第三次考试(理科)
四川省成都市2023届高三下学期第三次诊断考试理数试题
成都市2020级高中毕业班第三次诊断性检测数学(理科)本试卷分选择题和非选择题两部分。
第I卷(选择题)1至3页,第II卷(非选择题)3至4页,共4页,满分150分,考试时间120分钟。
注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时,必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号。
3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
5.考试结束后,只将答题卡交回。
第I卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={x∈N||x|≤2}，B={2,4}，则A∪B=(A) {0,2} (B){-2,- 1,0,1,2,4} (C) {0,1,2,4} (D){1,2,4}2. 命题的否定是(A). (B).(C). (D).3.已知双曲线C经过点(4,2), 且与双曲线具有相同的渐近线, 则双曲线C的标准方程为(A). (B). (C). (D).4.如图是某三棱锥的三视图,已知网格纸的小正方形边长是1,则这个三棱锥中最长棱的长为(A).5 (B).(C) . (D).75.函数的图象大致为6.一次数学考试后, 某班级平均分为110分, 方差为 . 现发现有两名同学的成绩计算有误, 甲同学成绩被误判为113分, 实际得分为118分; 乙同学成绩误判为120分, 实际得分为115分. 更正后重新计算, 得到方差为，则与的大小关系为(A) (B) (C) (D)不能确定7.已知a，b，是两个非零向量, 设给出定义: 经过的起点A和终点B, 分别作所在直线的垂线, 垂足分别为A1，B1，则称向量为a在b上的投影向量. 已知则a在b上的投影向量为(A) (B) (C) (D)8. 世界大学生运动会(简称大运会)由国际大学生体育联合会主办，每两年举办一届,是规模仅次于奥运会的世界综合性运动会,第31届大运会将于2023年7月28日至8月8日在成都召开.为办好本届大运会,组委会精心招募了一批志愿者,现准备将甲、乙等6名志愿者安排进“东安湖体育公园”,“凤凰山体育公园”,“四川省体育馆”工作,每个地方安排两人且每人只能在一个场馆工作.若每位志愿者被分到各个场馆的可能性相同，则甲,乙两人被安排在在同一个场馆的概率为(A) (B) (C) (D)9. 设S n为正项等差数列的前n项和. 若S2023=2023，则的最小值为(A) (B) 5 (C) 9 (D)10. 已知函数，当时，则|x1-x2|的最小值为，若将函数f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的 2 倍, 纵坐标不变, 然后再将得到的图象向右平移个单位长度, 得到函数g(x)的图象, 则不等式的解集为(A) (B)(C) (D)11. 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1(-c, 0)，F2(c, 0)，直线y=kx(k ≠0)与椭圆C相交于A, B两点. 有下列结论:①四边形AF1BF2为平行四边形；②若AE⊥x轴，垂足为E，则直线BE的斜率为；③若|OA|=c(O为坐标原点), 则四边形AF1BF2的面积为b2；④若|AF1|=2|AF2|，则椭圆的离心率可以是；其中错误结论的个数是(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 012. 已知函数有三个零点x1，x2，x3，其中m∈R，则mx1x2x3的取值范围是(A) (1,+∞) (B) (2,+∞) (C) (e,+∞) (D) (3,+∞)第II卷 (非选择题,共90分)二、填空题:本大题共4小题，每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.已知复数z=(a + i)(2+i)是纯虚数(i为虚数单位) ,则实数a的值为 .14.在等比数列{a n}中,若a2= 3，a6=27，则a8的值为 .15.如图，AB为圆柱下底面圆O的直径，C是下底面圆周上一点，已知∠AOC=，0A=2，圆柱的高为5.若点D在圆柱表面上运动,且满，则点D的轨迹所围成的图形的面积为 .16.在平面直角坐标系xOy中，射线OT与直线l:x=9，圆O:x2+y2= 9分别相交于A,B两点，若线段OB上存在点M(m,n)(不含端点)，使得对于圆O上任意一点P都满足,则mn的最大值为 .三.解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本小题满分12分)某旅游公司针对旅游复苏设计了一款文创产品来提高收益.该公司统计了今年以来这款文创产品定价x(单位:元)与销量y(单位:万件)的数据如下表所示:( I )说明(计算结果精确到0. 01);(II)建立y关于x的回归方程,预测当产品定价为8.5元时,销量可达到多少万件.参考公式：，参考数据：18. (本小题满分12分)如图,在多面体ABCDEFG中,已知ADGC是正方形，GD//EF，GF //BC，FG⊥平面ADGC，M，N分别是AC，BF的中点，且BC =EF=CG=FG.( I )求证:MN//平面AFG；(I I )求直线MN与平面BEF所成角的正弦值.19. (本小题满分12分)在△ABC中,角A ,B,C的对边分别为a ,b,c,且 c +a =b cos C- c cos B.(I)求角B的大小;(II)若D是AC边上一点,且BD=CD=b,求cos∠BDA.20. (本小题满分12分)已知斜率为的直线l与抛物线C:y2=4x相交于P，Q两点.(I)求线段PQ中点纵坐标的值；(II)已知点T(,0),直线TP，TQ分别与抛物线相交于M，N两点(异于P，Q).求证:直线MN恒过定点，并求出该定点的坐标.21. (本小题满分12分)已知函数f(x)=x4-ax3sinx,其中a∈R.(I)当a=1时,求曲线y=f(x )在点(π,π4 )处的切线方程；(II )若x=0是函数f(x)的极小值点,求a的取值范围.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22. (本小题满分10分) 选修 4-4: 坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中, 已知直线l的参数方程为 (t为参数). 以坐标原点 O为极点, x轴非负半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C的极坐标方程为(I ) 求直线 l 的普通方程与曲线C的直角坐标方程；(II) 若 P 是曲线C上一点,Q是直线l上一点, 求|P Q|的最小值.23. (本小题满分10分) 选修4-5:不等式选讲已知函数，且不等式f(x)<3的解集为(1, n) .( I ) 求实数m， n的值；(II) 若正实数a，b，c满足 a2+b2+c2=m , 证明:。
江门高三第三次模拟考试 理科数学
你的首选资源互助社区江门市2013年普通高中高三调研测试数 学（理科）试 题本试卷共4页，21题，满分150分，测试用时120分钟． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．⒈已知{} 054| 2=--=x x x A ，{} 1| 2==x x B ，则=B AA ．{} 1B ．{} 1 -C ．{} 5 , 1 , 1 -D ．{} 5 , 1 , 1 -- ⒉已知)4 , 3( -=a ，)2 , 5( =b ，则=+| |b aA ．102B ．52C ．7-D ．40 ⒊已知命题p ：2=m ；命题q ：复平面内表示复数i m z )1(1+-+=（R m ∈，i 是虚数单位）的点位于直线x y =上。
则命题p 是命题q 的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件 ⒋函数)232sin()(π+-=x x f 在其定义域上是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π2的奇函数C ．周期为π的偶函数D ．周期为π2的偶函数⒌某种饮料每箱装6听，如果其中有2听不合格。
质检人员从中随机抽出2听，检出不合格产品的概率=p A ．21 B ．31 C ．32 D ．6.0⒍以抛物线082=+x y 的顶点为中心、焦点为一个顶点且离心率2=e 的双曲线的标准方程是A ．112422=-yxB ．1481622=-yxC ．112422=-xyD ．1481622=-yx⒎已知一个几何体的三视图及其大小如图1，这个几何体的体积=V A ．π12 B ．π16C ．π18D ．π64保密★启用前 试卷类型：A图3⒏输入正整数n （2≥n ）和数据1a ，2a ，…，n a ，如果执行如图2的程序框图，输出的s 是数据1a ，2a ，…，n a 的平均数，则框图的处 理框★中应填写的是A ．i a s s +=B ．na s s i+=C ．ia s i s i+⨯-=)1( D ．na s i s i+⨯-=)1(二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）⒐已知等差数列{}n a 的首项11=a ，前三项之和93=S ，则{}n a 的通项____=n a ． ⒑已知x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤≤≤824030y x y x ，则y x z +=的最大值是 ．⒒已知n 是正整数，若432n n n C C C <+，则n 的取值范围是 ．⒓与圆C ：04222=+-+y x y x 关于直线l ：0=+y x 对称的圆的方程是 ． ⒔曲线)2ln(x y =上任意一点P 到直线x y 2=的距离的最小值是 ．(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）⒕（几何证明选讲选做题）如图3，圆O 的割线PAB 交圆O 于A 、B 两点，割线PCD 经过圆心。
2017-2018学年河北安平中学(实验部)高一下学期第三次考试数学(理科)试题
2017-2018学年河北安平中学（实验部）高一下学期第三次考试数学(理科)试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝17，则a 14＝（ ） A ．45 B ．41 C ．39 D ．37X k2.在等差数列}{n a 中，48)(2)(31310753=++++a a a a a ，则等差数列}{n a 的前13项的和为（ ） A 、24 B 、39 C 、52 D 、1043．等差数列{a n }的公差不为零，首项a 1＝1，a 2是a 1和a 5的等比中项，则数列的前10项之和是( )A ．90B ．100C ．145D ．1904．若sin cos cos A B Ca b c==，则ABC 是 （ ） A. 等腰直角三角形 B. 有一内角是30的直角三角形 C. 等边三角形 D. 有一内角是30的等腰三角形 5.等比数列{}n a 的各项均为正数，且100710121008101118a a a a +=，则313232018log log log a a a +++=（ ）A ．2017B ．2018C ．2019D ．20206.若函数()()22,0,,0xx f x g x x -⎧-<⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则()()2f g =（ ）A ．2-B ．1- C. 0 D ．27.问题“今有女子不善织布，逐日所织的布以同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日，问共织几何？”源自南北朝张邱建所著的《张邱建算经》，该问题的答案是（ ）A ．90尺B ．93尺 C. 95尺 D ．97尺8.已知直线l ：x+ay-1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=的对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB|= （ ）A.2B.9．如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 24πB. 36πC. 40πD. 400π10．已知数列{}n a 是等差数列，前n 项和为n S ，满足1263a a S +=，给出下列结论:①70a =; ②130S =; ③7S 最小; ④58S S =, 其中正确结论的个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 11.如图，在△ABC 中，D 为边AC 上的点，且AB ＝AD ，2AB =，BC ＝2BD ，则cosC 的值为（ ）AC ．6 D ．312.已知函数()()2cos2cos 10222xxxf x ωωωω=+->的周期为π，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，方程()f x m =恰有两个不同的实数解1x ，2x ，则()12f x x +=（ ）A ．2B ． 1 C. 1- D ．2-二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13. 在1和16之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为_________14.已知数列{a n }满足a 2n ＋1＝a 2n ＋4，且a 1＝1，a n ＞0，则a n ＝________. 15.设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{1na }的前10项的和为 ． 16.已知a,b,c 分别为的三个内角A,B,C 的对边，b=6,且，O 为错误！未找到引用源。
2023届宁夏回族自治区银川一中高三下学期5月第三次模拟数学(理)试题(PDF版)
绝密★启用前银川一中2023届高三下学期5月第三次模拟理科数学试题卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．作答时，务必将答案写在答题卡上。
写在本试卷及草稿纸上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}1,3,5,7A =，},31|{*N x x x B ∈<<-=，则A B ⋃中的元素个数为 A ．6B ．5C ．4D ．32．已知R a ∈，复数)31)((i i a -+是实数，则=a A ．31B ．31-C ．3D ．3-3．命题“有一个偶数是素数”的否定是 A ．任意一个奇数是素数B ．任意一个偶数都不是素数C ．存在一个奇数不是素数D ．存在一个偶数不是素数4．如图，是1963年在陕西宝鸡贾村出土的一口“何尊”（尊为古代的酒器，用青铜制成），尊内底铸有12行、122字铭文． 铭文中写道“唯武王既克大邑商，则廷告于天，曰：‘余其宅 兹中国，自之辟民’”，其中宅兹中国为“中国”一词最早的文 字记载．“何尊”可以近似看作是圆台和圆柱组合而成，经测量， 该组合体的高约为40cm ，上口的直径约为28cm ，圆柱的高和 底面直径分别约为24cm ，18cm ，则“何尊”的体积大约为 A ．40933 cm π B ．40823 cm πC ．40633 cm πD ．42823 cm π5．已知54sin =α，α是第一象限角，且tan()1αβ+=，则tan β的值为 A ．34-B ．34 C ．17-D ．176．已知两条不同的直线l ，m 及三个不同的平面α，β，γ，下列条件中能推出//αβ的是A ．l 与α，β所成角相等B ．αγ⊥，βγ⊥C ．l α⊥，m β⊥，//l mD ．l ⊂α，m β⊂，//l m7．函数m x x x f ++=22log )(在区间(2,4)上存在零点．则实数m 的取值范围是A ．)18,(--∞B ．),5(+∞C ．)18,5(D ．)5,18(--8．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，将△POA 的面积 表示为x 的函数f （x ），则y =f （x ）在[﹣π，π]上的图象大 致为A B9．在ABC 中，9030C B ∠=︒∠=︒，，BAC ∠的平分线交BC 于点D ．若AD AB AC λμ=+(,)λμ∈R ，则λμ= A ．13B ．12C ．2D ．310．已知双曲线)0(15:22>=-m mx y C 的上、下焦点分别为1F ，2F ，若存在点(,)M λλ， 使得52||||12=-MF MF ，则实数m 的取值范围为 A ．(1,+∞)B ．(1,5)C ．(5,+∞)D ．(0,5)11．英国数学家泰勒1712年提出了泰勒公式，这个公式是高等数学中非常重要的内容之一.其正弦展开的形式如下：357211sin (1)3!5!7!(21)!n n x x x x x x n --=-+-++-+-，（其中x ∈R ，*N n ∈），则111111(1)2!4!6!(22)!n n --+-++-+-的值约为（1弧度57≈︒）A ．sin57︒B ．sin57-︒C ．sin33-︒D ．sin33︒yxOAP12．已知关于x 的不等式e ax x b ≥+对任意x R ∈恒成立，则ba的最大值为 A ．12B ．1C ．2e D ．e二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知1nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n =__________.14．若函数2()ln 2x f x x =-在区间)31,(+m m 上不单调，则实数m 的取值范围为________．15．已知直线l ：220kx y k --+=被圆C ：16)1(22=++y x 所截得的弦长为整数，则满足条件的直线l 有______________条.16．已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，所对的角分别为A 、B 、C ，且满足cb ac b b a ++=+++311，且△ABC 的外接圆的面积为π3，则1s i n )(42c os )(+++=x c a x x f 的最大值的取值范围为___________．