2022-2023学年北京市东城区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市昌平区高二上册期末数学质量检测试题(含解析)
2022-2023学年北京市昌平区高二上册期末数学质量检测试题一、单选题1．已知直线:20+-=l x y ，则直线l 的倾斜角为（）A ．π4B ．π2C ．2π3D ．3π4【正确答案】D【分析】将直线方程化成斜截式，可得直线的斜率，再根据斜率和倾斜角的关系即可得答案.【详解】解：因为直线:20+-=l x y ，化成斜截式为2y x =-+，所以直线l 的斜率1k =-，设直线l 的倾斜角为θ，则有tan 1θ=-，又因为[0,π)θ∈，所以3π4θ=.故选：D2．已知()(),1,2,2,,1a x b y =-= ，且a b∥，则xy =（）A ．92-B ．2C ．2-D ．8【正确答案】B【分析】先利用向量平行充要条件求得14,2x y =-=-，进而求得xy 的值.【详解】()(),1,2,2,,1a x b y =-= ，且a b∥，则()1201120xy y -⨯=⎧⎨⨯--=⎩，解之得124y x ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，则()1422xy =-⨯-=故选：B3．椭圆221259x y +=的右焦点坐标为（）A ．()5,0-B ．()3,0C ．()4,0D ．()5,0【正确答案】C【分析】利用椭圆的标准方程判断其焦点位置并求得c ，从而得解.【详解】因为椭圆221259x y +=，所以椭圆焦点落在x 轴上，2225,9a b ==，所以22225916c a b =-=-=，则4c =，所以椭圆221259x y +=的右焦点坐标为(),0c ，即()4,0.故选：C.4．已知正方体11111,,,ABCD A B C D AB a AD b AA c -=== ，点E 是1BB 的中点，则DE =（）A ．12a b c++ B ．12a b c+- C ．12a b c-- D ．12a b c-+ 【正确答案】D【分析】先用空间向量的减法表示DB，然后再用空间向量的加法表示DE .【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，,AB a AD b ==，则DB AB AD a b =-=-，又点E 是1BB 的中点，则11111222BE BB AA c ===，所以12DE DB BE a b c =+=-+ .故选：D.5．在5(3)x -的展开式中，3x 的系数为（）A ．270-B ．90-C ．90D ．270【正确答案】C【分析】利用二项展开式通项即可求得3x 的系数【详解】5(3)x -的展开式的通项515C (3)r rrr T x-+=-令53r -=，则2r =，则3x 的系数为225C (3)90-=故选：C6．设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）A ．若,,m n αβαβ⊂⊂∥，则m n ∥B ．若,,m n αβαβ⊥∥∥，则m n ⊥C ．若,,m n m n αβ⊥∥∥，则αβ⊥D ．若,,m n m n αβ⊥⊥∥，则αβ∥【正确答案】C【分析】利用长方体模型举反例排除A ，B ，D ，再证明C 正确即可.【详解】作长方体1111ABCD A B C D -，对于选项A ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面1111D C B A ，直线m 为直线BC ，直线n 为直线11C D ，则,,m n αβαβ⊂⊂∥，但直线,m n 异面，选项A 错误；对于选项B ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ，直线m 为直线11C D ，直线n 为直线1CD ，则,,m n αβαβ⊥∥∥，但直线,m n 不垂直，选项B 错误；对于选项D ，取平面α为平面ABCD ，平面β为平面11A B BA ，直线m 为直线1C C ，直线n 为直线11C D ，则,,m n m n αβ⊥⊥∥，但平面,αβ垂直，选项D 错误；对于选项C ，如图过直线n 作平面γ与平β交，且l βγ= ，因为//n β，γ⊂n ，l βγ= ，所以//n l ，又//m n ，所以//m l ，因为//m l ，m α⊥，所以l α⊥，又l β⊂，所以αβ⊥，选项C 正确.故选：C.7．“2m =”是“双曲线2221y x m-=的渐近线方程为2y x =±”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】双曲线渐近线方程为by x a=±，再结合充分条件和必要条件的定义判断即可.【详解】若2m =，则22212y x -=，则渐近线方程为2y x =±；若渐近线方程为2y x =±，则21m b a ==，则2m =±，故“2m =”是“双曲线2221y x m -=的渐近线方程为2y x =±”的充分而不必要条件，故选：A.8．已知直线:1l y kx =-与曲线2:14xC y =-有公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]22-,C ．][(),22,∞∞--⋃+D ．11,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【正确答案】D【分析】根据曲线方程可得曲线C 为椭圆2214x y +=的上半部分包括x 轴上的部分，由直线经过定点()0,1P -，数形结合即可求解.【详解】将214x y =-()22104x y y +=≥，故曲线C 为椭圆2214x y +=的上半部分包括x 轴上的部分，:1l y kx =-经过定点()0,1P -,曲线C 与x 轴的交点为()()2,0,2,0A B --,11,22AP PB k k ==-，当直线:1l y kx =-与曲线2:14xC y -PB k k ≤或AP k k ≥，即12k ≥或12k ≤-，故选：D9．某社区征集志愿者参加为期5天的“垃圾分类，全民行动”的宣传活动，要求志愿者每人只参加一天且每天至多安排一人.现有甲､乙､丙3人报名，甲要求安排在乙､丙的前面参加活动，那么不同的安排方法共有（）A ．18种B ．20种C ．24种D ．30种【正确答案】B【分析】根据组合以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】根据题意可知：需要从5天中选择3天分别安排甲乙丙3名志愿者，且甲在乙丙的前面，第一步：从5天中选择3天，共有35C 10=种选择，第二步：将甲乙丙按照“甲乙丙”或者“甲丙乙”的顺序安排在已选好的3天中，共有2种选择，根据分步乘法计数原理得：不同的安排方法共有21020⨯=，故选：B10．已知正四棱锥P ABCD -的八条棱长均为4,S 是四边形ABCD 及其内部的点构成的集合.设集合{}|3T Q S PQ =∈≤，则T 表示的区域的面积为（）A ．3π4B ．πC ．2πD ．3π【正确答案】B【分析】由题意，相当于求出以P 为球心，3为半径的球与底面ABCD 的截面圆的半径后，即可求区域的面积.【详解】解：设顶点P 在底面上的投影为O ，连接BO ，则O 为正方形ABCD 的中心，如图，且124222BO ==221682PO PB OB =--因为当3PQ =时，故221OQ PQ PO =-=，故T 的轨迹为以O 为圆心，1为半径的圆上以及圆内，而正方形ABCD 内切圆的圆心为O ，半径为21>，故T 的轨迹在正方形ABCD 内部，故其面积为π.故选：B.二、填空题11．已知直线12:210,:310l ax y l x y ++=-+=.若12l l ⊥，则实数=a __________.【正确答案】6【分析】根据两直线一般式中垂直满足的关系即可求解.