二次函数与参数方程讲义
二次函数双参数问题课件高三数学一轮复习
1
因0此.8 ，a 2b 0,1.
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
E(1,0)
0.5 2.5
2 0.5 1.5 1 1 1.5 0.5
2
20.5.5
1
1.5
2
0.2
0.2
0.4
0.4
0.6
0.6
0.8
0.8
1
1
二：典例示范
例3：已知a,b R,函数f x x2 bx c在0,1内与x轴有两个不同的 交点，则c2 c b 1的取值范围为_______ .
b 2b
4 1
0
,
②
b0
0 a 1
又因为条件0 a b 1,
③
可将原问题看做在约束条件①③或②③下，求目标函数a 2b的取值范围.
1.6
二：典例示范 1.4
在1.平2 面直角坐标系中作图求解，将两个1.边4 界点0, 0，1, 0代入
1.2
分别1 求得a 2b 0，和a 2b 1，
8
1,
又a 2b 3m 1 2m f 1 1
1 m
1 2m
3m
1
1 m
3
1
m
1 1 m
6
0.
因此，a 2b0,1.
二：典例示范
例2：已知a,b R且0
a
b
1,函数f
x
x2
ax
b在区间
1 2
, 0
上至少存在一个零点，则a 2b的取值范围为_______ .
解答：
a2 4b 0
6
4c 0 c 4 c 9 b 4
,
初三试讲 二次函数.pdf
二次函数知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0).反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线．3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点．②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳:1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．2、二次函数y=a(x －h)2＋k(a ≠0)的性质如下：当a>0时，若x<h ，则y 随x 的增大而减小；若x>h ，则y 随x 的增大而增大；当x=h 时，y 有最小值k ；当a<0时，若x<h ，则y 随x 的增大而增大；若x>h ，则y 随x 的增大而减小；当x=h 时，y 有最大值k ．3、抛物线y=a(x －h)2＋k(a ≠0)与y=ax 2(a ≠0)的关系．抛物线y=ax 2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x －h)2，再把抛物线y=a(x －h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x －h)2＋k ．（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
人教版 九年级数学讲义 二次函数与一元二次方程(含解析)
第6讲二次函数与一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟A、适用范围：人教版初三，基础一般B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们主要学习二次函数与一元二次方程之间的联系，能够根据二次函数与x轴的交点坐标联系相应方程的解的情况，此外了解二次函数与不等式之间的关系，能够根据图象写出相应不等式的解集等，本节课的难点是二次函数与方程、不等式之间的联系考查，希望同学们能够认真学习。
知识梳理讲解用时：10分钟二次函数与一元二次方程之间的关联求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y=0，即ax2+bx+c=0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标。
（1）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c=0根之间的关系：①①=b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数；①①=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；①①=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；①①=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0），相应一元二次方程的根就是x1和x2.课堂精讲精练【例题1】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，则方程x2+ x+1=0的根的情况是（）。
A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法判断【答案】B【解析】此题主要考查了抛物线与x轴的交点，二次函数y=x2+x+1的图象如图所示，图象与x轴有两个交点，则方程x2+x+1=0的根的情况是：有两个不相等的实数根，故选：B．讲解用时：3分钟解题思路：直接利用二次函数图象得出方程x2+x+1=0的根的情况，即抛物线与x轴的交点情况，进而得出答案。
教学建议：利用数形结合分析。
《二次函数与一元二次方程、不等式》 讲义
《二次函数与一元二次方程、不等式》讲义一、二次函数的基本概念在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念。
形如\（y ＝ax^2 ＋ bx ＋ c\）（＼（a ＼neq 0\））的函数就被称为二次函数。
其中，＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）是常数，＼（a\）被称为二次项系数，＼（b\）是一次项系数，＼（c\）是常数项。
二次函数的图像是一条抛物线。
当\（a ＞0\）时，抛物线开口向上；当\（a ＜ 0\）时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴为\（x ＝＼frac{b}｛2a}＼），顶点坐标为\（（＼frac{b}｛2a}，＼frac{4ac b^2}｛4a}）＼）。
二、一元二次方程的基本形式一元二次方程的一般形式是\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\）（＼（a ＼neq0\））。
其中，＼（a\）、＼（b\）、＼（c\）同样是常数。
解一元二次方程的方法有很多种，常见的有配方法、公式法和因式分解法。
配方法是通过配方将方程转化为完全平方式来求解。
公式法则是利用求根公式\（x ＝＼frac{b ＼pm ＼sqrt{b^2 4ac}｝｛2a}＼）来计算方程的根。
而因式分解法是将方程左边因式分解为两个一次式的乘积，从而得到方程的解。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）与一元二次方程\（ax^2 ＋ bx ＋c ＝ 0\）有着密切的联系。