三、共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分) 17．(12分)已知公差不为零的等差数列{}n a 的首项为1，且125,,a a a 是一个等比数列的前三项，记数列{}n a 的前n 项和为n S ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}(1)nn S -的前20项的和．18．(12分)如图所示，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，AB BC ⊥，且1AB AP BC ===，2AD =.(1)求证：CD ⊥平面PAC ；(2)若E 为PC 的中点，求PD 与平面AED 所成角 的正弦值.为保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设，某高校为了解全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生的每周阅读时间x (单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图：(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数x 和样本方差2s (同一组的数据用该组区间中点值代表)；(2)由直方图可以看出，目前该校学生每周的阅读时间x 大致服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .①一般正态分布),(2σμN 的概率都可以转化为标准正态分布()0,1N 的概率进行计算：若()2~,X N μσ，令X Y μσ-=，则()~0,1Y N ，且()a P X a P Y μσ-⎛⎫≤=≤⎪⎝⎭.利用直方图得到的正态分布，求()10P X ≤；②从该高校的学生中随机抽取20名，记Z 表示这20名学生中每周阅读时间超过10小时的人数，求Z 的均值.403≈，若()~0,1Y N ，则()0.750.7734P Y ≤=.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的右焦点为F ，有两个不同的点P 、Q 在椭圆C 上运动，且PF 的最小值为-P 不在x 轴上时点P 与椭圆C 的左、右顶点连线的斜率之积为12-.(1)求椭圆C 的方程；(2)已知直线:20l x y -=与椭圆C 在第一象限交于点A ，若PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在.探究：直线PQ 的斜率是否为定值，若是，求出该定值；若不是.请说明理由.21．(12分)已知函数()()()()e 0=+->xf x x b a b 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=．(1)求a ，b 的值；(2)若方程()f x m =有两个实数根12,x x①证明：12m >-;②当0<m 时，12||12+>-m x x 是否成立？如果成立，请简要说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.22．[选修4－4：坐标系与参数方程]下图所示形如花瓣的曲线G 称为四叶玫瑰线，并在极坐标系中，其极坐标方程为2cos 2ρθ=．(1)若射线l ：6πθ=与G 相交于异于极点O 的点P ，G 与极轴的交点为Q ，求PQ ；(2)若A ，B 为G 上的两点，且23AOB π∠=， 求AOB 面积S 的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲]设函数()2221f x x x =-++． (1)解不等式()4f x x ≤+；(2)令()f x 的最小值为T ，正数a ，b ，c 满足a b c T ++=．2023届高三下学期5月第三次模拟数学(理科)参考答案13．5 14．<m<1 15．9 16．（12，24]三、解答题 17．【答案】(1)21n a n =-，N n *∈ (2)210 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，又11a =，所以()11n a n d =+-．因为125,,a a a 是一个等比数列的前三项，所以2125a a a =．即214(1)d d +=+又0d ≠，所以2d =所以数列{}n a 的通项公式为21n a n =-，N n *∈（2）由（1）知数列{}n a的前n 项和21212n n S n n +-=⨯= 所以2(1)(1)n n n S n -=-，数列{}(1)n n S -的前20项的和为 ()()()2222221201234192012341920202102+-++-+++-+=++++++=⨯= 18.【答案】(1)证明见解析 【详解】（1）作CF AD ⊥，垂足为F ，易证，四边形ABCF 为正方形. 所以1CF AF DF ===，CD =又AC =因为222AC CD AD +=，所以AC CD ⊥.因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥. 又AC PA A ⋂=，AC ⊂平面PAC ，PA ⊂平面PAC ， 所以CD ⊥平面PAC .（2）以点A 为坐标原点，以,,AB AD AP 所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,0,1P ，()1,1,0C ，()0,2,0D ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭.则(0,2,0)AD =，(0,2,1)PD =-，111(,,)222AE =.设平面AED 的法向量为(),,n x y z =，由00n AE n AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得11102220x y z y ⎧++=⎪⎨⎪=⎩，令1z =，可得平面AED 的一个法向量为()1,0,1n =-. 设PD 与平面AED 所成角为θ，则sin cos ,2n PD n PD n PDθ⋅-====⨯⋅19.【答案】(1)9x =，21.78s =；(2)①0.7734；②4.532. 【详解】（1）根据频率分布直方图知，阅读时间在区间[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5),[9.5,10,5),[10.5,11.5),[11.5,12.5] 内的频率分别为0.03,0.1,0.2,0.35,0.19,0.09,0.04，60.0370.180.290.35100.19110.09120.049x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 222222(69)0.03(79)0.1(89)0.2(99)0.35(109)0.19s -⨯+-⨯+-⨯+-⨯⨯=+-22(119)0.09(129)0.04 1.78+-⨯+-⨯=，所以样本平均数x 和样本方差2s 分别为9，1.78.（2）①由题意知9μ=，2 1.78σ=，则有(9,1.78)X N ，43σ≈，109(10)()(0.75)0.773443P X P Y P Y -≤=≤=≤=， ②由①知(10)1(10)0.2266P X P X >=-≤=，可得(20,0.2266)Z B ， 所以Z 的均值()200.2266 4.532EZ =⨯=.20．【答案】(1)22163x y +=(2)直线PQ 的斜率为定值1，理由见解析【详解】（1）设()11,P xy ，椭圆C 的左、右顶点坐标分别为(),0a -，(),0a ，故221222111222221111112x b a y y y b x a x a x a x a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅===-=--+--， 即222a b =，则2222c a b b =-=，又a c -b -=b =a即椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）联立2216312x y y x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，又A 在第一象限，所以()2,1A ，由题意知PAQ ∠的内角平分线的斜率不存在，即该角平分线与x 轴垂直， 设直线AP 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -，设()11,P x y ，()22,Q x y ，直线AP 的方程为()12y k x -=-，即12y kx k =+-， 由2212163y kx k x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()()222214128840k x k k x k k ++-+--=，因为P 、A 为直线AP 与椭圆的交点，所以212884221k k x k --=+，即21244221k k x k --=+，把k 换为k -得22244221k k x k +-=+，所以212821k x x k -=+， 所以()()()212112*********ky y kx k kx k k x x k -=-++-+-=-+=⎡⎤⎣⎦+，所以直线PQ 的斜率21211y y k x x -==-，即直线PQ 的斜率为定值1. 21．【答案】(1)1a =，1b = (2)①证明见解析，②成立，理由见解析（1）解：()()1e xf x x b a =++-'，因为函数()f x 在()()1,1f --处的切线方程为()e 1e e 10x y -++-=，所以()111e e b f a '-=-=-，()()1110e f b a ⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭， ∴1a =，1b =或1e=a ，2e b =-（舍），所以1a =，1b =；（2）①证明：由（1）可知()()()1e 1x f x x =+-，()()2e 1xf x x '=+-， 令()()()2e 1xg x f x x '==+-，则()()3e xg x x '=+，令()0g x '=，得3x =-，所以函数()g x 在(),3-∞-上递减，在()3,-+∞上递增， 所以()()min 3g x g =-，即()()3min 3e 10f x f -''=-=--<，又x →+∞，()f x '→+∞，3x <-，()0f x '<，且()010f '=>，()1110ef '-=-<，∴()01,0x ∃∈-，使得()00f x '=，即()002e 10xx +-=，即001e 2x x =+， 当0x x <时，()0f x '<，当0x x >时，()0f x ¢>， 所以函数()f x 在()0,x -∞上递减，在()0,x +∞上递增，所以()()()()()0000min 011e 1112xf x f x x x x ⎛⎫==+-=+-⎪+⎝⎭()()()()()22000000211122222x x x x x x +-⎡⎤+⎡⎤⎣⎦=-=-=-++-⎢⎥+++⎣⎦， ∵()01,0x ∈-，∴()021,2x +∈，令()()1,1,2h x x x x =+∈，则()()2110,1,2h x x x'=->∈ ，所以函数()h x 在()1,2上递增，故()001522,22x x ⎛⎫++∈ ⎪+⎝⎭， 所以()001122,022x x ⎡⎤⎛⎫-++-∈-⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎣⎦， 即()min 12f x >-， ∴12m >-；②解：成立，理由如下：当直线过()1,0-，()()00,x f x 时割线方程为()()()00112x y x mx +=-+=+，得()()030211m x x x -+=-+， 当直线过()0,0，()()00,x f x 时割线方程为()()200012x y x m x x -+==+，得()()0042021mx x x x -+=+， ∴()()()0124320002112111222m x mx x x x m x x x +->-=+=+>++++-+.选考题【详解】（1）将6πθ=代入方程2cos 2ρθ=，得，2cos13P πρ== ，则P 的极坐标为1,6π⎛⎫⎪⎝⎭. 又G 与极轴的交点为Q 的极坐标为()2,0.则PQ =（2）不妨设()(),0A A ρθθπ≤≤，2,3B B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则2cos 2A ρθ=，42cos 23B πρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 所以，AOB的面积12sin 23A B A B S πρρρ==414cos 2cos 22cos 2232πθθθθθ⎛⎫⎛⎫=+=⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭)2332sin 2cos 21cos 4sin 424θθθθθ=+=++41cos 4416πθθθ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭ 所以，当3462ππθ-=，即512πθ=时，max S =所以，AOB 面积S23．【答案】(1)35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)证明见解析【详解】（1）解：因为()41,1122213,12114,2x x f x x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-++=-≤≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩，所以不等式()4f x x ≤+，即1414x x x >⎧⎨-≤+⎩或11234x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪≤+⎩或12144x x x⎧<-⎪⎨⎪-≤+⎩，解得513x <≤或112x -≤≤或3152x -≤<-，综上可得原不等式的解集为35,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）解：由（1）可得函数()f x 的图象如右所示：所以()min 3f x =，即3T =，所以3a b c ++=，又0a >，0b >，0c >，)1122a b a c a b c ⎫≤+++=++=⎪⎝⎭当且仅当1324b c a ===.。
2023年陕西省安康市高考数学第三次质检联考试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年陕西省安康市高考数学第三次质检联考试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B.C.D.2. 若复数满足为纯虚数，则( )A.B.C.D. 23. 已知等差数列的前n 项和为，，则( )A. 6B. 12C. 18D. 244. 已知向量，若与共线，则( )A.B. C. D. 55. 党的二十大报告提出全面推进乡村振兴.为振兴乡村经济，某市一知名电商平台决定为乡村的特色产品开设直播带货专场.该特色产品的热卖黄金时段为2023年3月1至5月31日，为了解直播的效果和关注度，该电商平台统计了已直播的2023年3月1日至3月5日时段的相关数据，这5天的第x 天到该电商平台专营店购物人数单位：万人的数据如表：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日第x 天12345人数单位：万人75849398100依据表中的统计数据，经计算得y 与x 的线性回归方程为请预测从2023年3月1日起的第58天到该专营店购物的人数单位：万人为( )A.440B. 441C. 442D.4436.羽毛球运动是一项全民喜爱的体育运动，标准的羽毛球由16根羽毛固定在球托上，测得每根羽毛在球托之外的长为6cm ，球托之外由羽毛围成的部分可看成一个圆台的侧面，测得顶端所围成圆的直径是6cm，底部所围成圆的直径是2cm，据此可估算得球托之外羽毛所在曲面的展开图的圆心角为( )A.B.C. D.7. 在的展开式中，下列说法正确的是( )A. 所有项的二项式系数和为1B. 第4项和第5项的二项式系数最大C. 所有项的系数和为128D. 第4项的系数最大8. 已知方程的四个根组成以1为首项的等比数列，则( )A. 8B. 12C. 16D. 209. 已知正三棱锥的顶点都在球O的球面上，其侧棱与底面所成角为，且，则球O的表面积为( )A. B. C. D.10. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，P为椭圆C上一点，，点到直线的距离为，则椭圆C的离心率为( )A. B. C. D.11. 定义在R上的函数满足，且为奇函数，则( )A. B. C. 2022 D. 202312. 若，则( )A. B. C. D.13. 已知x，y满足约束条件，则的最大值是______ .14. 已知函数，则______ .15. 已知函数的图象关于点对称，且在区间单调，则的一个取值是______ .16. 《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积时使用的一个原理：“幂势既同，则积不容异”，此即祖暅原理，其含义为：两个同高的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.已知双曲线的右焦点到渐近线的距离记为d，双曲线C的两条渐近线与直线，以及双曲线C的右支围成的图形如图中阴影部分所示绕y轴旋转一周所得几何体的体积为其中，则双曲线C的离心率为______ .17. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求A；若，，求的面积.18. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的样本频率分布直方图.现从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生中恰有1名学生获奖的概率；估计这100名学生的竞赛成绩的平均数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；若该市共有10000名学生参加了竞赛，所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中，为样本平均数的估计值，试估计参赛学生中成绩超过78分的学生人数结果四舍五入到整数附：若随机变量X服从正态分布，则，，19. 如图1，四边形ABCD是梯形，，，M是AB 的中点，将沿DM折起至，如图2，点N在线段上.若N是的中点，证明：平面平面；若，二面角的余弦值为，求的值.20. 已知函数若，求函数的极值；若恒成立，求m的取值范围.21. 已知抛物线C：的焦点为求抛物线C的方程；过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，M为抛物线C上的点，且，，求的面积.22. 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；若射线其中，且，与曲线C在x轴上方交于点M，与直线l交于点N，求23. 已知函数求不等式的解集；若，，求a的取值范围.答案和解析1.【答案】B【解析】解：联立A与B中的方程得：，消去y得：，即，解得：或，把代入得：；把代入得：，方程组的解为，，则，故选：联立A与B中两方程组成方程组，求出方程组的解即可确定出A与B的交集．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：为纯虚数，，故选：将代入化简，然后根据其为纯虚数，可求出结果．本题主要考查复数的四则运算，以及纯虚数的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：由等差数列的性质，可得，所以故选：根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解．本题主要考查了等差数列的性质，考查了等差数列的前n项和公式，属于基础题．4.【答案】A【解析】解：由题意可得，与共线，，解得，故选：根据平面向量共线的坐标公式求出x，再根据向量的模的坐标公式即可得解．本题主要考查向量模公式，属于基础题．5.【答案】C【解析】解：由题意，，，将代入，可得，解得，线性回归直线方程为，将代入上式，故选：由表格数据得出中心点代入计算出回归方程，然后预测即可．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，设小圆锥母线长为x，则大圆锥母线长为，由相似得，即，可估算得球托之外羽毛所在的曲面的展开图的圆心角为故选：将圆台补成圆锥，则羽毛所在曲面为大圆锥的侧面截去一个小圆锥的侧面所得，求出小圆锥的母线长后可得展开图圆心角．本题主要考查旋转体的结构特征，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：对选项A：展开式所有项的二项式系数和为，错误；对选项B：展开式共有8项，故第4项和第5项二项式系数最大，正确；对选项C：令得所有项的系数和为，错误；对选项D：，，系数小于0，，系数大于0，D错误．故选：展开式所有项的二项式系数和为，A错误，展开式共有8项，第4项和第5项二项式系数最大，B正确，令得C错误，第4项系数小于0，第3项系数大于0，D错误，得到答案．本题主要考查二项式定理，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，所以，由等比数列的性质可知，所以，，所以等比数列，，，的公比为，所以，，由韦达定理得，可得故选：设方程的四个根由小到大依次为，，，，不妨设的一根为1，则另一根为27，求得，再由等比数列的性质得到，，求得公比，进而求得，，进而得到，即可求解．本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：如图，设点Q为的中心，则平面ABC，，，球心O在直线PQ上，连接AO，设球O的半径为r，则，，在中，，解得，球O的表面积为故选：作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．本题考查三棱锥的外接球问题，勾股定理的应用，化归转化思想，属中档题．10.【答案】A【解析】解：如图，设于M，则由题意得，，，，由椭圆定义可得，，在中，由勾股定理得：，故选：设于M，则由已知条件可求出，，再利用椭圆的定义可求出，然后在中利用勾股定理列方程可求出离心率．本题考查椭圆的几何性质，方程思想，化归转化思想，属中档题．11.【答案】D【解析】解：，关于对称，为奇函数，由平移可得关于对称，且，，即，，，，上两式比较可得，函数是以4为周期的周期函数．，，，故选：利用抽象函数的轴对称与中心对称性的性质，得出函数的对称轴和中心对称点及周期，利用相关性质得出具体函数值，即可得出结果．本题主要考查抽象函数及其应用，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：由，可得，，，比较a和b，构造函数，当，，在上单调递增，故，即同理比较b和c，构造函数，当，，在上单调递增，，即综上，故选：根据等式解出a、b、c的值，利用作差法，再通过构造函数，通过函数单调性判断作差后的两式大小，最后作出比较．本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，数值大小的比较，属于中档题．13.【答案】1【解析】解：作出可行域如图阴影部分所示，当直线平移至点B时，z取得最大值，由，解得，即点B的坐标为，所以故答案为：根据可行域和目标函数的几何意义即可求解．本题主要考查简单的线性规划，考查数形结合思想与运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：故答案为：根据分段函数和，利用转化为求解．本题主要考查了分段函数的应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．15.【答案】1或3或5或写出其中一个即可【解析】解：因为函数的图象关于对称，可得，解得，所以，，又因为在区间上单调，可得，结合余弦函数的性质，可得，解得，所以或3或5或故答案为：1或3或5或写出其中一个即可由的图象关于对称，求得，，再结合三角函数的性质，求得的范围，即可求解．本题主要考查了余弦函数的图象和性质，属于中档题．16.【答案】【解析】解：由题意知渐近线方程为，右焦点为，所以，由，得，由，得，所以截面面积为，由题知，阴影部分绕y轴转一周所得几何体的体积等于底面积与截面面积相等，高为2的圆柱的体积，，即，所以，即，，解得，所以故答案为：先利用条件求出d，直线与渐近线及双曲线的交点，从而求出截面积，再利用题设所给信息建立等量关系，从而求出结果．本题考查双曲线的几何性质，化归转化思想，方程思想，属中档题．17.【答案】解：，或，，，或，解得或，，，由知，，由正弦定理得，由余弦定理得，即，整理得，由得，【解析】利用诱导公式或者直接展开计算，再根据倍角公式化简即可；利用正弦定理进行角化边，再根据余弦定理求出c边，最后利用正弦定理的三角形面积公式计算即可．本题主要考查三角恒等变换，正余弦定理的应用，三角形面积的求法，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由样本频率分布直方图得，样本中获一等奖的有6人，获二等奖的有8人，获三等奖的有16人，共有30人获奖，70人没有获奖，从该样本中随机抽取的2名学生的竞赛成绩，基本事件总数为，设“抽取的2名学生中恰有1名学生获奖”为事件A，则事件A包含的基本事件的个数为，每个基本事件出现的可能性都相等，，即抽取的2名学生中恰有1名学生获奖的概率为由样本频率分布直方图得，样本平均数的估计值由题意所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，，，故参赛学生中成绩超过分的学生数为【解析】由古典概型计算即可；由样本频率分布直方图计算样本平均数的估计值即可；根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解；本题主要考查正态分布的对称性，考查转化能力，属于基础题．19.【答案】证明：取DM中点O，连接，CO，CM，且M为AB的中点，可得，，在四边形ABCD中，，可得AMCD为菱形，，又，且，平面，平面，平面，，又，且N为的中点，，，且DN，平面DMN，平面DMN，又平面，平面平面解：由，可得，，，，以O为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，设，则，，，设平面DMN的一个法向量为，则，令，则，又由平面CDM，可得CDM的一个法向量为，设二面角的平面角为，由图可得为锐角，则，解得或舍去，【解析】取DM中点O，证得，，利用线面垂直的判定定理，证得平面，得到，再由，证得平面DMN，进而证得平面平面DMN；以O为坐标原点，分别以OD，OC，所在直线为x轴、y轴和z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设，分别求得平面DMN和平面CDM的一个法向量为和，结合向量的夹角公式列出方程，即可求解．本题主要考查面面垂直的证明，面面角的计算，空间想象能力的培养，空间向量及其应用等知识，属于中等题．20.【答案】解：当时，，其定义域为，，令，得，当时，；当时，，在单调递增，在单调递减，的极大值为，无极小值；由得，在上恒成立，令，则，令，易知在单调递增，，，，使得，即，当时，；当时，；在单调递减，在上单调递增，，由，可得，，，，的取值范围是【解析】当时，对函数求导，判断单调区间，即可得到极值；采用分离参数的方式得到，令，对函数求导判断单调性，求得的最小值，进而可得到m的取值范围．本题考查参变量分离求解恒成立问题，构造函数并利用导数研究函数的最值，化归转化思想，属中档题．21.【答案】解：由已知可得，解得，所以拋物线C的方程为；如图所示：设，，，若轴，由得，，或，，此时不满足，所以不满足题意；设直线AB的方程为，直线MF的方程为，将代入抛物线方程得，，所以，将代入抛物线方程得，所以①，直线AM的斜率为，同理直线BM的斜率为，因为，所以，所以，即②，由①②解得，将其代入①可得，解得或，当时，直线AB的方程为，，，因为，满足，所以，，所以，所以，同理可得，当时，直线AB的方程为，，，因为，满足，所以，，所以，所以，所以的面积为【解析】由题意可知，从而即可得答案；先分析轴时，不满足题意；再设直线AB的方程为，直线MF的方程为，分别代入抛物线方程，结合韦达定理可得直线AM的斜率、线BM的斜率，再由，可求得m的值及M点的纵坐标，再根据弦长公式及三角形的面积公式求解即可．本题主要考查抛物线的性质，直线与圆锥曲线的综合，考查方程思想与运算求解能力，属于难题．22.【答案】解：由，得，即故直线l的普通方程是由得，代入公式，得，，故曲线C的直角坐标方程是由其中，且，，得，将射线代入曲线C的极坐标方程，可得，直线l的极坐标方程为，将代入直线l的极坐标方程可得，，【解析】采用代入消参方法可得直线l的普通方程，结合可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；分别联立射线与曲线C及直线l的极坐标方程，得到，，即可求得本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查转化能力，属于中档题．23.【答案】解：，①当时，，解得；②当时，，解得；③当时，，无解，不等式的解集为，，，由知在递减，递增，递增，，，，解得，故a的取值范围为【解析】根据x的不同的取值范围分类讨论后可求不等式的解；求出的最小值后利用公式可求参数的取值范围．本题主要考查绝对值不等式的解法，属于基础题．。
洛阳市2019年高考第三次统一考试数学理科试题卷含答案详析
洛阳市2018—2019学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. 2B. -2C.D.【答案】A【解析】解：因为，所以，故选A2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】，，则或，则，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,∴-2=-×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===.5.执行如图所示的框图，若输入的是4，则输出的值是（）A. 6B. 24C. 30D. 120【答案】B【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】若，，是，，，是，，，是，，，否，，故选：．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵=(4,3)，2+=(3,18)，∴=(-5,12)，∴，，，∴，即,夹角的余弦值等于，故选C考点：本题考查了向量及数量积的坐标运算点评：熟练掌握数量积的定义及坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7.下列命题错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 若：，.则：，.C. 若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题D. “”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，故选项A是正确的；对于选项B,若：，.则：，.是真命题，故选项B是正确的；对于选项C, 若复合命题：“”为假命题，则，至少有一个为假命题，所以该选项是错误的，故选项C是错误的；对于选项D,因为，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查逆否命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假和充分不必要条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设实数，满足，则目标函数（）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最小值-1，最大值3D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题的y=-x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距z最小，联立得A(2,0),所以z最小=2+0=2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可．【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：．【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积．10.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】C【解析】【分析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.【详解】因为函数是偶函数，所以所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，所以所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知抛物线：，过焦点且斜率为2的直线交抛物线于、两点，则（）A. 5B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】设,联立直线和抛物线的方程得，再求的值.【详解】设,由题得直线AB的方程为联立方程得，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin(B-A)，根据三角形为锐角三角形，求得，以及，的范围，再求出f(B)的表达式，利用三角函数的图像和性质求解.【详解】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，，==，所以,因为,所以.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定正弦定理理解三角形和三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.圆与直线相交于，两点，则弦_______．【答案】【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再解直角三角形求解.【详解】由题得圆心到直线的距离为，所以|AB|=.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若是函数的极值点，则函数在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】根据是函数的极值点得k=e,再利用导数的几何意义求切线方程.【详解】由题得.所以.所以切点为（1，-e）,所以切线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和极值的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在底面是边长为的正方形的四棱锥中，顶点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则________．【答案】【解析】【分析】设，为，的中点，先求出四棱锥内切球的半径，再求出外接球的半径，即得解.