【详解】由于12l l ⊥，所以230a -⨯=，解得6a =故612．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中偶数共有__________个．（用数字作答）【正确答案】12【分析】由分步乘法计数原理结合排列组合直接求解即可．【详解】根据题意，要使组成无重复数字的三位数为偶数，则从0，2中选一个数字为个位数，有2种可能，从1，3，5中选两个数字为十位数和百位数，有23A 326=⨯=种可能，故这个无重复数字的三位数为偶数的个数为2612⨯=．故12．13．若423401234(12)x a a x a x a x a x +=++++，则13a a +=__________.（用数字作答）【正确答案】40【分析】利用赋值法求解.【详解】解：由423401234(12)x a a x a x a x a x +=++++，令1x =，得0123481++++=a a a a a ，令=1x -，得012341a a a a a -+-+=，两式联立得1340a a +=，故4014．数学中有许多形状优美､寓意美好的曲线，曲线:G 224x y xy +=+就是其中之一（如图）.给出下列四个结论：①曲线G 有且仅有四条对称轴；②曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为6；③曲线G 恰好经过8个整点（即横坐标､纵坐标均为整数的点）；④曲线G 所围成的区域的面积大于16.其中所有正确结论的序号是__________.【正确答案】①③④【分析】设点()00,P x y 是曲线G 上任意一点，分别求出点()00,P x y 关于x 轴、y 轴、直线y x =、直线y x =-对称的点，检验是否满足方程可得有四条对称轴.再由图象知，没有其他的对称轴即可判断①正确；根据基本不等式可得4xy ≤，即有228x y +≤，所以曲线G 上任意一点到原点的距离d ≤进而可判断②错误；分别令0x =，1x =±，2x =±，可得到8个点的坐标，进而说明当2x >时，不存在这样的点，即可判断③正确；易知曲线G 的范围大于以()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2，()0,2-，()0,2这8个点构成的正方形，又正方形的面积为16，即可得到④正确.【详解】对于①：设点()00,P x y 是曲线G 上任意一点，则有2200004x y x y +=+成立.显然点()00,P x y 关于x 轴的对称点()100,P x y -，点()00,P x y 关于y 轴的对称点()200,P x y -，点()00,P x y 关于直线y x =的对称点()300,P y x ，点()00,P x y 关于直线y x =-的对称点()400,P y x --也满足该式成立，所以x 轴、y 轴、直线y x =、直线y x =-都是曲线G 的对称轴.由图象易得，曲线G 没有其他的对称轴，故①正确；对于②：因为222x y xy +≥，当且仅当x y =时，等号成立.所以有42xy xy +≥，则4xy ≤，所以有2248x y xy +=+≤，即曲线G 上任意一点到原点的距离d =≤=又曲线G 的图象关于O 点中心对称，所以曲线G 上任意两点之间的距离的最大值为2d =对于③：令0x =，则24y =，解得2y =±，可得点()0,2-，()0,2；令1x =±，则230y y --=，显然y 无整数解；令2x =±，则220y y -=，解得2y =±或0y =，可得点()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2；当3≥x ，29x ≥，此时将224x y xy +=+看做关于y 的方程2240y x x y +--=，此时()()22244163x x x ∆=---=-.因为29x ≥，所以2327x -≤-，则2163110x ∆=-≤-<，方程无解.综上所述，曲线G 恰好经过8个整点.故③正确；对于④：显然由()2,0-，()2,0，()2,2--，()2,2-，()2,2-，()2,2，()0,2-，()0,2这8个点构成的正方形在曲线G 的内部.正方形的边长为4，面积为16.所以曲线G 所围成的区域的面积大于16.故④正确.故①③④.三、双空题15．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面,,1,2ABC AB AC PA AB AC ⊥===，则异面直线PC 与AB 所成角的大小为__________；点A 到平面PBC 的距离为__________.【正确答案】π2##90 63【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PC 与AB 所成角，根据点面距离的空间向量法即可求解.【详解】 在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥底面ABC ，,1,2AB AC PA AB AC ⊥===，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,1A B C P ,()()0,2,1,2,0,0PC AB =-=，()2,0,1PB =- ，设异面直线PC 与AB 所成角为θ，π02θ<≤则||000cos 0||25||PC AB PC AB θ⋅++===⨯,由于π02θ<≤，所以π2θ=，设平面PBC 的法向量为(),,m x y z = ，则2020m PC y z m PB x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，取1x =，则()1,1,2m = ，所以点A 到平面PBC 的距离为200636m AB m⋅++==故π26316．已知双曲线C 经过点()1,4324C 的标准方程为__________；其焦距为__________.【正确答案】221779y x -=2703【分析】先分类讨论双曲线C 的焦点在x 轴或是在y 轴上，再由题意求出22,a b 的值，从而得出双曲线C 的标准方程及其焦距.【详解】当双曲线C 的焦点在x 轴上时，可设双曲线C 为：22221,(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为4c e a ==，则2218116b a +=，2219b a =，229a b =，又因为双曲线C 经过点()1,4，则有221161a b -=，联立方程222291161a b ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得2159b =-，不符合题意；当双曲线C 的焦点在y 轴上时，可设双曲线C 为：22221,(0,0)y xa b a b-=>>，离心率为4c e a ==，则2218116b a +=，2219b a =，229a b =，又因为双曲线C 经过点()1,4，则有221611a b -=，联立方程222291611a b ab ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得279b =，27a =，则222770799c a b =+=+=，所以3c =，则双曲线C 的标准方程为221779y x -=，焦距为故221779y x -=,3.四、解答题17．已知圆C 的圆心坐标为()1,0C，且经过点(P .(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点P 作圆C 的切线l 与x 轴交于点M ，求直线l 的方程及PCM △的面积.【正确答案】(1)()2214x y -+=(2)30x +=；【分析】（1）利用待定系数法设出圆的标准方程，代入即可求解.（2）首先利用点斜式设出直线方程，再利用直线与圆相切的条件求出斜率，即可得到直线方程，再结合三角形为直角，即可求解面积.