椎体的体积公式
柱体、椎体、台体的表面积和体积教程
解析：所得旋转体是底面半径为2，高为2的圆锥，体
积V＝ 1 π×22×2＝
3
83π.
答案： 83π
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跟踪训练 1．如图所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是
边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几 何体的表面积为( C )
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2．体积公式
(1)柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝____.
(2)锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝______.
(3)台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为 h，则V＝____________.
练习4.正方体的表面积为100，对角线长度为
________．
2．(1)Sh
1 (2)3Sh
(3)13(S′＋ S′S＋S)h
练习 4.5 2
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◆数学•必修2•(配人教A版)◆ 2．根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三
者的体积公式之间的关系吗？ 解析：(1)柱体、锥体、台体之间的关系：
(2)体积公式之间的关系：
思考应用 1．三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的展开图是什么
平面图形？如何计算其表面积？
解析：三棱锥、四棱锥、三棱台、四棱台的侧面展开 图如下：
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据此可以看出，棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼 接成的，其表面积是围成棱锥的各个面的面积之和；棱台 的侧面展开图是由多个梯形拼凑成的，其表面积是围成棱 台的各个面的面积之和．
旋 转 体
探究与发现祖暅原理与柱体、椎体、球体的体积
安徽省舒城中学 束观元
引入课题：
在小学，我们是如何推出圆锥体积
公式的？棱柱、棱锥？球体？
如
何
好大的西瓜，能不
计
能填饱我的肚子！
算
球
的
体
积
？
探究活动一：祖暅原理
取一堆书放在桌面上，然后让它如图改变一下 形状，请问：它的体积变了吗？
还有哪些量没有改变？
是不是等底等高的两个几何体体积就一定相等 呢?
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
这个原理叫祖 理
探究活动二：柱体的体积公式
夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于 这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截 面面积总相等，那么这两个几何体的体积相等。
V柱 Sh
探究活动三：锥体的体积公式
等底面积等高的两个锥体的体积相等
A1
C1
B1
A
C
B
1 V锥 3 Sh
探究活动四：球体体积
半径为R的半球 底面半径和高都为R的圆柱 挖 去 一 个 圆 锥
S圆= r 2 R2 l 2
S圆环= (R 2 l 2 )
S圆 S圆环
1 2 V球
R2
R
1 R2
3
R
2 R3
3
V球
4 R3
3
例1. 从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后， 得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积 的几分之几？
例2 已知过球面上三点A、B、C的截面到球心O的距 离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=２cm，求球的 表面积．
柱体、椎体、台体、球体的体积和球的表面积
二、球体的体积和表面积
探 究
一个充满空气的足球和一个充满空气的篮球， 球内的气压相同，若忽略球内部材料的厚度，则哪一 个球充入的气体较多？为什么？
如果用油漆去涂一个足球和一个篮球，且涂的油漆 厚度相同，问哪一个球所用的油漆多？为什么？
球的概念
球的截面 的形状
圆面
球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆
分析：正方体内接于球，则由球和正方 体都是中心对称图形可知，它们中心重 合，则正方体对角线与球的直径相等。
略 解 ：RtB1 D1 D中 : ( 2 R ) a ( 2a ) , 得
2 2 2
D A D1 A1 B
C
O
C1 B1
3 R a 2 S 4R 2 3a 2
D
A D1 A1 B1 O B
R
O
第i层“小圆片”下底面的 半径：
ri R R [ ( i 1)]2 , i 1,2 , n. n
2
R ri R [ ( i 1)]2 , i 1,2, , n n 3 R R i 1 2 2 Vi ri [1 ( ) ], i 1,2 , n n n n
C
C1
例7、已知过球面上三点A、B、C的截面到球 心O的距离等于球半径的一半，且 AB=BC=CA=２cm，求球的体积，表面积．
解：如图，设球O半径为R，截面⊙O′的半径为r，
R O O , ABC是正三角形， 2
O A 2 3 2 3 AB r 3 2 3
解：在RtOO A中, OA 2 O O 2 O A 2 ,
柱体、锥体、台体、球体 的体积和球体的表面积
一、柱体、锥体、台体的体积
【高中数学】柱、锥、台的表面积与体积
S (r'2 r2 r'l rl)
x 2r'
r ' O’
2r
l
rO
r' x
r xl
rx r' x r'l
S侧 r(l x) r' x (rl rx r' x)
(r'l rl)
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么 关系？
r O
r 'O’
上底扩大
l
l 上底缩小
解：六角螺帽的体积是六棱柱 的体积与圆柱体积之差，即:
V 3 122 610 3.14 (10 )2 10
4
2
2956 (mm3)
2.956 (cm3)
例1： 一个几何体的三视图及相关尺寸如图所示:
正视图
2cm
侧视图
2 cm
2cm
俯视图
这个几何体是 _正_四__棱_锥__，
它的表面积是 _________，
直，侧棱长为 2cm ，求：
(1) 此棱锥的体积V； (2) 点S到底面ABC的距离。
V = V S-ABC
B-SAC
= VA-SBC
A
= VC-SAB
S
C O
B
【总一总★成竹在胸】
1.柱体、椎体、台体的表面积公式； 2.柱体、椎体、台体的体积公式； 3.台体与柱体和椎体之间的转换关系.
