2019高考数学二轮复习 专题一 集合、常用逻辑用语、算法、复数、推理与证明、不等式 第三讲 不等式学案 理

第三讲 不等式、线性规划考点一 不等式的解法求解不等式的方法(1)对于一元二次不等式，应先化为一般形式ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)，再求相应一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．(2)解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是把它们等价转化为整式不等式(一般为一元二次不等式)求解．(3)解决含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因，确定好分类标准，有理有据、层次清楚地求解．[对点训练]1．(2018·湖南衡阳一模)若a ，b ，c 为实数，且a <b <0，则下列结论正确的是( ) A ．ac 2<bc 2B ．1a <1bC ．b a >a bD ．a 2>ab >b 2[解析] ∵c 为实数，∴取c ＝0，得ac 2＝0，bc 2＝0，此时ac 2＝bc 2，故选项A 不正确；1a －1b＝b －a ab ，∵a <b <0，∴b －a >0，ab >0，∴b －a ab >0，即1a >1b，故选项B 不正确；∵a <b <0，∴取a ＝－2，b ＝－1，则b a ＝－1－2＝12，a b ＝2，此时b a <a b ，故选项C 不正确；∵a <b <0，∴a 2－ab ＝a (a －b )>0，∴a 2>ab ，又∵ab －b 2＝b (a －b )>0，∴ab >b 2，故选项D 正确，故选D ．[答案] D2．(2018·福建六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)[解析] 易知f (x )在R 上是增函数，∵f (2－x 2)>f (x )，∴2－x 2>x ，解得－2<x <1，则实数x 的取值范围是(－2,1)．故选D ．[答案] D3．(2018·贵阳一模)关于x 的不等式ax －b <0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)>0的解集是( )A ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)B ．(1,3)C ．(－1,3)D ．(－∞，1)∪(3，＋∞)[解析] 关于x 的不等式ax －b <0即ax <b 的解集是(1，＋∞)，∴a ＝b <0， ∴不等式(ax ＋b )(x －3)>0可化为 (x ＋1)(x －3)<0，解得－1<x <3， ∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C ． [答案] C4．(2018·山西太原一模)当x >1时不等式x ＋1x －1≥a 恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，3]B ．[3，＋∞)C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)[解析] ∵x >1，∴x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2(x －1)×1x －1＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立，所以最小值为3，∴a ≤3，即实数a 的取值范围是(－∞，3]．故选A ．[答案] A[快速审题] (1)看到有关不等式的命题或结论的判定，想到不等式的性质．(2)看到解不等式，想到求解不等式的方法步骤．(1)求解一元二次不等式的3步：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的实根，则利用“大于在两边，小于夹中间”得不等式的解集．(2)解一元二次不等式恒成立问题的3种方法：①图象法；②分离参数法；③更换主元法．考点二 基本不等式的应用1．基本不等式：a ＋b2≥ab(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)应用：两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；两个正数的和为常数时，它们的积有最大值．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号． [对点训练]1．下列结论中正确的是( ) A ．lg x ＋1lg x 的最小值为2B ．x ＋1x的最小值为2C ．sin 2x ＋4sin 2x 的最小值为4 D ．当0<x ≤2时，x －1x无最大值[解析] 对于A ，lg x 可能小于0；对于B ，要使函数y ＝x ＋1x有意义，则x >0，x ＋1x≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时取等号；对于C ，当且仅当sin 2x ＝4sin 2x ，即sin x ＝2时取等号，但sin x 的最大值为1；对于D ，x －1x在(0,2]上为增函数，因此有最大值．故选B ．[答案] B2．(2018·吉林长春二模)已知x >0，y >0，且x ＋y ＝2xy ，则x ＋4y 的最小值为( ) A ．4 B ．72 C ．92D ．5[解析] 由x ＋y ＝2xy 得1x ＋1y ＝2.由x >0，y >0，x ＋4y ＝12(x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4y x ＋x y ≥12(5＋4)＝92，当且仅当4y x ＝x y 时等号成立，即x ＋4y 的最小值为92.故选C ． [答案] C3．(2018·海淀期末)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为________． [解析] ∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8，∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12，当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号，∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12. [答案] 124．