重庆市第十一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题 Word版含答案
2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试卷 word版
2017-2018学年度第二学期高二年级数学（文科）期中考试试卷（卷面分值：150分，考试时间：120分钟）选择题（共17题，每小题5分，共85分）设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：∀x∈A,2x∈B，则A．¬p：∀x∈A,2x∉B B．¬p：∀x∉A,2x∉BC．¬p：∃x∉A,2x∈B D．¬p：∃x∈A,2x∉B设复数z满足z+i=3-i，则_x001F__x001F_-z=（）A. -1+2iB. 1-2iC. 3+2i D．3-2i下列命题正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞－b，则－a＞bC．若ac＞bc，则a＞b D．若a＞b，则a－c＞b－c设x∈R，则“|x－2|＜1”是“x2＋x－2>0”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4，5)，则回归直线的方程是()A.y^＝1.23x＋4B.y^＝1.23x＋5C.y^＝1.23x＋0.08D.y^＝0.08x＋1.23已知i为虚数单位，则复平面内表示复数z＝i3＋i的点在() A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限若a>b>0，0<c<1，则（）A ．loga c<logb cB ．logc a<logc bC ．a c< b cD ．c a > c b 下列函数中，既是奇函数，又在定义域内为减函数的是( )．A ．y ＝(12)xB ．y ＝1x C ．y ＝－x3 D ．y ＝log3(－x)为判定两个分类变量X 和Y 是否有关系，应用独立性检验算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是( ) A ．有95%的把握认为“X 和Y 有关系” B ．有95%的把握认为“X 和Y 没有关系” C ．有99%的把握认为“X 和Y 有关系” D ．有99%的把握认为“X 和Y 没有关系” 已知函数f(x)＝11－x的定义域为M ，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N ，则M∩N=＝ ( )．A ．{x|x>－1}B ．{x|x<1}C ．{x|－1<x<1}D ．∅设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x ，x≤1，1－log2x ，x>1，则满足f(x)≤2的x 的取值范围是( )．A ．[-1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞) 下列函数中，在区间（-1，1）上为减函数的是（）．A ．y=11-x B ．y=cos x C ．y=ln(x+1) D ．y=2-x已知函数f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1-x ，x≤0ax ，x>0若4f(1)= f(-1)，则实数a 的值等于（） ．A ．1B ．2C ．3D ．4已知f(x)是奇函数，当x ＞0时，f(x)=-x(1+x)，当x ＜0时，f(x)等于（）． A ．-x(1-x) B ．x(1-x) C ．-x(1+x) D ．x(1+x)若P(x,y)在椭圆⎩⎨⎧（为参数）上，则x+2y 的取值范围为（）A ．(-∞,22)B ．[22, +∞)C ．[-22,22]D ．(-∞, -22](2010山东卷理)函数xx x xe e y e e--+=-的图像大致为( ).若函数f(x)= 2x+12x-a 是奇函数，则使f(x)＞ cx3成立的x 的取值范围为（ ） A ．(-∞, -1) B ．(-1, 0) C ．(0, 1) D ．(1, +∞) 填空题（共4题，每5分，共20分） 在极坐标系中，过圆的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为 ．命题“3mx2＋mx ＋1＞0恒成立”是真命题，则实数m 的取值范围是_______． 已知函数f(x)的定义域为[0,3]，则函数f(3x ＋6)的定义域是________．设函数f(x)=x3+3x2+1，已知a≠0，且f(x)- f(a)=(x-b)(x-a)2，x ∈R ，则实数a=，b = 。
重庆市第十一中学2018-2019学年高二4月月考数学(文)试题Word版含答案
重庆市第十一中学2018-2019学年高二4月月考数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}{}1,2,3,4,|14A B x R x ==∈<≤，则A B ⋂=（ ） A ．{}1,2,3,4 B ．{}2,4 C ．{}2,3,4 D ．{}|14x x <≤2.复数z 满足()12i z i +=，则复数z 在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3.设命题:p 任意0x >，都有20x x +≥，则非p 为（ ）A ．存在0x >，都有20x x +≥B ．存在0x >，都有20x x +<C ．任意0x ≤，都有20x x +<D ．任意0x ≤，都有20x x +≥4.若点P 的支教坐标为(，则它的极坐标可以是（ ）A ．2,3π⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭5.已知向量()(),2,3,1m a n a =-=-，且m n ，则实数a =（ ） A ．1 B ． 6 C ． 2或1 D ．26.从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（ ）A ．13B ．12C ．23D ．567.（原创）如图，AB 是圆的直径，ABCD 是圆内接四边形，,40,BD CE AEC BCD ∠=︒∠=则（ ）A ．160︒B ．150︒C ．140︒D ．130︒8.设等比数列{}n a 的公比12q =，前n 项和为n S ，则33Sa =（ ） A ．5 B ．7 C ． 8 D ．159.阅读如图所示的程序框图，则输出的S =（ ） A ．14 B ．20 C ．30 D ．5510.函数()()sin 03f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭相邻两个对称轴的距离为2π，以下哪个区间是函数()f x 的单调减区间（ ）A ．,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．5,26ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12.（原创）已知函数()211xme f x x x =-++，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x ≥，则实数m的取值范围为（ ）A ．32137,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．32137,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．273,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．273,e e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.（原创）若1tan 2θ=，则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ . 14.（原创）若实数x 满足不等式31x -≥，则x 的取值范围为 . 15.（原创）若直线210ax y ++=垂直平分圆22220x y x ay +-+=的一条弦，则a = .16.若数列{}n a 满足3215334n a n n m =-++，若数列的最小项为1，则m 的值为 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足：3577,26a a a =+=，{}n a 的前n 项和为n S . （1）求n a 和n S ；（2）求数列1n S n ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭前n 项和为n T .18（原创）（本小题满分12分）在一次数学考试中，第22,23,24题为选做题，规定每位考生必须且只须在其中选做一题，按照以往考试的统计，考生甲，乙的选做各题的概率如下表所示.（1）求甲，乙两人都选做第23题的概率； （2）求甲，乙两人选做不同试题的概率.19.（原创）（本小题满分12分）在ABC 中，角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且满足()2cos sin 2c b A a B π⎛⎫-=-⎪⎝⎭. （1）求角A 的大小；（2）若2a =，且ABC ,b c .20.（原创）（（本小题满分12分）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为(),0F c -，其上顶点为()0,B b ，直线BF 与椭圆的交点为A ，点A 关于x 的对称点为C .（1）若点C 的坐标为32⎛- ⎝⎭，且1c =，求椭圆的方程；（2）设点O 为原点，若直线OC 恰好平分线段AB ，求椭圆的离心率. 21.（原创）（本小题满分12分）已知函数()()1ln ,1a x f x x a R x -=-∈+. （1）若2a =，求证：()f x 在()0,+∞上为增函数；（2）若不等式()0f x ≥的解集为[)1,+∞，求实数a 的取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，设D 是弦AB 延长线上一点，且2AB BD =，过D 作圆的切线于E ，若C 为线段AB 的中点，连结EC 交圆于点F ，若BC =. （1）求证：EC ED =； （2）求证：AE ED ⊥23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为12x ty t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以该支教坐标系的原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆2C 的方程为2cos ρθθ=-+. （1）求直线1C 、圆2C 的普通方程；（2）设直线1C 和圆2C 的交点为,A B ，求弦AB 的长. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式21x m x -≤+的解集为[]1,5.（1）求m 的值；（2）若实数,a b 满足a b m +=，求22a b +的最小值.重庆市第十一中学2018-2019学年高二4月月考数学（文）试题答案一、选择题:CABCD CDBCB AD二、填空题：13. 3 14.4,2x x ≥≤ 15. 1 16.13三、解答题则甲，乙选做同一道的概率为49，甲乙选做不同试题的概率为59. 19.⑴()2cos sin 2c b A a B π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⇒-=()12sin cos sin ,cos ,0,23C A A B A A A ππ=+∴=<<∴=；⑵1sin 42S bc A bc ===①，利用余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-即228b c =+②，联立①②，解得：2b c ==.20.⑴（法一）：2a a ==⇒=（法二）()422222229119114*********b b b a b b b a b ⎧+=⎪⇒+=⇒--=⇒=⎨+⎪-=⎩椭圆的方程为22132x y +=； ⑵（法一）直线BF 的方程为：by x b c=+，代入椭圆可得：()()222222212222221200,x c x a c a c x a cx x x a c a c++=⇒++=⇒==-+，从而可得3222b y a c =-+，则点C 为2322222,a c b a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则直线OC 的方程为322b y x a c =-，线段AB 的中点为222222,a c bc a c a c ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则有232222222222bc b a c b c a c a c a c =⋅⇒=++2233a c e ⇒=⇒= （法二）：设点()00,A x y ，则00b y x b c =+，点，()00,C x y -，则直线OC 的方程为00yy x x =- 线段AB 的中点为00,22x b y +⎛⎫⎪⎝⎭，则有00000032222b y y x b y x c x +=-⋅⇒=-⇒=- 点3,22b A c ⎛⎫-- ⎪⎝⎭代入椭圆方程可得22911443c e a +=⇒=.21.