一、棱柱、棱锥、棱台的展开图及表面积的求法：
在初中学过正方体和长方体的表面积以及展开图, 正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？
几何体表面积
展开图 平面图形面积
空间问题
平面问题
探究：棱柱、棱锥、棱台也是由多个平 面图形围成的多面体，它们的展开图是 什么?如何计算它们的表面积?
1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积
1、3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积3、1柱体、锥体、台体的表面积与体积小故事:被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？要求：新课标对本节内容要求是了解棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式，也就是说对体积和面积公式的推导、证明和记忆不作要求，按通常的理解是会求体积和面积，以及很简单的应用即可.一、【学习目标】了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式，提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣；掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.【教学效果】：教学目标的出示，有利于学生们把握整体的课堂学习.二、【自学内容和要求及自学过程】阅读教材23—25页内容，回答问题在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图，你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为，你计算出它的表面积吗？结论：正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr.圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr.圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即.思考：圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？练习一： 完成教材例1、例2，体会例1、2所蕴含的解题技巧； 完成教材第27页练习1； 把一个棱长为a的正方体，切成27个全等的小正方体，则所有小正方体的表面积是.【教学效果】：学生们的学习效果不错，对于圆台的表面积公式的推导，我做了这样的处理：只是提示推导过程，而没有在课堂上一步一步的推导.阅读教材第25—27页内容，回答问题回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗，并依次类比出柱体的体积公式吗？椎体呢？比较柱体、锥体、台体的体积公式：V柱体=Sh；V锥体=；V台体=h.你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？结论：棱长为a的正方体的体积V=a3=a2a=Sh；长方体的长、宽和高分别为a,b,c，其体积为V=abc=c=Sh；底面半径为r高为h的圆柱的体积是V=πr2h=Sh，可以类比，一般的柱体的体积也是V=Sh，其中S是底面面积，h为柱体的高.圆锥的体积公式是V=，它是同底等高的圆柱的体积的.棱锥的体积也是同底等高的棱柱体积的,即棱锥的体积V=.由此可见，棱柱与圆柱的体积公式类似，都是底面面积乘高；棱锥与圆锥的体积公式类似，都是底面面积乘高的.由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个锥体的体积差，得到圆台的体积公式V=h,其中S′，S分别为上、下底面面积，h 为圆台高.注意：不要求推导公式，也不要求记忆.柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体.当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式;当S′=S 时，台体的体积公式变为柱体的体积公式，因此，柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式.