【详解】（1）有题意可知，设圆的方程为()2221x y r -+=，又因为(P 在圆上，则()22201r -+=，则24r =，故圆的方程为()2214x y -+=.（2）由题意知，直线的斜率存在，则设直线方程为()0y k x =-，即0-=kx y ，因为直线与圆相切，则圆心到直线的距离2d =，解得3k =，则直线方程为30x +=.则M 点坐标为()30-，，根据题意知，PCM △为直角三角形，其中PM ==，而2PC ==，所以PCM △的面积为11222PM PC ⨯⨯=⨯=18．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1C C ⊥平面1,,1ABC AC BC CA CC CB ⊥===.(1)求证:1AC ⊥平面1A BC ;(2)求直线1C C 与平面1A BC 所成角的大小.【正确答案】(1)证明见解析(2)45【分析】(1)先说明11ACC A 为正方形,即11AC AC ⊥,再证明BC ⊥平面11ACC A,即1AC BC ⊥,根据线面垂直的判定定理即可证明;(2)根据(1)中结论1AC ⊥平面1A BC ,则直线1C C 与平面1A BC 所成角即为11C CA ∠,在正方形11ACC A 求出该角即可.【详解】（1）证明:1C C ⊥Q 平面ABC ,AC ⊂平面ABC ,1C C AC ∴⊥,1AC CC = ,∴平行四边形11ACC A 为正方形,11AC AC ⊥∴,1C C ⊥Q 平面ABC ,BC ⊂平面ABC1C C BC ∴⊥,BC AC ⊥ ,1AC CC C = ,AC ⊂平面11ACC A ,1CC ⊂平面11ACC A ,BC ∴⊥平面11ACC A ,1AC ⊂Q 平面11ACC A ,1AC BC ∴⊥,1,BC AC C BC =⊂ 平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC ,1AC ∴⊥平面1A BC 得证;（2）记1AC 与1AC 交点为D ,由(1)知1AC ⊥平面1A BC ,所以1C D ⊥平面1A BC ,故直线1C C 与平面1A BC 所成角为11C CA ∠,由(1)知平行四边形11ACC A 为正方形,1145C CA =∴∠ ,故直线1C C 与平面1A BC 所成角为45 .19．已知抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()1,2.(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设()1,4M ，直线:l y x b =+与抛物线C 有两个不同的交点,A B .若MAB △是以AB 为底边的等腰三角形，求证：直线l 经过抛物线C 的焦点.【正确答案】(1)24y x =,=1x -(2)证明见解析【分析】(1)应用点在抛物线上即可求出p ,即可求出抛物线C 的方程及其准线方程;(2)直线方程和抛物线联立方程组,再把等腰三角形转化为斜率关系,列式计算即可求出b ,进而得证.【详解】（1）因为抛物线2:2(0)C y px p =>经过点()1,2,所以42p =,所以抛物线C 的方程为24y x =,准线方程为=1x -;（2）设()()1122,,,A x y B x y ,AB 中点1212,22x x y y T ++⎛⎫ ⎪⎝⎭联立方程组24y x y x b⎧=⎨=+⎩,可得()24x b x +=,即()22240x b x b +-+=可得()222440b b ∆=-->，即1b >，1221242x x b x x b +=-⎧⎨=⎩,则12124y y x b x b +=+++=，所以()2,2T b -，因为MAB △是以AB 为底边的等腰三角形,所以MT AB ⊥,即可得1MT AB k k ⨯=-，又因为1AB k =,()1,4M ,()2,2T b -,则21MT k b =-,即得2111b ⨯=--所以1b =-所以:1l y x =-，经过抛物线C 的焦点()1,0.20．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，PD ⊥平面,2ABCD DA DC DP ===，点M 在棱PC 上，且PA //平面BDM .(1)求证：M 是棱PC 的中点；(2)再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：（i ）二面角M BD C --的余弦值；（ii ）在棱PA 上是否存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM ？若存在，求出PQ PA的值；若不存在，说明理由.条件①：60BAD ∠=︒；条件②.2BD =注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.【正确答案】(1)证明见解析(2)（i ）217；（ii ）不存在点Q ，理由见解析【分析】（1）连结AC ，交BD 于F ，连结MF ，又线面平行的性质可推导出//PA MF ，由此能证明结论；（2）由已知分析，选择条件①：60BAD ∠=︒，或选择条件②：2BD =，均可得ABD △为正三角形，取AB 中点N ，连接DN ，建立空间直角坐标系，根据空间向量的坐标运算求解二面角M BD C --的余弦值及验证是否存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM 即可.【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于F ，连接MF则MF 是平面PAC 与平面BDM 的交线，//PA 平面BDM ，PA ⊂平面PAC ，//PA MF ∴．又底面ABCD 为平行四边形，则F 是AC 的中点，M ∴是棱PC 的中点，（2）解：因为底面ABCD 为平行四边形，又2DA DC ==，则底面ABCD 为菱形，选择条件①：60BAD ∠=︒，或选择条件②：2BD =，均可得ABD △为正三角形.取AB 中点N ，连接DN ，则DN AB ⊥，即DN DC⊥又PD ⊥平面ABCD ，,DQ DC ⊂平面ABCD ，所以,PD DN PD DC ⊥⊥，如图以D 为原点，,,DN DC DP 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则()))()()()0,0,0,1,0,,0,2,0,0,0,2,0,1,1D A B C P M -，（i ）由于PD ⊥平面ABCD ，则()0,0,2DP = 时平面BCD 的一个法向量，设平面BDM 的法向量为(),,n x y z =，又)(),0,1,1DB DM == ，所以0000DB n y y y z y z DM n ⎧⎧⋅=+==⎪⎪⇒⇒⎨⎨+==-⎪⎪⋅=⎪⎩⎩⎩ ，令1x =得(1,n = ，则cos ,7DP n DP n DP n ⋅==⋅ ，由图可知二面角M BD C --为锐角，所以二面角M BD C --；（ii ）若在棱PA 上否存在点Q ，设PQ PAλ=，则PQ PA λ= ，且[]0,1λ∈，所以))1,2,,2PQ λλλ=--=-- ，则()))1,2,,21,22BQ BP PQ λλλλ=+=-+--=--- ，若BQ ⊥平面BDM ，则//BQ n=故在棱PA 上不存在点Q ，使得BQ ⊥平面BDM .21．已知椭圆222:1(02)4x y G b b +=<<的离心率为2，其左､右顶点分别为12,A A ，过点()1,0P 作与x 轴不重合的直线l 交椭圆G 于点,M N （点M 在x 轴的上方）.(1)求椭圆G 的方程；(2)若线段MN的长等于3，求直线l 的方程；(3)设直线12,A M A N 的斜率分别为12,k k ，试判断12k k 是否为定值？若是定值，求出这个定值，并加以证明；若不是定值，说明理由.