当二次函数\（y ＝ ax^2 ＋ bx ＋ c\）的图像与\（x\）轴相交时，此时对应的\（y\）值为\（0\），即\（ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0\），交点的横坐标就是一元二次方程的根。
如果抛物线与\（x\）轴有两个交点，那么对应的一元二次方程有两个不同的实数根；如果抛物线与\（x\）轴只有一个交点，那么对应的一元二次方程有两个相同的实数根（也称为一个实数根）；如果抛物线与\（x\）轴没有交点，那么对应的一元二次方程没有实数根。
二次函数二次函数与一元二次方程课件ppt
一般地，形如$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$的函数叫做二次函数。
定义2
二次函数是关于$x$的二次多项式。
二次函数的基本形式
$y = ax^2 + bx + c(a \neq 0)$是二次函数的基本形式。
需要注意：当$a > 0$时，$y$有最小值；当$a < 0$时，$y$ 有最大值。
2023
二次函数与一元二次方程 课件ppt
目录
• 引言 • 二次函数的定义与性质 • 一元二次方程的定义与解法 • 两者之间的关系 • 实际应用举例 • 复习与总结
01
引言
课程目标和目的
理解和掌握二次函 数与一元二次方程 的基本概念和性质 ；
培养学生的数学思 维能力和创新意识 。
会用二次函数与一 元二次方程解决实 际问题；
一元二次方程的定义
含有未知数且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程 形式为ax²+bx+c=0（a≠0）的方程
一元二次方程的解法
直接开平方法 因式分解法
公式法
一元二次方程的应用
根的判别式 根与系数的关系
一元二次方程在经济生活中的应用
04
两者之间的关系
二次函数与一元二次方程的关系
二次函数与一元二次方程在形式上的统一性
圆和椭圆
二次函数在圆和椭圆等圆锥曲线的计算中有着广泛应用，圆的方程和椭圆的 方程都可以表示为二次函数的形式。
日常生活中的应用
房屋按揭贷款
房屋按揭贷款的还款总额与贷款总额成二次函数关系，通过求解一元二次方程可 以得到每月需要还款的金额。
最大利润问题
在商品销售中，销售额和利润率成二次函数关系，通过求解一元二次方程可以得 到最大利润。
二次函数含参问题课件
拾级而上
变式2 已知二次函数y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a < 0) 的图像经过P （x1，y1）、Q（x2，y2），设n≤x1≤n+1， 当x2≥3时，y1≥y2，要求出 实数n的取值范围．
拓展提升
已知函数 y = x2 - 2kx+k 2 - 1 k -（1 k为常数且k > 2）
二次函数含参问题
——函数值大小比较及最值问题
基础热身
例1 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且 a ≠0) 中， 二次项、一次项、常数项中含有参量a，像这样的二次函数 叫作含参二次函数．
（1）由这个二次函数的关系式，你能得到哪些结论？ （2）若该二次函数的图像经过点P（-1，y1 ）、Q（2， y2 ），你能 比较y1 和 y2 的大小关系吗？
2
（1）当2≤x≤3时，该抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值； （2）若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线， 当3≤x≤4时， 新抛物线对应的函数有最小值-2，求k的值．
回顾反思
问题1：在本课3个题组求解过程中，你觉得它们之间有怎样的联系？ 问题2：你在解决含参二次函数问题时，有哪些经验值得积累，先在 小组内交流，再汇总后由组长在全班汇报你们小组最小值，越靠近对称轴越小
开口向下，有最大值，越靠近对称轴越大 代入法： 作差，解不等式 函数值大小比较题型 定轴动区间：移动点的位置，比较点到对称轴距离的大小 动轴定区间：移动对称轴，对称轴在区间内，则对称轴处取到最值
对称轴不在区间内，则根据函数的增减性确定最值
拾级而上
例2 已知二次函数 y = ax2 +4ax+4a+（1 a为常数且a <0) 的图像经 过点P（n，y1）、Q（n+1，y2）
2018_2019学年高中数学第二讲参数方程本讲知识归纳与达标验收讲义(含解析)新人教A版
第二讲 参数方程考情分析通过对近几年高考试题的分析可见，高考对本讲知识的考查，主要是以参数方程为工具，考查直线与圆或与圆锥曲线的有关的问题．真题体验1．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt(t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋m ，y ＝mk(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．解：(1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)； 消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k(x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k(x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0＜θ＜2π，θ≠π)．联立⎩⎨⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)． 故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5， 所以交点M 的极径为 5.2．(2017·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2s 2，y ＝22s(s 为参数)．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 的距离的最小值．解：直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上，设P (2s 2,22s )， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45. 当s ＝2时，d min ＝455.因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值455.3．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．