柱体和锥体可以看作由台体变化得到，柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体，因此很容易得出它们之间的体积关系,如图：练习二： 完成教材26页例3，体会例3中蕴含的解题技巧； 完成教材27页练习2； 把长和宽分别为6和3的矩形卷成一个圆柱的侧面，求这个圆柱的体积；已知三棱锥o-ABc中，oA、oB、oc两两垂直，oc=1，oA=x，oB=y，且x+y=4，则三棱锥体积的最大值是；④已知正三棱台的上下底面边长分别是2c和4c，侧棱长是c，试求该三棱台的表面积与体积；④：一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，那么这个几何体的体积为，已建的仓库的底面直径为12，高4.养路处拟建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐，现有两种方案：一是新建的仓库的底面直径比原来大4；二是高度增加4. 分别计算按这两种方案所建的仓库的体积； 分别计算按这两种方案所建仓库的表面积； 哪个方案更经济些？.四、【小结】这节课主要学习了柱体、锥体、台体的表面积和体积，学习完这节课之后要求学生们能达到熟练的应用公式解题的目的.五、【教学反思】这节课本来是一课时的内容，但是上课时发现一课时太紧凑，就分为了两课时来讲，课时讲表面积，第二课时讲体积.有时候课堂上是要求我们能二次备课、临时调整的，不能为了完成课时任务而增加教学量.对于这节课，学生们的学习效果还是不错的，但是这节课也出现了一些小小的问题.事情是这样的，课堂上一个好动的学生在我讲课的时候偷偷的说话，由于我在讲课，没有及时的制止，只是目光示意.等我讲到求三角形面积的时候，我说三角形的面积有三种求法，一种是根据两边和夹角的正弦来求面积，另一种是底乘高，那么另外一种是什么？这个同学说高乘底，我没有言语，当时心里面有点儿生气，但是后来他又说了一遍，班里面的同学有点儿笑，由于是课堂，这种现象是不应该出现的，但是我不想伤害学生的自尊心，就说底乘高和高乘底是一样的，这不能算作两种方法，就这样解了围.等我讲完课，还有将近十分钟的时间，我让学生做作业，或者往后面预习也可以，当我转到后面的时候这个同学问我：老师我做什么啊？我说：做作业啊！这个同学说我没有作业本了.我一听，有点儿蒙，说：昨天不是刚发的作业本吗？这个同学说：我作业本刚刚交上了.由于昨天晚上学生们活动，所以有一部分同学的作业没有交，所以在讲完课的时候我把作业本收起来了.这时我说，你可以先往后面预习一下，这个同学拿出课本，说：预习什么？我有点儿发火，但是没有流露出来，道：往后面预习，预习体积.这个同学坐下了，这时有同学问题，正在给同学辅导，这个同学突然大声道：老师，我想去厕所！当时我一下子火了，把粉笔往地上一摔......其实自己心里面觉得很难受，不想发火，但是还是发火了.不找别人的原因，先找找自己的原因，我觉得恰当的处理应该是下课时找他谈一谈，但是我没有做到.或许这个同学这样做是为了引起老师的注意，并没有太大的恶意，而我却伤害了这个学生的自尊心；或许这个学生真的是想上厕所，没有什么恶意，但是我伤害了学生的自尊心.以前总以为自己是克制的最好的，但是还是没有克制住，这一点，我要汲取教训，不能再犯.以后，我要汲取这个教训，一定不能伤害学生的自尊心.可以说，这一节课因为这一个发火，一节本来成功的课，变成了失败的课.很愧疚.。
数学高中几何公式
高中数学几何公式整理：1.空间几何体的表面积公式：设棱长为a，则有：正四面体V=a^3，正方体V=6a^3，正八面体V=8a^3，正十二面体V=12a^3，正二十面体V=12a^3。
2.球体积公式：半径为R的球的体积为：V=(4/3)πR^3。
3.球的表面积公式：球的表面积=4πr^2。
4.球的体积公式：V=(4/3)πr^3。
5.圆锥的侧面积=πRL。
6.圆锥的表面积=πRL+πR^2。
7.圆柱的侧面积=2πRL。
8.圆柱的表面积=2πRL+2πR^2。
9.直角三角形ABC中，设a,b,c为角A,B,C的对边，则有：c^2=a^2+b^2-2abcosC。
10.三角形ABC中，若cosA=b/c，则称三角形ABC为直角三角形，且角A为直角。
11.圆的标准方程：(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。
12.椭圆的方程：P(x,y)到点O(c,0)的距离d和点P到直线x=c的距离相等。
13.双曲线的方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1。
14.抛物线的方程：y^2=2px(p>0)。