易知：()()()()2'222111211x a x a f x x x x x +-+=-=++ ⑴()()()()22'221212011x x x a f x x x x x --+=⇒==≥++，当且仅当1x =时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数； ⑵()()()2'2211,01x a x fx x x x +-+=>+，注意到()10f =①当1a ≤时，则()()()2'221101x a x f x x x +-+=>+，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意；②当12a <≤时，则()2420a a ∆=-≤，则()()()2'221101x a x fx x x +-+=≥+，当且仅当2,1a x ==时，取等号，则()f x 在()0,+∞上为增函数；显然适合题意； ③当2a >，则()2420a a ∆=->，()()()2'221101x a x fx x x +-+==+有两个实根1211x a x a =-=-+，且()1201,11x a x a <<-<->，则()f x 在(][)120,,,x x +∞上增函数，在()12,x x 上减函数；()121,x x ∈，()10f =，显然不适合题意，综上：2a ≤.22.证明：⑴设BC x =，则,AC BD BC x CF ====，易得：2223;DE BD AD x DE EC CF BC AC x =⋅=⇒=⋅=⋅=23EC x BC AC x EC DE EC ⇒⋅=⋅=⇒=⇒=； ⑵DE EC =，点B 为中点EB BD EA ⇒⊥⇒为直径，ED 为切线AE ED ⇒⊥.23.⑴1C 的普通方程为10x y -+=，圆()(222:14C x y ++=；⑵圆心为(-AB =⇒= 24.⑴12113m x m x x m --≤+⇔≤≤+，则13415m m m -=⎧⇒=⎨+=⎩ ⑵()22216822a b a b ++≥≥=，当且仅当a b =时，取等号，22a b +的最小值为8.。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(文)试卷 (Word版含答案)
2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数学试题卷（文科） 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2log 0A x x =<，1|33xB x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则A B = （ ）A ．{|11}x x -<<B ．{|01}x x <<C ．{|0}x x >D ．R2.复数2431i i i i++=-（ ） A ．1122i -- B ．1122i -+ C ．1122i - D ．1122i + 3.已知等差数列{}n a 的通项公式为n a ，且满足11a =，121n n a a n ++=+，则10S =（ ） A ．45 B ．95 C ．110 D ．55 4.已知函数()(1)()f x x ax b =-+为偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则()0f x <的解集为（ ）A ．(,1)(0,1)-∞-⋃B ．(,1)(1,)-∞-⋃+∞C ．(1,1)-D ．(1,0)(1,)-⋃+∞5.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为3，焦点到渐近线的距离为曲线的焦距等于（ ）A ．3B ．．2 D ．66.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆弧，则该几何体的体积为（ ）A ．32643π-B ．648π-C ．16643π-D ．8643π-7.如图程序中，输入ln 2x =，3log 2y =，z = ）A ．xB ．yC ．zD ．无法确定 8.函数()cos f x x x =的导函数'()f x 在区间[,]ππ-上的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 9.已知函数()1xf x x =-. 命题1p ：()f x 的值域是()(),11,-∞⋃+∞；命题2p ：()f x 在()(),11,-∞⋃+∞单调递减. 则在命题1q ：12p p ∨；2q ：()()12p p ⌝∧⌝；3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ∧⌝中，真命题是（ ）A ．1q ，3qB ．1q ，4qC ．2q ，3qD ．2q ，4q 10.对任意实数x 都有(4)()2(2)f x f x f ++=，若(2)f x -的图象关于(2,0)成中心对称，(1)3f =，则(2017)(2018)f f +=（ ）A ．0B ．3C ．6D ．3-11.对于实数a 、b 、m ，下列说法：①若22am bm >，则a b >；②若a b >，则a a bb >；③若0b a >>，0m >，则a m ab m b+>+；④若0a b >>且ln ln a b =，则2a b +的最小值是 ）A ．1B ．2C ．3D ．4 12.已知函数()ln a f x x x x =+，32()5g x x x =-++，若对任意的121,,22x x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有12()()0f x g x -≤成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(],24ln2-∞-B ．(],1-∞C ．1124ln 2,ln 224⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ D ．11,ln 224⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，则(2)f = ． 14.已知曲线ln y x x =的一条切线为2y x b =+，则实数b 的值为 ．15.通常，满分为100分的试卷，60分为及格线.若某次满分为100分的测试卷，100人参加测试，将这100人的卷面分数按照[)24,36，[)36,48，…，[]84,96分组后绘制的频率分布直方图如图所示.由于及格人数较少，某位老师准备将每位学生的卷面得分采用“开方乘以10取整”的方法进行换算以提高及格率（实数a 的取整等于不超过a 的最大整数），如：某位学生卷面49分，则换算成70分作为他的最终考试成绩，则按照这种方式，这次测试的及格率将变为 ．（结果用小数表示）16.已知定义在R 上的函数22,()2,x x a f x x x a⎧-≥=⎨+<⎩，若()(20182)xg x f a =+-有零点，则实数a 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共70分.17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且si n s i n ()s i n a A b B c b c=+-.（1）求A 的大小；（2） 若sin 2sin B C =，a =ABC ∆的面积.18.近年来，某地区积极践行“绿水青山就是金山银山”的绿色发展理念，2012年年初至2018年年初，该地区绿化面积y （单位：平方公里）的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，预测该地区2022年年初的绿化面积.（附：回归直线的斜率与截距的最小二乘法估计公式分别为：1221ni ii nii x y nx yb xnx==-⋅=-∑∑ ， ay bx =- .其中71134.4i ii x y==∑）19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AB CD ，60BAD ∠=︒，2AB AD =，AP BD ⊥.（1）证明：平面ABD ⊥平面PAD ；（2）若PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，1AD =，PA PD =，求点C 到平面PAB 的距离.20.已知动点M 到定点1(0,)2F 的距离与M 到定直线12y =-的距离相等. （1）求点M 的轨迹C 的方程；（2）直线l 交C 于A ，B 两点，2OA OB k k ⋅=-且OAB ∆的面积为16，求l 的方程.21.设函数2()ln f x x ax ax =-+，a 为正实数.（1）当2a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （2）求证：1()0f a≤；（3）若函数()f x 有且只有1个零点，求a 的值.选考题：请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，圆C 的普通方程为2246120x y x y +--+=.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin()4πρθ+=（1）写出圆C 的参数方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴和y 轴的交点分别为A 、B 、P 为圆C 上的任意一点，求PA PB ⋅的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()22f x x a a =++，a R ∈.（1）若对于任意x R ∈，()f x 都满足()(3)f x f x =-，求a 的值； （2）若存在x R ∈，使得()21f x x a ≤--+成立，求实数a 的取值范围.2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数学参考答案（文科）一、选择题1-5: BCDBD 6-10: CAABB 11、12：CA 二、填空题13. 0 14. e - 15. 0.82 16. ()4,+∞ 三、解答题17.3A π=，4b =，2c =，S =18.（1）4t =， 4.3y =，0.5b= ， 2.3a =， 线性回归方程为 0.5 2.3y t =+.（2）将2022年年号11代入，预测绿化面积为7.8平方公里. 19.解：（1）证明：在ABD ∆中，由余弦定理得2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠，∵60BAD ∠=︒，2AB AD =，∴222422cos60BD AD AD AD AD =+-⋅⋅︒23AD =，∴222AB AD BD =+，即BD AD ⊥.又∵AP BD ⊥，AD AP A = ， ∴BD ⊥平面PAD . ∵BD ⊂平面ABD ， ∴平面ABD ⊥平面PAD .（2）解：取AD 的中点O ，连接PO ，BO ， ∵PA PD =，∴PO AD ⊥.由（1）知平面ABD ⊥平面PAD ，交线为AD ，∴PO ⊥平面ABD ，由1AD =，得2AB =，BD ，2OB =，∵PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，∴60PAO ∠=︒，得OP =，∴2PB =，1PA =. ∵//AB CD ，∴//CD 平面PAB ，故点C 到平面PAB 的距离即为点D 到平面PAB 的距离d ，在三棱锥P ABD -中，D PAB P ABD V V --=，即11132d ⨯⨯111322=⨯⨯，求得5d =，∴点C 到平面PAB 的距20.解：（1）由抛物线定义可知，M 的轨迹方程是：22x y =.（2）直线l 的斜率显然存在，设直线l ：y kx b =+，211(,)2x A x ，222(,)2x B x ， 由22y kx bx y=+⎧⎨=⎩得：2220x kx b --=，122x x k +=，122x x b =-，由121212242OA OB y y x x b k k x x ⋅=⋅==-=-，∴4b =， ∴直线方程为：4y kx =+，所以直线恒过定点(0,4)R ，∴121162AOB S OR x x ∆=⨯⨯-=，∴128x x -=， 即21212()464x x x x +-=，∴243264k +=，28k =，k =±所以直线方程为：4y =±.21.解：（1）当2a =时，2()ln 22f x x x x =-+，则1'()42f x x x=-+，所以'(1)1f =-， 又(1)0f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为10x y +-=. （2）因为111()ln1f a a a =-+，设函数()ln 1g x x x =-+，则11'()1x g x x x-=-=， 令'()0g x =，得1x =，列表如下：所以()g x 的极大值为(1)0g =.所以()ln10f aa a=-+≤. （3）2121'()2ax ax f x ax a x x--=-+=-，0x >，令'()0f x >x <<0<，所以()f x 在(0,4a a 上单调增，在()4a a ++∞上单调减.所以()(4a f x f a≤.设0x =()f x 只有1个零点，而(1)0f =，所以1是函数()f x 的唯一零点.当01x =时，()(1)0f x f ≤=，()f x 有且只有1个零点，此时14a a+=，解得1a =.下证，当01x ≠时，()f x 的零点不唯一.