(2018·河南洛阳一模)若实数a ，b 满足1a ＋2b＝ab ，则ab 的最小值为________．[解析] 依题意知a >0，b >0，则1a ＋2b ≥22ab＝22ab，当且仅当1a ＝2b，即b ＝2a 时，“＝”成立．因为1a ＋2b＝ab ，所以ab ≥22ab，即ab ≥22，所以ab 的最小值为2 2.[答案] 2 2[快速审题] 看到最值问题，想到“积定和最小”，“和定积最大”．利用基本不等式求函数最值的3个关注点(1)形式：一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值．(2)条件：利用基本不等式求最值需满足“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误．(3)方法：使用基本不等式时，一般通过“拆、拼、凑”的技巧把求最值的函数或代数式化为ax ＋bx(ab >0)的形式，常用的方法是变量分离法和配凑法．考点三 线性规划问题1．线性目标函数z ＝ax ＋by 最值的确定方法把线性目标函数z ＝ax ＋by 化为y ＝－a b x ＋z b ，可知z b是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．2．常见的目标函数类型(1)截距型：形如z ＝ax ＋by ，可以转化为y ＝－a b x ＋z b，利用直线在y 轴上的截距大小确定目标函数的最值；(2)斜率型：形如z ＝y －bx －a，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )连线的斜率； (3)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2，表示区域内的动点(x ，y )与定点(a ，b )的距离的平方；形如z ＝|Ax ＋By ＋C |，表示区域内的动点(x ，y )到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离的A 2＋B 2倍．[对点训练]1．(2018·天津卷)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤5，2x －y ≤4，－x ＋y ≤1，y ≥0，则目标函数z ＝3x＋5y 的最大值为( )A ．6B ．19C ．21D ．45[解析] 由变量x ，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．作出初始直线l 0：3x ＋5y ＝0，平移直线l 0，当直线经过点A (2,3)时，z 取最大值，即z max ＝3×2＋5×3＝21，故选C ．[答案] C2．(2018·广东肇庆二模)已知实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≥0，y ≥x ，y ≥－x ＋b ，若z ＝2x ＋y的最小值为3，则实数b ＝( )A ．94 B ．32 C ．1D ．34[解析] 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示． 由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ， 平移初始直线y ＝－2x ，由图可知当直线y ＝－2x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－2x ＋z 的纵截距最小，此时z 最小，为3，即2x ＋y ＝3.由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝3，y ＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝32，即A ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，32，又点A 也在直线y ＝－x ＋b 上，即32＝－34＋b ，∴b ＝94.故选A ．[答案] A3．(2018·江西九江二模)实数x ，y 满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x ＋y －2≥0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －1x ＋3的最大值为1，则z 的最小值为( )A ．－13B ．－37C ．13D ．－15[解析] 作出可行域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y －1x ＋3的几何意义是可行域内的点(x ，y )与点A (－3,1)两点连线的斜率，当取点B (a,2a ＋2)时，z 取得最大值1，故2a ＋2－1a ＋3＝1，解得a ＝2，则C (2,0)．当取点C (2,0)时，z 取得最小值，即z min ＝0－12＋3＝－15.故选D ．[答案] D4．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤1，2x ＋y ≥－1，x －y ≤0，则z ＝(x ＋1)2＋y 2的取值范围是________．[解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝0，x ＋2y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ＝13，即C ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，13.(x ＋1)2＋y 2的几何意义是区域内的点(x ，y )与定点(－1，0)间距离的平方． 由图可知，点(－1,0)到直线AB ：2x ＋y ＋1＝0的距离最小，为|－2＋1|5＝55，故z min＝15；点(－1,0)到点C 的距离最大，故z max ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝179.所以z ＝(x ＋1)2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，179.[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤15，179 [快速审题] (1)看到最优解求参数，想到由最值列方程(组)求解．