解：椭圆C 的普通方程为x 2＋y 24＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝32t代入x 2＋y 24＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t 24＝1，即7t 2＋16t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝－167.所以AB ＝|t 1－t 2|＝167.1.(1)代入消参法，是指由曲线的参数方程中的某一个(或两个)得到用x (或y ，或x ，y )表示参数的式子，把其代入参数方程中达到消参的目的．(2)整体消参法，是指通过恰当的变形把两式平方相加(或相减、相乘、相除)达到消参的目的，此时常用到一些桓等式，如sin 2θ＋cos 2θ＝1，sec 2θ＝tan 2θ＋1，⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4等．2．消参的注意事项(1)消参时，要特别注意参数的取值对变量x ，y 的影响，否则易扩大变量的取值范围． (2)参数方程中变量x ，y 就是参数的函数，可用求值域的方法确定变量x ，y 的取值范围．[例1] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，则直线的倾斜角α⎝ ⎛⎭⎪⎫α>π2等于( )A.5π6 B.3π4 C.2π3D.π6[解析] 直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)化为普通方程为x tan α－y ＝0.圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)化为普通方程为(x －4)2＋y 2＝4，可得圆心坐标为(4,0)，半径r ＝2.∵直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，∴|4tan α|1＋tan 2α＝2，又α>π2，解得tan α＝－33. 又α为直线的倾斜角，∴α＝5π6.[答案] A[例2] 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝5sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2≤θ≤π2表示的曲线是什么？[解] 化为普通方程是x 2＋y 2＝25， ∵－π2≤θ≤π2，∴0≤x ≤5，－5≤y ≤5.∴表示以(0,0)为圆心，5为半径的右半圆.1．直线参数方程的标准形式直线参数方程的一般形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt(t 为参数)，只有当b ≥0，a 2＋b 2＝1时，上述方程组才为直线的参数方程的标准形式，直线经过的起点坐标为M 0(x 0，y 0)，直线上另外两点M 1(x 1，y 1)，M 2(x 2，y 2)对应的参数分别为t 1，t 2，这时就有|M 0M 1|＝|t 1|，|M 0M 2|＝|t 2|，|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.2．直线参数方程的应用直线的参数方程应用十分广泛，特别在计算与圆锥曲线的相交弦的弦长时，可以利用参数的几何意义和弦长公式求解，这样可以避免因运用直线和圆锥曲线的方程所组成的方程组求解导致的烦琐运算，从而简化解题过程，优化解题思路．3．应用直线的参数方程求弦长的注意事项 (1)直线的参数方程应为标准形式． (2)要注意直线倾斜角的取值范围． (3)设直线上两点对应的参数分别为t 1，t 2. (4)套公式|t 1－t 2|求弦长．[例3] 已知点P (3,2)平分抛物线y 2＝4x 的一条弦AB ，求弦AB 的长． [解] 设弦AB 所在的直线方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入方程y 2＝4x 整理得：t 2sin 2α＋4(sin α－cos α)t －8＝0.①因为点P (3,2)是弦AB 的中点，由参数t 的几何意义可知，方程①的两个实根t 1，t 2满足关系t 1＋t 2＝0.即sin α－cos α＝0. 因为0≤α＜π，所以α＝π4. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝4·8sin2π4＝8.圆心为(a ，b )，半径为r 的圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ(θ为参数)；长半轴为a ，短半轴为b ，中心在原点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，圆、椭圆的参数方程在计算最大值、最小值和取值范围等问题中有着广泛的应用，利用圆、椭圆的参数方程将上述问题转化为三角函数的最值问题，利用三角函数的变换公式可以简化计算，从而避免了繁杂的代数运算．[例4] (2017·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . [解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0， 故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，解得a ＝8；当a ＜－4时，d 的最大值为－a ＋117. 由题设得－a ＋117＝17，解得a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.(时间：90分钟，总分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知曲线的方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t ，y ＝t (t 为参数)，则下列点中在曲线上的是( )A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(0,0)D ．(1,2)解析：选C 当t ＝0时，x ＝0且y ＝0.即点(0,0)在曲线上． 2．直线x ＋y ＝0被圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)截得的弦长是( )A ．3B ．6C ．2 3D. 3解析：选B 圆的普通方程为x 2＋y 2＝9，半径为3，直线x ＋y ＝0过圆心，故所得弦长为6.3．当参数θ变化时，动点P (2cos θ，3sin θ)所确定的曲线必过( ) A ．点(2,3) B ．点(2,0)C ．点(1,3)D ．点⎝⎛⎭⎪⎫0，π2解析：选B 令x ＝2cos θ，y ＝3sin θ，则动点(x ，y )的轨迹是椭圆：x 24＋y 29＝1，∴曲线过点(2,0)．4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ参数θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，则曲线C ( )A ．表示直线B ．表示线段C ．表示圆D ．