微积分期末测试题(卷)与答案解析
一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.设
lim()
xafxk
,那么点x=a是f(x)的( ).
①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对
2.设f(x)在点x=a处可导,那么
0()(2)limhfahfahh
( ).
①3()fa ②2()fa ③()fa ④
1
()3fa
3.设函数f(x)的定义域为[-1,1],则复合函数f(sinx)的定义域为( ).
①(-1,1) ②,22 ③(0,+∞) ④(-∞,+∞)
4.设2()()lim1()xafxfaxa,那么f(x)在a处( ).
①导数存在,但()0fa ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在
5.已知
0lim()0xxfx及( ),则0
lim()()0xxfxgx
.
①g(x)为任意函数时 ②当g(x)为有界函数时
③仅当0lim()0xxgx时 ④仅当0lim()xxgx存在时
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.sinlimsinxxxxx____________.
2.
31lim(1)xxx
____________.
3.
2
()sinfxx
,那么左导数(0)f____________,右导数(0)f____________.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
1.111lim()ln1xxx
2.ttxeyte,求22dydx
3.2ln(1)yxx,求dy和22dydx.
4.由方程0xyexy确定隐函数y=f(x) ,求dydx.
5.设1111,11nnnxxxx,求limnxx.
6.
2
lim(3)2xxaxbxc
,求常数a,b.
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
()()limlim0xxfxfx
xx
,证明:存在(,),使
()0f
.
2.若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有()fxM,M是常数,则
2
()lim0xfx
x
.
3.证明函数
1
sinyx
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
答案
一 单项选择题(每小题3分,共15分)
1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②
二 填空题(每小题5分,共15分)
1.sinlimsinxxxxx__1_ .
2.
31lim(1)xxx
__e_.
3.
2
()sinfxx
,那么左导数(0)f__-1__,右导数(0)f__1__.
三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)
111111111,lim()ln11111(1)ln1:lim()limlimlim(1)ln1(1)lnln1ln1limln11xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
解
2.ttxeyte,求22dydx
2
21()(1)()1tttt
dydydt
etetdxdtdxeddydydtdxdxdxedt解:
3.2ln(1)yxx,求dy和22dydx.
22
2
2
222
2
2
2
22323
1
:ln(1)(1)111((1))()1111,1111[]221(1)(1)dydxxdxxxxxdxdxdxdxxxxxxdxxdydxxdxdxxxx解
4.由方程0xyexy确定隐函数y=f(x) ,求dydx.
:()0,(),xyxyxyxyxydexydedxyedxdyydxxdydyyedxex解方程两边求微分得
即
所以
5.设1111,11nnnxxxx,求limnxx.
21111111111111(1)1)11(1)(1)0,(1)(1)(1)(1)12,1limnkkkkkkkkkkkkkknkkkknnnnxxxnkxxxxnkxxxxxxxxxxxxxxxxxxx
证明： 先证{}单调增加.显然，设时成立，即，
当时，（
所以{}单调增加；
显然所以由单调增加有界数列必有极限得{}收敛.
令010000lim,limlim(1)111lim15151,().122nnnnnnnnnnnxxxaxxxaaaaa则
即 得舍去
6.
2
lim(3)2xxaxbxc
,求常数a,b.
2
2
22
2
2
22
:0,lim(3)3lim(3)(3)33limlim2993,90,2,9,3.xxxxaxaxbxcxaxbxcxaxbxcxaxbxcbcaxaxbxcxxcxaxbxcxaxbxaaabb解显然
所以得
四 证明题(每小题10分,共30分)
1.设f(x)在(-∞,+∞)上连续,且
()()limlim0xxfxfx
xx
,证明:存在(,),使
()0f
.
():lim0,1,0,,(),(),(1)()(1)0,,()0,()0.0,()0.()(,),[,],()()[,](xfx
XxXxfxxfxxxxfxxxbXxbfxxfbafafxabFxfxxabF证明因为所以对0<存在使得当时有
成立即
故取所以当时
有特别的同理可得存在使得
而在上连续所以在闭区间连续
从而在上连续,而)0,()0,()(,),()()0.aFbFf
所以由闭区间上连续函数性质零点存在定理得存在使得
2.若函数f(x)在[a,+∞]上可导,对任意x∈(a,+∞),有()fxM,M是常数,则
2
()lim0xfx
x
.