(2)看到最优解的个数不唯一，想到直线平行；看到形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2和形如z ＝y －bx －a，想到其几何意义． (3)看到最优解型的实际应用题，想到线性规划问题，想到确定实际意义．求目标函数的最值问题的3步骤(1)画域，根据线性约束条件，画出可行域；(2)转化，把所求目标函数进行转化，如截距型，即线性目标函数转化为斜截式；如斜率型，即根据两点连线的斜率公式，转化为可行域内的点与某个定点连线的斜率；平方型，即根据两点间距离公式，转化为可行域内的点与某个定点的距离；(3)求值，结合图形，利用函数的性质，确定最优解，求得目标函数的最值．1．(2016·全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( ) A ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，－32 B ．⎝⎛⎭⎪⎫－3，32C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 [解析] ∵x 2－4x ＋3<0⇔(x －1)(x －3)<0⇔1<x <3， ∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0⇔x >32，∴B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >32，∴A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32<x <3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3.故选D ． [答案] D2．(2018·北京卷)设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2,1)∈A B ．对任意实数a ，(2,1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2,1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2,1)∉A[解析] 若(2,1)∈A ，则有⎩⎪⎨⎪⎧2－1≥1，2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32.结合四个选项，只有D 说法正确．故选D ．[答案] D3．(2018·全国卷Ⅲ)设a ＝log 0.20.3，b ＝log 20.3，则( ) A ．a ＋b <ab <0 B ．ab <a ＋b <0 C ．a ＋b <0<abD ．ab <0<a ＋b[解析] 解法一：∵a ＝log 0.20.3>log 0.21＝0，b ＝log 20.3<log 21＝0，∴ab <0，排除C ． ∵0<log 0.20.3<log 0.20.2＝1，log 20.3<log 20.5＝－1，即0<a <1，b <－1，∴a ＋b <0，排除D ．∵b a ＝log 20.3log 0.20.3＝lg0.2lg2＝log 20.2，∴b －b a ＝log 20.3－log 20.2＝log 232<1，∴b <1＋ba⇒ab <a ＋b ，排除A ．故选B ．解法二：易知0<a <1，b <－1，∴ab <0，a ＋b <0，∵1a ＋1b＝log 0.30.2＋log 0.32＝log 0.30.4<1，即a ＋bab<1，∴a ＋b >ab ， ∴ab <a ＋b <0.故选B ． [答案] B4．(2018·全国卷Ⅰ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．[解析] 由x ，y 所满足的约束条件画出对应的可行域(如图中阴影部分所示)．作出初始直线l 0：3x ＋2y ＝0，平移直线l 0，当经过点A (2,0)时，z 取最大值，即z max＝3×2＝6.[答案] 65．(2018·天津卷)已知a ，b ∈R ，且a －3b ＋6＝0，则2a＋18b 的最小值为________．[解析] 由已知，得2a ＋18b ＝2a ＋2－3b ≥22a ·2－3b ＝22a －3b ＝22－6＝14，当且仅当2a＝2－3b时等号成立，由a ＝－3b ，a －3b ＋6＝0，得a ＝－3，b ＝1， 故当a ＝－3，b ＝1时，2a＋18b 取得最小值14.[答案] 141.不等式作为高考命题热点内容之一，多年来命题较稳定，多以选择、填空题的形式进行考查，题目多出现在第5～9或第13～15题的位置上，难度中等，直接考查时主要是简单的线性规划问题，关于不等式性质的应用、不等式的解法以及基本不等式的应用，主要体现在其工具作用上．2．若不等式与函数、导数、数列等其他知识交汇综合命题，难度较大．热点课题3 求解不等式中参数范围问题[感悟体验]1．(2018·合肥模拟)在区间(1,2)上不等式x 2＋mx ＋4>0有解，则m 的取值范围为( ) A ．m >－4 B ．m <－4 C ．m >－5D ．m <－5[解析] 记f (x )＝x 2＋mx ＋4，要使不等式x 2＋mx ＋4>0在区间(1,2)上有解，需满足f (1)>0或f (2)>0，即m ＋5>0或2m ＋8>0，解得m >－5.故选C ．[答案] C2．(2018·海淀模拟)当0<m <12时，若1m ＋21－2m≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围为( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4][解析] 因为0<m <12，所以12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋(1－2m )22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m (1－2m )≥8，又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D ．[答案] D专题跟踪训练(九)一、选择题1．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A ．1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b[解析] 解法一(利用不等式性质求解)：由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －aab>0，即1a >1b，故A 项错误；由a <b <0，得b (a －b )>0，故ab >b 2，故B 项错误；由a <b <0，得a (a－b )>0，即a 2>ab ，故－ab >－a 2，故C 项错误；由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，即－1a <－1b成立．