}1
f x x x
=
-，其中{}x 为不小于x 的最小整数，如{}3.54=，{}33=，则关于()f x 性质
的表述，正确的是（ ）
A.定义域为{}|x x ≠Z B .在定义域内为增函数 C.函数为周期函数
D.函数为奇函数
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.）
13.若两个非零向量a 、b 满足()()
0a b a b +?-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为
14.函数y =
15.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，中心为O ，12BF BC =，111
4
A E A A =，则四面体OEBF 的体积为
16.已知圆O ：2
2
1x y +=，直线l ：2y x a =+，过直线l 上的点P 作圆O 的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，若存在点P 使得3
2
PA PB PO +=
，则实数a 的取值范围是 四、解答题（共4小题，每小题11分，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在平面直角坐标系xOy 中，动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，记点P 的轨迹为C .
（1）求点Ｐ的轨迹C 的方程并作出动点P 的轨迹的图形； （2）设(),Q x y 是轨迹C 上的任意一点，求： ①2x y +的最大值； ②2
2
x y +的最小值.
18.如图，在平面直角坐标系中，角α，β的始边均为x 轴正半轴，终边分别与圆O 交于A ，B 两点，若
7,12παπ??
∈
???
，12πβ=，且点A 的坐标为()1,A m -.
（1）4
tan 23
α=-
，求实数m 的值； （2）若3
tan 4
AOB ∠=-
，求sin 2α的值. 19.如图1，图2，在矩形ABCD 中，已知2AB =，3AD =，点E ，F 分别在AD ，CD 上，且1AE CF ==，将四边形ABCE 沿EC 折起，使点B 在平面CDE 上的射影H 在直线DE 上.
（1）求证：CD BE ⊥； （2）求证：//HF 平面ABCE ；
（3）求直线AC 与平面CDE 所成角的正弦值.
20.已知2
4
log 02
x +?≤. （1）求x 的取值的集合A ；
（2）x A ∈时，求函数()1342x x f x ++=-的值域；
（3）设()21,032,
2,20,
x x g x x x ?-≤≤=?+-≤
2020年“炎德英才杯”高一基础学科知识竞赛
数学参考答案
一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.D 【解析】∵{}
{}|22|1x
A x x x =>=>，
∴
{}R
|1A x x =≤，
又∵{}|0B y y =≥， ∴
(
)[]R
0,1A B =，
故选D.
2.A 【解析】∵()()31f x f x +=-，
∴()()4f x f x +=，即函数()f x 是周期为4的周期函数， 当[]2,0x ∈-时，()2x f x -=，则函数()f x 为减函数， 即当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数，
2
1log 24=-，则()()21log 224a f f f ?
?==-= ??
?，
()()()()239811c f f f f ===+=，
∵12<
<，且当(]0,2x ∈时，()f x 为增函数，
∴(
)()12f f
f <<，∴a b c >>，故选A.
3.B 【解析】在ABC △中，D 是边AC 上的点，且AD AB =
，BD =，2BC BD =， 设AB x =，则AD x =
，BD =
，BC =，
如图所示，过点A 作AE BD ⊥，
所以2BE x =
，3
BAE π
∠=， 所以23
BAC π
∠=
， 在ABC △中，利用正弦定理
sin sin BC AB
BAC C
=∠，
sin 2
x
C =
，整理得1sin 4C =.故答案为14.选B. 4.C 【解析】以D 点为原点，BC 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立坐标系，
设内切圆的半径为r ，
根据三角形面积公式得到
11
sin 6022
l r S AB AC ???==???周长， 可得到内切圆的半径为1，圆O 是以()0,1为圆心，1为半径的圆； 可得到点的坐标为：
()B
，)
C
，()0,3A ，()0,0D ，()cos ,1sin M θθ+，
(
)
cos sin BM θθ=+
，)BA =
，)BD =，
故得到(
))cos sin ,3BM x θθ=+=，
故得到cos θ=-sin 31x θ=-，
1sin ,3sin 2,33x y θθ+?=??
??
?=-+??
则sin 424
2sin 233333x y θπθ??+=
+=++≤ ???.
故最大值为2.故答案为C.
5.A 【解析】将三角形ABC 与三角形ACD 展成平面，BP PE +的最小值，即为BE 两点之间连线的距离，
则BE =
设2AB a =，则120BAD ∠=?，由余弦定理221414
222a a a a
+--=??
，解得a =
则正四面体棱长为
设外接球半径为R
，则R =
=， 则正四面体的外接球的表面积2
44312S R πππ==?=.故选A.
6.A 【解析】设(),A m n m -，(),B n m n -，即直线AB 的方程为2y x m n =-++，
从图中可得m x n <<时，()2f x x m n <-++， ∴()f x x x m n +<-++，
又∵m x <，∴0m x -<，即m x n n -+<， ∴()f x x n +<.故选A.