121212
222
:()(,)(),,,(,),()().,(,),()().()()()()lim0,lim0,lim0.,0,()()xxxfxafxMxxafxfxMxxbaxafxfbMxbfbfxfxfbxxxxbfxfbx证明因为在区间满足所以满足李普希兹条件
即:对任意的有
令则有成立
我们知故要证只需证
时对任意给定的要使
2222
2
2
()()222,max{,},()(),()()lim0,.xfxfbMxbMxMbMxxxxMMxXbfxfbxXxfxfbx
只需即可令
则当时成立
即所以得证
3.证明函数
1
sinyx
在(c,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.
0
000
0
000
2
000
22
0
2
0
0
:0,0,111111sinsin2cos()sin()22222cos()sin()2,222,,0,0,,111sinsin,sin(,1)(0)cxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxcxxcccxxyccxxx证明设<1,对任意的要使
只需令
所以 对任意的存在当时
有成立故上是在一致连续的.
2
22
11
,,,222211sinsin1(1)20,()4420,,,11sinsinnnnnnnnnnnxxnnnxxxxnnxxxx为正整数
所以对小于的任意不能找到一致连续定义中的使得当时
微积分期末考试题B答案
x = 0 为最大值点，
即
e x (1 − x ) ≤ 1
（ 2 分）
当 x < 1 时，即有
ex ≤
1 1− x
证毕。
（ 1 分）
五、 应用题（本大题共 2 小题，共 19 分） 21、解：联立方程 y = x 2 与 y =
x ，解得交点
（ 0， 0） ， （ 1， 1） 从而旋转体的体积可表示为
华中农业大学 2003—— 2004 学年度第一学期 期末考试微积分试卷（ B）答案
（ 100 学时用） 一、 填空题（本大题共 8 小题，每小题 2 分，共 16 分） 1、 （ 1， 2） 2、 x = 0 3、 5、 7、 0 y = (c1 + c 2 x ) e − x 4、 0 6、
Байду номын сангаас
14 3
（ 2 分） （ 3 分） （ 3 分）
V=
∫0 p( y1 − y 2 )dx
0
1
1
2
2
1 = ∫ p( x − x 4 ) dx
x2 x5 = p − 2 5 0 =
3p 10
（ 1 分）
22、解：设底边长宽分别为 x 、 y ，高为 z ，则有
xyz = V
或
z=
V xy
∫0 dx ∫x f ( x , y )dy
1
1
8、 1
二、 单项选择题（本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分） 9、 B 10、 A 11、 A 12、 B 13、 B 三、 计算题（本大题共 6 小题，共 44 分） 14、解： y ′ =
1 x + (1 + x )
微积分期末试卷及答案
院系:班级: 学生: 学号: 成绩:
试卷名称:2005-2006学年度上学期期末考试
《高等数学B(一)》试卷
(A卷共8页)
适用范围:经院、管院2005级 各专业本科学生
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知 , ,且 ,则 .
答案： 王丽君
解： , , .
2、已知 为常数, ,则 .
(4)列表如下：
+
0
-
0
+
凹
拐点
凸
拐点
凹
(5)曲线的拐点为 、 ．
(6)曲线在区间 和 是凹的,在区间 是凸的．(6分)
8、计算 ．
答案： 俞诗秋
解： (3分)
．
．(6分)
9、计算 ．
答案： 俞诗秋
解： (3分)
,
．(6分)
10、设某商品的需求函数为 ,其中 分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案： ,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .俞诗秋
解：总收益函数为 ,
令 ,得 ,而 ,
可见,当 时,总收益达到最大.(3分)
此时需求弹性 ,(5分)
说明,当总收益达到最大时,价格上涨 ,需求则相应减少 .(6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、证明方程 在区间 内有且只有一个实根.孙仁斌,俞诗秋
(D) 在 处的左导数与右导数必有一个不存在.
答案：B江美英
4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：
(A) ；(B) ；
(C) ；(D) .