表示半个圆解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x2，sin θ＝12(y －1)，∴x 24＋14(y －1)2＝1， 整理得x 2＋(y －1)2＝4，由θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得0≤x 2≤1，－1≤12(y －1)≤1，∴0≤x ≤2，－1≤y ≤3， ∴曲线C 表示半个圆，故选D.5．将曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)化为普通方程为( )A ．x 2＋y 2＝16 B ．x 2＋y 2＝16(x ≥4) C ．x 2－y 2＝16D ．x 2－y 2＝16(x ≥4)解析：选D 在⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4t ＋1t，y ＝4t －1t(t 为参数)中，分别将x 及y 平方作差，得x2－y 2＝⎝⎛⎭⎪⎫4t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫4t －1t 2＝16t ＋8t ×1t ＋1t －⎝⎛⎭⎪⎫16t －8t ×1t＋1t ＝16，由x ＝4t ＋1t≥24t ×1t＝4，得x ≥4，故曲线的参数方程化成普通方程为x 2－y 2＝16(x ≥4)．6．以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋1，y ＝t －3(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l 被圆C 截得的弦长为( )A.14 B ．214 C. 2D ．2 2解析：选D 由题意得，直线l 的普通方程为y ＝x －4，圆C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心到直线l 的距离d ＝|2－0－4|2＝2，直线l 被圆C 截得的弦长为222－(2)2＝2 2.7．若⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则点(x ，y )的轨迹是( )A ．直线x ＋2y ＝0B ．以(2,0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2,0)和(0,1)为端点的线段解析：选D ∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，消去参数θ，得x ＝2(1－y )，即x ＋2y －2＝0， 由x ＝2cos 2θ得0≤x ≤2，∴点(x ，y )的轨迹是以(2,0)和(0,1)为端点的线段．8．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)表示的直线与坐标轴的交点坐标为( )A ．(1,0)，(0，－2)B ．(－1,0)，(0,1)C ．(0，－1)，(1,0)D ．(－3,0)，(0,3)解析：选D 参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)消去参数t ，得x －y ＋3＝0，令x ＝0，得y ＝3；令y ＝0，得x ＝－3. ∴直线与坐标轴的交点坐标为(0,3)，(－3,0)．9．已知圆的渐开线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r (cos φ＋φsin φ)，y ＝r (sin φ－φcos φ)(φ为参数)上有一个点的坐标为(3,0)，则渐开线对应的基圆的面积为( )A ．πB ．3πC ．6πD ．9π解析：选 D 把已知点(3,0)代入参数方程得⎩⎪⎨⎪⎧3＝r (cos φ＋φsin φ)，①0＝r (sin φ－φcos φ)，②由②得φ＝tan φ，所以φ＝0，代入①得，3＝r ·(cos 0＋0)，所以r ＝3，所以基圆的面积为9π.10．已知点(x ，y )满足曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)，则y x的最小值是( )A.32B.32C. 3D ．1解析：选D 曲线方程⎩⎨⎧x ＝4＋2cos θ，y ＝6＋2sin θ(θ为参数)化为普通方程得(x －4)2＋(y－6)2＝2，∴曲线是以C (4,6)为圆心，以2为半径的圆，∴y x表示原点和圆上的点的连线的斜率，如图，当原点和圆上的点的连线是切线OA 时，yx取最小值， 设过原点的切线方程为y ＝kx ， 则圆心C (4,6)到切线y ＝kx 的距离d ＝|4k －6|k 2＋1＝2，即7k 2－24k ＋17＝0， 解得k ＝1或k ＝177，∴yx的最小值是1.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上) 11．双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan θ，y ＝2sec θ(θ为参数)的渐近线方程为______________．解析：双曲线的普通方程为y 24－x 2＝1，由y 24－x 2＝0，得y ＝±2x ，即为渐近线方程． 答案：y ＝±2x12．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－4t ，y ＝－2＋3t(t ∈R ，t 为参数)，则直线l 在y 轴上的截距是________．解析：令x ＝0，可得t ＝1，y ＝1，∴直线l 在y 轴上的截距是1. 答案：113．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝－4cos θ，则圆C 的圆心到直线l 的距离为________．解析：直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋32t ，y ＝12t(t 为参数)化成普通方程为x －3y＋1＝0，ρ＝－4cos θ即ρ2＝－4ρcos θ，即x 2＋y 2＋4x ＝0，也即(x ＋2)2＋y 2＝4，表示以(－2,0)为圆心，2为半径的圆．∴圆C 的圆心到直线l 的距离为|－2＋1|1＋3＝12.答案：1214．已知在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，设点P 是曲线C 上的一个动点，则P 到直线l 的距离d 的取值范围是________．解析：⎩⎨⎧x ＝t －2，y ＝3t(t 为参数)，消去t ，得直线l 的普通方程为3x －y ＋23＝0.由曲线C 的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0得曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝1.设点P (2＋cos θ，sin θ)(θ∈R)，则d ＝|3(2＋cos θ)－sin θ＋23|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6＋432，因为θ∈R ，所以d 的取值范围是[23－1,23＋1]．