全等三角形的性质和判定
全等三角形的性质和判
定
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
全等三角形的性质和判定
要点一、全等三角形的概念能够完全重合的两个三角形叫全等三角形. 要点二、对应顶点,对应边,对应角 1. 对应顶点,对应边,对应角定义
两个全等三角形重合在一起,重合的顶点叫对应顶点,重合的边叫对应边,重合的角叫对应角.
要点诠释:
在写两个三角形全等时,通常把对应顶点的字母写在对应位置上,这样容易找出对应边、对应角.如下图,△ABC 与△DEF 全等,记作△ABC ≌△DEF ,其中点A 和点D ,点B 和点E ,点C 和点F 是对应顶点;AB 和DE ,BC 和EF ,AC 和DF 是对应边;∠A 和∠D ,∠B 和∠E ,∠C 和∠F 是对应角.
要点三、全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等;
全等三角形的对应角相等.
要点四、全等三角形的判定
(SSS 、SAS 、ASA 、AAS 、HL )
全等三角形判定一(SSS ,SAS ) 全等三角形判定1——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS ”). 要点诠释:如图,如果''A B =AB ,''A C =AC ,''B C =BC ,则△ABC ≌△'''A B C .
要点二、全等三角形判定2——“边角边” 1. 全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS ”).
要点诠释:如图,如果AB = ''A B ,∠A =∠'A ,AC = ''A C ,则△ABC ≌△'''A B C . 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.
2. 有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,△ABC 与△ABD 中,AB =AB ,AC =AD ,∠B =∠B ,但△ABC 与△ABD 不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
【典型例题】
类型一、全等三角形的判定1——“边边边”
1、已知:如图,△RPQ 中,RP =RQ ,M 为PQ 的中点.
求证:RM 平分∠PRQ .
证明:∵M 为PQ 的中点(已知), ∴PM =QM
在△RPM 和△RQM 中,
()(),,
RP RQ PM QM RM RM ?=?
=??=?
已知公共边
∴△RPM ≌△RQM (SSS ).
∴ ∠PRM =∠QRM (全等三角形对应角相等). 即RM 平分∠PRQ. 举一反三:
【变式】已知:如图,AD =BC ,AC =BD.试证明:∠CAD =∠DBC.
类型二、全等三角形的判定2——“边角边”
2、已知:如图,AB =AD ,AC =AE ,∠1=∠2.
求证:BC =DE .
证明: ∵∠1=∠2
∴∠1+∠CAD =∠2+∠CAD ,即∠BAC =∠DAE 在△ABC 和△ADE 中
AB AD BAC DAE AC AE =??
∠=∠??=?
∴△ABC ≌△ADE (SAS )
∴BC =DE (全等三角形对应边相等)
3、如图,将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接 (A 、B 、D 三点共线,AB =CB ,EB =DB ,∠ABC =∠EBD =90°),连接AE 、CD ,试确定AE 与CD 的位置与数量关系,并证明你的结论.
证明:延长AE 交CD 于F ,
∵△ABC 和△DBE 是等腰直角三角形 ∴AB =BC ,BD =BE 在△ABE 和△CBD 中
90ABE CBD BE BD ??
∠=∠=???=?
∴△ABE ≌△CBD (SAS ) ∴AE =CD ,∠1=∠2
又∵∠1+∠3=90°,∠3=∠4(对顶角相等) ∴∠2+∠4=90°,即∠AFC =90° ∴AE ⊥CD
举一反三:
【变式】已知:如图,PC ⊥AC ,PB ⊥AB ,AP 平分∠BAC ,且AB =AC ,点Q 在PA 上,
求证:QC =QB
类型三、全等三角形判定的实际应用
4、“三月三,放风筝”.下图是小明制作的风筝,他根据DE =DF ,EH =FH ,不用度量,就知道∠DEH =∠DFH .请你用所学的知识证明.
【答案与解析】
证明:在△DEH 和△DFH 中,
EH FH DH DH ??
??=?
=
∴△DEH ≌△DFH(SSS) ∴∠DEH =∠DFH .