答案：D俞诗秋
5、若函数 存在原函数,下列错误的等式是：
微积分b1期末试题及答案
微积分b1期末试题及答案一、选择题（共30分，每题2分）1. 在平面直角坐标系中，曲线y=ax³+bx²+cx+d (a≠0) 的图象为抛物线，其开口方向为(A) 向上 (B) 向下 (C) 不确定2. 曲线y = |x-2|的图象关于点(3,0)对称的图象是(A) y ≥ 0 (B) y ≤ 0 (C) 不确定3. 函数y=ln(ax+b)在x=0处的导数为(A) a (B) a/b (C) -a/b4. 函数y=3x²ex在x=0处的导数为(A) 3 (B) 0 (C) 15. 函数y=ln(x/ex)的反函数为(A) ey (B) ex (C) ex/y6. 函数y=sin(ax+b)在[a, a+2π]上为奇函数，则b的取值范围是(A) (-∞, -2π] (B) [2π, +∞) (C) (-2π, 2π)7. 设函数f(x) = x²+ax+2，其中a为常数，则f(x)有唯一极值点的条件是(A) a ≠ 0 (B) a = 0 (C) a = 18. 设f(x)=sin(ax+b)在区间[0,2π]上有两个临界点，则b的取值范围是(A) [0, 2π] (B) [0, π) (C) (0, 2π)9. 函数y=ln(kcosx+1)，当x∈(0,π)时关于x的导数不存在，其中k 为常数，则k的取值范围是(A) k > 1 (B) k < 1 (C) k ≠ 010. 设y=aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中a₀≠0，若f(1) = 0，则(A) a₀+a₁+...+aₙ = 0 (B) a₀+a₁+...+aₙ = 1 (C) a₀+a₁+...+aₙ = -111. 函数f(x) = 2x³+bx²+3x的图象经过点(1,11)，则b的值为(A) 6 (B) 7 (C) 812. 函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀的函数值恒为0，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 013. 若x为函数y = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₀=0的一个解，则(A) a₀≠0 (B) aₙ≠0 (C) a₀ = ... = aₙ = 014. 设直线y=kx+b与曲线y=f(x)相切，其中k是常数，则b可取下列哪一个值？(A) f'(x₀) (B) f(x₀) (C) f''(x₀)15. 设f(x) = aₙxⁿ+aₙ₋₁xⁿ⁻¹+...+a₁x+a₀是n次多项式函数，其中n≥ 2，若存在x₁ ≠ x₂，使得f(x₁) = f(x₂)，则(A) a₀ = 0 (B) a₁ = 0 (C) a₀ = a₁ = ... = aₙ = 0二、填空题（共30分，每题2分）1. 若函数f(x)为奇函数，且在区间[-1,1]上可导，则f'(x)[1, 0] =______2. 若函数f(x) = 2x³-3x²+5x-7的图像在点(x₁, f(x₁))处的斜率为3，则x₁的值为______3. 设函数f(x) = x³-2ax²+ax+1的图象与x轴相切，则a的值为______4. 若函数y = ax³+bx²+cx+d有两个互异的极值点，则b的取值范围是______5. 函数y = eˣsinx的极值点个数为______6. 若函数f(x)在区间[a, b]上的某一点x₀处取得最大值和最小值，则在区间(a, b)内至少存在一点x₁，使得f'(x₁) = ______7. 若(fg)'(x) = f'(x)g'(x)，则函数f(x)可以是______函数，g(x)可以是______函数8. 函数f(x) = x³+ax²+bx+c的图象在点(1, 3)处的斜率为2，则a、b、c的值分别为______9. 若函数y = (2x-1)eˣ的图象有切线经过点(0, -1)，则切线的斜率为______10. 若函数y = sinh(ax+b)在x=0处有一水平切线，则a、b的值分别为______11. 若函数f(x) = 2x³+ax²+3x的导数在x=1处的值为4，则a的值为______12. 函数f(x) = x³-ax²+ax+1在x=0处有一切线，且此切线平行于直线y = x，则a的值为______三、解答题（共40分）1. 设函数f(x) = kx³+3x²+4x-1，其中k为常数，已知f(-1) = 2，求k 的值。
经济数学--微积分期末测试及答案(A)
经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( A )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分） 1.函数()f x =Ａ）； ()(1,1)(1,)()(1,)()(1,)()(1,1)A B C D -+∞-+∞+∞-2.下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（Ａ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-3.函数214y x=-的渐近线有（Ａ）； 3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条4.若函数()f x 在(,)-∞+∞有定义，下列函数中必是奇函数的是（Ｂ）；32()()()()()()()()()A y f x B y x f x C y f x f x D y f x =--==+-=5.0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（Ｂ）()sin ()sin ()tan ()ln(1)A xB x xC xD x ++6.若()f x =，则点2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点 ()B 右连续点 ()C 驻点 ()D 极值点7.当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D x xxe +8.极限0limln x →＝（C ）；()1()0()1()A B C D -不存在9.