答案：[23－1,23＋1]三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a －2t ，y ＝－4t(t 为参数)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．(1)求直线l 和圆C 的普通方程；(2)若直线l 与圆C 有公共点，求实数a 的取值范围．解：(1)直线l 的普通方程为2x －y －2a ＝0，圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝16.(2)因为直线l 与圆C 有公共点，故圆C 的圆心到直线l 的距离d ＝|－2a |5≤4，解得－25≤a ≤2 5.所以实数a 的取值范围为[－25，25]．16．(本小题满分12分)已知直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t (t 为参数)，它与曲线(y －2)2－x 2＝1交于A ，B 两点．(1)求AB 的长；(2)求点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离． 解：(1)把直线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋3t ，y ＝2－4t(t 为参数)代入曲线方程并化简得7t 2＋6t－2＝0.设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－67，t 1t 2＝－27.|AB |＝32＋(－4)2|t 1－t 2|＝5(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝10237. (2)根据中点坐标的性质可得AB 的中点C 对应的参数为t 1＋t 22＝－37.所以点P (－1,2)到线段AB 的中点C 的距离为32＋(－4)2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－37＝157.17．(本小题满分12分)设直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数)．(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率；(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围．解：(1)由已知得直线l 经过定点P (3,4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率k ＝52.(2)由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y＋4－3k ＝0，因为直线l 与圆C 交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，解得k >2120.所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.18．(本小题满分14分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，射线OM ：θ＝π3与圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)圆C 的普通方程为(x －1)2＋y 2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(2)设P (ρ1，θ1)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得ρ1＝1，θ1＝π3.2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝33，即ρ(sin θ＋3cos θ)＝3 3. 设Q (ρ2，θ2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝33，θ2＝π3，解得ρ2＝3，θ2＝π3.又θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ2－ρ1|＝|3－1|＝2.模块综合检测(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10个小题，每个小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在极坐标系中，圆ρ＝sin θ的圆心的极坐标是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2B ．(1,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0 解析：选C 将圆的极坐标方程ρ＝sin θ化成直角坐标方程为x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14，可知圆心的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，π2.故选C. 2．在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎪⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝2B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2解析：选D 极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π2的点的直角坐标为(0,2)，过该点且与极轴平行的直线的方程为y ＝2，其极坐标方程为ρsin θ＝2.3．在同一坐标系中，将曲线y ＝2sin x 变为曲线y ′＝sin 2x ′的伸缩变换是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2x ′，y ＝12y ′B.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝12yC.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12x ′，y ＝2y ′D.⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝2y解析：选B 设⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx (λ>0)，y ′＝μy (μ>0)，则μy ＝sin 2λx ，即y ＝1μsin 2λx ，∴⎩⎪⎨⎪⎧1μ＝2，2λ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧μ＝12，λ＝12，故选B.4．