若01x >，则0()(1)0f x f >=，此时14a a>，即01a <<，则11a >.由（2）知，1()0f a <，又函数()f x 在以0x 和1a为端点的闭区间上的图象不间断， 所以在0x 和1a之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意；若01x <，则0()(1)0f x f >=1<，即1a >，则101a <<.同理可得，在1a和0x 之间存在()f x 的零点，则()f x 共有2个零点，不符合题意. 因此01x =，所以a 的值为1.22.解：（1）圆C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）.直线l 的直角坐标方程为20x y +-=.（2）由直线l 的方程20x y +-=可得点(2,0)A ，点(0,2)B .设点(,)P x y ，则(2,)(,2)PA PB x y x y ⋅=--⋅--22222412x y x y x y =+--=+-.由（1）知2cos 3sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则4sin 2cos 4PA PB θθ⋅=++ )4θϕ=++.因为R θ∈，所以44PA PB -⋅≤+23.解：（1）因为()(3)f x f x =-，x R ∈，所以()f x 的图象关于32x =对称. 又()222af x x a =++的图象关于2a x =-对称，所以322a -=，所以3a =-.（2）()21f x x a ≤--+等价于2210x a x a ++-+≤.设()221g x x a x a =++-+，则min ()(2)(21)g x x a x a =+--+1a a =++. 由题意min ()0g x ≤，即10a a ++≤.当1a ≥-时，10a a ++≤，12a ≤-，所以112a -≤≤-； 当1a <-时，(1)0a a -++≤，10-≤，所以1a <-，综上12a ≤-.。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文)试题
【全国百强校】重庆市第一中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}1,0,1,0,1,2,3A B =-=，则AB =（ ） A ．[]1,2- B ．[]0,1C ．{}0,1D ．{}1,0,1,2,3- 2．已知复数z 满足34zi i =-+，则z =（ ）A ．34i -B ．43i +C ．34i +D ．43i -+3．函数()f x =（ ） A ．()0,∞+ B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ C ．[)0,+∞ D ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭4．在等差数列{}n a 中，131,4a a ==，则5a =（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．设x ∈R ，则“3x >”是“21x ≥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞7．若a ≥22213x y a -=的离心率的取值范围是（ ）A ．⎫+∞⎪⎪⎣⎭B ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭C ．⎛ ⎝⎦D ．⎛ ⎝⎭8．已知函数(21)43f x x -=+，且()6f t =，则(t = )A ．12B ．13C ．14D ．159．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．9142π+B ．122π+C ．123π+D ．3123π+ 10．规定：对任意的各位数字不全相同的三位数，若将各位数字按照从大到小、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“和谐数”；若将各位数字按照从小到大、从左到右的顺序排列得到的三位数，称为原三位数的“新时代数”.如图，若输入的792a =，则输出的n 为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．511．若直线()300,0ax by a b --=>>被圆224240x y x y +-+-=所截得的弦长为6，则11a b+的最小值为（ ）A ．1+B ．32+C ．13+D ．13+ 12．定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，对任意的(]12,,0x x ∈-∞，且12x x ≠，均有()()12120f x f x x x ->-.若关于x 的不等式()()()33ln 2223ln 2f tx x f f x tx --≥+-+对任意的21,x e ⎡⎤∈⎣⎦恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A ．2310,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．296,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．3,3e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．266,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．函数()[]21,1,21f x x x =∈+的值域是__________． 14．函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且恒有()()2f x f x +=-，则()2018f =___．15．重庆一中开展的“第十届校园田径运动会”中，甲、乙、丙、丁四位同学每人参加了一个项目，且参加的项目各不相同，这个四个项目分别是：跳高、跳远、铅球、跑步.下面是关于他们各自参加的活动的一些判断：①甲不参加跳高，也不参加跳远；②乙不参加跳远，也不参加铅球；③丙不参加跳高，也不参加跳远；④如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.已知这些判断都是正确的，则乙参加了__________．16．设函数()2,031,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨+>⎩，若函数()f x 有且仅有一个零点，则实数a 的取值范围是__．三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，其面积为S .已知222a c b +-=.（1）求B ；（2）若2S a ==，求ABC ∆的周长.18．我校高二年级共2000名学生，其中男生1200人.为调查学生们的手机使用情况，采用分层抽样的方法，随机抽取100位学生每周平均使用手机上网时间的样本数据（单位：小时）.根据这100个数据，得到学生每周平均使用手机上网时间的频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间分别为[](](](](](]0,2,2,4,4,6,6,8,8,10,10,12.（1）应收集男生、女生样本数据各多少人？（2）估计我校高二年级学生每周平均使用手机上网时间超过4小时的概率.（3）将平均每周使用手机上网时间在(]4,12内定义为“长时间使用手机”，在[]0,4内定义为“短时间使用手机”.在样本数据中，有25名学生不近视.请完成下列2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”.附：()()()()()22,n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥面,2ABCD PA AB ==，点E 为线段AB 上异于,A B 的点，连接CE ，并延长CE 和DA 交于点F ，连接,PE PF .（1）求证：面PAD ⊥面PCD ；（2）若三棱锥F PCD -的体积为2，求PE 的长度.20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的焦距为. （1）求椭圆的标准方程；（2）椭圆C 的上、下顶点分别为A B 、，点M 是椭圆上异于,A B 的任意一点，MN y ⊥轴于点N ，2MN EN =，直线AE 与直线y =交于点D ，点G 为线段BD 的中点，点O 为坐标原点，求证：·OE EG 恒为定值，并求出该定值.21．已知函数()22ln 2,f x x x kx k R =+-∈. （1）当1k =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程；（2）若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <.①求k 的取值范围；②求证：()23f x <-.22．（选修4-4：极坐标与参数方程） 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2232cos 1ρθ=+. （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求MON ∆的面积.23．已知函数()211f x x m x =--++，其中()0,15m g x x >=++.（1）当1m =时，求关于x 的不等式()5f x ≥的解集；（2）若对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数m 的取值范围.参考答案1．C【解析】分析：找出两个集合中的公共元素即可.详解：{}0,1A B =，故选C .点睛：本题考察集合的交运算，属于基础题.2．B【解析】分析：把复数z 写成34i z i -+=，利用复数的除法化简即可. 详解：3443i z i i-+==+，故选B . 点睛：本题考察复数的四则运算，属于基础题.3．C【解析】分析：解不等式210x -≥即得函数的定义域.详解：由210x -≥可以得到0x ≥，故定义域为[)0,+∞，故选C .点睛：本题考察函数的定义域，一般地，函数的定义域须从四个方面考虑：（1）分母不为零；（2）偶次根号下非负；（3）对数的真数大于零，底数大于零且不等于1；（4）零的零次幂没有意义.4．B【解析】分析：观察下标的特点，因1,3,5成等差数列，则有135,,a a a 成等差数列，故可求5a 的大小. 详解：因为1532a a a +=，故57a =，故选B .点睛：一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质：（1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+；（2）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.5．A【解析】 分析：若3x >，则根据不等式的性质有21x ≥成立，但21x >推不出3x >，据此判断充分必要性.详解：当3x >时，291x >>，取2x =，则241x =>，当23<，故“3x > ”是“21x > ”的充分不必要条件，故选A.点睛：充分性与必要性的判断，可以依据命题的真假来判断，若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的充分不必要条件；若“若p 则q ”是真命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的充分必要条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是真命题，则p 是q 的必要不充分条件；若“若p 则q ”是假命题，“若q 则p ”是假命题，则p 是q 的既不充分也不必要条件.6．D【解析】由228x x -->0得：x ∈(−∞,−2)∪(4,+∞)，令t =228x x --，则y =ln t ，∵x ∈(−∞,−2)时,t =228x x --为减函数；x ∈(4,+∞)时,t =228x x --为增函数；y =ln t 为增函数，故函数f (x )=ln(228x x --)的单调递增区间是(4,+∞)，故选D.点睛：形如()()y f g x =的函数为()y g x =,()y f x =的复合函数，() y g x =为内层函数,()y f x =为外层函数. 当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单增；当内层函数()y g x =单增，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单增时，函数()()y f g x =也单减； 当内层函数()y g x =单减，外层函数()y f x =单减时，函数()()y f g x =也单增. 简称为“同增异减”.7．C【解析】分析：用含a 的解析式表示双曲线的离心率，求此函数在)+∞上的值域即可.详解：离心率e ===因为a ≥235112a <+≤，故1e <≤，故选C . 点睛：离心率范围的计算，关键在于构建,,a b c 的不等式关系.此题中b 为定值，a 为变量，只需构建离心率与a 的函数关系并求出函数的值域即可.8．A【分析】由换元法求出函数()f x 的解析式，令函数值为6，解出t 值即可．