设函数()f x 在区间（１，２）内有二阶导数，且()()0xf x f x '''+>，若在（１，２）内()0f x '<,则函数()f x '在区间（１，２）内 （C ）()A 单调不增 ()B 单调不减 ()C 单调增加 ()D 单调减少10.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（D ）；2221()()()(3)()2A x B C x D x x +-11.若函数()f x 在点0x 处可导，则极限000(3)()lim2x xf x x f x x x→+∆--∆∆＝（D ）；00001()4()()3()()()()2()2A f xB f xC f xD f x ''''12.下列极限中，极限值为e 的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln xy x =，则dy ＝（Ｄ）； 222ln 11ln ln 11ln ()()()()x xx xA B C dx D dx x x xx----14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D 15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）．2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dx B xf x x f x C x f x dx D x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1. arccos y x x =，求y '解：122(arccos )[(1)]arccos arccos y x x x x x '''=--=+=2. 求2(cos sin 32)xx x x e dx -+++⎰６分７分解：原式＝3sin cos 2xx x x e x c +++++（其中c 是任意常数）3. 求曲线51001y x x y -+= 在0x =对应的点处的切线方程．解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得4100599151000y x y x y y ''-++=，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 求极限011lim()1x x x e →-- 解：原式＝000111lim()lim lim (1)12xxx x x x x x x x x x e x e e x e e xe e e xe →→→---===--+++5. 设函数221()1ax x f x x bx -≥⎧=⎨-<⎩ 在1x =处可导，求常数a 和b 解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x a x -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==6. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2xx y y y x xx -'''''====±++令得７分５分 ２分５分７分３分６分７分３分６分 ７分0000列表讨论如下：7.求dx⎰1131222231221122112[(21)(21)(21)(21)][(21)(21)] 4431(21)(21)2dx dxx d x x d x x x c x x c-==+=+++++++++ ++++⎰⎰⎰⎰⎰解：＝２１＝６8.已知2xxe是(2)f x的一个原函数，求()2xxf e dx-⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x xxux x xx xx x x xx xf x xe e xe e xx xf u e u f ex x x xf e dx e e dx e dx dex x xe e d e e cxe c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+ =-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三．应用题（本题10分）某厂生产一种化工产品，每年生产x吨的总成本为2()4100000C x x=+百元，该产品的需求函数为2100050.001x x p+=+（其中x是需求量，单位：吨；p是价格，单位：百元）；(1)该产品产量为多少时工厂的利润最大？最大利润是多少？(2)该产品获得最大利润时的边际成本和边际收入各是多少？解：(1)2100050.001p x x=+-２分７分4分6分7分６分32()()0.0011000100000L x x p c x x x x =-=-++-令 2()0.003210000L x x x '=-++=得驻点1000x =(1000)40L ''=-< 且驻点唯一又32(1000)(0.0011000100000)9000001000L x x x x =-++-== （百元）故产量为1000吨时工厂利润最大，且最大利润为9000万元；(2) 因产品获得最大利润时,边际成本和边际收入相等，又(1000)8000C '= （百元／吨）故获得最大利润时,该产品的边际成本和边际收入均为８０００（百元／吨）．四.证明题（本题4分）设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-<故有 ()()()f a b f a f b +≤+（其中,a b 是常数且满足：0a b a b c ≤≤≤+≤）２分４分3分８分10分6分。
微积分上期末试题及答案
微积分上期末试题及答案试题一：1.求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x的导数f'(x)。
答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。
2.计算极限lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)]。