7.A 【解析】函数()()
2
4
4
2
2
22sin cos sin cos 2sin cos f x x x x x
x x =+=+-
2111cos 4131sin 21cos 422244
x x x -=-=-?=+，
()f x 的图象向左平移
8π个单位长度，得到()1313
cos 4sin 448444g x x x π????=++=-+ ????
???的图象，∴函数()13
sin 444
y g x x ωω==-+，
若该函数在,124ππ??-
????上单调递减，则4,,322x ωπππωωπ????∈-?-????????
， ∴,32,
2
ωπππωπ?-≥-????≤??解得12ω≤，∴正数ω的最大值为12.故选A.
8.B 【解析】平面直角坐标系xOy 中，过点()1,4P 引圆C ：()2
2
2
5x m y m -+=+（16m <<）的两条切
线，
=
=，
∴以点P 为圆心，切线长为半径的圆的方程为：()()2
2
14122x
y m -+-=-，
联立()()()2
2222
5,14122,
x m y m x y m ?-+=+??-+-=-?? 可得直线AB 的方程为()2282100m x y m --++=. 整理得()()2810220x y m x --+++=，
令28100,
220,
x y x --+=??
+=?得1x =-，32y =.
∴直线AB 过定点31,
2?
?
- ??
?
，故选B. 二、多项选择题（本题共4小题，每小题4分，共16分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9.AD
【解析】两圆圆心距1221OC r r =>+=+，所以两圆相离，有四条公切线，A 正确；截距相等可以过原点或斜率只能为1-，B 不正确；过圆外一点与圆相切的直线有两条，C 不正确；PQ 的最大值等于
12OC r r ++，最小值为12OC r r --，D 正确.
10.ABC 【解析】∵BC CD ⊥，BC DE ⊥，CD
DE D =，∴BC ⊥平面CDE ，
∵BC ?平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面CDE ，A 项正确；
设CD 的中点为F ，连接EF 、AF ，则EF CD ⊥. ∵平面ABCD ⊥平面CDE ，平面ABCD 平面CDE CD =，EF
?平面CDE
∴EF
⊥平面ABCD ，设EA 与平面ABCD 所成的角为θ，则EAF θ=∠，
EF =
，AF ==
AE ==
则sin 4
EF AE θ=
=，B 项正确； 连接BD ，易知BM ?平面BDE ，由B 、M 、E 确定的面即为平面BDE ，
当直线BM 和EN 异面时，若点N 为底面ABCD 的中心，则N BD ∈，
又E ∈平面BDE ，则EN 与BM 共面，矛盾，C 项正确； 连接FN ，∵FN ?平面ABCD ，EF
⊥平面ABCD ，∴EF FN ⊥，
∵F 、N 分别为CD 、BD 的中点，则1
12
FN BC =
=，
又EF =
2EN =，BM ==BM EN ≠，D 项错误.
故选ABC.
11.AC 【解析】∵x ∈R ，()()()()sin sin sin sin f x x x x x f x ππ-=-+-=--=-， ∴()f x 是奇函数，A 正确；
sin y x =的周期12T k π=，k ∈Z ，()sin y x π=的周期22T n =，n ∈Z ，
∵{}
{}1122||2,2,T T k k T T n n π=∈=∈=?Z Z ，
∴()f x 不是周期函数，B 错误；
令()()sin sin 0f x x x π=+=，得()()sin sin sin x x x π=-=-， ∴2x x k ππ=-+，k ∈Z ，或2x x k πππ-=+，k ∈Z ，
解得21
k x ππ=+，k ∈Z 或()211k x ππ+=-，k ∈Z ， 又()0,x π∈，21x ππ=
+或41x ππ=+或1
x ππ=-，C 正确； 当sin 1x =时，22
x k π
π=+
，k ∈Z ，
当()sin 1x π=时，1
22
x k =+
，k ∈Z ， ∵12,2,22x x k k x x k k π
π????
=+
∈=+∈=??????
???
Z Z ， 即sin y x =与()sin y x π=不可能同时取得最大值1，故D 错误.故选AC. 12.AC 【解析】易{}0x x -≠，故定义域为{}|x x ≠Z ，故A 选项正确；
令(){}g x x x =-，易知(){}(){}{}()11111g x x x x x x x g x +=+-+=+--=-=， 故{}f x 是以1为周期的函数，故C 选项正确，B 选项错误；
因为()()f x f x --≠，故D 选项错误. 故选AC.
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分.）
13.35
【解析】设平面向量a 与b 的夹角为θ，∵()()
2
2
220a b a b a b a b
+?-=-=-=，可得a b =，
在等式2a b a b +=-两边平方得22222484a a b b a a b b +?+=-?+，化简得3cos 5
θ=
.
14.y =
=
其几何意义为点(),0P x 到点()1,1A -、()2,2B 两点的距离之和，
()
1,1A -关于x 轴的对称点()1,1C --，当B 、P 、C 三点共线时y 的值最小为
15.