【正确答案】(1)22142x y +=(2)10x y --=或10x y +-=(3)12k k 为定值13，理由见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率公式e =，代入计算，即可得到椭圆方程；（2）设直线l 的方程为1x my =+，0m ≠，联立直线与椭圆方程，结合弦长公式列出方程，即可得到结果.（3）设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，然后将直线方程与椭圆的方程联立方程组，消去x ，再利用根与系数的关系得12223m y y m +=-+，12233y y m =-+，然后求11122222y k x y k x +=-，化简可得答案；【详解】（1）因为椭圆222:1(02)4x y G b b +=<<的离心率为2，即2e =，解得22b =所以椭圆方程为22142x y +=（2）根据题意设直线l 的方程为1x my =+，0m ≠联立直线与椭圆方程可得221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222230m y my ++-=则240b ac ∆=->，即()222412216240m m m ∆=++=+>由韦达定理可得12122223,22m y y y y m m --+==++由弦长公式可得12MN y y =-3=即()()42228513081310m m m m +-=⇒+-=所以21m =或2138m =-（舍）即1m =±所以直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=（3）12k k 为定值13，理由如下：设l 的方程为1x my =+，0m ≠，设()11,M x y ，()22,N x y ，不妨设210y y <<.由221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222230m y my ++-=，2Δ16240m =+>，12222m y y m +=-+，12232y y m =-+.所以121223y y m y y +=，即()121223my y y y =+.且12121212,22A M A N y y k k k k x x ====+-11122222y k x y k x +=-121222y x x y -=+()()1212112122133y my my y y my y my y y --==++()()12112232332y y y y y y +-=++12121312239322y y y y +==+.综上所述.1231k k。
2022-2023学年北京市石景山区高二上学期数学期末试题(解析版)
2022-2023学年北京市石景山区高二上学期数学期末试题一、单选题1．已知直线l 的倾斜角为120︒，则直线l 的斜率为（ ）A ．B ．1-C ．0D ．1【答案】A【分析】根据直线倾斜角和斜率的定义即可求得结果. 【详解】由斜率的定义可知，直线l 的斜率 tan120tan(18060)tan 603k ==-=-=-,即直线l 的斜率为故选：A.2．双曲线221169x y -=右支上一点A 到右焦点1F 的距离为3，则点A 到左焦点2F 的距离为（ ）A ．5B ．6C ．9D ．11【答案】D【分析】根据双曲线的定义可求解.【详解】设双曲线的实轴长为2a ，则28a =， 由双曲线的定义知，212AF AF a -=2128311AF a AF =+=+=，故选：D3．若()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===-，则()a b c -⋅的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】C【分析】直接利用数量积的坐标运算即可求得. 【详解】因为()()()2,3,2,1,2,2,1,2,2a b c ===-， 所以()()()1,1,01,2,21201a b c -⋅=⋅-=-++=. 故选：C4．在复平面内，复数z 对应的点Z 如图所示，则1iz=-（ ）A ．13i2-+ B ．1i2+ C ．1i + D ．13i -+【答案】A【分析】根据图示及复数的几何意义可得复数z ，代入计算即可得结果. 【详解】根据图示可知，复数12z i =+，根据复数的除法运算可得2i i)(1i)13i 2i 13i 1i 1i (1i)(1i)2212(12z +++-+==+=-+=--+； 故选：A.5．已知圆1C 的方程是222210x y x y +-++=，圆2C 的方程是22(2)(3)16x y ++-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内含【答案】B【分析】根据圆心距以及半径间的关系确定正确选项. 【详解】222210x y x y +-++=即()()22111x y -++=， 所以圆1C 的圆心为()11,1C -，半径11r =. 222(2)(3)164x y ++-==,所以圆2C 的圆心为()22,3C -，半径24r =. 221212345C C r r =+==+，所以两圆外切. 故选：B6．已知(2,,)(,)=-+-∈m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=-n 是平面α的法向量．若l α⊥，则下列选项正确的是（ ） A ．340a b --= B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-【答案】C【分析】根据l α⊥可得m 与n 共线，由向量的坐标表示可得答案. 【详解】若l α⊥，则m n λ=，即222a b a b λλλ-=⎧⎪+=-⎨⎪-=⎩，解得11232a b λ⎧⎪=-⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩，且193522-=--=-a b ，即350-+=a b .故选：C.7．如图，在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，,1,2AB AC AB AC PA ⊥===，以A 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，n 为平面PBC 的一个法向量，则n 的坐标可能是（ ）A ．111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．111,,224⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．111,,242⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．111,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】先求出()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=-，根据法向量求解公式列方程即可求解． 【详解】依题意得，()()()0,1,0,1,0,0,0,0,2B C P ，则()()1,1,0,1,0,2BC PC =-=- 设(),,n x y z =，则020n BC x y n PC x z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，取12x =则11,24y z ==，所以111,,224n ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 故选：D8．