答案：由分式的定义可知，当x ≠ 3时，(x^2 - 9)/(x - 3) = x + 3，故lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)] = 3 + 3 = 6。
3.已知y = 2x^3 - x^2 + 4x + 7，求dy/dx。
答案：dy/dx = 6x^2 - 2x + 4。
4.求函数f(x) = sin(x)的不定积分∫f(x)dx。
答案：∫f(x)dx = -cos(x) + C（C为常数）。
5.已知直线L的斜率为2，并且过点P(3, 4)，求直线L的方程。
答案：直线L的方程为y - 4 = 2(x - 3)。
试题二：1.求曲线y = x^2的切线方程，且该切线通过点P(2, 3)。
答案：曲线y = x^2的导数为2x，斜率为m = 2(2) = 4。
切线方程为y - 3 = 4(x - 2)。
2.计算定积分∫(2x + 1)dx在区间[0, 2]上的值。
答案：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C。
在区间[0, 2]上的定积分值为[(2)^2 + 2 + C] - [(0)^2 + 0 + C] = 6。
3.已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。
答案：f'(x) = e^x。
4.求函数f(x) = ln(x)的不定积分∫f(x)dx。
答案：∫f(x)dx = xln(x) - x + C（C为常数）。
5.已知曲线C的方程为y = x^3 - 3x^2 + 2，求曲线C的切线方程在点Q(-1, -2)处的斜率。
答案：曲线C的导数为3x^2 - 6x，点Q(-1, -2)在曲线C上，代入x = -1得到斜率m = 3((-1)^2) - 6(-1) = 3 - 6 = -3。
经济数学-微积分期末测试及答案(B)
经济数学-微积分期末测试及答案(B)经济数学--微积分期末测试第一学期期末考试试题 ( B )一.选择题（每小题只有一个正确答案，请把正确答案前的字母填入括号，每题2分，共30分）1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=43939)(22x x x x x f 的定义域是（A ）；(A))4,3[- (B) )4,3(- (C)]4,3(- (D))4,4(-2. 函数214y x =-的渐近线有（Ａ）；3（A ）条（B ）2条（C ）1条（D ）0条3. 设函数)1,0()1(log 2≠>++=a a x x y a ,则该函数是(A )(A) 奇函数 (B) 偶函数 (C) 非奇非偶函数 (D) 既奇又偶函数4. 下列函数中，与3y x =关于直线y x =对称的函数是（A ）；33()()()()A y B x C y x D x y ===-=-5.若()f x =2x =是函数()f x 的（Ｂ）；()A 左连续点()B 右连续点()C 驻点()D 极值点6. 已知点（1，3）是曲线23bx ax y +=的驻点，则b a ,的值是（B ）（A ） 9,3=-=b a （B ） 9,6=-=b a （C ） 3,3=-=b a （D ）3,6=-=b a7. 当0x →时，下列函数极限不存在的是（C ）；1sin 11()()sin()()tan 1xxA B x C D xxxe +8. 极限 =-→x x x 1ln lim 0（C ）； ()1()0()1()A B C D -不存在9.下列函数中在［－３，３］上满足罗尔定理条件的是（C ）；2221()()()2()(3)A x B C x D x x -+10．若函数()f x 在点x 处可导，则极限x x x f x x f x x ∆∆--∆+→2)2()2(lim000＝（C ）；00001()4()()3()()2()()()2A f xB f xC f xD f x '''' 11. 0x →时，下列函数中，与x 不是等价无穷小量的函数是（C ） (A) xtan (B))1ln(x + (c)xx sin - (D)x sin12.下列极限中，极限值为e的是（Ｄ）；11001()lim (1)()lim (1)()lim(1)()lim (1)xxxxx x x x A x B x C D x x+→∞→∞→→++++13.若ln x y x =，则dy ＝（D ）；222ln 11ln ln 11ln ()()()()x x x xA B C dx D dx xx xx---- 14.函数2()f x x =，在区间[０，１]内，满足拉格朗日中值定理的条件，其中ξ＝（Ｄ）；1121()()()()4332A B C D15.若函数()f x 在(,)-∞+∞内连续，则2()x f x dx '⎡⎤=⎣⎦⎰（Ｄ）． 2222()[2()()]()2()()()()()()A xf x x f x dxB xf x x f xC x f x dxD x f x ''++二.计算题（每小题7分，共56分）1.xex x y -+-=1121，求y '解：)11()1(1)()1(1122112'-+'-+-='+'-='--xex x x ex xy xx2112211222)1(1)1(1221x e x x e xxx xx--+-=--+--+-=-- 2. 求极限xx x 12)1(lim +∞>-解：1lim )1(lim 012lim)1ln(lim)1ln(12222=====++++∞→∞→∞→∞→e ee exx xx x xx x xx x x3.求曲线1204=+-y xx y 在1=x 对应的点处的切线方程．２２577解：0x =时，代入方程得 1y =；方程两边对x 求导得2041194203='++-'y y x y x y ，将01x y ==与代入，得011x y y =='=， 故所求的切线方程为1y x -=，即1y x =+4. 设函数221()1ax x f x x b x -≥⎧=⎨-<⎩在1x =处可导，求常数a和b解：由已知()f x 在1x =连续，且21111lim ()lim()1lim ()lim(2)2x x x x f x x b b f x ax a --++→→→→=-=-=-=- 可得3b a =- ①又因()f x 在1x =处可导，且221111232(1)lim lim lim 1211(2)2()lim 1x x x x x b a x a a f x x x ax a f x ax -+++-→→→+→--+-+-+'===+=----+'==-又得2a = 代入① 得1b =故21a b ==5. 