第六讲-三角函数的单调性及最值

第六讲 三角函数单调性及最值[学习目标]1.掌握y ＝sin x 的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2. 掌握y ＝sin x 的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间．[知识链接]1．怎样求函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期？答 由诱导公式一知：对任意x ∈R ，都有A sin[(ωx ＋φ)＋2π]＝A sin(ωx ＋φ)，所以A sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＋φ＝A sin(ωx ＋φ)， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2πω＝f (x )， 所以f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(ω≠0)是周期函数，2πω就是它的一个周期． 由于x 至少要增加2π|ω|个单位，f (x )的函数值才会重复出现，因此，2π|ω|是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期．2．观察正弦曲线，正弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答 正弦函数存在最大值和最小值，分别是1和－1.[预习导引]正弦函数的图象和性质(－∞，＋∞)或R 经典例题要点一 求函数的单调区间例1 求函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调递增区间．解 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4， 令z ＝x －π4，则y ＝－2sin z . 因为z 是x 的一次函数，所以要求y ＝－2sin z 的递增区间，即求sin z 的递减区间，即2k π＋π2≤z ≤2k π＋3π2(k ∈Z )． 所以2k π＋π2≤x －π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )， 2k π＋3π4≤x ≤2k π＋7π4(k ∈Z )， 所以函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的递增区间为 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋3π4，2k π＋7π4(k ∈Z )． 规律方法 用整体替换法求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时，如果式子中x 的系数为负数，先利用诱导公式将x 的系数变为正数再求其单调区间．再将最终结果写成区间形式．跟踪演练1 求下列函数的单调递增区间：(1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ； (2)y ＝log 12sin x . 解 (1)y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x ＝1－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.令u ＝x －π6，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y ＝sin u 的单调递减区间，即2k π＋π2≤u ≤2k π＋32π(k ∈Z )， 亦即2k π＋π2≤x －π6≤2k π＋3π2(k ∈Z )． 亦即2k π＋23π≤x ≤2k π＋53π(k ∈Z )， 故函数y ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－x 的单调递增区间是2k π＋23π，2k π＋53π(k ∈Z )． (2)由sin x >0，得2k π<x <2k π＋π，k ∈Z .∵12<1，∴函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间即为 u ＝sin x 的递减区间，∴2k π＋π2≤x <2k π＋π，k ∈Z . 故函数y ＝log 12sin x 的单调递增区间为 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z )． 要点二 函数的单调性的应用例2 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10； (2)sin 196°与cos 156°.π2<－π10<－π18<π2，解(1)∵－∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π18>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10. (2)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°，∵0°<16°<66°<90°，∴sin 16°<sin 66°；从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.规律方法 用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小． 跟踪演练2 比较下列各组数的大小．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π与sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π； (2)cos 870°与sin 980°.解 (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π－π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫493π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫16π＋π3＝sin π3， ∵y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上是增函数， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6<sin π3，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－376π<sin 493π. (2)cos 870°＝cos(720°＋150°)＝cos 150°＝－sin 60°，sin 980°＝sin(720°＋260°)＝sin 260°＝sin(180°＋80°)＝－sin 80°，∵0°<60°<80°<90°，∴sin 80°>sin 60°，∴－sin 60°>－sin 80°，即cos 870°>sin 980°.要点三 正弦函数的最值(值域)例3 (1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时的自变量x 的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f (x )＝2sin 2 x ＋2sin x －12，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的值域． 解 (1)∵－1≤sin x ≤1，∴当sin x ＝－1，即x ＝2k π＋3π2，k ∈Z 时，y 取得最大值5，相应的自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2k π＋3π2，k ∈Z .当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2，k ∈Z 时，y 取得最小值1，相应的自变量x 的集合为⎩⎪⎨⎪⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫x ＝2k π＋π2，k ∈Z .(2)令t ＝sin x ，y ＝f (t )，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6， ∴12≤sin x ≤1，即12≤t ≤1. ∴y ＝2t 2＋2t －12＝2⎝⎛⎭⎪⎫t ＋122－1，∴1≤y ≤72， ∴函数f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，72. 规律方法 (1)形如y ＝a sin x ＋b 的函数的最值或值域问题，利用正弦函数的有界性(－1≤sin x ≤1)求解．求三角函数取最值时相应自变量x 的集合时，要注意考虑三角函数的周期性．(2)求解形如y ＝a sin 2 x ＋b sin x ＋c ，x ∈D 的函数的值域或最值时，通过换元，令t ＝sin x ，将原函数转化为关于t 的二次函数，利用配方法求值域或最值即可．求解过程中要注意t ＝sin x 的有界性．跟踪演练3 求函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值．解 ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x －π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－4x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋4x . 从而原式就是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π3，这个函数的最小正周期为2π4，即T ＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递增，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2(k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π(k ∈Z )时函数单调递减，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2(k ∈Z )时，y max ＝2； 当x ＝－5π24＋k π2(k ∈Z )时，y min ＝－2.1．函数y ＝2sin x 的单调增区间是( )A ．[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z ) B ．[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z ) C ．[2k π－π，2k π](k ∈Z )D．[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)答案 A解析 函数y ＝2x 为增函数，因此求函数y ＝2sin x 的单调增区间即求函数y ＝sin x 的单调增区间2．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2π3，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的值域是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 答案 B解析 ∵0≤x ≤π2，∴2π3≤x ＋2π3≤7π6. ∴sin 7π6≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π3≤sin 2π3，∴－12≤y ≤32. 故选B.3．下列不等式中成立的是( )A ．sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π10 B ．sin 3>sin 2 C ．sin 75π>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π D ．sin 2>cos 1 答案 D解析∵sin 2＝sin ()π－2，cos 1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1， 且(π－2)－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1＝π2－1>0，∴π2>π－2>π2－1>0，∴sin(π－2)>sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－1，即sin 2>cos 1. 4．求函数y ＝f (x )＝sin 2x －4sin x ＋5的值域．解 设t ＝sin x ，则|t |≤1，f (x )＝g (t )＝t 2－4t ＋5(－1≤t ≤1)g (t )＝t 2－4t ＋5的对称轴为t ＝2.开口向上，对称轴t ＝2不在研究区间[－1,1]内． g (t )在[－1,1]上是单调递减的，∴g (t )max ＝g (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10， g (t )min ＝g (1)＝12－4×1＋5＝2，即g (t )∈[2,10]．所以y ＝f (x )的值域为[2,10]．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。