【详解】令21x u -=，则12u x +=， 由(21)43f x x -=+， 可得1()43252u f u u +=⨯+=+， 则()256f t t =+=， 解得12t =， 故选：A ．【点睛】本题考查函数解析式的求法，属于基础题．9．D【解析】 分析：根据三视图可以得到几何体为34个圆柱和一个三棱锥组合而成，分别计算各自体积即可. 详解：几何体为如图所示的组合体，它由34个圆柱和一个底面是等腰直角三角形的三棱锥组成，其体积为311311221143223ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+，故选D .点睛：本题考察三视图，要求依据三视图复原几何体，注意复原前后点、线、面的对应关系. 10．B【解析】分析：从流程图上看，算法是计算两个数的差，只要两个数的差为495就终止循环，输出n ，因此只要逐步计算差可得n 的值.详解：执行第一次判断时，972279693a =-=；执行第二次判断时，963369594a =-=；执行第三次判断时，954459495a =-=，此时3n =，故选B .点睛：本题考查流程图，要求能看懂流程图并能进行一些简单的计算，解决此类问题时应注意在流程图中选择一个点（如此题中的判断前），逐步计算各变量在此点处的值，再对照判断条件决定是否终止循环.11．D【解析】分析： 先求出圆的半径为3，因此直线必过圆心，故23a b +=，所以111233b a a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可求11a b+的最小值. 详解：圆心为()2,1-，半径为3，因此弦长为6，故直线过圆心，所以23a b +=.又()11111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2b a a b +≥62a -=，3b =时等号成立，故11a b +的最小值为13+.故选D . 点睛：二元等式或不等式条件下的二元代数式的最值问题，可用基本不等式来求解，但需要对原有代数式适当变形，凑成和为定值或积为定值的代数结构，注意需要验证等号成立的条件是否满足. 12．A 【解析】分析：根据()f x 为偶函数可把原不等式化成()()3ln 22f tx x f --≥，再根据()()12120f x f x x x ->-得()f x 在(),0-∞上是增函数，故()f x 在[)0,+∞上是减函数，从原不等式可进一步化为3ln 22tx x --≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，参变分离后得3ln 43ln x x t x x+≤≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，利用导数分别求两个函数的最大值、最小值即可. 详解：因为()()f x f x -=，故()f x 为R 上的偶函数且原不等式可化为()()3ln 22f tx x f --≥① ，又不妨设120x x <<，则()()12f x f x <，故()f x 在(),0-∞上是增函数，所以()f x 在[)0,+∞上是减函数，故①可化为3ln 22tx x --≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立， 所以23ln 22tx x -≤--≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立，也就是3ln 43ln x x t x x+≤≤在21,e ⎡⎤⎣⎦上恒成立.令()3ln xg x x =，则()()231ln 'x g x x -=， 当()1,x e ∈时，()'0g x >，故()g x 为增函数； 当()2,x e e ∈时，()'0g x <，故()g x 为减函数，所以()max3g x e=. 令()43ln x h x x +=，则()()22343ln 3ln 1'x x h x x x -++==-， 当()2x e ∈1,时，()'0h x <，故()h x 为减函数，所以()2min 10h x e=. 综上，2310t e e≤≤，故选A . 点睛：函数的单调性可用不同的代数形式来体现：如在区间D 上，当1212,,x x x x D ≠∈，总有()()12120f x f x x x ->-（或()()()12120f x f x x x ⎡⎤-->⎣⎦），则()f x 在区间D 上是增函数.另外，不等式()()f x g x <在D 上恒成立等价于()()()()f x g x f x g x ⎧<⎪⎨>⎪⎩在D 上恒成立，而()()0f x g x >≥在D 上恒成立等价于()()f x g x <-在D 上恒成立或在()()f x g x >在D 上恒成立.13．11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】分析：根据自变量的范围求21x +的取值范围即可． 详解：因为[]1,2x ∈，所以2215x ≤+≤，故()1152f x ≤≤，故()f x 的值域为11,52⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 点睛：本题考察函数值域的求法，属于基础题． 14．0 【解析】分析：根据()()2f x f x +=-得到()f x 的周期为4且()()200f f -==，故()()201820f f =-=．详解：()()()()42f x f x f x f x +=-+=--=⎡⎤⎣⎦，故()f x 是周期函数且周期为4，故()()20182f f =-，又()()()2222f f f -+=--=， 而()00f =，所以()00f =，故()20180f =．点睛：一般地，若()()f x a f x +=-（0a ≠），则()f x 为周期函数且周期为2T a =；若()()1f x a f x +=，则()f x 为周期函数且周期为2T a =． 15．跳高【解析】分析：就甲是否参加跑步分类讨论即可．详解：如果甲参加跑步，则乙参加跳高，丙参加铅球，丁参加跳远；如果甲不参加跑步，则甲参加铅球，丙参加跑步，乙参加跳高，丁参加跳远，与④矛盾．故乙参加了跳高． 点睛：本题为推理题，分析时应关注关键语句，如本题中的“如果甲不参加跑步，则丁也不参加跳远.” 16．(]0,1 【解析】分析：因当0x >时，()1f x >，故只要考虑在(],0-∞上()f x 有一个零点，注意此时()f x 为减函数且()1a f x a -≤<，故由10a a -≤⎧⎨>⎩ 可得a 的取值范围． 详解：因为当0x >，()1f x >，故()f x 在()0,∞+上没有零点，所以()f x 在(],0-∞有且仅有一个零点．又当0x ≤时，()1a f x a -≤<，所以10a a -≤<，故01a <≤．点睛：判断函数的零点个数，应先考虑函数的单调性、函数的极值等，必要时需刻画函数的图像，注意考虑函数图像的渐进线．17．(1) 6B π= (2) 4+【解析】分析：（1）利用余弦定理和面积的计算公式得到tan B 的值即可.（2）由面积及（1）的B 可求得c ，再根据余弦定理求出b 后可求周长.详解：（1）2222221sin 2a cb ac b ac B +-=⇒+-= 2222a c b B ac+-⇒=，∴tan B =.又∵()0,B π∈，∴6B π=.（2）1sin 2S ac B c ==⇒=2222cos 42b a c ac B b =+-=⇒=，所以，ABC ∆的周长为4a b c ++=+点睛：三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量. （1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）； （3）如果知道两角及一边，用正弦定理.18．(1)60人，40人，(2)0.75(3) 有99.5%的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”. 【解析】分析：（1）高二年级男女生之比为3:2，故按比例抽取的男生人数为60，女生人数为40.（2）用样本中的频率代替概率，计算上网时间小于4的频率（也就是概率）可得上网时间不少于4小时的概率.（3）根据（2）的概率得到百人中长时间上网的人数为75，从而可得表中缺省的各数据.通过计算2κ的值来判断使用手机上网时间与近视的相关程度. 详解：（1）男生人数：1200100602000⨯=（人），女生人数：800100402000⨯=（人）； （2）学生每周平均使用手机上网时间超过4小时的概率()120.0250.10.75P =-⨯+=；（3）由（2）问可知，(]4,12的人数为75人，[]0,4的人数为25人.则2×2列联表如下：()221006515101021.7787.87975257525κ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，故有99.5%的把握认为“学生每周使用手机上网时间与近视程度有关”. 点睛：（1）分层抽样就是按比例抽样，而系统抽样是先分组再按规则抽取.（2）通过频率分布直方图计算频率时，注意频率是矩形的高与组距的乘积. （3）两类变量的相关程度取决于2κ的大小.19．(1)见解析(2) 【解析】分析：（1）由PA ⊥平面可以得到PA CD ⊥，从而可证CD ⊥平面PAD ，由此即得面面垂直.（2）F PCD P CDF V V --=，注意P 到平面FCD 的距离为2PA =，从而利用体积得到FCD ∆的面积，也就得到了FA 的长度，再根据三角形相似得到AE 的长，在直角三角形PAE 中根据勾股定理得到AE 的长.详解：（1）因为PA ⊥面,ABCD CD ⊂面ABCD ，所以CD PA ⊥，又因为四边形ABCD 是正方形，所以CD AD ⊥，又PA AD A ⋂=， 所以CD ⊥面PAD ，又CD ⊂面PCD ，所以面PAD ⊥面PCD ； （2）因为11123332F PCD P FCD FCD V V S PA CD FD PA FD --∆===⨯⨯⨯⨯=⇒=. 又因为FAEFDC ∆∆，则23FA AE AE FD DC =⇒=，于是在Rt PAE ∆中，3PE ==. 点睛：面面垂直的判定可归结为线面垂直，证明时注意线线垂直、线面垂直及面面垂直关系的转化.三棱锥体积的计算应注意选择合适的底面，以顶点到该面的距离容易计算为宜.20．(1) 22142x y += (2)见解析【解析】分析：（1）根据题设条件直接得到c =,a b 的值.（2）可设()()000,0M x y x ≠，则由2MN EN =得到E 的坐标，再根据直线AE 的方程得到D 坐标，通过中点坐标公式得到G 的坐标，最后计算OE EG 并利用M 在椭圆上化简该式可得定值.详解：（1）由题意2222a a b b a ⎧=-=⎧⎪⎪⇒⎨⎨==⎪⎪⎩⎩22142x y +=；（2）设点()()000,0M x y x ≠，则由题意()0000,,,2N y E x y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.因为点M 在椭圆上，所以2222000014242x y x y +=⇒=-， 由（1）知，(A，所以002:AB l y x x -=令y =D ⎛.又∵(0,B，∴G ⎛.于是00002,,,22x OEy EG y ⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎭，()220000002·22xOE EG y y y ⎛⎫=⨯-+⨯=-=⎪⎪⎭2200202y y y y ---=-，所以0OE EG =，恒为定值.点睛：对于圆锥曲线中的定点定值问题，我们可通过设出椭圆上动点的坐标并用它来表示目标关系式，最后利用动点的横纵坐标满足的关系式化简前者得到定点或定值.21．(1) 23y x =- (2) ①()2,+∞，②见解析 【解析】分析：（1）求出()'1f ，它是切线的斜率，利用点斜式写出切线方程.（2）根据()()221x kx f x x-+'=得()f x 有两个极值点等价于210xkx -+=在()0,∞+有两个不同的根，利用判断式大于零得到k 的取值范围.要证明()23f x <-，需证明22222ln 23x x kx +-<-，但221k x x =+，故只要证明 2222ln 23x x --<-在()1,+∞上恒成立，可令()2222ln 2h x x x =-- ，通过导数讨论其单调性即可.详解：（1）当1k =时，()22ln 2f x x x x =+-，则()222f x x x'=+-， ∴()()11,12f f '=-=，∴()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()()121y x --=-，即23y x =-；（2）①函数()f x 的定义域为()0,∞+，且()()221222x kx f x x k x x-+'=+-=，因为函数()f x 有两个极值点12,x x ，所以()0f x '=有两个不同的正实根12,x x ， ∴210x kx -+=有两个不同的正实根12,x x ，∴212124002·10k x x k k x x ⎧∆=->⎪+=>⇒>⎨⎪=>⎩， 即k 的取值范围是()2,+∞.②由题意，210x kx -+=的两根为12,x x ，由韦达定理，1212,1x x k x x +==，其中1201x x <=<<=于是()()2222222221222222212ln 22ln 22ln 2f x x x kx x x x x x x x x x x ⎛⎫=+-=+-+=+-+ ⎪⎝⎭2222ln 2x x =--，令()()22ln 2,1,h x x x x =--∈+∞，则()()2210x h x x-'=<在()1,x ∈+∞上恒成立，即函数()h x 在()1,+∞上为减函数，又因为21>x ，所以()()213h x h <=-，即()23f x <-.