15.直线斜率公式：k=(y2-y1)/(x2-x1)。
16.直线方程：(1) 斜截式：y=kx+b。
(2) 斜率式：y=kx+b。
(3) 一般式：Ax+By+C=0。
17.圆的切线方程：(1) 圆到x轴的切线：y=0。
(2) 圆到y轴的切线：x=0。
18.(3) 斜率不存在：x=x0。
(4) 斜率存在：y=kx+b。
19.椭圆方程：x^2/a^2+y^2/b^2=1。
20.双曲线方程：x^2/a^2-y^2/b^2=1。
21.抛物线方程：y^2=2px(p>0)。
22.平面直角坐标系中，设有直线：Ax+By+C=0，则该直线在x轴的交点坐标为(-C/A,0)，在y轴的交点坐标为(0,-C/B)。
23.设有曲线f(x,y)，则该曲线在点(x0,y0)处的切线斜率为：f'x(x0,y0)，切线方程为：y-y0=f'x(x0,y0)(x-x0)。
圆柱和圆锥体积公式
圆柱和圆锥体积公式圆柱和圆锥体积是数学中一个重要的概念，早在古希腊时期，就已经被提出和推导出相关公式了。
它们是最常见的几何体，可以作为许多物体的外形和形状，如桶、桶、盒子、瓶子等。
了解它们的体积公式对于对任何形状的物体计算体积都是非常重要的。
圆柱体的定义是一个垂直的柱体，由矩形的底面和圆形的侧面组成。
圆柱体的体积可以用如下公式计算：V =rh，其中，V表示圆柱体的体积，π是圆周率，r表示圆柱体底面半径，h表示圆柱体的高度。
在许多物理学和化学教科书中，把这个公式写成 V = Bh，其中B表示底面积，可以省略π的符号，因为π的值是常量，不会随数据的变化而变化。
举例来说，一个底面半径为5厘米，高度为10厘米的圆柱体，它的体积就是 V =rh=π 52 10=785.4 cm，注意r用平方号表示，表示平方倍数。
圆锥体是椎体的一种，它有一个圆形的基底和一个尖顶，其体积公式可以用如下表达：V =1/3πrh，其中，V表示圆锥体的体积，π是圆周率，r表示圆锥体基底的半径，h表示圆锥体的高度。
举例来说，一个基底半径为5厘米，高度为10厘米的圆锥体，它的体积就是V =1/3πrh =1/3π 52 10= 263.5 cm，注意米用平方号表示，表示平方倍数。
圆柱体和圆锥体都是几何体的两种常见形式，它们的体积公式十分重要。
以上就是圆柱体和圆锥体体积公式介绍内容。
通过学习上面的公式，我们可以快速算出任何形状和大小的几何体的体积，这在建筑计算、建筑物设计、物理学实验等中具有重要的意义。
随着现代科学技术的发展，解决几何体体积问题也越来越容易。
比如，有很多电脑软件可以快速计算出任何形状和大小的几何体的体积，这大大降低了人们计算体积的难度。
但是，学习和掌握圆柱体和圆锥体体积公式仍然至关重要，因为这样可以使您对于几何体体积问题有更加深刻的理解，以及更好地利用计算机软件。
总之，通过学习圆柱体和圆锥体体积公式，我们可以更好地解决几何体体积问题。
《柱体、椎体、台体的表面积与体积》用课件
应用
通过给定的棱台的上、下底面尺 寸和高，可以计算出其表面积和
体积。
04 特殊立体图形的表面积与 体积
球体的表面积与体积
球体的表面积
球体表面积的计算公式为$4pi r^{2}$，其中$r$为球体的半径。这个公式表示 球体表面积是半径的平方与圆周率$pi$的四倍的乘积。
球体的体积
02 椎体的表面积与体积
圆锥体的表面积
01
02
03
公式
圆锥体的表面积 = 圆周率 × 底面半径的平方 + 圆周 率 × 底面半径 × 高
解释
圆锥体的表面积由底面和 侧面组成，底面是一个圆， 侧面是一个曲面，其表面 积由公式计算得出。
应用
在计算圆锥体容器表面积 时，需要考虑容器的材质、 厚度等因素。
圆柱体的体积
公式
V = πr^2h
解释
其中，r是底面圆的半径，h是圆柱的高。
应用
适用于计算圆柱体的体积。
棱柱体的表面积与体积
公式
S = (n+2)ah
应用
适用于计算棱柱体的表面 积。
解释
其中，B是底面积，h是高。
解释
其中，n是棱柱的侧面数量， a是底面边长，h是高。
公式
V = Bh
应用
适用于计算棱柱体的体积。
VS
椭球体的体积
椭球体的体积计算公式为$frac{4}{3}pi abc$，其中$a$、$b$、$c$分别为椭球体 的长半轴、短半轴和高。这个公式表示椭 球体体积是长半轴、短半轴和高的三者的 乘积的四分之三。
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半球体的体积
半球体体积的计算公式为$frac{1}{3}pi r^{2} h$，其中$r$为底面圆的半径，$h$为 半球体的高。这个公式表示半球体体积是底面圆面积的三分之一与半球体高的乘积。