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，则下列说法中正确的是( )A ．曲线C 是直线且过点(－1,2)B ．曲线C 是直线且斜率为33C ．曲线C 是圆且圆心为(－1,2)D ．曲线C 是圆且半径为|t |解析：选A 曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋12t ，y ＝2＋32t (t 为参数)，消去参数t 得曲线C 的普通方程为3x －y ＋2＋3＝0.该方程表示直线，且斜率是 3.把(－1,2)代入，成立，∴曲线C 是直线且过点(－1,2)，故选A.5．点M 的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6，它关于直线θ＝π2的对称点坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6B.⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6C.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6D.⎝⎛⎭⎪⎫－2，－11π6解析：选B 当ρ<0时，它的极角应在反向延长线上．如图，描点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－π6时，先找到角－π6的终边，又因为ρ＝－2<0，所以再在反向延长线上找到离极点2个单位长度的点即是点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6.直线θ＝π2就是极角为π2的那些点的集合．故M ⎝⎛⎭⎪⎫－2，－π6关于直线θ＝π2的对称点为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，但是选项没有这样的坐标．又因为M ′⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的坐标还可以写成M ′⎝⎛⎭⎪⎫－2，7π6，故选B.6.已知双曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sec θ，y ＝4tan θ(θ为参数)，在下列直线的参数方程中，①⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3t ，y ＝4t ； ②⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1－12t ； ③⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35t ，y ＝－45t ；④⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝1＋22t ； ⑤⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3t ，y ＝－4－4t .(以上方程中t 为参数)，可以作为双曲线C 的渐近线方程的是( ) A ．①③⑤ B ．①⑤ C ．①②④D ．②④⑤解析：选A 由双曲线的参数方程知，在双曲线中对应的a ＝3，b ＝4且双曲线的焦点在x 轴上，因此其渐近线方程是y ＝±43x .检验所给直线的参数方程可知只有①③⑤适合条件．7．已知过曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3sin θ，y ＝3cos θ(θ为参数，0≤θ≤π)上一点P 与原点O 的连线PO的倾斜角为π2，则点P 的坐标是( )A ．(0,3) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－125，－125C ．(－3,0)D.⎝⎛⎭⎪⎫125，125 解析：选A 曲线的普通方程为x 2＋y 2＝9(0≤x ≤3)，∵点P 与原点O 的连线PO 的倾斜角为π2，∴点P 的横坐标为0，将x ＝0代入x 2＋y 2＝9得y ＝3(y ＝－3舍去)，∴P (0,3)．故选A.8．在极坐标系中，由三条直线θ＝0，θ＝π3，ρcos θ＋ρsin θ＝1围成的图形的面积为( )A.14B.3－34C.2－34D.13解析：选B 三条直线的直角坐标方程依次为y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，如图．围成的图形为△OPQ ，可得S △OPQ ＝12|OQ |·|y P |＝12×1×33＋1＝3－34. 9．点(ρ，θ)满足3ρcos 2θ＋2ρsin 2θ＝6cos θ，则ρ2的最大值为( ) A.72 B ．4 C.92D ．5解析：选B 由3ρcos 2θ＋2ρsin 2θ＝6cos θ，两边乘ρ，化为3x 2＋2y 2＝6x ，得y 2＝3x －32x 2，代入ρ2＝x 2＋y 2，得x 2＋y 2＝－12x 2＋3x ＝－12(x 2－6x ＋9)＋92＝－12(x －3)2＋92.因为y 2＝3x －32x 2≥0，可得0≤x ≤2，故当x ＝2时，ρ2＝x 2＋y 2的最大值为4.10．过椭圆C ：⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点F 作直线l ：交C 于M ，N 两点，|MF |＝m ，|NF |＝n ，则1m ＋1n的值为( )A.23B.43C.83D ．不能确定解析：选B 曲线C 为椭圆x 24＋y 23＝1，右焦点为F (1,0)，设l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos θ，y ＝t sin θ，(t为参数)，将其代入椭圆方程得(3＋sin 2θ)t 2＋6cos θt －9＝0，则t 1＋t 2＝－6cos θ3＋sin 2θ，t 1t 2＝－93＋sin 2θ， ∴1m ＋1n ＝1|t 1|＋1|t 2|＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝43. 二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数)的普通方程为________．解析：直接化简，两式相减消去参数t 得，x －y ＝1，整理得普通方程为x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝012．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x ＋y －6＝0，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π))，则圆心C 到直线l 的距离为________．