两条直线(0)y kx k =>和y kx =-分别与抛物线2:4C y x =相交于不同于原点的A 、B 两点，若直线AB 经过抛物线的焦点，则k =（ ） A ．1 B 2C ．2D ．3【答案】C【分析】根据抛物线的对称性可知A 、B 两点关于x 轴对称，直线AB 经过抛物线的焦点(1,0)即可得出k 的值.【详解】由题意可知，直线(0)y kx k =>和y kx =-关于x 轴对称； 抛物线2:4C y x =关于x 轴对称，焦点坐标(1,0)F ，如下图所示：直线AB 经过抛物线的焦点(1,0)F ，且AB x ⊥轴， 所以(1,)A k ，代入抛物线方程得24k =，解得2k =±； 又0k >，所以2k =. 故选：C.9．设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>离心率为e ，双曲线22222:1x y C a b-=25，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围是（ ） A ．105⎝⎭B ．5⎫⎪⎪⎝⎭C ．10⎫⎪⎪⎝⎭D ．(5,)+∞【答案】B【分析】根据渐近线斜率的取值范围可得出,a b 的关系，再根据椭圆离心率的定义即可求得离心率e 的取值范围.【详解】根据双曲线方程22222:1x y C a b-=可得，其渐近线方程为b y x a =±，又因为0a b >>25，即250b a << 所以，椭圆1C 的离心率2211,15c b e a a ⎫==-⎪⎪⎭ 即离心率e 的取值范围是5⎫⎪⎪⎝⎭.故选：B10．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为直角梯形，1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//，点M 在该四棱柱表面上运动，且满足平面1DD M ⊥平面1AA C ．当线段DM 的长度取到最大值时，直线DM 与底面ABCD 所成角的正弦值是（ ）A ．13B ．23C ．53D ．73【答案】B【分析】根据直四棱柱的几何关系，利用面面垂直的判定定理找出点M 在四棱柱表面上的运动轨迹，再根据线段DM 的长度取到最大值时确定具体位置，根据几何法做出直线DM 与底面ABCD 所成的角，即可求得其正弦值.【详解】根据几何体特征，四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， 所以1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC DD ⊥，要满足平面1DD M ⊥平面1AA C ，作DE AC ⊥于E ，延长DE 交BC 于G ，交AB 的延长线于F ， 作1//GH DD 交11B C 于H ，连接1D H ，如下图所示；又因为1DEDD D =，所以AC ⊥平面1DD E ，即AC ⊥平面1DD HG而AC ⊂平面1AA C ，所以平面1DD HG ⊥平面1AA C ，又因为点M 在该四棱柱表面上运动，所以点M 的轨迹是线段1,,DG G HD H ；又因为底面ABCD 为直角梯形，1,,1,2,3,2AB CD AD AB CD AD AB DD ⊥====//， 所以ADCFAD ，即CD ADAD FA=，得4FA =，所以1FB =； 又,1FB CD CD =//，所以DCG FBG ≅，即G 为线段,BC DF 的中点，DF =DG =易知，当线段DM 的长度取到最大值时，点M 于点H 重合， 此时，HDG ∠即为直线DM 与底面ABCD 所成的角，12GH DD ==，3DH ，2sin 3GH HDG DH ∠== 所以，线段DM 的长度取到最大值时，直线DM 与底面ABCD 所成角的正弦值是23. 故选：B【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用几何体特征，充分利用空间想象根据面面垂直的判定定理找出满足题意的动点的轨迹，再根据轨迹形状确定线段最长时的具体位置，找出线面角即可求得结果.二、填空题11．复数3i z =+的模长||z =_________．【分析】直接利用复数模的计算公式即可求出模长||z 【详解】解：由题意 在复数3i z =+中，模长：||z =12．正方体1111ABCD A B C D -的棱长是1，则点1A 到平面11BB D D 的距离为_________．【分析】连接11A C 交11B D 于O .判断出点1A 到平面11BB D D 的距离即为1A O ，即可求得.【详解】在正方体1111ABCD A B C D -中，有正方体的结构可知：面11BB D D ⊥面1111D C B A 且面11BB D D ⋂面111111A B C D B D =. 连接11A C 交11B D 于O .因为1111D C B A 为正方形，所以1111AC B D ⊥，所以11A C ⊥面11BB D D . 所以点1A 到平面11BB D D 的距离即为1A O .在正方形1111D C B A 中，111A B =，所以2121112AC =+111122A C O A ==213．已知直线12:(1)210,:10l a x y l x ay -++=++=．若12//l l ，则实数=a _________． 【答案】1-【分析】根据两直线平行列方程，从而求得a 的值.【详解】由于12//l l ，所以()121a a -⨯=⨯，解得1a =-或2a =. 当1a =-时，12:2210,:10l x y l x y -++=-+=，符合.当2a =时，12:210,:210l x y l x y ++=++=，两直线重合，不符合. 所以a 的值为1-. 故答案为：1-14．在ABC 中，(0,3),(3,0)A B -和(3,0)C ．则ABC 的外接圆方程为_________． 【答案】22230x y y +--=【分析】设出ABC 的外接圆方程，代入点,,A B C 列方程组求解即可. 【详解】设ABC 的外接圆方程为220x y Dx Ey F ++++=， 则930330330E F D F D F ++=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩，解得203E D F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，故ABC 的外接圆方程为22230x y y +--= 故答案为：22230x y y +--=15．在平面直角坐标系中，已知点M 的坐标为(0,2)，点A 是圆22:1O x y +=上的一个动点，点B 在射线AM 上，且||5AB =，当点A 在圆O 上运动时点B 的轨迹记作曲线C ．对于曲线C ，有下列四个结论：①曲线C 是轴对称图形； ②点(0,3)为曲线C 的对称中心； ③曲线C 与y 轴有2个交点；④曲线C 上的点到点M 的距离最大值为4． 其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①③④【分析】根据题意可知，,,A B M 三点共线，且||5AB =，根据曲线与方程的求法，可得曲线C 满足0511)y =-≤≤，利用其几何特征进行逐一判断即可得出结论. 【详解】根据题意可知，,A M 两点的最大距离为3，又||5AB = 所以,A B 在M 点的两侧，所以||||||5AB AM BM =+=；设00(,),(,)A x y B x y ，则22001x y +=；5=0511)y =-≤≤即曲线C 0511)y =-≤≤；显然，点(,)x y 和(,)x y -都在该曲线上，所以曲线C 关于y 轴对称，是轴对称图形，即①正确； 由题意可知只有当A 在y 轴上时，B 才和y 轴有交点；A 在y 轴上有两个可能的点，所以曲线C 与y 轴有2个交点，即③正确；当A 为(0,1)A 时，曲线C 和y 轴交点坐标为1(0,6)B ；当A 为(0,1)A -时，曲线C 和y 轴交点坐标为2(0,4)B ；显然，1(0,6)B 和2(0,4)B 不关于点(0,3)中心对称，所以②错误；根据曲线C 0511)y =-≤≤可知，当01y =时，曲线C 上的点到点M 的距离最大，其值为54=，即④正确； 故答案为：①③④三、解答题16．