求函数2ln(14)y x =+的上凸区间、下凸区间与拐点．解：222288(14)1,,0,14(14)2x x y y y x xx -'''''====++令得 列表讨论如下：２５７３６７26. 求⎰dx xx tan解： ⎰⎰⎰+-=-==cx x d xx d xx dx x x cos ln 2cos cos 12cos sin2tan7. 求 ⎰xdx e x sin解：⎰⎰⎰⎰-=-==xx x x xxxde x e xdx e x e xdexdx e cos sin cos sin sin sin⎰--=xdxe x e x e x x x sin cos sin移项可得c e x x xdx e x x +-=⎰)cos (sin 21sin8. 已知2xxe 是(2)f x 的一个原函数，求()2xx f edx -⎰22222222222222(2)()2(12)()(1)()(1)22()(1)(1)2(1)22222[(1)()]2[(1)]2222(2)(4)2x x x x x ux x xx x x x x xx xf x xe exee x x xf u e u f e x x x x f e dx e e dx e dx dex x x e e d e e c x e c x e c----------'==+=+∴=+∴=+∴=+=+=-+=-++-=-+++=-++=-++⎰⎰⎰⎰⎰解：三.证明题（本题6分）２７６7247572设函数()f x 在区间[0,]c 上连续，其导数()f x '在(0,)c 内存在且单调减少，又(0)0f =，证明不等式：()()()f a b f a f b +≤+ （其中,a b 是常数且满足：0a b a b c≤≤≤+≤）证明：0a =时，(0)0f = ()()()()f a b f b f a f b ∴+==+ 0a > 时，在区间[0,]a 和[,]b a b +上，()f x 满足拉格朗日定理条件，1122()(0)()()((0,)()()()()()((,)f a f f a f a a af b a f b f b a f b f b a b b a b aξξξξ-'∴==∈+-+-'==∈++-有有又()f x 在[0,]c 上单调减少，而12ξξ<21()()f f ξξ''∴<即()()()f b a f b f a a a+-< 故有()()()f a b f a f b +≤+ （其中,a b 是常数且满足：0a b a b c≤≤≤+≤）四．应用题（本题8分）设生产t 个产品的边际成本为t t C 2100)(+='，其固定成本（即0=t 时的成本）为100元，产品单价规定为500=P 元，假定生产出的产品都能完全销售，求生产量为多少时利润最大？最大利润是多36少？解：由已知，边际成本ct tdtt dt t C t C ++=+='=⎰⎰100)2100()()(2由固定成本为100，可得100100)(02=--==t tt t C c于是有： 成本函数：100100)(2++=t tt C收入函数：t t R 500)(= 利润函数：100400)100100(500)()()(22-+-=++-=-=t t t tt t C t R t L由04002)(=+-='t t L ，得唯一驻点200=t，又由2)(<-=''t L ，可知，驻点0t 是极大值点，同时也是最大值点。
微积分上期末测验考试试题A卷附答案
、选择题(选出每小题的正确选项，每小题2分，共计10分)11.lim 2x _x 0--------------------------(A ) - (B ) +(C ) 0(D )不存在X x2.当X ------------------ 0时，f(x) _________ 的极限为 。
x13.设f (x)的一个原函数是 ___ ,那么f (x)dx 。
ln x4. 设f (x) xe x ,那么2阶导函数f (x)在x _点取得极 _______________ 值11、求lim (lnx)帀x e(A ) 极小值(B )极大值(C )拐点(D ) 不是极值点也不是拐点5.若f (x) g (x),则下列各式成立。
(A) f(x) (x) 0 (B) f(x) (x) C(C)df(x) d (x)(D)d d f(x)dx(x)dxdxdx、填空题(每小题3分，共18分).设f(x)在x 0处可导，f(0)0,且 lim x 0f(2x) sin x1，那么曲线y f (x)在原点处的x 切线方程是O2 .函数f(x) x 3—x 在区间［0 ,则定理中的3］上满足罗尔定理,1 (A ) 03.下列极限存在，(A) lim 竺x 0(B ) 1 则成立的是_x) f(a) x(C ) 2(D )不存在f (a) (B) f (x 0 t) f(X o t)(C) limt 02f (x o )..f(tx) f(0) limtf (0) x 0 xf (x) f (a)(D) lm—— f ⑻x 0a x4 •设f (x )有二阶连续导数，且 f (x)1,则f 0是f (x)的f (0) 0,lim 0x 05.设某商品的需求量Q 是价格P 的函数Q 下降1%,需求量将______________ 。
x 1'6•若 y f (u),U,且 f (U )x 1三、计算题(每小题6分，共42分)： 5 2、、P ，那么在P = 4的水平上，若价格2、Iim 【(1 x)e x x]x3、 设x时，无穷小量 一厂」 ~ —,求常数a 、b 、c.ax 2x c 1 bx1 .4、 ------------ dx(x 2).x 1xcosx , 6、 3—dxsin xx 0，求 g (x) ox 0 四、(8分)假设某种商品的需求量Q是单价P (单位元)的函数：Q=1200-8P 商品的总成本C 是 需求量Q 的函数：C=2500+5Q(1) 求边际收益函数和边际成本函数； (2)求使销售利润最大的商品单价。
经济数学-微积分期末测试及答案(B)
粳稻籼稻出米率-概述说明以及解释1.引言概述部分的内容可以这样编写：1.1 概述在农产品中，稻米是世界上最重要的粮食之一，而稻米的品质和产量直接影响着人们的日常生活和粮食供应。
而在稻米的种类中，粳稻和籼稻是最常见的两种。
