《步步高 学案导学设计》2013-2014学年 高中数学 人教B版必修1【配套备课资源】2.1.2(二)

式相当于一个二元方程，而一个二元方程求不出唯一的解．
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2.1.2(二)
问题 2
答
本 课 时 栏 目 开 关
仅仅利用“导引”中的条件，求不出函数的解析式，
根据已知条件构造出含有 f(x)与 f(－x)的另一个方程，
那么如何创造条件来求出解析式？
采用解方程组的方法消去不需要的函数式，从而得到 f(x) 的表达式，此种方法称为消去法．
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时，对应法则为 y＝x，当 x∈(1,2]时，对应法则为 y＝2－x， 试用解析法与图象法分别表示这个函数． x，x∈[0，1] 解 已知的函数用解析法可表示为 y＝ 2－x，x∈1，2]
用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图：
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小结
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(1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域；(2)要标
出关键点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要 分清这些关键点是实心还是虚心；(3)要掌握常见函数图象 的特征；(4)函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、 折线、离散的点等等．
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1 2 联立上面两个方程并消去 f(x )，得 f(x)＝x －x.
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3.画出函数 y＝|x|的图象，并求 f(－3)，f(3)，f(－1)，f(1)的值．
解 由绝对值的概念，有
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x，x≥0 y＝ －x，x<0.
所以，函数 y＝|x|的图象为过原点且平分第一、第二象限的 一条折线，如下图所示，
程组)，通过解方程(组)求出待定的系数，进而求出函数解析 式．
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例1
设二次函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(2－x)， f(x)＝0 的两实 且
由于 f(x)是二次函数，其解析式的基本结构已定，可
根平方和为 10，图象过点(0,3)，求 f(x)的解析式．
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1.
即 ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1. 1 1 故 2a＋b＝b＋1 且 a＋b＝1，解得 a＝2，b＝2， 1 2 1 ∴f(x)＝2x ＋2x.
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探究点二 导引
消去法求函数解析式
答 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有 着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
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例4
2.1.2(二)
在某地投寄外埠平信，每封信不超过 20 g 付邮资 80 分，
超过 20 g 不超过 40 g 付邮资 160 分，超过 40 g 不超过 60 g 付邮资 240 分，依此类推，每封 x g(0<x≤100)的信应付多少
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探究点一 问题 1 法？ 待定系数法求函数解析式
2.1.2(二)
若已知函数的类型，求函数的解析式通常用什么方
本 答 若已知函数的类型，可用待定系数法求解． 课 时 问题 2 用待定系数法求函数解析式的一般思路是怎样的？ 栏 目 答 由函数类型设出函数解析式， 再根据条件列出方程(或方 开 关
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例2 已知函数 y＝f(x)满足
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a、 b、
1 af(x)＋bfx＝cx， x≠0， 其中
c 都是非零常数，a≠± b，求函数 y＝f(x)的解析式．
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1 1 c ＋bf(x)＝ ， 解 在已知等式中，将 x 换成x ，得 af x x
个区间段，从而选取相应的解析表达式；画分段函数图象时， 应根据不同定义域上的不同解析式分别作出．
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2.1.2(二)
跟踪训练 4 某人开汽车以 60 km/h 的速度从 A 地到 150 km 远 处的 B 地，在 B 地停留 1 h 后，再以 50 km/h 的速度返回 A 地，把汽车离开 A 地的路程 x(km)表示为时间 t(h)(从 A 地出
当 α>0 时，f(α)＝α2＝4，得 α＝2.
∴α＝－4 或 α＝2.
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2 1 f(x)＝x－x 2.已知 f(x)＋2f(x)＝3x，则 f(x)的解析式为____________．
解析
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1 1 1 由 f(x)＋2f(x)＝3x，得 f(x)＋2f(x)＝3x.