在ABC 中，(4,2),B BC 边上的高所在的直线方程为230,x y AC -+=边所在直线方程为30x y +-=．求点A 和点C 的坐标．【答案】()0,3A ，()5,2C -【分析】BC 边上的高线与AC 联立可求点A 的坐标，根据BC 边上的高线可得BC 的斜率，就能求出BC 的方程，然后与AC 联立求出点C 的坐标.【详解】设BC 边上的高线为AD ，则直线,AD AC 联立可得点A 的坐标，即2300303x y x x y y -+==⎧⎧⇒⎨⎨+-==⎩⎩即()0,3A 11212AD BC BC BC AD BC k k k k ⊥∴⋅=-∴⋅=-∴=-又()4,2B ，所以BC 的方程为()1242y x -=--，即280x y +-= 直线,BC AC 联立可得点C 的坐标，即2805302x y y x y x +-==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩，即()5,2C -故()0,3A ，()5,2C -.17．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，AB AC ⊥，M 、N 分别是11,AA BB 的中点，12,1AB AA AC ===．(1)求证：1C M CN ⊥；(2)求直线CN 与平面BCM 所成角的正弦值； (3)求平面BCM 与平面11ABB A 所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 6(3)23【分析】（1）根据题意可知，利用线面垂直的性质定理即可证明线线垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量方法即可求得直线CN 与平面BCM 所成角的正弦值；（3）首先求得两平面的法向量，用向量法即可求得平面BCM 与平面11ABB A 所成角的余弦值. 【详解】（1）连接MN ，如下图所示，由于111ABC A B C 是直三棱柱，易知1AA AB ⊥， 又因为AB AC ⊥，且1AA AC A =，所以AB ⊥平面11AAC CM 、N 分别是11,AA BB 的中点，所以//MN AB ，因此MN ⊥平面11AAC C ； 又1C M ⊂平面11AAC C ，所以1MN C M ⊥；易知11111,1,2AM A AC AC CC M =====，所以12C M CM = 满足22211C M CM CC +=，由勾股定理可知，1C M CM ⊥，又因为MNCM M =，所以1C M ⊥平面CMN ，又CN ⊂平面CMN ， 所以，1C M CN ⊥.（2）由（1）可知，1,,AB AC AA 两两垂直，以A 为坐标原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：易得(0,0,0),(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(2,0,1)A B C M N ， (2,1,1),(2,1,0),(0,1,1)CN BC CM =-=-=-；设平面BCM 的一个法向量为(,,)n x y z =，则·20·0n BC x y n CM y z ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，令2y =得，1,2x z ==，即(1,2,2)n =；设直线CN 与平面BCM 所成的角为θ，所以26sin cos 36n CN n CN n CNθ====⨯，即直线CN 与平面BCM 6（3）由（2）知，平面BCM 的一个法向量为(1,2,2)n =， 易知，平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)AC =， 设平面BCM 与平面11ABB A 所成的角（锐角）为α， 所以，2cos cos ,3n AC AC n n ACα===； 所以，平面BCM 与平面11ABB A 所成角的余弦值为23.18．已知椭圆C 的两个焦点分别为1(2,0)F -和2(2,0)F ，点(2,1)P 在椭圆上． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点(1,0)M 作倾斜角为3π4的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的长度．【答案】(1)22142x y += 45【分析】（1）利用焦点和椭圆上的点列方程组求解即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式计算线段AB 的长度． 【详解】（1）设椭圆C 的方程为()222210x y a b a b+=>>，则22222112a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-=⎩，解得2242a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆C 的方程为22142x y +=；（2）过点(1,0)M 作倾斜角为3π4的直线l 的方程为1y x =-+，设()()1122,,,A x y B x y联立221142y x x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得23420x x --=，121242,33x x x x ∴+==-，()221212242443334512AB kx x x x ∴⎛⎫⎛⎫+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+==19．如图1，在ABC 中，ACB ∠是直角，22CA CB ==，P 是斜边AB 的中点，M N ，分别是,PB PC 的中点．沿中线CP 将CAP 折起，连接AB ，点Q 是线段AC 上的动点，如图2所示．(1)求证：//MN 平面ABC ；(2)从条件①、条件②这两个条件中选择一个条件作为已知，当二面角Q MN C --3时．求AQAC的值． 条件①：BP AC ⊥；条件②：AB AC =． 【答案】(1)证明见解析；(2)34.【分析】（1）利用线面平行的判定定理直接证明；（2）选条件①：BP AC ⊥.可以证明出,,AP BP CP 两两垂直，以P 原点，,,BP CP AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.选条件②：AB AC =.先证明出,,AP BP CP 两两垂直，以P 原点，,,BP CP AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解.【详解】（1）在PBC 中，因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以//BC MN . 因为MN ⊄面ABC ,BC ⊂面ABC , 所以//MN 平面ABC .（2）在ABC 中，ACB ∠是直角，22CA CB ==，P 是斜边AB 的中点，所以CP AB ⊥，即,CP AP CP BP ⊥⊥.选条件①：BP AC ⊥.因为BP AC ⊥，CP BP ⊥，AC CP C ⋂=,AC ⊂面ACP ,CP ⊂面ACP , 所以BP ⊥面ACP .又CP AP ⊥，可以以P 原点，,,BP CP AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.在ABC 中，ACB ∠是直角，22CA CB ==P 是斜边AB 的中点，所以2CP AP BP ===. 