解析：圆C的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ＋2(参数θ∈[0,2π))化成普通方程为x 2＋(y－2)2＝4，圆心为(0,2)，半径为2，∴圆心C 到直线l 的距离为|0＋2－6|2＝2 2.答案：2 213．在极坐标系中，曲线C 1 与C 2 的方程分别为 2ρcos 2θ＝sin θ与 ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1 与C 2交点的直角坐标为________．解析：由2ρcos 2θ＝sin θ⇒2ρ2cos 2θ＝ρsin θ⇒2x 2＝y ，又由ρcos θ＝1⇒x ＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＝y ，x ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，故曲线C 1与C 2交点的直角坐标为(1,2)．答案：(1,2)14．在极坐标系中，直线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ 2.若以极点为原点，极轴为x 轴的非负半轴建立平面直角坐标系xOy ，则直线C 1的直角坐标方程为______；若曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t (t 为参数)，则C 1被C 2截得的弦长为________．解析：直线C 1的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2，即ρsin θ＋ρcos θ＝2，∴直线C 1的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.曲线C 2的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t ，y ＝1＋sin t(t 为参数)化成普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，表示圆，圆心到直线C 1的距离d ＝12，∴C 1被C 2截得的弦长为21－12＝ 2. 答案：x ＋y －2＝02三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．解：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R)，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ，①又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，②联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23，y ＝6.(舍去)故点P 的直角坐标为(0,0)．16．(本小题满分12分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a ，且点A 在直线l 上．(1)求a 的值及直线l 的直角坐标方程；(2)圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos α，y ＝sin α(α为参数)，试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)由点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4在直线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝a 上，可得a ＝ 2. 所以直线l 的极坐标方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2. 从而直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)由已知得圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 所以圆C 的圆心为(1,0)，半径r ＝1， 因为圆心C 到直线l 的距离d ＝12＝22<1，所以直线l 与圆C 相交． 17．(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)．(1)以原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值．解：(1)因为圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2＝4， 化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0. (2)由已知得直线AB 的方程为x －y ＋2＝0，点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|x －y ＋2|2＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，又|AB |＝(－2)2＋(－2)2＝22， 所以△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＋9， 所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.18．(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 2：ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0.(1)求C 1的普通方程及C 2的直角坐标方程，并说明它们分别表示什么曲线； (2)若P ，Q 分别为C 1，C 2上的动点，且|PQ |的最小值为2，求k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝k (t －1)(t 为参数)消去t 可得C 1的普通方程为y ＝k (x －1)，它表示过定点(1,0)，斜率为k 的直线．由ρ2＋10ρcos θ－6ρsin θ＋33＝0可得C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2＋10x －6y ＋33＝0，整理得(x ＋5)2＋(y －3)2＝1，它表示圆心为(－5,3)，半径为1的圆．(2)由题意知直线与圆相离．因为圆心(－5,3)到直线y ＝k (x －1)的距离d ＝|－6k －3|1＋k 2＝|6k ＋3|1＋k 2，故|PQ |的最小值为|6k ＋3|1＋k 2－1，由|6k ＋3|1＋k 2－1＝2，得3k 2＋4k ＝0，解得k ＝0或k ＝－43.。
高二数学参数方程PPT教学课件
例3.①将圆的普通方程 x2 y2 4 化为参数方程为____________;
②将椭圆的普通方程 x2 y2 1
94
化为参数方程为____________; ③将②题中y=2t，(t为参数)，则
其参数方程为___________.