【详解】如图，，为，的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为与所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，所以可得，设为外接球球心，在中，，解得，，故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体与球的内切和外接问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.有下列四个命题：其中真命题的序号是__________.①等差数列的前项和为，若，则；②函数的最小值4；③函数在点处的切线方程是；④函数的唯一零点在区间上.【答案】①③④【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】①设,故该命题正确；②设，所以函数g(t)在上单调递减，所以函数的最小值为g(1)=5,所以该命题是假命题.③切线方程为y-0=x-1,所以该命题是真命题；④，所以函数在（1,2）上单调递增，，所以函数的唯一零点在区间上.故该命题是真命题.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查利用导数研究函数的最值和零点，考查导数几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列是等差数列，数列的前项和满足且，.（1）求数列和的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由，当时，，当时，，，即，∴是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为，又因为数列是等差数列，且，，所以，可得数列的通项公式为.（2）①②①-②得，整理得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）若，，且平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明，再证明平面；（2）取的中点，证明平面，再利用求四棱锥的体积.【详解】证明：（1）取的中点，连接，，因为且，又因为，分别为，的中点，且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中点，在中，，，，∴，∴，∴，即.∵平面平面，平面平面，又平面，∴平面.，∴即四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解张窝水平和分析推理能力.19.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？总计男生身高女生身高总计（3）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，设男生数为，则，得.由男生的人数为40，得女生的人数为.（2）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：总计男生身高301040女生身高65460总计3664100，所以能有的把握认为身高与性别有关；（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.设男生为，，，，女生为，.从6人任选2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8种可能，故所求概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，求出,再换元利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由题意知，，∴.联立解得：，.∴椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，联立：消去得，设点，，∴，即，，.∵到的距离，，所以.令，∴，.∴.当且仅当，即时，的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的求解，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知极点与坐标原点重合，极轴与轴非负半轴重合，是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的平面直角坐标方程；（2）已知曲线向上平移1个单位后得到曲线，设曲线与直线：（为参数）相交于，两点，求值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设，求出点的极坐标为.把点代入曲线即得曲线的极坐标方程，再化成直角坐标方程即可.(2)求出的参数方程，再利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】（1）设，∵，点的极坐标为.把点代入曲线，得，即曲线的极坐标方程为：.∵，∴，∴，∴曲线的平面直角坐标系下的方程为.（2）曲线向上平移1个单位后曲线的方程为.的参数方程化为：.两方程联立得，∴，，∴.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明．【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。
2024届宁夏银川一中高三第三次模拟考试理科综合物理核心考点试卷
2024届宁夏银川一中高三第三次模拟考试理科综合物理核心考点试卷一、单项选择题（本题包含8小题，每小题4分，共32分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）(共8题)第(1)题如图所示，质量为m的滑环套在足够长的光滑水平杆上，质量为的小球可视为质点用长为的轻质细绳与滑环连接。
滑环固定时，给小球一个水平冲量，小球摆起的最大高度为h1（h1<L）；滑环不固定时，仍给小球以同样的水平冲量I，小球摆起的最大高度为h 2。
则等于（ ）A．B．C．D．第(2)题如图，两块完全相同的直角三角形玻璃砖A和B放置在同一水平面内，斜边平行且相距一定距离。
一条光线从空气中垂直于玻璃砖A的直角边射入从玻璃砖B的直角边射出，射出后的位置和方向可能是图中的（ ）A．光线a B．光线b C．光线c D．光线d第(3)题如图所示，自动扶梯与水平面夹角为θ，上面站着质量为m的人，当自动扶梯以加速度a加速向上运动时，人相对扶梯静止。
下列关于人的受力情况和运动情况的描述中，说法正确的是（ ）A．人处于超重状态B．人只受重力和支持力C．人所受支持力对人不做功D．人受重力、支持力、水平向左的静摩擦力第(4)题将电容器接在电压恒定为U的电源两端，电容器两平行极板面积足够大，两极板之间的距离为d，现将两极板分别围绕O、O'点逆时针旋转角度为θ=37°（sin37°=0.6，cos37°=0.8），如图中虚线所示，下列说法正确的是（ ）A．两极板旋转之后，极板间的正对面积不变B．两极板旋转之后，极板间的正对面积变大C．两极板旋转之后，极板间的电场强度增大D．两极板旋转之后，极板间的电场强度不变第(5)题如图小球A在竖直平面内做圆周运动，恰能过最高点，不计任何阻力，从某次经过最高点开始计时，转过的角度记为。
下列能正确反映轻绳的拉力F或小球速度大小v变化的图像是（ ）A．B．C．D．第(6)题如图所示，在xOy坐标系中一质量为m的小球绕原点O做顺时针方向圆周运动，半径为R。
陕西省联盟学校2023届高三下学期第三次大联考理科数学试题(含答案与解析)
“高考研究831重点课题项目”陕西省联盟学校2023年第三次大联考数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.答案均写在答题纸上，满分150分，时间2.答卷前将答题卡上的学校､姓名､班级填写清楚，并检查条形码是否完整､信息是否准确.3.答卷必须使用0.5mm 的黑色签字笔书写，字迹工整､笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内作答，超出答题区域的书写无效.第I 卷（选择题共60分）一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =RB. M ∪N ={x |-3≤x <4} C M ∩N ={x |-2≤x ≤4}D. M ∩N ={x |-2≤x <4}2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i --B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495%B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A. 1B.12C.14D.185. 已知p ：0x y +>，q：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件.的6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ） A.32B. 2C. 3D.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.568. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A.B.C.D.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a <<B. c a b <<C. b a c <<D. b c a <<11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 1012. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法的正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.14. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,n n n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值.18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值.19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长． （1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切．21. 已知函数()e 21xf x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ．（1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合； （2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ．①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写. 选修4-4：坐标系与参数方程选讲.的22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积最大值. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=． （1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<； （2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．参考答案一､选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 已知集合2{|34},{|280},M x x N x x x =-≤<=--≤则（ ） A. M ∪N =R B. M ∪N ={x |-3≤x <4} C. M ∩N ={x |-2≤x ≤4} D. M ∩N ={x |-2≤x <4}【答案】D 【解析】 【分析】先求集合N ，再求两个集合的并集和交集，判断选项.【详解】2280x x --≤，解得：24x -≤≤，即{}24N x x =-≤≤，{}34M x x =-≤<，{}34M N x x ⋃=-≤≤， {}24M N x x ⋂=-≤<.故选：D2. 已知复数z 满足()224i z z z z -+⋅=+，z 在复平面内对应的点在第二象限，则z =（ ） A. 1i -- B. 1i +C. 1i -+D. 2i -+【答案】C 【解析】的【分析】依题意设i z a b =+()0,0a b <>，根据复数代数形式的乘法运算及复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.【详解】设i z a b =+()0,0a b <>，则i z a b =-，因为()224i z z z z -+⋅=+， 所以()()()2i i i i 24i a b a b a b a b +-+++⋅-=+，所以224i 24i b a b ++=+，所以22244a b b ⎧+=⎨=⎩，解得11a b =-⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=⎩（舍去），所以1i z =-+. 故选：C3. 核酸检测是目前确认新型冠状病毒感染最可靠的依据．经大量病例调查发现，试剂盒的质量、抽取标本的部位和取得的标本数量，对检测结果的准确性有一定影响．已知国外某地新冠病毒感染率为0.5%，在感染新冠病毒的条件下，标本检出阳性的概率为99%．若该地全员参加核酸检测，则该地某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为（ ） A. 0.495% B. 0.9405%C. 0.99%D. 0.9995%【答案】A 【解析】【分析】根据条件概率的乘法公式即可求解.【详解】记感染新冠病毒为事件A ,感染新冠病毒的条件下,标本为阳性为事件,B 则()0.5%,()99%P A P B A ==,故某市民感染新冠病毒且标本检出阳性的概率为()()()P AB P A P B A ==0.5%99%0.495%⨯=，故选：A4. 已知等比数列{}n a 的前2项和为2424,6a a -=，则8a =（ ） A 1B.12C.14D.18【答案】D 【解析】【分析】首先根据题意得到()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩，解方程组得到12q =，116a =，再求8a 即可. 【详解】因为246a a -=，所以1q ≠，由题知：()()121224112416a a a q a a a q q ⎧+=+=⎪⎨-=-=⎪⎩， .所以()141q q =-，解得12q =，所以111242a a +=，即116a =， 所以78111628a ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭.故选：D5. 已知p ：0x y +>，q ：))ln ln0x y ->，则p 是q 的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】令)()ln,R f x x x =+∈,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.【详解】令)()ln ,R f x x x =+∈，(0)0f =，且))()()ln ln ln10f x f x x x +-=++-==，故)()ln f x x =+为奇函数，0x >x +递增，则)()ln f x x =+也递增，又()f x 为奇函数，则()f x 在R 上递增，p q ⇒，若0x y +>，则x y >-，则()()f x f y >-，即))ln lnx y >即))lnln0x y +-->；p q ⇐，若))lnln0x y ->，则等价于))ln ln x y +>，即()()f x f y >-，由()f x 在R 上递增，则x y >-， 即0x y +>， 故p 是q 的充要条件， 故选：C.6. 将函数π()2sin()(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象，若()y g x =在[,]64ππ-上为增函数，则ω最大值为（ ）A.32B. 2C. 3D.【答案】B 【解析】【分析】先求出()g x ，又因为()y g x =在ππ[,]64-上为增函数，则ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤，即可求出ω最大值.【详解】函数π()2sin(0)3f x x ωω=->的图象向左平移3ωπ个单位得到函数()y g x =的图象， 则()ππ2sin 2sin 33g x x x ωωω⎡⎤⎛⎫=+-= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 又因为()y g x =在ππ[,64-上为增函数，所以ππ62ω⎛⎫⋅-≥- ⎪⎝⎭，且ππ42ω⋅≤， 解得：2ω≤，故ω的最大值为2. 故选：B.7. 算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称“档”，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字170，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于200的概率为（ ）A.12B.23C.34D.56【答案】C 【解析】【分析】根据题意得到总的可能的情况，再分上珠拨的是千位档或百位档和上珠拨的是个位档或十位档进行分类，得到符合要求的情况，从而得到符合要求的概率.【详解】依题意得所拨数字共有1244C C 24=种可能． 要使所拨数字大于200，则：若上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于200，有1224C C 12=种； 若上珠拨的是个位档或十位档，则下珠一定要拨千位，再从个、十、百里选一个下珠， 有1123C C 6=种，则所拨数字大于200的概率为1263244+=， 故选：C ．8. 