1
96
【解析】取AB 的中点M ，连接OM ，则//OM BF ， 过M 作MH BE ⊥于H ，则MH ⊥平面BEF ，
在正方形11ABB A 中，利用等面积法可以求得110
MH =
， 所以11396
O BEF M BEF BEF V V S MH --==
=△.
16.a -≤≤AB ，OA ，OB ，OP ，设PO 与AB 交于点C ，直线PA ，PB 是圆O 的切线，
切点分别为A ，B ，∴PA PB =，∴PC AB ⊥，
∵OA OB =，∴OC AB ⊥，∴O ，C ，P 三点共线，∴AC OP ⊥，
322PA PB PC PO +==
，34PC PO =，∴1
4
OC OP =， ∵Rt Rt PAO ACO ∽△△，∴
OA OP OC
OA
=
，
∴22
114
OC OP
OP OA ?==，∴2OP =，
要使在直线l 上存在点P 使得2OP =，
则点O 到直线l 的距离2d ≤，2d =
≤，a ≤
∴a -≤≤
四、解答题（共4小题，每小题11分，共44分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【解析】（1）由动点(),P x y 到两坐标轴的距离之和等于它到定点()1,1A 的距离，
可得x y +=
平方化为10xy x y ++-=， ·························································································· 2分 当0xy ≥时，可得10xy x y ++-=，
即11x y x -=
+，即2
11y x
=-++. ························································································ 3分 当0xy <时，10xy x y -++-=，
即有()11x y x -=-. ······································································································ 4分 画出动点P 的轨迹为右图：
（2）①设2x y t +=，依t 的几何意义，求得2x y +的最大值为2. ·········································· 9分
②设2
2
x y z +=，依z 的几何意义，求得2
2
x y +的最小值为6- ··································· 11分 18.【解析】（1）由题意可得22tan 4tan 21tan 3ααα=
=--，∴1
tan 2
α=-或tan 2α=. ··················· 2分
∵7,12παπ??
∈
???
，∴1tan 2α=-，即112m =--，∴12m =. ··················································· 5分
（2）∵()sin 312tan tan tan 124cos 12AOB παπαβαπα?
?- ?????∠=-=-==- ?????- ?
?
?， 22sin cos 11212ππαα???
?-+-= ? ????
?，11,
12212πππα??
-∈ ???
， ∴3sin 125πα??
-
= ??
?，4cos 125πα??-=- ??
?， ······································································· 7分 ∴24sin 22sin cos 6121225πππααα??
????-
=--=- ? ? ??
?????，27cos 22cos 161225ππαα????-=--= ? ?
????
， ·································································································································· 9分
∴7sin 2sin 2sin 2cos cos 2sin 66666650ππππππαααα??
-?????
?=-+=-+-= ? ? ????
???????. ·········· 11分 19.【证明】（1）∵BH ⊥平面CDE ，∴BH CD ⊥，
又CD DE ⊥，BH
DE H =，∴CD ⊥平面DBE ，
∵BE ?平面DBE ，∴CD BE ⊥. ··················································································· 3分 （2）设BH x =，EH y =，
由（1）知CDB △为直角三角形，在BHE △与CDB △中有()22
2222
5,
2,
23x y x y ?+=??+-+=?? 解方程得2,
1,
x y =??
=?，∴H 为DE 的中点.
又F 为CD 中点，∴//HF CE ，且HF ?平面ABCE ，CE ?平面ABCE ，
∴//FH 平面ABCE . ······································································································ 7分 （3）在梯形ABCE 中，延长BA 交CE 于点M ， ∵::1:3AE BC MA MB ==，
.点A 到平面CDE 的距离为点B 到平面CDE 距离的1
3
，
·点A 到平面CDE 的距离为
2
3
，而AC = 故直线AC 与平面CDE
所成角的正弦值为
39
. ······························································ 11分
20.【解析】（1）由2
4
log 02
3
x +?≤得，()()222log 41log 4log 90x x +-+-≤????????， ∴()221log 4log 9x ≤+≤，∴25x -≤≤，
故{}|25A x x =-≤≤为所求. ·························································································· 3分 （2）当x A ∈时，()1342x x f x ++=-
()()2
2
42
824214x x
x
=?-?=--，
∵25x -≤≤，∴
1
2324
x ≤≤， ∴()43840f x -≤≤，即为()f x 的值域. ·········································································· 6分 （3）作出函数()g x 的图象，
∵()y g x a =-有两个零点1x 、2x 且12x x <， ∴120x -≤<，02a ≤<， 且()112a f x x ==+，
∴()()()2
111111211ax f x x x x x ==+=+-， ····································································· 9分 ∵120x -≤<， ∴110ax -≤≤
即1ax 的取值范围为[]1,0-. ···························································································· 11分