点睛：曲线的切线的斜率是函数在切点横坐标处的导数.与函数极值的相关的不等式，往往需要利用极值点满足的方程消去不等式中的参数，再通过构建新函数来证明不等式成立.22．(1) 2213y x += (2) 34【解析】分析：（1）把曲线C 的极坐标方程化成()2223cos sin 3ρθθ+=，利用cos ,sin x y ρθρθ==可得其直角坐标方程.（2）把直线的参数方程改写为2212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩，利用t 的几何意义求出MN 的长度，再把直线的参数方程化为普通方程，计算O 到直线MN 的距离后可计算MON ∆的面积.详解：（1）因为()222232cos 132cos 1ρρθθ=⇒+=+， 所以曲线C 的直角坐标方程为2213y x +=；（2）将直线l的参数方程2212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）代入曲线C 的直角坐标方程，得250t +=，设,M N 两点对应的参数分别为12t t ，则1212?5t t t t +==，于是MN ==直线l 的普通方程为10x y +-=，则原点O 到直线l的距离2d ==， 所以1324MON S MN d ∆==. 点睛：极坐标方程转为直角坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，必要时需要对极坐标方程变形使得方程中尽量出现cos ,sin ρθρθ.另外在计算弦长时注意利用直线的参数方程00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩ （α为直线的倾斜角，t 为参数）来简化计算，因为t 的几何意义是(),P x y 、()000,P x y 之间的距离. 23．(1) 37,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ (2) 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）利用零点分段讨论可得不等式的解.（2）因为对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，故()f x 的值域为()g x 的子集，故可求得实数m 的取值范围. 【详解】（1）当1m =时，()22,3314,1322,1x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-++=-<<⎨⎪-+≤-⎩，由()5f x ≥得3225x x ≥⎧⎨-≥⎩或1345x -<<⎧⎨≥⎩或1225x x ≤-⎧⎨-+≥⎩，解得72x ≥或32x ≤-，所以，解集为37,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）设(){}(){}|,|A y y f x B y y g x ====，则由题意A B ⊆，又∵()()()()211211|22,5f x x m x x m x m g x =--++≥---+=+≥，∴225m +≥，解得32m ≥， 因此，实数m 的取值范围是3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【点睛】含绝对值符号的不等式，通常可通过讨论绝对值内代数式的符号来求解不等式（也就是零点分段讨论法）.对于形如“对任意的1x R ∈，都有2x R ∈，使得()()12f x g x =成立”题设条件，要能合理转化两个函数的值域的关系，类似地，还有“对任意的1x R ∈，都有唯一的2x R ∈，使得()()12f x g x =成立”，它可转化()f x 的值域是()g x 的值域的子集且()g x 是单调函数.。
2017-2018学年重庆一中高二上学期期中考试数学(理)试题Word版 含答案
2017-2018学年重庆一中高二上学期期中考试数学（理）试题一、单选题1．已知命题:p x R ∃∈， 210x x -+>，则（ ）A. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+≤B. :p x R ⌝∃∈， 210x x -+<C. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤D. :p x R ⌝∀∈， 210x x -+<【答案】C【解析】 命题:p x R ∃∈， 210x x -+>的否定是特称命题，故可知其否定为 :p x R ⌝∀∈， 210x x -+≤故选C2．“0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】方程221mx ny +=转化为221x y m n +=表示焦点在x 轴上的椭圆 则110m n>>，即0n m >> ∴ “0mn >”是“方程221mx ny +=表示焦点在x 轴上的椭圆”的必要不充分条件 故选B3．若球的体积与其表面积数值相等，则球的大圆面积等于（ ）A. πB. 3πC. 6πD. 9π【答案】D【解析】由题意得： 32443R R ππ= 3R ∴=则球的大圆面积等于9π故选D4．若双曲线以2y x =±为渐近线，且过(1,A ，则双曲线的方程为（ ） A. 2214y x -= B. 2214y x -= C. 221164x y -= D. 221164y x -= 【答案】D【解析】(1)若焦点在x 轴上，则22221x y a b-=由题意得： 221201{ 2a b b a-==，无解舍去 （2）若焦点在y 轴上，则22221y x a b-= 由题意得： 222011{ 2a b b a-==，解得2216{ 4a b == 故双曲线的方程为221164y x -= 故选D5．下列命题是真命题的是（ ）A. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”为真命题B. 命题“若8a b +≠，则2a ≠或6b ≠”的逆命题为真命题C. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否命题为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”D. 命题“若220x x -=，则0x =或2x =”的否定形式为“若220x x -≠，则0x ≠或2x ≠”【答案】A【解析】B ，逆命题为“若2a ≠或6b ≠，则8a b +≠”，当44a b ==，时， 8a b +=，故错误；C ，其否命题为“若220x x -≠，则0x ≠且2x ≠”，故错误；D ，其否定形式为“若220x x -=，则0x ≠且2x ≠”，故错误；故选A6．已知直线m n l 、、和平面,αβ，直线m ⊂平面α，下面四个结论：①若n α⊥，则n m ⊥；②若||,||n l αα，则||n l ；③若,||,||l n n αβαβ⋂=，则||n l ；④若,n n αβ⊥⊥，则||αβ；⑤若直线n l 、互为异面直线且分别平行于平面αβ、，则||αβ.其中正确的个数是（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】②中,n l αα ，则n l 错误，直线n ， l 可能是异面直线；⑤中， αβ 错误，根据面面平行的判定定理，要有两条相交线与面平行，才能证明； 故选C7．下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A. 8B. 16C. 32D. 48【答案】B【解析】由题意得：几何体如下图所示几何体为四棱锥，底面为直角梯形，梯形上底下底分别为42，，高为4 四棱锥的高为4 故该几何体的体积为()1142441632V =⨯⨯+⨯⨯= 故选B 8．直线40x y m ++=交椭圆22116x y +=于A B 、两点，若线段AB 中点的横坐标为1，则m =（ ）A. -2B. -1C. 1D. 2【答案】A【解析】40x y m ++= ， 144m y x ∴=-- 设()11A x y ，， ()22B x y ， 22112222116{ 116x y x y +=+=，两式相减， ()121212121164y y x x x x y y -+=-=--+ AB 中点的横坐标为1 则纵坐标为14将114⎛⎫⎪⎝⎭，代入直线144m y x =--，解得2m =- 点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交的性质的应用，要注意灵活应用题目中的直线的中点即直线的斜率的条件的表示，本题中设而不求的解法是处理直线与圆锥取消相交中涉及到斜率与中点时常用的方法，比较一般联立方程的方法可以简化基本运算。
重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学(理)试题Word版含答案
重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学（理）试题总分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
第I 卷（选择题60分）一．选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知{}n a 为等比数列，若1log 531-=a ，则=82a a （ ）A ． 6B ．9C ． 10D ．162.在△ABC 中，a 2-c 2+b 2=ab ，则角C 为（ ）A.45O或135OB ．60OC ．120OD ．30O3.已知a ,b ∈R ，且a >b ，则下列不等式中恒成立的是（ ） A. a 2>b 2B. lg (a －b)>0C. (21)a <(21)bD.ba>14. 已知向量(0 ,a =-， ()1 ,3b =，则向量a 在b 上的投影为（ ） A.3-B.3-C.3D.35.已知关于x 的一元二次不等式02>++c bx ax 的解集为{}32<<-x x ，则不等式02<+-a bx cx 的解集是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<3121x x x 或 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<2131x x x 或 C. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-3121x x D. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-2131x x6.由下面的条件能得出△ABC 为锐角三角形的是（ ）A ．51cos sin =+A A B ．0<⋅ C ．0)cos(cos cos <+B A B A D ．o 30,33,3===B c b7.设,24,0,0=++>>ab b a b a 则 （ ）A ．b a +有最大值8B ．b a +有最小值8C ．ab 有最大值8D ．ab 有最小值88. 已知数列{}n a 中，a 1=1，a 2=3，a n+2 +n a = a n+1 ，则=2014a （ ）A ．1-B ．1C ．2D ．39.在△ABC 中，AB=3，AC=2，BC=4，则CA AB ⋅=( ) A ．32 B ．23 C ．23- D ．32-10.已知整数对排列如下：（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），（1,5），（2,4）......则第60个整数对是( )A ． (5，11)B ．(11，5)C ． (7，5)D ．(5，7)11.锐角三角形ABC 中，内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若2B A =，则ba的取值范围是（ ）A. B.(1 C D. 12.已知正项等比数列，满足，则的最小值为（ ）A.9B.18C. 27D.36第II 卷（主观题90分）二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.） 13.设全集，集合，则_______.14. 若平面向量a 与b 满足:||2,||1a b ==,||7a b +=,则a 与b 的夹角为 .15.实数,x y 满足1002x y x y -+≤⎧⎪>⎨⎪≤⎩，则4y z x =-的最小值为_________.16.在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若2sin sin a b c B A+=,则A ∠的大小是_______.三、解答题（本大题共6小题,共70分.17-21题每题12分，22题10分） 17.(本小题12分.)已知等差数列{}n a 满足:3577,26.{}n a a a a =+=的前n 项和为.n S (Ⅰ)求n a 及n S ；(Ⅱ)令()nn S b n N n+=∈，求证：数列{}n b 为等差数列.18.（本小题满分12分.）已知平面内三个向量:(3,2),(1,2),(4,1).a b c ==-= （Ⅰ）若()//(2)a kc b a +-,求实数k 的值；（Ⅱ）设(,)d x y =,且满足()()a b d c +⊥-,||5d c -=，求d .19.(本小题12分.)