一、选择题
1. △ABC 和△'''A B C 中,若AB =''A B ,BC =''B C ,AC =''A C .则( ) A.△ABC ≌△'''A C B B. △ABC ≌△'''A B C C. △ABC ≌△'''C A B D. △ABC ≌△'''C B A
2. 如图,已知AB =CD ,AD =BC ,则下列结论中错误的是( ) ∥DC B.∠B =∠D C.∠A =∠C =BC
3. 下列判断正确的是( ) A.两个等边三角形全等
B.三个对应角相等的两个三角形全等
C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等
D.直角三角形与锐角三角形不全等
6. 如图,已知AB ⊥BD 于B ,ED ⊥BD 于D ,AB =CD ,BC =ED ,以下结论不正确的是( )
⊥AC =AC +AB =DB =CB
二、填空题
9. 如图,在△ABC 和△EFD 中,AD =FC ,AB =FE ,当添加条件_______时,就可得△ABC ≌△EFD (SSS )
10. 如图,AC =AD ,CB =DB ,∠2=30°,∠3=26°,则∠CBE =_______.
12. 已知,如图,AB =CD ,AC =BD ,则△ABC ≌ ,△ADC ≌ .
三、解答题
13. 已知:如图,四边形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于O ,∠ADC =∠BCD ,AD =
BC ,
求证:CO =DO .
14. 已知:如图,AB ∥CD
,AB =CD .求证:AD ∥BC .
分析:要证AD ∥BC ,只要证∠______=∠______, 又需证______≌______. 证明:∵ AB ∥CD ( ),
∴ ∠______=∠______ ( ), 在△______和△______中,
??
?
??===),
______(______),______(______),______(______ ∴ Δ______≌Δ______ ( ). ∴ ∠______=∠______ ( ). ∴ ______∥______( ).
15.如图,已知AB=DC,AC=DB,BE=CE求证:AE=DE.
16.
全等三角形判定3——“角边角”
两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”).
要点诠释:如图,如果∠A=∠'A,AB=''
A B,∠B=∠'B,则△ABC≌△'''
A B C.
要点二、全等三角形判定4——“角角边”
1.全等三角形判定4——“角角边”
两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角边”或“AAS”)
2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
如图,在△ABC和△ADE中,如果DE∥BC,那么∠ADE=∠B,∠AED=∠C,又∠A=∠A,但△ABC和△ADE不全等.这说明,三个角对应相等的两个三角形不一定全等.
要点三、判定方法的选择
1.选择哪种判定方法,要根据具体的已知条件而定,见下表:
已知条件可选择的判定方法
一边一角对应相等SAS AAS ASA
两角对应相等ASA AAS
两边对应相等SAS SSS
类型一、全等三角形的判定3——“角边角”
1、已知:如图,E ,F 在AC 上,AD ∥CB 且AD =CB ,∠D =∠B .
求证:AE =CF .
证明:∵AD ∥CB ∴∠A =∠C
在△ADF 与△CBE 中
A C AD C
B D B ∠=∠??
=??∠=∠?
∴△ADF ≌△CBE (ASA )
∴AF =CE ,AF +EF =CE +EF 故得:AE =CF 举一反三:
【变式】如图,AB ∥CD ,AF ∥DE ,BE =CF.求证:AB =CD.
类型二、全等三角形的判定4——“角角边”
2、已知:如图,AB ⊥AE ,AD ⊥AC ,∠E =∠B ,DE =CB .
求证:AD =AC .
证明:∵AB ⊥AE ,AD ⊥AC , ∴∠CAD =∠BAE =90°
∴∠CAD +∠DAB =∠BAE +∠DAB ,即∠BAC =∠EAD 在△BAC 和△EAD 中
BAC EAD B E CB=DE ∠=∠??
∠=∠???
∴△BAC ≌△EAD (AAS ) ∴AC =AD
举一反三:
【变式】如图,AD 是△ABC 的中线,过C 、B 分别作AD 及AD 的延长线的垂线CF 、BE.
求证:BE =CF.