分析
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用待定系数法处理．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)．
由 f(x＋2)＝f(2－x)可知，该函数图象关于直线 x＝2 对称． b ∴－2a＝2，即 b＝－4a.①
又图象过点(0,3)，∴c＝3.②
由方程 f(x)＝0 的两实根平方和为 10，
即 x2＋x2＝(x1＋x2)2－2x1x2＝10. 1 2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.1.2(二)
本 取值区间，有着不同的 对应法则，这样的函数通常叫做分段 课 时 函数． 栏 目 开 2.分段函数定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的 关
1.分段函数的定义：在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同
并 集(填“并”或“交”)．
3.分段函数图象：画分段函数的图象，应在各自定义域之下画 出定义域所对应的解析式的图象.
解
本 课 时 栏 目 开 关
∵f(x)＋2f(－x)＝3x.①
∴f(－x)＋2f(x)＝－3x.②
①②联立得：f(x)＝－3x.
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探究点三 问题 1 分段函数 作函数的图象通常分哪几步？
2.1.2(二)
答 通常分三步，即列表、描点、连线． 例 3 已知一个函数 y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当 x∈[0,1]
其中 f(－3)＝3，f(3)＝3，f(－1)＝1，f(1)＝1.
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本 1.求函数的解析式的类型比较多，方法也比较多，常用的有拼 课 凑法，换元法，待定系数法，消元法，特殊值法等，要根据 时 栏 题目特点选用不同的方法求解． 目 开 关 2.分段函数求值要先找准自变量所在的区间；分段函数的定义
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本 [问题情境] 某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步 课 时 前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人 栏 目 距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎 开 关 样的解析式表示这一函数关系？为解决这一问题，本节我们
就来学习分段函数．
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跟踪训练 1
已知 f(x)是二次函数， f(0)＝0， f(x＋1)＝f(x) 若 且
＋x＋1，求函数 f(x)的解析式．
解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c (a≠0)，
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由 f(0)＝0 知 c＝0.∴f(x)＝ax2＋bx.
又 f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
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函数的值域为{80,160,240,320,400}．
根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．
这个函数图象是长度为 20 的 5 条平行线段，每条线段的左端
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点为虚点，右端点为实点．图象如图．
小结
处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪
2.1.2(二)
本 小结 消去法适用于自变量的互为倒数，如 f(x)、f( )；互为相 x 课 时 栏 反数，如 f(x)、f(－x)，通过对称代换构造出另一个方程，解方 目 开 程组即得 f(x)的解析式． 关
1
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跟踪训练 2 设 f(x)满足关系式 f(x)＋2f(－x)＝3x，求 f(x)．
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本 1.设函数 课 时 栏 A．－4 或－2 目 开 C．－2 或 4 关
－x， f(x)＝ 2 x ，
x≤0， 若 f(α)＝4， 则实数 α 等于( B ) x>0， B．－4 或 2 D．－2 或 2
解析 当 α≤0 时，f(α)＝－α＝4，得 α＝－4；
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2.1.2
【学习要求】
本 课 时 栏 目 开 关
函数的表示方法(二)
1.进一步掌握求函数解析式的方法； 2.了解分段函数的定义，会求分段函数的定义域、值域； 3.学会运用函数图象来研究分段函数． 【学法指导】 通过求函数解析式，进一步掌握数学中的思想方法；通过分段 函数的学习，感悟表达的多样性；加深函数概念的理解，提高 分析问题、解决问题的能力.
本 课 时 栏 目 开 关
分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象， 并求函数的值域．
解 设每封信的邮资为 y，则 y 是信封重量 x 的函数．
这个函数关系的表达式为
80，x∈0，20]， 160，x∈20，40]， f(x)＝240，x∈40，60]， 320，x∈60，80]， 400，x∈80，100].
把它与原条件式子联立，得
1 c afx＋bf(x)＝x②
1 af(x)＋bfx ＝cx.①
①×a－②×b 得(a －b
2
2
b )f(x)＝cax－x ，