已知命题p ：“若直线//a 平面α，平面//α平面β，则直线//a 平面β”，命题q ：“棱长为a 的正四面体的外接球表面积是23π2a ”，则以下命题为真命题的是（ ）A. p q ∨B. p q ∧C. ()p q ∨⌝D. ()()p q ⌝∧⌝【答案】A 【解析】【分析】根据线面的关系判断命题p 的真假，根据正四面体外接球的表面积公式计算判断命题q 的真假，结合复合命题真假的判断方法即可求解. 【详解】命题p ：若//a α，α//β，则//a β或a ⊂β，故命题p 为假命题；命题q ，所以外接球的表面积为223π4π2a =，故命题q 为真命题.所以命题p q ∨为真命题，命题()()()p q p q p q ∧∨⌝⌝∧⌝、、为假命题. 故选：A.9. 已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F ，一条渐近线为l ，过点2F 且与l 平行的直线交双曲线C 于点M ，若122MF MF =，则双曲线C 的离心率为（ ）A. B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义可得21,MF MF ，根据平行关系可知12cos aF F M c∠=，由余弦定理可构造齐次方程求得离心率. 【详解】设:bl y x a=，则点M 位于第四象限， 由双曲线定义知：1222222MF MF MF MF MF a -=-==，14MF a ∴=； 设过点2F 且与l 平行直线的倾斜角为α，则tan ba α=，cos a cα∴==， 12cos aF F M c∴∠=； 在12F F M △中，由余弦定理得：222122112122cos 2F F MF MF F F M F F MF +-∠=⋅，即22244168a c a a c ac +-=，整理可得：225c a =，e ∴==故选：C.10. 设0.33e a -=，0.6e b =， 1.6c =，则（ ） A. c b a << B. c a b << C. b a c << D. b c a <<【答案】A 【解析】【分析】通过构造函数()e 1xf x x =--，利用导数研究函数单调性，证得e 1x x >+，则有,a c b c >>，再通过作商法比较,a b .【详解】设()e 1x f x x =--，因为()e 1xf x '=-，所以当0x <时，()0f x '<，()f x 在(),0∞-上单调递减， 当0x >时，()0f x '<，()f x 在()0,∞+上单调递增， 所以当R x ∈，且0x ≠时，()()00f x f >=，即e 1x x >+. 所以()0.33e30.31 2.1a --+>=⨯=，0.6e 0.61 1.6b =>+=，所以 1.6c =最小，又因为0.60.90.3e e e 13e 33b a -==<<，所以b a <.综上，c b a <<. 故选：A11. 已知定点()2,0D ，直线l ：()()20y k x k =+>与抛物线24y x =交于两点A ，B ，若的90ADB ∠=︒，则AB =( )A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线l 与抛物线方程，求得12x x +，12x x ，12y y ，由90ADB ∠=︒可得0DA DB ⋅=，从而可求k 的值，根据弦长公式即可求AB ．【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，()()22222244404y k x k x k x k y x⎧=+⇒+-+=⎨=⎩， 由题知，0∆>，故21212244,4k x x x x k-+==， 则()()()222121212122882224448k y y k x k x k x x x x k k ⎛⎫-⎡⎤=+⋅+=+++=++= ⎪⎣⎦⎝⎭， 由()()1212900220ADB DA DB x x y y ∠=⇒⋅=⇒--+=，即()121212240x x x x y y -+++=，即()224142840k k --⋅++=，解得213k=，则12443813x x -+==，则28AB x =-===．故选：C ． 12. 已知函数()1f x +是偶函数，且()()2f x f x +=-．当(]0,1x ∈时，()1cos f x x x=，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是奇函数 B. ()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个零点 C. ()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D. ()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点 的【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，由()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，结合()()2f x f x +=-，推导出()()f x f x -=-，A 正确；B 选项，求出()f x 的一个周期为4，从而只需求()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数，结合函数性质得到2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，B 错误；C 选项，求导得到()111cos sin f x x x x'=+，换元后得到()cos sin h t t t t =+，15π1,6t x ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，再次求导，得到()h t 的单调性，结合()10h >，5π06h ⎛⎫⎪⎝⎭>，得到()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，得到()f x 在6,15π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；D 选项，与C 选项一样得到()h t 的单调性，结合零点存在性定理得到隐零点，进而得到()f x 的单调性，求出()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点. 【详解】函数()1f x +是偶函数，故()()11f x f x -+=+，因为()()2f x f x +=-，所以()()11f x f x +=--， 故()()11f x f x -+=--，将x 替换为1x +，得到()()f x f x -=-，故()f x 为奇函数，A 正确； 因为()()2f x f x +=-，故()()42f x f x +=-+，故()()4f x f x +=， 所以()f x 的一个周期为4， 故()f x 在区间4π16π1,ππ+-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的零点个数与在区间12π1,ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭上的相同，因为22πcos 20ππf ⎛⎫==⎪⎝⎭，而()()()2f x f x f x +=-=-，故2220ππf f ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其中2212π1,2,ππππ-⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭， 故()f x 在区间12π1,ππ-⎛⎫⎪⎝⎭至少有2个零点，B 错误； 6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，则()111cossin f x x x x'=+，令1t x =，()cos sin h t t t t =+，当5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，所以()sin sin cos cos h t t t t t t t '=-++=，当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π5π,26t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 又()1cos1sin10h =+>，0cos si 5π5π5π5π2n 5π66661h ⎛⎫==⎪⎝⎭=>+， 故()0h t >在5π1,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立， 所以()0f x ¢>在6,15πx ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上恒成立，故()f x 在6,15π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，C 正确； D 选项，1,1πx ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()1cos f x x x =，故()111cossin f x x x x '=+，令1t x=，()cos sin h t t t t =+，当()1,πt ∈时， 则()cos h t t t '=， 当π1,2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=>，()h t 单调递增， 当π,π2t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()cos 0h t t t '=<，()h t 单调递减， 因为()1cos1sin10h =+>，πππππ02222cos 2sin h ⎪=⎛⎫=+⎝⎭>，()0cos s n πππ1i πh =-+<=， 由零点存在性定理，0π,π2t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∃，使得()00h t =，当()01,t t ∈时，()0h t >，当()0,πt t ∈时，()0h t <，011,πx t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，01,1x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x ¢>，()f x 单调递增， 所以()f x 区间1,1π⎛⎫⎪⎝⎭上有且只有一个极值点，D 正确. 故选：ACD【点睛】设函数()y f x =，x ∈R ，0a >，a b ¹．（1）若()()f x a f x a +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （2）若()()f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （3）若()()1f x a f x +=-，则函数()f x 的周期为2a ； （4）若()()1f x a f x +=，则函数()f x 的周期为2a ； （5）若()()f x a f x b +=+，则函数()f x 周期为a b -；（6）若函数()f x 的图象关于直线x a =与x b =对称，则函数()f x 的周期为2b a -；（7）若函数()f x 的图象既关于点(),0a 对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为2b a -； （8）若函数()f x 的图象既关于直线x a =对称，又关于点(),0b 对称，则函数()f x 的周期为4b a -；（9）若函数()f x 是偶函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a ； （10）若函数()f x 是奇函数，且其图象关于直线x a =对称，则()f x 的周期为2a .第II 卷（非选择题共90分）二､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）13.已知(1,a a b =+= ，则a 与b的夹角为__________.【答案】30 【解析】【分析】首先根据题意得到a b += ，从而得到32a b ⋅= ，再根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅求解即可.【详解】因为(a b +=，所以a b +== ，所以()22223127a ba b a b a b +=++⋅=++⋅=，即32a b ⋅= .所以cos ,a b a b a b⋅===⋅， 因为0,180a b ≤≤，所以a 与b 的夹角为30 .故答案为：3014. ()4221x x -+的展开式中3x 项的系数为___________.的【答案】56- 【解析】【分析】先整理二项式为()81x -，由此即可求解. 【详解】解：二项式()()()442822111x x x x ⎡⎤=⎣⎦-+-=-， 所以展开式中含3x 的项为()55338156C x x ⋅-=-，所以3x 项的系数为56-， 故答案为：56-.15. 如图，圆锥的轴截面SAB 是边长为a 的正三角形，点,C D 是底面弧AB 的两个三等分点，则SC 与BD 所成角的正切值为______．【解析】【分析】易证得//OC BD ，由异面直线所成角定义可知所求角为SCO ∠，由长度关系可求得结果. 【详解】设圆锥底面圆心为O ，连接,,OC OD OS ，,C D 为弧AB 的两个三等分点，π3COD BOD ∴∠=∠=， 又OB OD =，OBD ∴△为等边三角形，π3ODB COD ∴∠=∠=，//OC BD ∴， SCO ∴∠即为异面直线SC 与BD 所成角，SO ⊥ 平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，SO OC ∴⊥，SO == ，122a OC AB ==，tan SO SCO OC ∴∠=== 即SC 与BD16. 已知数列{}n a 的前n 项和23122n S n n =-，设11,nn n n b T a a +=为数列{}n b 的前n 项和，若对任意的N n *∈，不等式93n T n λ<+恒成立，则实数λ的取值范围为________．【答案】(),48-∞ 【解析】【分析】利用,n n a S 的关系求出数列{}n a 的通项公式，再用裂项相消法求得n T ，再根据不等式的恒成立问题以及函数的单调性与最值，求实数λ的取值范围. 【详解】当2n ≥时，()()221313111322222n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=-----=-⎢⎥⎣⎦， 当1n =时，111a S ==满足上式， 所以32,N n a n n *=-∈. 所以111111()(32)(31)33231n n n b a a n n n n +===--+-+， 所以1111111111(1)(()(1)343473323133131n T n n n n n =-+-++-=-=-+++ ， 由93n T n λ<+，可得9331n n n λ<++，即23(31)13(96)n n n nλ+<=++， 因为函数19y x x =+在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭单调递增， 所以当1n =时，19n n+有最小值为10， 所以13(96)48n n++≥，所以48λ<， 所以实数λ的取值范围为(),48∞-. 故答案为：(),48-∞.三､解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 在ABC 中，已知13,4,cos 3AC BC A ===-. （1）求角B 的值； （2）求边长AB 的值. 【答案】（1）π4（2）1 【解析】【分析】（1）利用同角三角函数基本关系及正弦定理可求解； （2）利用两角差的余弦公式结合余弦定理求解. 【小问1详解】在ABC 中，由1cos 3A =-，()22cos sin 1,0,πA A A +=∈,得sin A =.由正弦定理得，sin sin a b A B=3sin B =，故sin B =又因为A 为钝角，所以π4B = 【小问2详解】在ABC 中，()1cos cos sin sin cos cos 3C A B A B A B =-+=-=+=由余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅()2223423491=+-⨯⨯=-=-所以1AB =-18. 如图，四棱锥P ABCD -中，，AB CD AB AD ⊥∥，且24260，，AB AD CD PA PAB =====∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30，，E F 分别是BC 和PD 的中点.（1）证明：EF 平面PAB ；（2）求平面PAB 与平面PAD 夹角余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）取AD 的中点G ，连接EG FG ，，通过证明平面GEF 平面PAB ，可得EF 平面PAB ；（2）点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由260，PA PAB ==∠ ，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，可得P 坐标，后利用向量法可得平面PAB 与平面PAD 夹角的余弦值. 【小问1详解】取AD 的中点G ，连接,EG FG ，F 是PD 的中点，GF AP ∴∥，AP ⊂ 平面,PAB FG ⊄平面PAB ，GF ∴ 平面PAB ，同理可得GE 平面PAB ，，GE GF G GE =⊂ 平面，GEF GF ⊂平面GEF ，∴平面GEF 平面PAB ，EF ⊂ 平面GEF ，//EF ∴平面PAB ；【小问2详解】以点A 为原点，,AB AD 所在的直线分别为x 轴，y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可得()()()()0,0,0,4,0,0,0,4,0,2,4,0A B D C ，()()400040,,，,,AB AD ==.