【答案】
证明:∵AD 为△ABC 的中线
∴BD =CD
∵BE ⊥AD ,CF ⊥AD , ∴∠BED =∠CFD =90°, 在△BED 和△CFD 中
BED CFD BDE CDF
BD CD ∠=∠??
∠=∠??=?
(对顶角相等) ∴△BED ≌△CFD (AAS ) ∴BE =CF
3、已知:如图,AC 与BD 交于O 点,AB ∥DC ,AB =DC . (1)求证:AC 与BD 互相平分;
(2)若过O 点作直线l ,分别交AB 、DC 于E 、F 两点,
求证:OE =OF.
证明:∵AB ∥DC ∴∠A=∠C
在△ABO 与△CDO 中
A C (AO
B COD ∠∠??
∠∠???
==对顶角相等) AB=CD
∴△ABO ≌△CDO (AAS ) ∴AO =CO ,BO=DO 在△AEO 和△CFO 中
A C (AOE COF ∠∠??
??∠∠?
=AO=CO
=对顶角相等) ∴△AEO ≌△CFO (ASA ) ∴OE =OF.
一、选择题
1. 能确定△ABC ≌△DEF 的条件是 ( ) A .AB =DE ,BC =EF ,∠A =∠E B .AB =DE ,BC =EF ,∠C =∠E C .∠A =∠E ,AB =EF ,∠B =∠D D .∠A =∠D ,AB =DE ,∠B =∠E
2.如图,已知△ABC 的六个元素,则下面甲、乙、丙三个三角形中,和△ABC
全等的图形是 ( )
图4-3
A .甲和乙
B .乙和丙
C .只有乙
D .只有丙
3.AD是△ABC的角平分线,作DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,下列结论错误的是()
A.DE=DF B.AE=AF C.BD=CD D.∠ADE=∠ADF 4.如图,已知MB=ND,∠MBA=∠NDC,下列条件不能判定△ABM≌△CDN 的是()
A.∠M=∠N B.AB=CD C.AM=CN D.AM∥CN
6.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,下面结论中错误的是()
A.△ADC≌△BCD B.△ABD≌△BAC
C.△ABO≌△CDO D.△AOD≌△BOC
二、填空题
7. 如图,∠1=∠2,要使△ABE≌△ACE,还需添加一个条件是.
(填上你认为适当的一个条件即可).
8. 在△ABC和△'''
A B C中,∠A=44°,∠B=67°,∠'C=69°,∠'B=
44°,且AC=''
B C,则这两个三角形_________全等.(填“一定”或“不
一定”)
9. 已知,如图,AB∥CD,AF∥DE,AF=DE,且BE=2,BC=10,则EF=
________.
11. 如图, 已知:∠1 =∠2 , ∠3 =∠4 , 要证BD =CD , 需先证△AEB ≌△AEC , 根
据是,再证△BDE ≌△,根据是.
12. 已知:如图,∠B =∠DEF ,AB =DE ,要说明△ABC ≌△DEF , (1)若以“ASA ”为依据,还缺条件 (2)若以“AAS ”为依据,还缺条件
(3)若以“SAS ”为依据,还缺条件
三、解答题
13.阅读下题及一位同学的解答过程:如图,AB 和CD 相交于点O ,且OA =OB ,∠A =∠C .那么△AOD 与△COB 全等吗若全等,试写出证明过程;若不全等,请说明理由.
答:△AOD ≌△COB .
证明:在△AOD 和△COB 中,
??
?
??∠=∠=∠=∠),(),(),(对顶角相等已知已知COB AOD OB OA C A
∴ △AOD ≌△COB (ASA ).
问:这位同学的回答及证明过程正确吗为什么
14. 已知如图,E 、F 在BD 上,且AB =CD ,BF =DE ,AE =CF ,求证:AC 与BD 互相平分.
15. 已知:如图, AB∥CD, OA = OD, BC过O点, 点E、F在直线AOD上, 且AE =DF.
求证:EB∥CF.