设三角形ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，且B a b sin 332=，A 为锐角 (1)若a ＝3，6=b ,求角B ；(2)若c b c b c b S ABC ,,,,求323>=+=∆．20.(本小题12分.)设等差数列{}n a 的公差为1>d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知11b a =，22b =，q d =，10100S =．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； (2)记nn na cb =，求数列{}nc 的前n 项和n T ．21.（本小题满分12分.）如图,,A B是海面上位于东西方向相距5(3海里的两个观测点,现位于A 点北偏东045,B 点北偏西060的D 点有一艘轮船发出求救信号,位于B 点南偏西060且与B点相距C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为30海里/小时,则该救援船达到D 点需要多长时间？22．(本小题满分10分.) 已知函数()23kxf x x k=+()0k >（1）若()f x m >的解集为{|3,2}x x x <->-或，求不等式25302kmx x ++>的解集； （2）若存在03,x >使得()01f x >成立，求k 的取值范围.题21图重庆市2017-2018学年高一下学期期中考试数学（理）试题答案一、选择题：1.B2.B3.C4.A5.D6.C7.B8.A9.A 10.D 11.D 12.D 二、填空题13.14. 06015. 32-16.4π三.解答题17.解:(1)由题意有，112721026a d a d +=⎧⎨+=⎩132a d =⎧⇒⎨=⎩21,(2)n n a n S n n ⇒=+=+...................5分（2）(2)2n n S n n b n n n+===+，又12(1)1(n 2)n n b b n n --=+-+=≥，所以，数列{}n b 为等差数列...10分18.解:(1)因为(3,2)k(4,1)(34k,2k)a kc +=+=++，2(5,2)b a -=-，又()//(2)a kc b a +-，所以162(34k)5(2k)0k .13+++=⇒=-. ..................6分 （2）因为(2,4),(4,1)a b d c x y +=-=--，所以222(4)4(1)06202(4)(1)5x y x x y y x y -+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==-+-=⎩⎩⎩或. ...................11分 故(6,0)(2,2).d =或 ...................12分19.(本小题12分，第1小题6分，第2小题6分) 解：（1）由题得：B A B sin sin sin 332=，所以 23=A sin 3π=A再由正弦定理得：,sin 22=B 所以43或4ππ=B （舍） 6分注：本题也 可以直接得出,sin 22=B 又因为b a >，所以4π=B（2）由（1）得：3π=A ，分）9（234321===∆bc A bc S ABC sin所以2=bc ，又因为c b c b >=+,3分）12（12所以==c b ,20.（本小题12分，第1小题6分，第2小题6分）⎩⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==-21（舍）929解得：21004510）由题得：1解：（1111d a d a d a d a ,)(分6212故：1⎩⎨⎧=-=-n n n b n a )(,12122725231212）2（1321---+++++=-=n nn n n T n c 2345113579212222222n nn T -=++++++.②① -②可得221111212323222222n n nn n n T --+=++++-=-，故nT 12362n n -+=-.（12分）21.解:在ABD ∆中，0006045105ADB ∠=+=，由正弦定理可得:sin sin 45AB BDADB =∠，sin 45BDBD =⇒= ...................5分在BCD ∆中，060CBD ∠=，由余弦定理可知:2222cos CD BD CB BD CB CBD =+-⋅⋅⋅∠，即22202cos60900CD =+-⋅=，故30CD =....................10分所以130CDt ==（小时），救援船到达D 点需要1小时时间. ...........12分22. 解：解：⑴220()303kx k f x m m mx kx km x k>∴>⇔>⇔-+<+不等式230mx kx km -+<的解集为{|3,2}x x x <->-或∴3,2--是方程230mx kx km -+=的根，且m<0252365k k m m k =⎧⎧=-⎪⎪∴⇒⎨⎨=-⎪⎪=⎩⎩∴223530230122k mx x x x x ++>⇔--<⇔-<< ∴不等式25302k mx x ++>的解集为31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ ⑵法一：()()222()1103033kxf x k x kx k x k x x k>⇔>>⇔-+<⇔->+ 存在03,x >使得()01f x >成立，即存在03,x >使得成立2003x k x >-.令()()2,3,3x g x x x =∈+∞-，则()min k g x >令3x t -=，则()0,t ∈+∞，2(3)96612t y t t t +==++≥= 当且仅当9t t=即3t =6x =即时等号成立.()min 12g x ∴= ()12,k ∴∈+∞ 法二：()22()110303kx f x k x kx k x k>⇔>>⇔-+<+.令()()23,3,g x x kx k x =-+∈+∞ 存在03,x >使得()01f x >成立，即存在()00g x <成立，即()min 0g x <成立当06k <≤时，()g x 在()3,+∞上单调递增，∴()()39g x g >=，显然不存在()0g x <当6k >时，()g x 在3,2k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，()2m i n 324k k g x g k ⎛⎫==-+ ⎪⎝⎭，由2120k k -+<可得12k >综上，()12,k ∈+∞。
重庆市第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学(理)试题(含精品解析)
2018年重庆一中高2019级高二下期期末考试数学试题卷（理科）第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知是虚数单位，复数，则复数（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用复数的运算法则，分子和分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化，化简求得结果.详解：,故选D.点睛：该题考查的是有关复数的运算，涉及到的知识点有复数的除法运算以及复数的乘法运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键，属于简单题目.2. 若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：把A中元素代入B中解析式求出y的值，确定出B，找出两集合的公共元素，从而求得其交集.详解：把A中代入B中得：，即，则故选C.点睛：由二次函数的值域求法，运用列举法化简集合B，再由交集的定义，即可得到所求.3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：首先根据题中所给的函数的定义域为，得到和同时有意义以及分母不等于零的条件，得到所满足的条件，求得的范围，进一步求得函数的定义域.详解：由题意可得，解得，所以函数的定义域为，故选A.点睛：该题考查的是有关函数定义域的求解问题，需要注意函数定义域的定义是使得式子有意义的的取值所构成的集合，注意抽象函数定义域确定的原则，偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，最后求得结果.4. “若或，则”的否命题是（）A. 若且，则.B. 若且，则.C. 若且，则.D. 若或，则.【答案】B【解析】分析：根据原命题的否命题是条件和结论同时否定，得到的命题是否命题，注意“或”的否定为“且”.详解：根据命题否定的规则，可知“若或，则”的否命题是“若且，则.”故选B.点睛.该题考查的是有关四种命题的问题，关于原命题的否命题的形式是条件和结论同时否定，此时要注意“或”的否定为“且”.5. 条件：，条件：，则是的（）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】A【解析】分析：由已知中条件：，条件：，我们可以求出对应的集合P,Q,然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q是p的什么条件，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致得到答案.详解：条件：，条件：，q是p的充分但不必要条件根据互为逆否的两个命题真假性一致可得是的充分但不必要条件.故选A.点睛:本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，其中求出对应的集合P，Q，然后分析两个集合间的包含关系，进而根据“谁小谁充分，谁大谁必要”的原则，确定q和p之间的关系式解答本题的关键.6. 从，，，，中任取个不同的数，事件为“取到的个数之和为偶数”，事件为“取到的个数均为偶数”，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：用列举法求出事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求出，同理求出，根据条件概率公式即可求得结果.详解：事件“取到的个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1,3）、（1,5）、（3,5）、（2,4），事件B=“取到的个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)点睛：利用互斥事件的概率及古典概型概率公式求出事件A的概率，同样利用古典概型概率计算公式求出事件AB的概率，然后直接利用条件概率公式求解.7. 已知幂函数是定义在区间上的奇函数，则下列成立的是（）A. B.C. D. 与大小不确定【答案】A【解析】分析：由已知条件，结合奇函数的定义域必然关于原点对称可得解得或；故需对或两种情况分别进行讨论，从而确定结果.详解：幂函数是定义在区间上的奇函数，解得或.当时，函数当时，函数且，不合题意；综上可知故选A.点睛：根据奇函数的定义域关于原点对称的性质求出m，然后根据幂函数的性质即可得出结论.8. 从人中选出人分别参加年北京大学的数学、物理、化学、生物暑期夏令营，每人只能参加其中一项，其中甲、乙两人都不能参加化学比赛，则不同的参赛方案的种数共有（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲，乙两人都不能参加化学比赛由4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选，根据分布计数原理得到结果.详解：由题意知本题是一个分步计数问题，先看化学比赛，甲，乙两人都不能参加化学比赛由4种选法，然后看其余三个，可以在剩余的五人中任意选.共有点睛：分步要做到“步骤完整”-----完成了所有步骤，恰好完成任务，当然步与步之间要相互独立，分布后再计算每一步的方法数，最后根据分布乘法计数原理，把完成每一步的方法数相乘，得到总数.9. （原创）定义在上的偶函数满足：对任意的实数都有，且，.则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：首先根据题中所给的条件，判断出函数图像的轴对称性以及函数的周期性，并求得函数的周期，应用函数的周期性，得到函数值之间关系，最后求得结果.详解：根据题意，是偶函数，且对任意的实数，都有，得到其图像关于直线对称，并且其周期为2，所以有，从而得到，故选B.点睛：该题考查的是有关函数值的求和问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有函数的奇偶性，函数的周期性等，正确处理函数值之间的关系式解题的关键.10. 函数是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：由题意构造函数求导可知函数是区间上的增函数，把原不等式转化为，结合求得x的范围.详解：则函数是区间上的增函数.由不等式，得，解得，又由，得，即.故选C.点睛：该题考查的是有关解不等式的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点应用导数研究函数的单调性，构造新函数，结合题意求得对应的不等式的解集.11. 甲、乙、丙三人用擂台赛形式进行训练.每局两人单打比赛，另一人当裁判.每一局的输方去当下一局的裁判，而由原来的裁判向胜者挑战.半天训练结束时，发现甲共打局，乙共打局，而丙共当裁判局.那么整个比赛的第局的输方（）A. 必是甲B. 