所以()0,0,0P ，()0,0,2,A ()2,0,0B ，()0,2,0C .因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以()1,0,0M ，()0,1,0N ，所以()1,1,0MN =-，()0,1,0NC =. 因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤,所以()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-.不妨设(),,m x y z =为平面QMN 的一个法向量，则()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩，设1y =，则121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭.显然()0,0,2PA =为面CMN 的一个法向量.所以二面角Q MN C --的余弦值为212002cos ,1t m PA m PA m PA-⎛⎫++⨯ ⎪⋅==⨯.由题意可得：212002cos ,1t m PA m PA m PA-⎛⎫++⨯ ⎪⋅===⨯解得：14t =.所以34AQ AC =. 选条件②：AB AC =.在ABC 中，ACB ∠是直角，CA CB ==P 是斜边AB 的中点，所以2CP AP BP ===.,CP AP CP BP ⊥⊥.因为AB AC ==222AP BP AB +=，所以AP BP ⊥.所以可以以P 原点，,,BP CP AP 分别为,,x y z 轴正方向建立空间直角坐标系.则()0,0,0P ，()0,0,2,A ()2,0,0B ，()0,2,0C .因为M N ，分别是,PB PC 的中点，所以()1,0,0M ，()0,1,0N ，所以()1,1,0MN =-，()0,1,0NC =. 因为点Q 是线段AC 上的动点，所以可设()()0,2,2,01CQ tCA t t t ==-≤≤,所以()()()0,1,00,2,20,12,2NQ NC CQ t t t t =+=+-=-.不妨设(),,m x y z =为平面QMN 的一个法向量，则()()()()(),,1,1,00,,0,12,201220m MN x y z x y m MN x y z t t t y tz ⎧⋅=⋅-=-+=⎪⎨⋅=⋅-=+-+=⎪⎩，设1y =，则121,1,2t m t -⎛⎫= ⎪⎝⎭.显然()0,0,2PA =为面CMN 的一个法向量.所以二面角Q MN C --的余弦值为212002cos ,1t m PA m PA m PA-⎛⎫++⨯ ⎪⋅==⨯.由题意可得：212002cos ,1t m PA m PA m PA-⎛⎫++⨯ ⎪⋅===⨯解得：14t =. 所以34AQ AC =. 20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为(1,0)F ，且经过点(0,3)M 和(0,3)N -．(1)求椭圆C 的方程；(2)O 为坐标原点，设(2,3)Q ，点P 为椭圆C 上不同于M 、N 的一点，直线PM 与直线2x =交于点A ，直线PN 与x 轴交于点B ，求证：AMQ △和OBN △面积相等． 【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【分析】（1）根据椭圆焦点坐标和经过的两点即可求得标准方程；（2）设出点P 的坐标，即可表示出,A B 两点坐标，再写出AMQ △和OBN △的面积公式，再利用点P 在椭圆上即可证明等式成立，得出AMQ △和OBN △面积相等的结论.【详解】（1）由题意可知，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的半焦距1c =，将(0,3)M 代入椭圆方程得()2231b =，即23b =，所以2224a b c =+=，椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）根据题意，设000(,),0P x y x ≠， 又(0,3)M ，(0,3)N -，如下图所示，则直线PM 、PN的斜率均存在，且00PM PN k k =所以，直线PM方程为00y y x x =又直线PM 与直线2x =交于点A ，所以0A ⎛ ⎝又因为Q，可得2AQ MQ =； 所以，AMQ △的面积为12AMQSAQ MQ ==同理，直线PN方程为0y x =直线PN 与x 轴交于点B，易得B ⎫⎪⎪⎭，则OB ON ==所以，OBN △的面积为12OBNSOB ON == 要证明AMQ △和OBN △面积相等，即证明=成立即可， 整理得2200343x y =-，由点P 在椭圆C上可知，0y <即220034(3)x y =-，得22003412x y +=，即2200143x y +=显然成立； 所以AMQ △和OBN △面积相等.。
2022-2023学年北京市东城区七年级(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（2，﹣3）2．4的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．16D ．±163．下列调查方式，最适合全面调查的是（ ）A ．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B ．了解某班学生一分钟跳绳成绩C ．了解北京市中学生视力情况D ．调查某批次汽车的抗撞击能力4．若{x =2y =1是关于x ，y 的二元一次方程x +my ＝5的解，则m 的值为（ ）A ．2B ．3C ．5D ．75．实数a ，b 对应的位置如图所示，下列式子正确的是（ ）A ．a 2＜b 2B ．﹣2a ＜﹣2bC ．a +5＜0D ．a +4＜b +46．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，OE ⊥AB ，垂足为点O ．若∠COE ＝40°，则∠BOD 的度数为（）A ．140°B ．60°C ．50°D ．40°7．如图，在数轴上，与表示√2的点最接近的点是（ ）A ．点PB ．点QC ．点MD ．点N8．已知二元一次方程组{x +2y =8，2x +y =−5，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1 D ．39．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x 千克，则x 的取值范围是（ ）A ．280＜x ≤350B ．280＜x ≤400C ．330＜x ≤350D ．330＜x ≤40010．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；③2018﹣2022年进口额年增长率持续下降；④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．A ．①②④B ．①②③C ．①③④D ．①②③④二、填空题（本题共16分，每小题2分11．“m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为．12．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是．13．北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为（0，﹣1），表示王府井的点的坐标为（1，﹣1），则表示永定门的点的坐标为．14．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是．15．