设(),,P x y z ，因2PA =，直线PA 与平面ABCD 的所成角为30 ，则2sin 301z == . 又因60,PAB =∠ 则点P 的横坐标2cos 601x == . 又2PA =2=，结合题图可知y =，的则()P，()11,AP =.设()111,,m x y z =r 是平面PAB的一个法向量，则111140m AB x m AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩， 令11y =，则(10,1,z m ==.设()222,,n x y z =r 是平面PAD的一个法向量，则222240n AD y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩令11x =，则()111,0,1，z n =-=-.又因两平面夹角范围为π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，设平面PAB 与平面PAD 夹角为θ，cos =cos ,m n m n m n θ⋅===，∴平面PAB 与平面PAD19. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数）（2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X ，且X ~N （17，σ2），其中σ2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ-σ≤X ≤μ+σ≈0.6827，P （μ-2σ≤X ≤μ+2σ）≈0.9545≈4.7，0.158653≈0.004．【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23（2）0.004 【解析】【分析】（1）根据均值方差的计算公式代入计算即可求解； （2）利用正态分布的性质和所给数据即可求解计算. 【小问1详解】把男性样本记为12120,,,x x x ，其平均数记为x ，方差记为2x s ；把女性样本记为1290,,,y y y ，其平均数记为y ，方差记为2y s ．则2214,6;21,17x y x s y s ====．记总样本数据的平均数为z ，方差为2s ．由14,21x y ==，根据按比例分配的分层随机抽样总样本平均数与各层样本平均数的关系， 可得总样本平均数为120901209012090z x y =+++．120149021210⨯+⨯=17,=根据方差的定义，总样本方差为()()12090222111210i i i i s x z y z ==⎡⎤=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑()()1209022111,210i i i i x x x z y x y z ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑ 由()120120111200iii i x x x x ==-=-=∑∑可得()()120120112()2(0iii i x x x z x z x x ==--=--=∑∑同理，()()9090112()2()0iii i y y y z y z y y ==--=--=∑∑，因此，()()12012090902222211111()()210i i i i i i s x x x z y y y z ====⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑ {}22221120(90(,210x y s x z s y z ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦ 所以{}22211206(1417)9017(2117)23210s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-≈⎣⎦⎣⎦， 所以总样本的均值为17，方差为23，并据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23． 【小问2详解】由（1）知223σ=，所以()17,23X N ~4.8≈， 所以()()12.221.817 4.817 4.80.6827P X P X ≤≤=-≤≤+≈，()1(12.2)10.68270.15865,2P X <≈⨯-= 因为()3,0.15865X B ~，所以()3333C 0.158650.004P X ==⨯≈． 所以3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率为0.004．20. 已知12,F F 是椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点，12B B 是椭圆的短轴，菱形1122F B F B 的周长为8，面积为E 的焦距大于短轴长．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 内的一点（不在E 的轴上），过点P 作直线交E 于,A B 两点，且点P 为AB 的中点，椭圆()22122:10x y E m n m n +=>>P 也在1E 上，求证：直线AB 与1E 相切． 【答案】（1）2214x y += （2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据菱形1122F B F B 的周长和面积可构造方程组求得,b c ，进而得到椭圆方程；（2）设:AB y kx t =+，与椭圆E 方程联立可得韦达定理的结论，结合中点坐标公式可求得P 点坐标；将AB 与椭圆1E 联立，可得1∆，由P 在椭圆1E 上可得等量关系，化简1∆可得10∆=，由此可得结论.【小问1详解】菱形1122F B F B 的周长为8，面积为122248b c a ⎧⋅⋅=⎪∴⎨⎪=⎩222a b c =+，1b c ⎧=⎪∴⎨=⎪⎩或1b c =⎧⎪⎨=⎪⎩，又椭圆E 的焦距大于短轴长，即22c b >，1b c =⎧⎪∴⎨=⎪⎩24a ∴=，则椭圆E 的方程为：2214x y +=. 【小问2详解】由题意知：直线AB 的斜率必然存在，可设其方程为：y kx t =+， 由2214x y y kx t ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得：()222148440k x ktx t +++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2216140k t ∆=+->，即2214<+t k ，122814kt x x k ∴+=-+，21224414t x x k-=+， 21212228221414k t t y y kx t kx t t k k∴+=+++=-+=++，224,1414kt t P k k ⎛⎫∴- ⎪++⎝⎭； 椭圆1Ee ∴==224=m n ， 2221:44E x y n ∴+=，由22244x y n y kx t⎧+=⎨=+⎩得：()2222148440k x ktx t n +++-=， ()()()22222222216441444164k t k t n k n n t ∴∆=-+-=+-，P 在椭圆1E 上，()()2222222216441414k t t n k k ∴+=++，整理可得：()22241t n k =+， ()222222116440k n n k n n ∴∆=+--=，∴直线AB 与1E 相切.【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆位置关系的证明问题，解题关键是能够利用点在椭圆上得到变量之间所满足的等量关系，将等量关系代入判别式中进行化简整理即可得到直线与椭圆的位置关系. 21. 已知函数()e 21x f x ax =+-，其中a 为实数，e 为自然对数底数，e=2.71828 ． （1）已知函数x ∈R ，()0f x ≥，求实数a 取值的集合；（2）已知函数()()2F x f x ax =-有两个不同极值点1x 、2x ． ①求实数a 的取值范围；②证明：)12123x x x x +>．【答案】（1）12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭（2）① 212e ∞⎛⎫+⎪⎝⎭，；②证明见解析 【解析】【分析】（1）利用不等式恒成立问题，转化为函数的最值问题，通过对a 的讨论，求出()f x 在给定区间的最值即可求出a 的值；（2）①由函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x 得，()e 22x F x ax a '=-+有两个不同零点，通过参数分离有112e x x a -=，构造函数()1e x x x ϕ-=，确定()1ex x x ϕ-=的单调性和极值，进而可求a 的取值范围； ②由已知得21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---，通过换元111x t -=，221x t -=，构造函数()ln u t t t =-，讨论函数()ln u t t t =-的单调性，确定12t t ，的不等关系，再转化为1x ，2x 的关系即可证明．【小问1详解】由()e 21x f x ax =+-，得()e 2xf x a '=+， 当0a ≥时，因为()11120e f a ⎛⎫-=--< ⎪⎝⎭，不合题意； 当a<0时，当()()ln 2x a ∈-∞-，时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当()()ln 2x a ∈-+∞，时，()0f x ¢>，()f x 单调递增，所以()()()min ()ln 222ln 21f x f a a a a =-=-+--，要()0f x ≥，只需()min ()22ln 210f x a a a =-+--≥，令()ln 1g x x x x =--，则()ln g x x '=-， 当()01x ∈，时，()0g x '>，()g x 单调递增； 当()1x ∈+∞，时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以()(1)0g x g ≤=，则由()()222ln 210g a a a a -=-+--≥得21a -=， 所以12a =-，故实数a 取值的集合12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭． 【小问2详解】 ①由已知()2e 21x F x ax ax =-+-，()e 22x F x ax a '=-+，因为函数()F x 有两个不同的极值点1x ，2x ，所以()e 22xF x ax a '=-+有两个不同零点， 若0a ≤时，则()F x '在R 上单调递增，()F x '在R 上至多一个零点，与已知矛盾，舍去；当0a >时，由e 220x ax a -+=，得112e x x a -=，令()1ex x x ϕ-=所以()2ex x x ϕ-'=，当()2x ∈-∞，时，()0x ϕ'>，()x ϕ单调递增； 当()2x ∈+∞，时，()0x ϕ'<，()x ϕ单调递减； 所以max 21()2e x ϕϕ==（）， 因为(1)0ϕ=，1lim 0e x x x →+∞-=，所以21102e a <<，所以22e a >， 故实数a 的取值范围为21e 2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，． ②设12x x <，由①则1212x x <<<，因为()()120x x ϕϕ==，所以11e 22x ax a =-，22e 22x ax a =-， 则21211e e 1x x x x -=-，取对数得()()2121ln 1ln 1x x x x -=---， 令111x t -=，221x t -=，则2121ln ln t t t t -=-，即221112ln ln (01)t t t t t t -=-<<<，令()ln u t t t =-，则()()12u t u t =，因为()1tu t t '=-，所以()ln u t t t =-在()01，上单调递减，在()1+∞，上单调递增， 令()()112ln v t u t u t t t t⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭， 则()22(1)0t v t t-'=≥，()v t 在()0+∞，上单调递增， 又10v =（），所以当()01t ∈，时，()10v t v <=()，即()1u t u t ⎛⎫< ⎪⎝⎭， 因为21t >，121t ->，()ln u t t t =-在()1+∞，上单调递增，所以211t t <， 所以21111x x -<-，即1212x x x x <+，所以))12121212x x x x x x x x <+<+<+，故)12123x x x x <+成立．请考生在第22､23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.选修4-4：坐标系与参数方程选讲.22. 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C的参数方程为11x y θθ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）设射线()1:π0l θρ=≥和射线2ππ:0,022l θαρα⎛⎫=+≥≤< ⎪⎝⎭分别与曲线C 交于A 、B 两点，求AOB 面积的最大值.【答案】（1）2sin 2cos ρθθ=-（21+【解析】【分析】（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程，由普通方程与极坐标方程之间的转换关系可得出曲线C 的极坐标方程；（2）求出OA 、OB ，利用三角形的面积公式结合三角恒等变换可得π214AOB S α⎛⎫=++ ⎪⎝⎭△，结合π02α≤<可求得AOB S 的最大值. 【小问1详解】解：由11x y θθ⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩可得()()))2222112x y θθ++-=+=，即22220x y x y ++-=，故曲线C 的普通方程为22220x y x y ++-=，因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以曲线C 的极坐标方程为22cos 2sin 0ρρθρθ+-=，即2sin 2cos ρθθ=-.【小问2详解】解：由题意知2sin π2cos π2OA =-=，ππ2sin 2cos 2cos 2sin 22OB αααα⎛⎫⎛⎫=+-+=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴()21π·sin π2cos 2sin cos 2cos sin222AOB S OA OB αααααα⎡⎤⎛⎫=-+=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦πsin2cos21214ααα⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， 因为π02α≤<，则ππ5π2444α≤+<，所以当242ππα+=，即当π8α=时，AOB 1+. 选修4-5：不等式选讲.23. 设,,R,,,1a b c a b c ∈-均不为零，且1a b c ++=．（1）证明：(1)(1)0ab b c c a +-+-<；（2）求222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）3.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答. （2）利用柯西不等式求解最小值作答.【小问1详解】依题意，(1)0a b c ++-=，且,,(1)a b c -均不为零， 则22221(1)(1){[(1)][(1)2]}ab b c c a a b c a b c +-+-=++--++-2221[(1])02a b c =-++-<， 所以(1)(1)0ab b c c a +-+-<.【小问2详解】因为2222222](111[(2)(2)1()))[112(2)(2(2)]a b c a b c ⨯-++++-+++++≥⨯⨯+2(2)9a b c =+++=， 当且仅当222111a b c -++==，即3,1,1a b c ==-=-时取等号，因此222(2)(2)(2)3a b c -++++≥， 所以222(2)(2)(2)a b c -++++的最小值为3.。
重庆市江津中学、合川中学等七校2019-2020学年高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