粳稻和籼稻在外观、生长环境、产量和食用特点等方面存在一定的差异。
对于稻米生产者和消费者来说，了解和掌握两种稻米的特点以及它们的出米率是至关重要的。
出米率是指稻米加工过程中，从稻谷中获得的高质量稻米的比例。
它是一种评价稻米加工质量的重要指标。
直观地说，出米率高意味着从同样数量的稻谷中可以获得更多的稻米。
而了解出米率的计算方法和影响因素，可以帮助稻米种植者和加工者更好地控制和提高出米率，从而达到优化资源利用和提高经济效益的目的。
本文将深入探讨粳稻和籼稻的特点，并介绍出米率的定义和计算方法。
同时，我们还将比较粳稻和籼稻的出米率，分析影响出米率的因素，并提供提高粳稻和籼稻出米率的相关方法。
希望读者通过阅读本文，能够对粳稻和籼稻的出米率有更深入的了解，同时为相关从业人员提供一些有益的参考和建议。
【1.2 文章结构】本文主要通过对粳稻和籼稻出米率的研究，探讨了两者的特点、出米率的定义和计算方法，以及影响粳稻和籼稻出米率的因素和提高出米率的方法。
具体结构如下：1. 引言1.1 概述在这一部分，我们将简要介绍粳稻和籼稻以及出米率的概念。
1.2 文章结构此处我们将详细介绍本文的整体结构，以便读者更好地理解文章的内容。
1.3 目的我们将阐明本文的研究目的，以及为什么粳稻和籼稻出米率的研究是重要的。
1.4 总结引言部分的最后，我们将对本章的内容进行一个简要的总结。
2. 正文2.1 粳稻的特点在这一部分，我们将探讨粳稻的生长环境、生长周期和产量等特点，并分析其与出米率的关系。
2.2 籼稻的特点在本节中，我们将介绍籼稻的生产特点，如生长环境、品质特点和适应能力，并分析其与出米率的关系。
2.3 出米率的定义和计算方法此部分将详细定义出米率的概念，并提供不同计算方法的说明，以便读者更好地理解出米率的计算过程。
大一微积分期末试题附答案
微积分期末试卷一、选择题（6×２）cos sin 1.()2,()()22()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π==1设在区间（0，）内（ ）。
Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数2x 1n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin21C X (1) xn e x x n a D a π→-=--==>、x 时，与相比是（ ）Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ）Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1X cosn=200000001()5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X oC X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ）Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线二、填空题1d 12lim 2,,x d xax ba b →++=ｘｘ２２１１、（ ）＝ｘ+1、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。
这条直线方程为：ｘ２３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ｘ５、若则的值分别为：ｘ＋2x-3三、判断题1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ）2、 0sin limx xx→-∞+∞在区间（，）是连续函数（）3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（）4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ）5、 设函数ｆ(x)在[]0,1上二阶可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有四、计算题1用洛必达法则求极限212lim x x x e →2 若34()(10),''(0)f x x f =+求3 24lim(cos )xx x →求极限4 (3y x =-求5 3tan xdx ⎰五、证明题。
微积分期末测试题及答案
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x af x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ).①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)limh f a h f a h h→+--=( ).①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim1()x af x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0lim ()()0x x f x g x →=.①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0lim ()x x g x →存在时二 填空题(每小题5分,共15分)1.sin limsin x x xx x→∞-=+____________.2.31lim(1)x x x+→∞+=____________.3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1x x x →-- 2.t tx e y te⎧=⎨=⎩,求22d y dx3.ln(y x =,求dy 和22d ydx.4.由方程0x yexy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx. 5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b .四 证明题(每小题10分,共30分) 1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()limlim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim 0x f x x →+∞=. 