故D 项正确． 解法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>－1＝1b，ab ＝2>1＝b 2，－ab ＝－2>－4＝－a 2，－1a ＝12<1＝－1b.故A ，B ，C 项错误，D 正确．[答案] D2．已知a ∈R ，不等式x －3x ＋a≥1的解集为p ，且－2∉p ，则a 的取值范围为( ) A ．(－3，＋∞)B ．(－3,2)C ．(－∞，2)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪[2，＋∞)[解析] ∵－2∉p ，∴－2－3－2＋a <1或－2＋a ＝0，解得a ≥2或a <－3.[答案] D3．(2018·大连一模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋6，x ≥0，x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( )A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)[解析] 由题意得，f (1)＝3，所以f (x )>f (1)＝3，即f (x )>3， 如果x <0，则x ＋6>3，可得－3<x <0；如果x ≥0，则x 2－4x ＋6>3，可得x >3或0≤x <1. 综上，不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)． 故选A ． [答案] A4．(2018·长春第二次质检)若关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1>0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)[解析] 关于x 的不等式ax －b >0的解集是(－∞，－2)，∴a <0，b a＝－2，∴b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1.∵a <0，∴x 2－2x x －1<0，解得x <0或1<x <2.故选B ．[答案] B5．(2018·河南平顶山一模)若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15[解析] 因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.[答案] A6．(2018·江西师大附中摸底)若关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋y ≥0，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为( )A ．12或14 B ．12或18 C ．1或12D ．1或14[解析] 由不等式组表示的平面区域是等腰直角三角形区域，得k ＝0或1，当k ＝0时，表示区域的面积为12；当k ＝1时，表示区域的面积为14，故选A ．[答案] A7．(2018·昆明质检)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0，则目标函数z ＝2x ＋5y 的最小值为( )A ．－4B ．6C ．10D ．17[解析] 解法一(图解法)：已知约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域为下图中的阴影部分(包含边界)，其中A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．根据目标函数的几何意义，可知当直线y ＝－25x ＋z5过点B (3,0)时，z 取得最小值2×3＋5×0＝6.解法二(界点定值法)：由题意知，约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，2x ＋3y －6≥0，3x ＋2y －9≤0所表示的平面区域的顶点分别为A (0,2)，B (3,0)，C (1,3)．将A ，B ，C 三点的坐标分别代入z ＝2x ＋5y ，得z ＝10,6,17，故z 的最小值为6.[答案] B8．(2018·合肥一模)在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中至多包含2个整数，则a 的取值范围是( )A ．(－3,5)B ．(－2,4)C ．[－3,5]D ．[－2,4][解析] 关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0可化为(x －1)(x －a )<0.当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为1<x <a ；当a <1时，不等式的解集为a <x <1.要使得解集中至多包含2个整数，则a ≤4且a ≥－2，所以实数a 的取值范围是[－2,4]，故选D ．[答案] D9．若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x >0，y ≤2，则z ＝2y2x ＋1的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，4 B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4 C ．[2,4]D ．(2,4][解析] 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(不包括边界OB )所示，其中A (1,2)，B (0,2)．z ＝2y 2x ＋1＝y x ＋12＝y －0x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则z 的几何意义是可行域内的点P (x ，y )与点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0所连直线的斜率．可知k MA ＝2－01－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝43，k MB ＝2－00－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝4，结合图形可得43≤z <4.