【方法·规律·小结】
普通方程化为参数方程时，①选取 参数后，要特别注意参数的取值范围， 它将决定参数方程是否与普通方程等价． ②参数的选取不同，得到的 参数方程是不同的．
若极坐标方程 c为 os 4的直线与曲xy线tt32 (t为参数 )相交于 A,B两点,则| AB|___1_6 ___. __
***作业*** 《考一本》第8课时
课堂练习
教材P26 第4题 第5题
小结
1.消参的主要方法： (1) 代入消参或加减消参 (2) 利用三角或代数恒等式消参 (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一些
灵活的方法整体消参。 2. 参普互化要保持等价性
在参数方程与普通方程的互化中, 必须保持曲线的范围不发生变化。
注意:范围或隐含条件的挖掘。
【方法·规律·小结】
消去参数的方法一般有三种： (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，
然后代入消去参数； (2)利用三角恒等式消去参数； (3)根据参数方程本身的结构特征，选用一
些灵活的方法从整体上消去参数。 将参数方程化为普通方程时，要注意防止
变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参 数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的 值域，即x和y的取值范围。
参数方程
探究引入
如图，一架救援飞机在离灾区地面 500m高处以100m/s的速度作水平直线飞 行.为使投放的救援物资准确落于灾区指 定的地面(不计空气阻力)，飞行员应如 何确定投放时机呢？
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二次函数与参数方程讲义
一、二次函数的定义及性质
二次函数是指具有形如f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a ≠ 0。
二次函数的图像在直角坐标系中呈现出一个抛物线的形状。
下面介绍一些二次函数的性质：
1.顶点：二次函数的图像的顶点坐标为（-b/2a,f(-b/2a)），其中b 为二次项系数，a为一次项系数，f(x)为二次函数表达式。
2.对称轴：二次函数的对称轴是与顶点垂直且通过顶点的线，对称轴的方程为x=-b/2a。
3.开口方向：若a>0，则二次函数的图像开口向上；若a<0，则二次函数的图像开口向下。
4. 判别式：二次函数的判别式Δ = b^2 - 4ac可以判断二次函数的图像与x轴的交点个数和位置。
若Δ > 0，则有两个不同的实数根，图像与x轴有两个交点；若Δ = 0，则有一个实数根，图像与x轴有一个交点；若Δ < 0，则没有实数根，图像与x轴没有交点。
5.奇偶性：二次函数关于对称轴对称。
二、参数方程的定义及性质
参数方程是指通过引入一个或多个参数，将自变量和因变量用参数的函数表示的一种函数形式。
下面介绍一些常见的参数方程：
1.平面曲线的参数方程：平面曲线的参数方程通常是将平面坐标x和y分别表示为参数t的函数，即x=f(t)和y=g(t)。
2.长度参数方程：对于曲线上的一点P(x,y)，如果已知P到曲线的
起点O的距离s与曲线上的弧长l之间存在函数关系s=h(l)，则有
x=f(l),y=g(l)。
3.动点参数方程：描述动点在平面上的运动轨迹时，可以使用动点坐
标作为参数的函数，即x=f(t),y=g(t)。
4.极坐标参数方程：极坐标系下，曲线的参数方程与平面直角坐标系
类似，但是将x和y表示为极坐标r和θ的函数，即r=f(θ),θ=g(θ)。
参数方程的优点是可以描述曲线上每一点的位置及其运动轨迹，而不
仅仅是曲线的整体特征。
三、二次函数和参数方程的关系
对于二次函数，可以将其表示为参数方程的形式。
以平面曲线为例，
设二次函数为f(x) = ax^2 + bx + c，可以将曲线的x坐标和y坐标表
示为参数t的函数：
x = t, y = f(t) = at^2 + bt + c
这就是二次函数f(x) = ax^2 + bx + c的参数方程表示。
通过参数
方程，可以方便地描述二次曲线上各个点的位置和运动轨迹。
而对于已知的参数方程x=f(t),y=g(t)，可以通过解方程组得到x和
y之间的关系，进而得到对应的二次函数。
例如，已知参数方程x=t,y=t^2，则将x代入y的方程得到y=x^2，
即得到了对应的二次函数。
综上所述，二次函数和参数方程之间存在一一对应的关系，可以相互
转换，从而更加全面地描述二次曲线的性质和特点。
四、例题：
1.已知二次函数f(x)=2x^2+4x+1，求其参数方程。
解：令x=t，代入原函数得到y=f(t)=2t^2+4t+1、所以参数方程为x=t,y=2t^2+4t+1
2.已知参数方程x=t,y=t^2+1，求对应的二次函数。
解：将x=t代入y=t^2+1得到y=x^2+1，所以对应的二次函数为
f(x)=x^2+1
通过以上例题，可以看到二次函数和参数方程之间的转换过程，使得我们对曲线的研究更加灵活和全面。
总结：二次函数和参数方程是数学中常用的函数表达形式。
二次函数通过顶点、对称轴、开口方向等性质描述了抛物线的特点；参数方程则通过参数t描述了曲线上各个点的位置和运动轨迹。
二次函数和参数方程之间存在一一对应的关系，可以相互转换，使得研究曲线更加方便和全面。