七校高2019级第三次诊断性考试数学（理科）试题第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“0x ∃∈R ，使02x e x <+”否定是（ ） A. x ∀∈R ，2x e x <+ B. x ∀∈R ，2x e x ≥+ C. x ∀∉R ，2x e x <+ D. x ∀∈R ，2x e x >+【答案】B 【解析】 【分析】根据特称命题的否定定义,即可得解.【详解】由特称命题的否定可知, 0x ∃∈R ,使02x e x <+否定是 x ∀∈R ,2x e x ≥+故选B【点睛】本题考查了特称命题的否定形式,属于基础题.2.集合{|0}A x =≥，{1,0,1,2,3}B =-，则A B =（ ）A. {1,0,1,2}-B. {1,0,1}-C. {0,1,2}D. {1,2,3}【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件求得集合A,再根据交集运算即可求得A B .【详解】集合{|0}A x =≥,即{|1}A x x =≤ 因为{1,0,1,2,3}B =- 所以{}|1{1,0,1,2,3}Ax x B ≤-={}1,0,1=-故选:B【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,集合交集的运算,属于基础题. 3.已知i 是虚数单位，复数2(12)i -的共轭复数虚部为 A. 4i B. 3 C. 4 D. 4-【答案】C 【解析】 【分析】先化复数为代数形式，再根据共轭复数概念以及虚部概念得结果.【详解】因为()21234i i -=--，所以复数()212i -的共轭复数为34i -+，因此虚部为4，选C. 【点睛】本题考查共轭复数概念以及虚部概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 4.在等差数列{}n a 中，前n 项和n S 满足9235S S -=，则6a 的值是( ) A. 5 B. 7C. 9D. 3【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列性质求6a 的值.【详解】因为9235S S -=，所以3456789++++++=35a a a a a a a ，即667=35=5.a a ，选A. 【点睛】本题考查等差数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题. 5.有6个座位连成一排，三人就座，恰有两个空位相邻的概率是（ ） A.15B.25C.35D.45【答案】C 【解析】 【分析】把三个空位分成两组，2个相邻，1个单独放置，利用插空法结合分步计数乘法原理求得符合条件的排法数，再求总排法数，根据古典概型可得结果.【详解】第一步，把三个空位分成两组，2个相邻，1个单独放置，3个人共有333216A =⨯⨯=种排法， 第二步，把两组不同的空位插入3个人产生的4个空档里，共有244312A =⨯=种排法，共有排法61272⨯=种，而所有排法为36120A =， 所以所求概率为故答案为7231205=， 故答案为:35.【点睛】在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率 6.若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切，则C 的渐近线方程为（ ）A. 13y x =±B. y x =C. y =D. 3y x =±【答案】B 【解析】 【分析】设出渐近线方程,根据直线与圆相切可知圆心到直线的距离等于半径,解方程即可求得直线方程的斜率,代入即可得渐近线方程.【详解】因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>设双曲线的渐近线方程为y kx =±,即0kx y ±=因为双曲线的渐近线与圆22(2)1x y -+=相切,圆心为()2,0,半径1r =则圆心到双曲线渐近线的距离等于半径,由点到直线距离公式可得1d ==解方程可得k =所以双曲线的渐近线方程为y x = 故选:B【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程,点到直线距离公式的用法,属于基础题. 7.阅读如图程序框图，若输出的数据为30，则判断框中应填入的条件为（ ）A. 3i ≤B. 4i ≤C. 5i ≤D. 6i ≤【答案】B 【解析】 【分析】根据程序框图的结构,可知作用为求和.依次列出前几次循环,即可得输出值为30时的i 值,进而得判断框里的不等式.【详解】由程序框图可知,0,1S i == (1) 1022,2S i =+== 是 (2) 2226,3S i =+== 是 (3) 36214,4S i =+== 是 (4) 414230,5S i =+== 否 由以上循环可知, 4i ≤ 故选:B【点睛】本题考查了循环结构在程序框图中的应用,由输出结果确定判断框内容,属于基础题.8.定义在R 上的奇函数()f x 满足：(1)(1)f x f x +=-，且当10x -<<时，()21xf x =-，则2(l og 20)f =（ ）A.14B. 14-C. 15-D.15【答案】D 【解析】 由()()11f x f x +=-可知函数()f x 是周期为2的周期函数，所以()()()()()()22log 52222241log 202log 5log 5log 522log 521155f f f f f -⎛⎫=+==-=--=--=--= ⎪⎝⎭，故选D.9.已知函数()sin ()f x x x x R =+∈, 先将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得到的图象关于直线34x π=对称， 则θ的最小值为（ ）A.6π B.3π C.512π D.23π 【答案】A 【解析】试题分析：()2sin()3f x x π=+，将()y f x =的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得()2sin(2)3g x x π=+，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ（0θ>）个单位长度，得()2sin[2()]3h x x πθ=-+2sin(22)3x πθ=-+，则322432k πππθπ⨯-+=+，k Z∈，2,23k k Z ππθ=-+∈，因为0θ>，最小值为2236πππθ=-+=．故选A ．考点：三角函数图象变换，三角函数的对称轴．10.已知三棱锥A BCD -的四个顶点都在同一个球的球面上，AB =3BC =，AC =A BCD -，则该球的表面积为（ ） A.323πB. 12πC. 16πD. 36π【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形三条边可知ABC ∆为直角三角形,由体积最大可求得高最大值.高取得最大值时,结合球的性质即可求出球的半径,进而求得表面积.【详解】因为AB =3BC =,AC =满足222AB BC AC +=,则ABC ∆为直角三角形三棱锥A BCD -体积即为三棱锥D ABC -的体积,当体积取最大值时,高取得最大值由三棱锥体积公式可得13ABC V S h ∆=⨯,11332h =⨯⨯ 解得3h = 如下图所示:设球心为O,AC 中点为E,球的半径为R .则222OE CE OC +=,即()2223R R -+=解方程可得2R =由球的表面积公式24S R π= 代入可得24216S ππ=⨯= 故选:C【点睛】本题考查了三棱锥的体积公式,球的性质及表面积公式的用法,对空间想象能力要求较高,属于中档题.11.已知抛物线216C: y x =，焦点为F ，直线:1l x =-，点∈A l ，线段AF 与抛物线C 的交点为B ，若||5||FA FB =，则||FA =（ ）A. B. 35C. D. 40【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程,可得焦点坐标.设A 、B 点坐标,由||5||FA FB =可得A 与B 点的关系,结合BF AF k k =即可求A 点坐标,进而得||FA . 【详解】抛物线216C: y x = 所以焦点坐标为()4,0F 因为∈A l ,设()()1,,,A a B m n -因为B 在抛物线216 y x =上,则216 n m =,即2,16n B n ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭又因为||5||FA FB =则5a n =,不妨设点A 在x 轴的上方,则5a n =,()0n >即()1,5A n - 因为A B F 、、在同一条直线上 则BF AF k k =所以25014416n n n --=---,化简可得248n =,解得n =n =-(舍)所以(A -则35FA ===故选:B【点睛】本题考查了直线与抛物线位置关系,抛物线性质的简单应用,属于基础题.12.如图正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 在线段1BB 和线段11A B 上移动，EAB θ∠=(0,)2πθ∈，过直线,AE AD 的平面ADFE 将正方体分成两部分，记棱BC 所在部分的体积为()V θ，则函数(),(0,)2V V πθθ=∈的大致图像是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 试题分析：当时，，则三棱柱的体积为，当时，，则棱所在部分的体积为，则函数的图象关于点对称；故选C ．考点：1.几何体的体积；2.三角函数的图象与性质．【思路点睛】本题考查几何体的体积公式、分段函数的图象、正切函数的图象与性质，是三角函数与立体几何结合的综合题目，属于中档题；因为过直线,AE AD 的平面ADFE 是变化的，棱BC 所在部分的几何体的形状是不固定的，属于要注意找出分界点，确定几何体的形状，选择合理的体积公式进行求解.第II 卷（非选择题共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.()22,2 1,22x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩，则()()1f f -的值为________. 【答案】4【解析】 【分析】根据解析式,代入即可得()1f -.再代入即可求得()()1ff -值.【详解】∵()22,21,22x x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪-⎩∴2(1)(1)23f -=-+= ∴()()11(3)3432ff f -==+=- 【点睛】本题考查了分段函数的求值,根据自变量的值选择合适的解析式代入,属于基础题.14.若x ，y 满足113x y x y ≥⎧⎪≥-⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为____【答案】2 【解析】 【分析】画出不等式组表示的可行域，将2z x y =+变形为22x z y =-+，移动直线22x zy =-+并结合图形得到最优解，进而得到所求的最小值．【详解】画出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示．由2z x y =+可得22x zy =-+． 平移直线22x z y =-+，由图形得，当直线经过可行域内的点A 时，直线22x z y =-+在y 轴上的截距最小，的此时z 取得最小值．由31x y y +=⎧⎨=-⎩ 解得41x y =⎧⎨=-⎩， 所以点A 的坐标为(4,)1-． 所以min 42(1)2z =+⨯-=． 故答案为2．【点睛】利用线性规划求最值体现了数形结合思想的运用，解题的关键有两个：一是准确地画出不等式组表示的可行域；二是弄清楚目标函数中z 的几何意义，根据题意判断是截距型、斜率型、还是距离型，然后再结合图形求出最优解后可得所求．15.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________.正视图 侧视图 俯视图【解析】 【分析】根据三视图,可得空间几何体形状为三棱柱剪去一个小的三棱锥.求得三棱柱的体积和小三棱锥的体积,即可求得该几何体的体积.【详解】由三视图可知,几何体为一个三棱柱剪去一个三角锥,三棱柱的体积1V 为：1222⨯⨯=剪去的三棱锥体积2V 为：1121323⨯⨯⨯=所以几何体的体积为：=. 【点睛】本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,由割补法求几何体的体积,属于基础题.16.数列{}n a 满足12a =，1111n n n a a a ++-=+，其前n 项积为n T ，则= ．【答案】【解析】 试题分析：因为，所以，即数列{}n a 是以4为周期的数列，且，所以；故填．考点：1.数列的递推公式；2.数列的性质．【思路点睛】本题考查利用数列的首项和递推式求数列的通项公式以及利用数列的周期性求数列的前的积，属于中档题；已知数列的首项和递推式求通项或前的积（和）时，往往先探究数列通项或和（积）的周期性，如本题中，先通过首项和递推式求出数列的前几项，即可发现该数列的周期性.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对边的长.cos cos b A B =，cos B =（1）求角A 的值； （2）若2c =+ABC ∆的面积.【答案】（1）4π；（2）2+【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式,可得sin B ,由正弦定理代入表达式即可求得A .（2）根据正弦和角公式,可代入求得sin C .再由正弦定理可求得b ,结合三角形面积公式即可求得ABC ∆的面积.【详解】（1）在ABC ∆中,因为cos 3B =,0B π<< 所以sin 3B ==因为cos cos b A B =由正弦定理,得sin cos cos B A A B =,A A = 所以cos sin A A =若cos 0A =,则sin 0A =,与22sin cos 1A A +=矛盾,故cos 0A ≠ 于是tan 1A = 又因为0A π<< 所以4A π=（2）因为2c =+4A π=,cos 3B =,sin 3B =所以sin sin()sin cos cos sin C A B Ac B A B =+=+==由正弦定理sin sin b cB C=,得(2sin sin c B b C +⋅===所以ABC ∆的面积为11sin (22222S bc A ==⨯+⨯=+【点睛】本题考查了同角三角函数关系式的应用,正弦定理解三角形,三角形面积公式的用法,属于基础题.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，PD ⊥平面ABCD ，1PD AD ==，点E ，F 分别为AB 和PD 中点.（1）求证：直线//AF 平面PEC ； （2）求PC 与平面PAB 所成角的正弦值. 【答案】(1)见解析.(2)14.【解析】【详解】试题分析：（1）作//FM CD 交PC 于M 根据条件可证得AEMF 为平行四边形，从而根据线面平行的判定，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，根据条件中的数据可求得平面PAB 的一个法向量为3(1,0,n =，从而问题可等价转化为求PC 与n 的夹角． 试题解析：（1）作//FM CD 交PC 于M ，∵点F 为PD 中点，∴，∴，AEMF 为平行四边形，∴//AF EM ，∵AF ⊄平面PEC ，EM ⊂平面PEC ，∴//AF 平面PEC ；（2）如图所示，建立坐标系，由已知得(0,0,1)P ，(0,1,0)C ，E ， 1,0)22A-，2a =，∴1(,,1)22AP =-，()0,1,0AB =，设平面PAB 的一个法向量为(),,n x y z =r ，∵0n AB ⋅=，0n AP ⋅=，∴10{2x y z y ++==，取1x =，则z =，∴平面PAB 的一个法向量为3(1,0,n =，∵(0,1,1)PC =-， 设向量n 与PC 所成角为θ，∴cos 147n PC n PCθ-⋅===-，∴PC 平面PAB 所成角的正弦值为14．考点：1．线面平行的判定；2．空间向量求空间角．【此处有视频，请去附件查看】19.某校高三4班有50名学生进行了一场投篮测试，其中男生30人，女生20人．为了了解其投篮成绩，甲、乙两人分别都对全班的学生进行编号（1-50号），并以不同的方法进行数据抽样，其中一人用的是系统抽样，另一人用的是分层抽样．若此次投篮测试的成绩大于或等于80分视为优秀，小于80分视为不优秀，以下是甲、乙两人分别抽取的样本数据：甲抽取的样本数据乙抽取的样本数据（Ⅰ）在乙抽取的样本中任取3人，记投篮优秀的学生人数为X ，求X 的分布列和数学期望．（Ⅱ）请你根据乙抽取的样本数据完成下列2×2列联表，判断是否有95%以上的把握认为投篮成绩和性别有关？（Ⅲ）判断甲、乙各用何种抽样方法，并根据（Ⅱ）的结论判断哪种抽样方法更优？说明理由. 下面的临界值表供参考：（参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++）【答案】（Ⅰ）分布列见解析，期望为；（2）有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关；（Ⅲ）采用分层抽样方法比系统抽样方法更优． 【解析】【详解】（Ⅰ）在乙抽取的10个样本中，投篮优秀的学生人数为4， ∴X 的取值为0，1,2,3，分布列为：（Ⅱ）设投篮成绩与性别无关，由乙抽取的样本数据，得22⨯列联表如下：2K 的观测值k 210(4402)4664⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ 4.444 3.841 所以有95%以上的把握认为投篮成绩与性别有关． （Ⅲ）甲用的是系统抽样，乙用的是分层抽样．由（Ⅱ）的结论知，投篮成绩与性别有关，并且从样本数据能看出投篮成绩与性别有明显差异，因此采用分层抽样方法比系统抽样方法更优．考点：1.离散型随机变量的分布列和期望；2.独立性检验思想的应用；3.抽样方法．20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的短轴长为2 （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若过点(3,0)-的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，O 为坐标原点，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）7[4,)3-． 【解析】 【分析】（Ⅰ）由椭圆C 的短轴长可得1b =，结合离心率求得a 的值即可确定椭圆方程； （Ⅱ）设直线l 的方程为()3y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，与椭圆方程联立可得()222214243640k xk x k +++-=，结合韦达定理和平面向量数量积的坐标运算公式可得2257414k OM ON k⋅=-++，，结合k 的范围确定OM ON ⋅的取值范围即可. 