故z ＝2y 2x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，4. [答案] B10．(2018·四川资阳诊断)已知a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，则a ＋2b 的最小值为( ) A ．5＋2 2 B ．8 2 C ．5D ．9[解析] 解法一：∵a >0，b >0，且2a ＋b ＝ab ，∴a ＝bb －2>0，解得b >2.则a ＋2b ＝bb －2＋2b ＝1＋2b －2＋2(b －2)＋4≥5＋22b －2·2(b －2)＝9，当且仅当b ＝3，a ＝3时等号成立，其最小值为9.解法二：∵a >0，b >0，∴ab >0. ∵2a ＋b ＝ab ，∴1a ＋2b＝1，∴(a ＋2b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b＝5＋2b a ＋2a b≥5＋22b a ·2a b＝5＋4＝9.当且仅当2b a ＝2ab时，等号成立，又2a ＋b ＝ab ，即a ＝3，b ＝3时等号成立，其最小值为9.[答案] D11．(2018·湖南湘东五校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，且z ＝x ＋y 的最大值为6，则(x ＋5)2＋y 2的最小值为( )A ．5B ．3C ． 5D ． 3[解析] 如图，作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k对应的平面区域，由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，平移直线y ＝－x ，由图可知当直线y ＝－x ＋z 经过点A 时，直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，此时z最大，为6，即x ＋y ＝6.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝6，x －y ＝0得A (3,3)，∵直线y ＝k 过点A ，∴k ＝3.(x ＋5)2＋y 2的几何意义是可行域内的点(x ，y )与D (－5,0)的距离的平方，由可行域可知，[(x ＋5)2＋y 2]min 等于D (－5,0)到直线x ＋2y ＝0的距离的平方．则(x ＋5)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎪⎫|－5|12＋222＝5.故选A ．[答案] A12．(2018·广东清远一中一模)若正数a ，b 满足：1a ＋1b ＝1，则1a －1＋9b －1的最小值为( )A ．16B ．9C ．6D ．1[解析] ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝ab ，1a ＝1－1b >0，1b ＝1－1a>0，∴b >1，a >1，则1a －1＋9b －1≥29(a －1)(b －1)＝29ab －(a ＋b )＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝43，b ＝4时等号成立，∴1a －1＋9b －1的最小值为6，故选C ． [答案] C 二、填空题13．已知集合，则M ∩N＝________.[解析] 不等式x －2x －3<0等价于(x －2)(x －3)<0， 解得2<x <3，故不等式x －2x －3<0的解集为(2,3)，即M ＝(2,3)． 由log 12 (x －2)≥1，可得⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －2≤12，解得2<x ≤52，所以N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52. 故M ∩N ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤2，52. [答案] ⎝⎛⎦⎥⎤2，5214．(2018·全国卷Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，x －2y ＋3≥0，x －5≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．[解析] 由线性约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)．当直线x ＋y －z ＝0经过点A (5,4)时，z ＝x ＋y 取得最大值，最大值为9. [答案] 915．(2018·安徽合肥一模)某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件．甲、乙两种产品都需要在A 、B 两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时．A ，B 两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为________千元．[解析] 设生产甲产品x 件，生产乙产品y 件，利润为z 千元，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960，z＝2x ＋y ，作出⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋3y ≤480，6x ＋y ≤960表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，平移该直线，当直线z ＝2x ＋y 经过直线2x ＋3y ＝480与直线6x ＋y ＝960的交点(150,60)(满足x ∈N ，y ∈N )时，z 取得最大值，为360.[答案] 36016．(2018·郑州高三检测)若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是________．[解析] 对于x 2＋3xy －1＝0可得y ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ，∴x ＋y ＝2x 3＋13x ≥229＝223(当且仅当x ＝22时，等号成立)，故x ＋y 的最小值是223. [答案]223。