3.证明函数1sin y x=在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.答案一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.④ 2.① 3.④ 4.③ 5.②二 填空题(每小题5分,共15分)1.sin limsin x x xx x→∞-=+__1_ .2.31lim(1)x x x+→∞+= __e_.3.()f x =那么左导数(0)f -'=__-1__,右导数(0)f +'=__1__. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分)111111111,lim()ln 11111(1)ln 1:lim()lim lim lim (1)ln 1(1)ln ln 1ln 1lim ln 11x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx →→→→→→-------===----+-==∞+-解2.t tx e y te ⎧=⎨=⎩,求22d y dx 221()(1)()1t t t tdy dy dt e te t dx dt dx e d dy d y dt dx dx dx e dt=⋅=+⋅=+==解:3.ln(y x =,求dy 和22d ydx.22:ln((),122dy d x x dx d dx d y d x dx dx ==+=+====-=解4.由方程0x ye xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dydx. :()0,(),x y x y x y x yx yd e xy de dxy e dx dy ydx xdy dy y e dx e x+++++-==+=+-=-解方程两边求微分得即所以5.设1111,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.21111111111111(1)1)11(1)(1)0,(1)(1)(1)(1)12,1lim n k k k k k k k k k k k k k k n k k k k n n n n x x x n k x x x xn k x x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-------->=>=+-=+-++++-+-==>++++=+≤+证明： 先证{}单调增加.显然，设时成立，即，当时，（所以{}单调增加；显然所以由单调增加有界数列必有极限得{}收敛.令010000lim ,lim lim(1)111lim 111,).122nnn n n n n n n nn x x x a x x x a a a a a →+→→→→==+=+++=+==+则即 得6.lim(32x x →∞=,求常数a ,b.:0,lim(3lim 293,90,2,9, 3.x x x x a x x ax b xa ab b→∞→∞→∞>-====---+-====--解显然所以得 四 证明题(每小题10分,共30分) 1.设f (x )在(-∞,+∞)上连续,且()()limlim 0x x f x f x x x→+∞→-∞==,证明:存在(,)ξ∈-∞+∞,使 ()0f ξξ+= .():lim0,1,0,,(),(),(1)()(1)0,,()0,()0.0,()0.()(,),[,],()()[,](x f x X x X xf x x f x x xx f x x x b X x b f x x f b a f a f x a b F x f x x a b F εεεεεε→+∞=<>><-<<-+<-<-<>≥-<<<>-∞+∞=-证明因为所以对0<存在使得当时有成立即故取所以当时有特别的同理可得存在使得而在上连续所以在闭区间连续从而在上连续,而)0,()0,()(,),()()0.a Fb F f ξξξξ<>∈-∞+∞=+=所以由闭区间上连续函数性质零点存在定理得存在使得2.若函数f (x )在[a ,+∞]上可导,对任意x ∈(a,+∞),有()f x M '≤,M 是常数,则2()lim0x f x x →+∞=. 121212222:()(,)(),,,(,),()().,(,),()().()()()()lim0,lim 0,lim 0.,0,()()x x x f x a f x M x x a f x f x M x x b a x a f x f b M x b f b f x f x f b x x x x b f x f b x ε→+∞→+∞→+∞'+∞≤∈+∞-≤->∈+∞-≤--===>>-证明因为在区间满足所以满足李普希兹条件即:对任意的有令则有成立我们知故要证只需证时对任意给定的要使222222()()222,max{,},()(),()()lim 0,.x f x f b M x b Mx Mb M x x x x M Mx X b f x f b x X x f x f b x εεεε→+∞--+=≤≤<<>=-><-=只需即可令则当时成立即所以得证3.证明函数1sin y x =在(c ,1)内一致连续,但在(0,1)内非一致连续.000000002000220200:0,0,111111sinsin 2cos()sin()22222cos()sin()2,222,,0,0,,111sin sin ,sin (,1)(0)c x x x x x x x x x x x x x x x x xx xx xx cx x c c c x x y c c x x xεεεδεεδεδε<<>-=+--+--=≤<<-<=>=>-<-<=>证明设<1,对任意的要使只需令所以 对任意的存在当时有成立故上是在一致连续的.22211,,,222211sin sin 1(1)20,()4420,,,11sinsin nnn n nn n n n nx x n n n x x x x n n x x x x πππππππεδδε'''==+--=--=''''''-=→→∞-'''>-<-<'''为正整数所以对小于的任意不能找到一致连续定义中的使得当时。