必是乙C. 必是丙D. 不能确定【答案】A【解析】分析：根据丙共当裁判8局，因此，甲乙打了8局；甲共打了12局，因此，丙共打了4局，利用乙共打局，因此乙丙打了13局，因此共打了25局，那么甲当裁判13局，乙当裁判4局，丙当裁判8局，由于实行擂台赛形式，因此，每局都必须换裁判；即，某人不可能连续做裁判，因此，甲做裁判的局次只能是：1、3、5、……、23、25；由于第11局只能是甲做裁判，显然，第10局的输方，只能是甲.详解：根据题意，知丙共当裁判8局，所以甲乙之间共有8局比赛，又甲共打了12局，乙共打了21局，所以甲和丙打了4局，乙和丙打了13局，三人之间总共打了（8+4+13）=25局，考查甲，总共打了12局，当了13次裁判，所以他输了12次.所以当n是偶数时，第n局比赛的输方为甲，从而整个比赛的第10局的输方必是甲.故选A.点睛：该题考查的是有关排列组合在打比赛中的应用，在解题的过程中，涉及到的知识点有分类加法计数原理，以及推理问题，正确理清其关系式解题的关键.12. 设函数，若存在唯一的正整数，使得，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设在同一个坐标系中画出它们的图象，结合图象找出满足条件的不等式组解之即可.详解：设两个函数图象如图：要使存在唯一的正整数使得只要即解得故选D.点睛：该题考查的是有关零点存在性定理的应用，在解题的过程中，要正确理解零点存在性定理的内容，会利用其得到相关的不等式组，并且结合图形来研究.第Ⅱ卷非选择题（共90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量，若，则__________．【答案】【解析】分析：根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是x=1，且依据正态分布对称性，即可求得答案.详解：随机变量服从正态分布曲线关于x=1对称，故答案为：0.8.点睛：该题考查的是有关正态分布的问题，在解题的过程中，要熟练应用正态分布曲线的轴对称性解决问题.14. 二项式的展开式中，的系数为，则实数__________．（用数字填写答案）【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.考点：本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档.视频15. 定义在上的单调函数，满足对，都有，则__________．【答案】【解析】分析：先根据函数的单调性与恒成立，求出函数的解析式即可.详解：因为函数是定义在上的单调函数，对恒成立所以存在常数c，使得，又.故答案为10.点睛：该题考查的是有关求函数值的问题，在解题的过程中，需要明确常函数的概念，以及会应用题的条件，得到相应的关系式，求得结果.16. 设函数，若对任意给定的，都存在唯一的，满足，则正实数的最小值是__________．【答案】【解析】分析：此题的突破口在于如何才会存在唯一的x满足条件，结合的值域或者图象，易知只有在的自变量与因变量存在的一一对应关系时，即只有当时，才会存在一一对应.详解：根据的函数，易得出其值域为：R，又时，值域为时，其值域为R，的值域为上有两个解，要想，在上只有唯一的，必有，所以：解得：，当时，x与存在一一对应关系，且，所以有：，解得：或者（舍去），，，综上所述，故答案是.点睛：该题考查的是有关参数的取值范围及最值的问题，在解题的过程中，需要认真审题，理解存在唯一的x满足条件的等价结果是函数关系式一一对应的，从而得到相应的式子，求得结果.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 第届世界杯足球赛在俄罗斯进行，某校足球协会为了解该校学生对此次足球盛会的关注情况，随机调查了该校名学生，并将这名学生分为对世界杯足球赛“非常关注”与“一般关注”两类，已知这名学生中男生比女生多人，对世界杯足球赛“非常关注”的学生中男生人数与女生人数之比为，对世界杯足球赛“一般关注”的学生中男生比女生少人.（1）根据题意建立列联表，判断是否有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异？（2）该校足球协会从对世界杯足球赛“非常关注”的学生中根据性别进行分层抽样，从中抽取人，再从这人中随机选出人参与世界杯足球赛宣传活动，求这人中至少有一个男生的概率.附：，.【答案】(1)没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异(2)【解析】分析：(1)根据题中的条件，得到相关的数据，从而列出列联表，根据公式求出的值，与临界值比较，即可得出结论；(2)根据比例，即可确定男生和女生抽取的人数，确定所有基本事件、满足条件的基本事件，即可求出至少有一个男生的概率.详解：（1）可得列联表为：非常关注一般关注合计男生女生合计，所以没有的把握认为男生与女生对世界杯足球赛的关注有差异.（2）由题意得男生抽人，女生人，.点睛：该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有列联表，独立检验，古典概型等，在解题的过程中，注意从题的条件中读取相关的信息，合理利用题的条件是解题的关键.18. 今年五一小长假，以洪崖洞、李子坝轻轨、长江索道、一棵树观景台为代表的网红景点，把重庆推上全国旅游人气搒的新高.外地客人小胖准备游览上面这个景点，他游览每一个景台的概率都是，且他是否游览哪个景点互不影响.设表示小胖离开重庆时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值.（1）记“函数是实数集上的偶函数”为事件，求事件的概率.（2）求的分布列及数学期望.【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】分析：(1)根据函数是偶函数的条件，从而有，得到，根据独立重复试验中，相应的概率公式求得结果；(2)根据题意，得到的可取值，求得对应的概率，列出分布列，利用期望公式求得的值.详解：（1）因为在上的偶函数，所以；从而.（2）显然的可能取值为，，，；；；所以的分布列为：.点睛：该题考查的是有关概率的求解以及分布列和其期望的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有独立重复试验中成功次数对应的概率，随机变量的分布列以及期望，正确理解题意是解题的关键.19. 如图（1），在中，，，.，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图（2）.（1）求证：平面；（2）若是的中点，求直线与平面所成角的大小.【答案】(1)见解析(2)【解析】分析：(1)根据题中的条件，利用线面垂直的判定定理证得结果；(2)建立相应的空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的正弦值，从而求得角的大小.详解：（1）证明：∵，，∴.∴，，∴平面，又平面，∴.又，∴平面.（2）解：如图所示，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则，.又，，∴.令，则，，∴.设与平面所成的角为.∵，∴.∴与平面所成角的大小为.点睛：该题所考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面角的大小的求解，在解题的过程中，需要把握线面垂直的判定定理的内容以及空间向量法求解线面角的思路与过程，建立适当的空间直角坐标系是解题的关键.20. 已知椭圆，如图所示，直线过点和点，，直线交此椭圆于，直线交椭圆于.（1）若此椭圆的离心率与双曲线的离心率互为倒数，求实数的值；（2）当，，为定值时，求面积的最大值.【答案】(1)或 (2)【解析】分析：(1)首先求得双曲线的离心率，从而求得椭圆的离心率，分两种情况求得的值；(2)先设出直线的方程，与椭圆方程联立，求得M的纵坐标，从而表示出三角形的面积，应用导数求得结果.详解：（1）双曲线的离心率是，所以的离心率是，所以有或，所以或.（2）易得的方程为，由，得，解得或，即点的纵坐标，，所以，令，，由，当时，；当时，，若，则，故当时，；若，则.∵在上递增，进而为减函数.∴当时，，综上可得.点睛：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有椭圆的离心率，利用其离心率求其参数的问题，这里需要注意应该分两种情况，再者就是有关椭圆中三角形的面积问题，注意从函数的角度去处理.21. （1）求证：当实数时，；（2）已知，，如果，的图象有两个不同的交点，.求证：.（参考数据：，，，为自然对数的底数）【答案】(1)见解析(2)见解析【解析】分析：(1)构造新函数，，等价于，利用导数研究函数的单调性，求得最值，得到结果；(2)根据题意，结合函数零点的定义，得到，两式相加，两式相减，简化式子，之后得到，构造新函数，利用导数真的结果.详解：证明：（1），，则，所以在单调递增，所以，所以.（2）由题意，相加有，①相减有，从而，代入①有，即，不妨设，则，由（1）有.又，所以，即，设，则，，在单调递增，又，∴，∴，∴.点睛：该题考查的是有关应用导数研究函数的性质的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有应用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的零点等，注意认真审题是解题的关键（二）选做题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答至选做题答题区域，标清题号.如果多做，则按所做的第一题记分.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线相交于，两点，且，求实数的值.【答案】(1) (2) 或或【解析】试题分析：（1）写普通方程，则只需消去参数和根据极坐标变换公式即可轻松求得故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）由题可知,所以联立和得，代入韦达定理即得答案解析：（1），故曲线的普通方程为.直线的直角坐标方程为.（2）直线的参数方程可以写为（为参数）.设两点对应的参数分别为，将直线的参数方程代入曲线的普通方程可以得到，所以或，解得或或.23. 关于的不等式的整数解有且仅有一个值为（为整数）.（1）求整数的值；（2）已知，若，求的最大值.【答案】(1) (2)【解析】试题分析：（1）求出不等式的解，根据其整数解有且仅有一个值为，得到关于的不等式组，解不等式组即得整数的值；（2）利用柯西不等式放缩即可证得结论.试题解析：（1）由有关于的不等式的整数解有且仅有一个值为,则,即,又为整数,则（2）由有,由柯西不等式有当且仅当时,等号成立,所以的最大值为考点：绝对值不等式的解法及利用不等式求最值.。
重庆市名校联盟2017-2018学年高二下学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
重庆市名校联盟2017-2018学年高二下学期期中数学试卷（文科） 一、选择题（共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（5分）复数z=3﹣i的虚部是（） A． 1 B． i C． ﹣1 D．﹣i
2．（5分）“因为指数函数y=ax是增函数（大前提），而y=（）x是指数函数（小前提），所以y=（）x是增函数（结论）”，上面推理的错误是（） A． 大前提错导致结论错 B． 小前提错导致结论错 C． 推理形式错导致结论错 D． 大前提和小前提错都导致结论错
3．（5分）：“方程X2﹣2=0的解是X=”中使用逻辑联系词的情况是（） A． 没有使用逻辑连接词 B． 使用了逻辑连接词“且” C． 使用了逻辑连接词“或” D． 使用了逻辑连接词“非”
4．（5分）设i为虚数单位，则复数等于（） A． B． C． D．
5．（5分）曲线y=x3+x﹣2在点P0处的切线平行于直线y=4x，则点P0的坐标是（） A． （0，1） B． （1，0） C． （﹣1，﹣4）或（1，0） D． （﹣1，﹣4）
6．（5分）函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx的零点个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D．3
7．（5分）定义在闭区间上的连续函数y=f（x）有唯一的极值点x=x0，且y极小值=f（x0），则下列说法正确的是（） A． 函数f（x）在上不一定有最小值 B． 函数f（x）在上有最小值，但不一定是f（x0） C． 函数f（x）在上有最小值f（x0） D． 函数f（x）在上的最大值也可能是f（x0）
8．（5分）已知一组样本点（xi，yi），（其中i=1，2，3，…，30），变量x与y线性相关，且根据最小二乘法求得的回归方程是=x+，则下列说法正确的是（） A． 至少有一个样本点落在回归直线=x+上 B． 若=x+斜率＞0，则变量x与y正相关 C． 对所有的解释变量xi（i=1，2，3，…，30），xi+的值与yi有误差 D． 若所有样本点都在=x+上，则变量间的相关系数为1 9．（5分）观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…用你所发现的规律得出22015的末位数字是（） A． 2 B． 4 C． 6 D．8
重庆市第十八中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)答案(PDF版)
（Ⅱ） 可能值为 0，1，2，3，
小王随机点击一次获得爆炸薄荷味口香糖的概率为 1 ，故 ~ B(3, 1) .