【详解】（Ⅰ）因为椭圆C 的短轴长为2，所以22b =，所以1b =，又椭圆C 的离心率为2，所以c a ===2a =， 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=．（Ⅱ）由题可设直线l 的方程为()3y k x =+，()11,M x y ，()22,N x y ，将()3y k x =+代入2214x y +=，消去y 可得()222214243640k x k x k +++-=，所以()()()2222244143640k k k ∆=-⨯+->，即215k <，且21222414k x x k +=-+，212236414k x x k -=+，所以()()()()22212121212121233139OM ON x x y y x x k x k x kx xk x x k ⋅=+=++⋅+=++++ ()222222222223642441457139414141414k k k k k k k k k k k ⎛⎫--=+⋅+⋅-+==-+ ⎪++++⎝⎭，因为2105k ≤<，所以2257190143k k ≤<+，所以2257744143k k -≤-+<+， 所以OM ON ⋅的取值范围是74,3⎡⎫-⎪⎢⎣⎭． 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 21.设函数\2333()()22x f x e x a =---. （1）若0a >且()f x 在x 0=处的切线垂直于y 轴，求a 的值； （2）若对于任意[0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）1；（2）01a ≤≤. 【解析】 【分析】（1）先求得()f x 的导函数,根据()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴可知在0x =处的导数等于0,代入即可求得a 的值.（2）根据任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立,则(0)0f ≥成立,代入可得0a ≥.结合函数单调性,使得()f x 在[)0,x ∈+∞上满足单调递增且(0)0f '≥,即可得a 的取值范围.再利用构造函数法,证明()f x 在[0,)x ∈+∞时满足单调递增即可.【详解】（1）2333()()22x f x e x a =--- 则22()33()xf x ex a '=--∴2(0)33f a '=-∵0a >且()f x 在0x =处的切线垂直于y 轴 ∴2330a -= ∴1a =±,又0a > ∴1a =（2）对于任意[)0,x ∈+∞,都有()0f x ≥恒成立 则3333(0)()022f a a =---=≥ 所以0a ≥22()33()x f x e x a '=--,[0,)x ∈+∞2(0)330f a '=-≥得21a ≤,所以11a -≤≤,即01a ≤≤ 下面证明01a ≤≤成立∴0a ≥,令()()()22'33x g x f x e x a ==--,[)0,x ∈+∞∴令()()()266xh x g x ex a '==--,[0,)x ∈+∞∴2()126(0)12660xh x eh ''=-≥=-=>∴函数()h x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 由()()0h x h ≥∴()()'0660g x g a '≥=+>∴22()33()xf x ex a '=--在[0,)x ∈+∞上单调递增()2'03f a =-.01a ≤≤时,(0)0f '≥∴()'0f x ≥ ,函数()f x 在[0,)x ∈+∞上单调递增 ∴3()(0)0 f x f a ≥=≥成立 故01a ≤≤【点睛】本题考查了导数的几何意义,利用导数研究函数的单调性、最值,利用导数研究不等式恒成立问题,综合性强,属于难题.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 选修4-4：极坐标与参数方程.22. 【选修4-4，坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为,2{3,x y ==（t 为参数），在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin 2cos .ρθθ=- （Ⅰ）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与y 轴的交点为P ，直线l 与曲线C 的交点为A,B,求PA PB 的值.【答案】（1）直线l 的普通方程为30x y -+=，曲线C 的直角坐标方程为22(1)(2)5x y ++-=；（2）3． 【解析】试题分析：本题主要考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的转化、直线与圆的位置关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用222x y ρ+=，sin y ρθ=，cos x ρθ=转化方程；第二问，将直线方程与曲线方程联立，消参，得到关于t 的方程，利用两根之积得到结论.试题解析：（Ⅰ）直线l 的普通方程为30x y -+=，24sin 2cos ρρθρθ=-，曲线C 直角坐标方程为22(1)(2)5x y ++-=. （Ⅱ）将直线的参数方程2{3+2x y ==（t 为参数）代入曲线C ：22(1)(2)5x y ++-=，得到：230t +-=，123t t =-，123PA PB t t ==.考点：本题主要考查：1.极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化；2.直线与圆的位置关系. 选修4-5：不等式选讲23.已知关于x 的不等式2|25|5x a x a +++-<.（1）当1a =时，求不等式的解集；（2）若该不等式有实数解，求实数a 的取值范围.【答案】（1）37,22⎛⎫-⎪⎝⎭；（2）(0,2). 【解析】【分析】 （1）代入1a =,可得绝对值不等式|1||3|5x x ++-<.分类讨论x 的不同取值范围,即可解不等式. （2）根据绝对值三角不等式的性质,化简后结合不等式有实数解,即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）当1a =时,令()|1||3|5g x x x =++-<当1x <-时,()225g x x =-+<,解得312x ->>-当13x -≤<时,()45g x =<,不等式恒成立当3x ≥时,()225g x x =-<,解得732x ≤< 的综上所述,不等式的解集为37,22x ⎛⎫∈-⎪⎝⎭ （2）222|||25|2525x a x a x a x a a a +++-≥+--+=-+, 所以2255a a -+<即25255a a -<-+<解得()0,2a ∈【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,分类讨论思想和绝对值三角不等式性质的应用,属于中档题.。
XXX闻道2017-2018学年度第三次高中联合质量测评理科数学试卷(含答案)
XXX闻道2017-2018学年度第三次高中联合质量测评理科数学试卷(含答案)XXX闻道2017-2018学年度第三次高中联合质量测评理科数学本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必用5毫米黑色签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2.选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
写在本试卷上无效。
3.非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案。
不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第I卷一、选择题1.设复数$z=3+i$（其中$i$为虚数单位），则复数$z-\frac{1}{z}$的虚部为（$\quad$）A。
$z$。
B。
$-1919$。
C。
$-10$。
D。
$xxxxxxxx$2.若集合$M=\{x|x-2x^20\}$，则$M\cap N$（$\quad$）A。
$\varnothing$。
B。
$\left\{\frac{1}{4}\right\}$。
C。
$\left\{\frac{1}{2},\frac{1}{1}\right\}$。
D。
$\left\{\frac{1}{4},+\infty\right\}$3.下图是XXX发布的2017年1月至7月的本市楼市价格同比增长与环比增长涨跌幅数据绘制的雷达图（注：2017年2月与2016年2月相比较，叫同比；2017年2月与2017年1月相比较，叫环比）。
根据该雷达图，则下列结论错误的是（$\quad$）A。
2017年1月至7月该市楼市价格有涨有跌。
B。
2017年1月至7月分别与2016年1月至7月相比较，该市楼市价格有涨有跌。
C。
2017年2月至7月该市市价格涨跌波动不大，变化比较平稳。
D。
2017年1月至7月分别与2016年1月至7月相比较，1月该市楼市价格涨幅最大。
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1 太和中学高2012级第三次数学月考试题（理科） 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分 1. 化简342（ ） A. 342 B. 322 C. 134 D. 22
2. 已知函数1xfxx，则112f（ ） A. 2 B. 1 C. 1 D. 2
3. 设等差数列na的前n项和为nS（*Nn），且1082aa，则9S（ ） A. 90 B. 60 C. 45 D. 245 4. 为了得到函数3lg10xy的图像，只需把函数lgyx的图像上所有的点（ ） A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 5. 从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有（ ） A.30种 B.36种 C. 42种 D. 60种
6. 设随机变量的分布列如下表所示，且E1.6,则ba的值为（ ） A. 0.2 B. —0.1
C. 0.1 D. —0.2
7.已知双曲线)0,0(12222babyax的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（ ） A. xy2 B. xy2 C. xy21 D. xy22 8. 已知曲线23ln4xyx的一条切线的斜率为12，则该切线的切点横坐标为（ ） A. -2 B. 12 C. 1 D. 3 9. 已知向量a=（1, 3），向量b满足a b=1， |a—b|=52，则|b|的值为（ ） A 22 B 32 C 4 D 52 10. 已知函数12xfx，若1ln2af，2log3bf，31log2cf，则,,abc
0 1 2 3
P 0.2 a b 0.3 2
的大小关系是（ ） A. bac B. acb C. abc D. bca 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 函数)2lg(2)(xxxf的定义域是_____________
12. 1231()xx的展开式中的常数项是_____________．
13. 已知直线1yx经过第一象限内的点P（)1,1ba，则ba4的最小值为__________ 14. 已知点1,1A，点3,5B，点P是直线yx上动点，当||||PAPB的值最
小时，点P的坐标是 15、黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有白色地面砖_________________块.
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 等比数列na的各项均为正数，且212326231,9.aaaaa （Ⅰ)求数列na
的通项公式；（Ⅱ）设 31323loglog......log,nnbaaa求数列1nb的前n项和.
17．在ABC中，ABC、、的对边分别为abc、、，且cos3coscosbCaBcB． （1）求cosB的值； （2）若2BABC，22b，求a和c． 3
PADB C E
F
18．甲，乙，丙三个同学同时报名参加某重点高校2012年自主招生．高考前自主招生的程序为审核材料和文化测试，只有审核过关后才能参加文化测试，文化测试合格者即可获得自主招生入选资格．因为甲，乙，丙三人各有优势，甲，乙，丙三人审核过关的概率分别为0.5，0.6，0.4，审核过关后，甲，乙，丙三人文化测试合格的概率分别为0.6，0.5，0.75． （1）求甲，乙，丙三人中只有一人通过审核的概率； （2）设甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格的人数为，求随机变量的期望．
19.如图，已知四棱锥PABCD中，侧棱PA平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，PBPC，1AB，2BC，,EF分别是,BCPC的中点． （1）求证：AC平面;PAB
（2）当平面PDC与底面ABCD所成二面角为3时， 求二面角FAEC的大小． 4
B A F M O x
y
20. 已知离心率为32的椭圆222210xyabab上的点到左焦点F的最长距离为32. （1）求椭圆的方程； （2）如图，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在x轴上，且使得MF为AMB的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征
点”，求椭圆的“左特征点”M的坐标.
21. 已知函数()fx=lnxxa在1x处取得极值. (1)求实数a的值；
(2) 若关于x的方程2()2fxxxb在1,22上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围； (3) 证明：21132,21nknnnNnkfknn．参考数据：ln20.6931. 5
高三第三次月考数学理科答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C C B C B D B C
二、填空题 11. )2,2[ 12. 220 13. 9 14. （2,2） 15. 4n+2
16.解. （Ⅰ）设数列{an}的公比为q，由23269aaa得32349aa所以219q。
由条件可知a>0,故13q。 由12231aa得12231aaq，所以113a。 故数列{an}的通项式为an=13n。 （Ⅱ ）31323nloglog...lognbaaa=(1)(12)2nnn 故12112()(1)1nbnnnn
12111111112...2((1)()...())22311nnbbbnnn
所以数列1{}nb的前n项和为21nn 17．解：（1）由正弦定理得2sinaRA，2sinbRB，2sincRC， 又cos3coscosbCaBcB，∴sincos3sincossincosBCABCB， 即sincossincos3sincosBCCBAB，∴sin3sincosBCAB，
∴sin3sincosAAB,又sin0A，∴1cos3B． （2）由2BABC得cos2acB，又1cos3B，∴由2222cosbacacB，22b可得2212ac，∴20ac，即ac，∴6ac． 18．解：（1）分别记甲，乙，丙通过审核为事件1A，2A，3A，记甲，乙，丙三人中只有一人通过审核为事件B，则
123123123()()()()PBPAAAPAAAPAAA0.50.40.60.50.60.60.50.40.40.38 （2）分别记甲，乙，丙三人中获得自主招生入选资格为事件,,CDE，则 0.3PCPDPE，
∴的可能取值为0、1、2、3， 3(0)10.30.343,P，2(1)310.30.30.441,P 6
DB E
FMN
PADB CE
Fxy
z
2(2)30.30.70.189,P3(3)0.30.027.P
故随机变量的数学期望为00.34310.44120.18930.0270.9E. 19．解：（1）证明：∵PA平面ABCD，∴PB的射影是AB，PC的射影是AC， ∵PBPC∴ABAC∴1ABAC，且2BC，
∴ABC是直角三角形，且2BAC，∴ACAB，∵PA平面ABCD，∴PAAB，
且PAACA，∴AC平面PAB （2）解法1：由（1）知ACAB，且ABCD是平行四边形，可知ACCD， 又∵PA平面ABCD，由三垂线定理可知，PCCD，
又∵PCACC由二面角的平面角的定义可知，PCA是平面PDC与底面ABCD所成二面角，故
3PCA，故在RtPAC中，1AC，∴
3PA，2PC，
从而1111,1,222AFPCEFPBPC又在RtABC中，1222AEBC， ∴在等腰三角形FAE，分别取AC中点N和AE中点M，连接FN，FM和MN， ∴中位线//FNPA，且PA平面ABCD，∴FN平面ABCD， 在AEF中，中线FMAE，由三垂线定理知，MNAE， FMN为二面角FAEC的平面角，
在RtFMN中，1322FNPA，1224MNEC， tan6FNFMNMN，arctan6FMN，
∴二面角FAEC的大小为arctan6. 解法2：由(Ⅰ)知，以点A为坐标原点，以AB、AC、AP 所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 设PA，则0,0,0A，1,0,0B，0,1,0C，0,0,P，
1,1,0D，11,,022E，10,,22F，
则0,1,CP，1,0,0CD，0,0,AP 设平面PCD的一个法向量为1111,,nxyz,
则由11
1111
0,0,,0,,10,nCDxnyznCP
得
取
又AP是平面ABCD的一个法向量， 平面PDC与底面ABCD所成二面角为3