要点一、判定直角三角形全等的一般方法
由三角形全等的条件可知,对于两个直角三角形,满足一边一锐角对应相等,或两直角边对应相等,这两个直角三角形就全等了.这里用到的是“AAS”,“ASA”或“SAS”判定定理.
要点二、判定直角三角形全等的特殊方法——斜边,直角边定理在两个直角三角形中,有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).这个判定方法是直角三角形所独有的,一般三角形不具备.
【典型例题】
类型一、直角三角形全等的判定——“HL”
1、已知:如图,AB⊥BD,CD⊥BD,AD=BC.
求证:(1)AB=CD:
(2)AD∥BC.
证明:(1)∵AB⊥BD,CD⊥BD,
∴∠ABD=∠CDB=90°
在Rt △ABD 和Rt △CDB 中,
AD BC
BD DB
??=?=
∴Rt △ABD ≌Rt △CDB (HL )
∴AB =CD (全等三角形对应边相等) (2)由∠ADB =∠CBD ∴AD ∥BC . .
举一反三:
【变式】已知:如图,AE ⊥AB ,BC ⊥AB ,AE =AB ,ED =AC .
求证:ED ⊥AC .
2、 判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等,不全等的画“×”,
全等的注明理由:
(1)一个锐角和这个角的对边对应相等;( ) (2)一个锐角和斜边对应相等; ( ) (3)两直角边对应相等; ( )
(4)一条直角边和斜边对应相等. ( ) 举一反三:
【变式】下列说法中,正确的画“√”;错误的画“×”,并举出反例画出图形.
(1)一条直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等.( ) (2)有两边和其中一边上的高对应相等的两个三角形全等.( ) (3)有两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等.( )
3、已知:如图,AC =BD ,AD ⊥AC ,BC ⊥BD .
求证:AD =BC ;
证明:连接DC ∵AD ⊥AC ,BC ⊥BD ∴∠DAC =∠CBD =90° 在Rt △ADC 与Rt △BCD 中,
DC CD AC BD =???
=
∴Rt △ADC ≌Rt △BCD (HL )
∴AD =BC .(全等三角形对应边相等)
举一反三:
【变式】已知,如图,AC 、BD 相交于O ,AC =BD ,∠C =∠D =90° .
求证:OC =OD.
4、如图,将等腰直角三角形ABC 的直角顶点置于直线l 上,且过A ,B 两
点分别作直线l 的垂线,垂足分别为D ,E ,请你在图中找出一对全等
三角形,并写出证明它们全等的过程.
一、选择题
1.下列说法正确的是 ( )
A .一直角边对应相等的两个直角三角形全等
B .斜边相等的两个直角三角形全等
C .斜边相等的两个等腰直角三角形全等
D.一边长相等的两等腰直角三角形全等
3. 能使两个直角三角形全等的条件是( )
A.斜边相等
B.一锐角对应相等
C.两锐角对应相等
D.两直角边对应相等
5. 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成的两个三角形的关系是()
A.形状相同B.周长相等C.面积相等D.全等
6. 在两个直角三角形中,若有一对角对应相等,一对边对应相等,则两个直角三角形()
A.一定全等
B.一定不全等
C.可能全等
D.以上都不是
二、填空题
7.如图,BE,CD是△ABC的高,且BD=EC,判定△BCD≌△CBE的依据是“______”.
8. 已知,如图,∠A=∠D=90°,BE=CF,AC=DE,则△ABC≌_______.
9. 如图,BA∥DC,∠A=90°,AB=CE,BC=ED,则AC=_________.
10. 如图,已知AB⊥BD于B,ED⊥BD于D,EC⊥AC,AC=EC,若DE=2,AB =4,则DB=______.
12. 如图,已知AD是△ABC的高,E为AC上一点,BE交AD于F,且BF=AC,FD=CD.则
∠BAD=_______.
三、解答题
14. 如图,已知AB⊥BC于B,EF⊥AC于G,DF⊥BC于D,BC=DF. 求证:AC=EF.
15. 如图,已知AB=AC,AE=AF,AE⊥EC,AF⊥BF,垂足分别是点E、F.
求证:∠1=∠2.