8
8
P(
0)
C30
(
1 8Leabharlann )0(1
1)3 8
343 , 512
P(
2)
C32
(
1 8
)
2
(1
1)1 8
21 512
,
P(
1)
C31
(
1 8
)1
(1
1)2 8
2 2 ln 2 a 1
— — — 12 分
22.（Ⅰ） f (x) 2x a 2x2 2x a (x 1, a R)
x 1
x 1
1）当 4 8a 0,即a 1 时， f (x) 0 ,故 f (x) 在（1， ）单调递增减； 2
重庆市 18 中学高 2019 级高二（下）半期考试
数学（理科）答案
一、 选择题：
1.C 2.A 3.B 4.D 5.A
二、填空题：
13. 1
14. 20
6.C 7.C 8.B
15（. 9，6）
9.D 10.C 11.B 16.（1， ）
12.C
三、解答题：
17.（Ⅰ）由题知 22n
2n
8
D（） np(1 P) 21 。———12 分 64
21.（Ⅰ）由题知 m
f (x)min ,
f
( x)
2x(x 2）(x 1 x
1) ,
f (x) 在 (1,0) 内单调递减,在（0， ）内单调递增,
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重庆市第十一中学2017-2018学年度高二下半期数 学 试 题（理科)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1. 若复数z 满足i i z +=-3)1(,则在复平面内z 的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2. 已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x (a ∈R )，若函数f (x )的图像上点P (1，m )处的切线方程为3x －y ＋b ＝0，则m 的值为( )A ．－13 B.－12 C.13 D.123. 用数学归纳法证明：2 (3214)22n n n +=++++时，则从n k =到1n k =+左边需增加的项数为( )A.12-nB. n 2C. 12+nD. 12+-n n4. 已知点P 在曲线y ＝4e x＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2C.⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 5. 已知函数y ＝f(x)的图象如左下图所示，则其导函数y ＝f ′(x)的图象可能是( )6. 过点(3，1)作圆(x －1)2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A ，B ，则直线AB 的方程为( ) A ．4x －y －3＝0 B ．2x －y －3＝0 C ．2x ＋y －3＝0 D ．4x ＋y －3＝07. 已知曲线y ＝x ＋lnx 在点（1，1）处的切线与曲线1)2(2+++=x a ax y 相切，则a 的值为（ ）A ．7B ．8C ．9D ．108. 如图，在边长为2的正方形ABCD 中，点E 、F 分别是边AB 、BC 的中点，△AED 、△EBF 、△FCD 分别沿DE 、EF 、FD 折起，使A 、B 、C 三点重合于点A ′，若四面体EFD A '的四个顶点在同一个球面上，则该球面的面积为（ ）．A.π3B. π6C. π10D. π189. 点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的距离的最小值是（ ） A ．2 B ．22 C ． 223D ．23 10. 已知,(0,)2αβπ∈，且ββααsin sin <，则下列结论正确的是（ ）．A ．βα<B ．2πβα>+ C ．βα> D ．2πβα<+11. 若圆222)5(3x r y =++-）（上有且仅有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1，则半径r 的范围为( )A.[)64，B.(4,6)C.(]64，D.[4,6]12.设()f x 是定义在R 上的函数，其导函数为'()f x ，若()'()1f x f x +<，11)0(=f ，则不等式xx e e x f 10)(+>（其中e 为自然对数的底数）的解集为( ) A ．),10(+∞ B.),11()0,(+∞⋃-∞ C.)11,(-∞ D ．(,0)-∞ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13. 如图所示，图中曲线方程为y ＝x 2－1，则围成封闭图形(阴影部分)的面积是__________． 14. 已知2＋23＝223，3＋38＝338，4＋415＝4415，…，若7＋a b ＝7ab ，(a 、b 均为正实数)，则类比以上等式，可推测a 、b 的值，进而可得a ＋b ＝________．15. 以抛物线24y x =的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的渐近线方程为 .16.设函数f (x )＝ax 3－3x ＋1(x ∈R )，若对于任意x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0成立，则实数a 的值为________．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．17题10分，其它题为12分。
解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）．17. 设函数)1ln(2)1()(2x x x f +-+=．（Ⅰ）对任意0[0,1]x ∈，不等式0)(0≤-m x f 恒成立，求实数m 的最小值； （Ⅱ）若存在0[0,1]x ∈，使不等式0)(0≤-m x f 成立，求实数m 的取值范围．18.已知函数3ln )(--=ax x a x f(1)若5)1(-=f ，求函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t ∈[1,2]，函数]2)([)(23mx f x x x g +'+=在区间(t,3)上总不是单调函数，求m 的取值范围．19. 设函数()ln ,mf x x m R x=+∈. ⑴ 当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的最小值； （2） 若对任意()()0,1f b f a b a b a->><-恒成立，求m 的取值范围.20.在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，四边形AA 1C 1C 是边长为2的菱形，平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，∠A 1AC ＝60°，∠BCA ＝90°. (1)求证：A 1B ⊥AC 1；(2)已知点E 是AB 的中点，BC ＝AC ，求二面角111C E A B --的正弦值21. 已知动圆P 与圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝1外切，与圆F 2：(x －1)2＋y 2＝9内切。
动圆P 的圆心轨迹为曲线E ，且曲线E 与y 轴的正半轴相交于点M . 若曲线E 上相异两点A 、B 满足直线MA ，MB 的斜率之积为14.(1)求E 的方程；(2)证明直线AB 恒过定点，并求定点的坐标；22. 已知函数f （x ）＝2x ＋ax －lnx ．A BC1A 1C 1B（Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）设x x f x g ln 2)()(+=，)(2)(3)(x g x x g x F '-=，若函数F （x ）在定义域内有两个零点x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：12()2x x F '＋＜0．重庆市第十一中学2015至2016学年度高二下半期数 学 试 题（理科)答案二、13. 2 14.55 15. x y 3±= 16. 4三、17. 解：（Ⅰ）()222()2(1)11x x f x x x x+'=+-=++， 当)1,0(∈x 时，()'0f x ≥，故()f x 在区间[]0,1上单调递增，所以2ln 24)1()(max -==f x f ，不等式0)(0≤-m x f 恒成立，等价于2ln 24)(max -=≥x f m ，所以m 最小值为2ln 24-。
对任意0[0,1]x ∈，． （Ⅱ）若存在0[0,1]x ∈，使不等式0)(0≤-m x f 成立，等价于1)(min =≥x f m ，所以m 的取值范围为),1[+∞．18.解(1)根据题意知，5)1(-=f ，则2=a ，又xx x f )1(2)(-=，0>x f (x )的单调递减区间为(1，＋∞)，单调递增区间为(0,1]；(2)∵f ′(2)＝－a2＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2ln x ＋2x －3.∴g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m2＋2x 2－2x ，∴g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2.∵g (x )在区间(t,3)上总不是单调函数，且g ′(0)＝－2，∴⎩⎨⎧>'<'0)3(0)(g t g ，由题意知：对于任意的t ∈[1,2]，g ′(t )＜0恒成立，∴02)4(32<-++t m t ，则有tt m 23)4(->+-对于任意的t ∈[1,2]又t t 23-在[1,2]上为增函数，则226)4(->+-m ，∴－373＜m ＜－9.19. （1）由题设，当m e =时，()ln ef x x x=+，易得函数()f x 的定义域为(0,)+∞221()e x ef x x x x-'∴=-=∴当(0,)x e ∈时，()0f x '<，此时()f x 在(0,)e 上单调递减；当(,)x e ∈+∞时，()0f x '>，此时()f x 在(,)e +∞上单调递增；∴当x e =时，()f x 取得极小值()ln 2ef e e e=+=，∴()f x 的最小值为2(2)对任意()()0,1f b f a b ab a->><-恒成立 等价于()()f b b f a a -<-恒成立 设()()ln (0)mh x f x x x x x x=-=+->()h x ∴等价于在(0,)+∞上单调递减21()10mh x x x'∴=--≤在(0,)+∞恒成立 2211()(0)24m x x x x ∴≥-+=--+>恒成立14m ∴≥（对14m =，x =h '（）0仅在12x =时成立），m ∴的取值范围是1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭20解：(1)证明：取AC 的中点O ，连接A 1O ，因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，A 1O ⊥AC ， 所以A 1O ⊥平面ABC ，所以A 1O ⊥BC . 又BC ⊥AC ，所以BC ⊥平面AA 1C 1C ，所以AC 1⊥BC .在菱形AA 1C 1C 中，AC 1⊥A 1C ， 所以AC 1⊥平面A 1BC ，所以A 1B ⊥AC 1.(2)以点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz ，则A (0，－1，0)，B (2，1，0)，C (0，1，0)，C 1(0，2，3)，),0,0,1(E ，)3,0,0(1A ，)3,2,2(1B ，)3,0,1(1-=E A ，)0,2,2(11=B A ,),0,2,0(11=C A ，设),,(1z y x n =是平面E B A 11的法向量，则有⎩⎨⎧=+=-02203y x z x 不妨取z ＝1可得)1,3,3(1-=n 设),,(2z y x n =是平面E C A 11的法向量，则有⎩⎨⎧==-0203y z x 不妨取z ＝1可得)1,0,3(2=n ， 设二面角111C E A B --为θ，则θcos 271321⋅=+=⋅n n .则721sin =θ 21. 解 (1)设动圆P 的半径为r ，由已知11+=r PF ，r PF -=32 则有421=+PF PF |, 化简得曲线E 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由曲线E 的方程得，上顶点M (0，3)，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意知，x 1≠0，x 2≠0. 若直线AB 的斜率不存在，则直线AB 的方程为x ＝x 1，故y 1＝－y 2，且y 21＝y 22＝3(1－x 214)，因此，k MA ·k MB ＝y 1－3x 1·y 2－3x 2＝－y 21－3x 21＝34，与已知不符，因此直线AB 的斜率存在．设直线AB ：y ＝kx ＋m ，代入椭圆E 的方程x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0, ①因为直线AB 与曲线E 有公共点A ，B ，所以方程①有两个非零不等实根x 1，x 2， 所以x 1＋x 2＝－8km3＋4k 2，x 1·x 2＝4（m 2－3）3＋4k 2，又k AM ＝y 1－3x 1＝kx 1＋m －3x 1，k MB ＝y 2－3x 2＝kx 2＋m －3x 2由k AM ·k BM ＝14得4(kx 1＋m －3)(kx 2＋m －3)＝x 1x 2，即(4k 2－1)x 1x 2＋4k (m －3)(x 1＋x 2)＋4(m －3)2＝0，所以4(m 2－3)(4k 2－1)＋4k (m －3)(－8km )＋4(m －3)2·(3＋4k 2)＝0， 化简得m 2－33＋6＝0，故m ＝3或m ＝2 3.结合x 1x 2≠0知m ＝23，即直线AB 恒过定点N (0，23)．22. 解：（Ⅰ）∵0>x ，x ax x x f 12)(2--='，由0122=--ax x 得2821+-=a a x <0舍去，02822>++=a a x ，则)(x f 在),0(2x 上为减函数，在),(2+∞x 上为增函数。