如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝°．16．如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是 平方米．17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺，可列方程组为 ．18．在平面直角坐标系xOy 中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．如图，△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4．（1）图中格点四边形DEFG 对应的S 为 ；（2）已知格点多边形的面积可以表示为S ＝aN +bL ﹣1，其中a ，b 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝ ．三、解答题（本题共54分，第19-23题每小题5分，第24题4分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．计算：√4+√−643−√(−3)2+|√3−1|．20．解方程组{3x +2y =192x −y =1． 21．解不等式组：{5x −1＞3(x +1)1+2x 3≥x −1，并求出它的整数解． 22．请将下面的证明过程补充完整：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝40°，∠BAD ＝80°，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，求证：AE ∥DC ．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴∠DAE=12∠BAD=40°（理由：）．∵AD∥BC（已知），∴＝∠DAE＝40°（理由：）．∵∠BCD＝40°（已知），∴∠BCD＝（等量代换）．∴AE∥DC（理由：）．23．一个数值转换器如图所示：（1）当输入的x值为16时，输出的y值是；（2）若输入有效的x值后，始终输不出y值，则所有满足要求的x的值为；（3）若输出的y值是√5，请直接写出两个满足要求的x的值．24．（4分）如图．三角形ABC的顶点坐标分别为A（﹣1.4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若将三角形ABC 向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A'B'C'，其中点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点．（1）画出三角形A'B'C'；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（，）；（3）若点D在y轴上且三角形BOD的面积为4，直接写出点D的坐标．25．如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．月均用水量频数分布表请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）表中a的值为，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是°；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？26．（6分）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α．（1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝°；（2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD 于点N．①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系；②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）．27．（7分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A、B两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：（1）求A、B两种材质的围棋每套的售价．（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A、B两种材质的围棋共30套，求A种材质的围棋最多能采购多少套？（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x1，y1），点Q（x2，y2），定义|x1﹣x2|与|y1﹣y2|中的值较大的为点P，Q的“绝对距离”，记为d（P，Q）．特别地，当|x1﹣x2|＝|y1﹣y2|时，规定d（P，Q）＝|x1﹣x2|，例如，点P（1，2），点Q（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P，Q的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d（P，Q）＝3．（1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点．①若d（A，B）＝3，求点B的坐标；②d（A，B）的最小值为；③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．（2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围．2022-2023学年北京市东城区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．如图，小手盖住的点的坐标可能为（ ）A ．（﹣2，﹣3）B ．（﹣2，3）C ．（2，3）D ．（2，﹣3）解：如图，小手盖住的点的坐标可能为（2，﹣3），故选：D ．2．4的算术平方根是（ ）A ．2B ．±2C ．16D ．±16解：∵22＝4，∴4的算术平方根是2．故选：A ．3．下列调查方式，最适合全面调查的是（ ）A ．检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准B ．了解某班学生一分钟跳绳成绩C ．了解北京市中学生视力情况D ．调查某批次汽车的抗撞击能力解：A 、检测某品牌鲜奶是否符合食品卫生标准，最适合抽样调查，故A 不符合题意；B 、了解某班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B 符合题意；C 、了解北京市中学生视力情况，最适合抽样调查，故C 不符合题意；D 、调查某批次汽车的抗撞击能力，最适合抽样调查，故D 不符合题意；故选：B ．4．若{x =2y =1是关于x ，y 的二元一次方程x +my ＝5的解，则m 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．7 解：将{x =2y =1代入原方程得：2+m ＝5，解得：m ＝3，∴m 的值为3． 故选：B ．5．实数a，b对应的位置如图所示，下列式子正确的是（）A．a2＜b2B．﹣2a＜﹣2b C．a+5＜0D．a+4＜b+4解：根据图示，可得：a＜b且﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，∵﹣5＜a＜﹣4，3＜b＜4，∴16＜a2＜25，9＜b2＜16，∴a2＞b2，∴选项A不符合题意；∵a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴选项B不符合题意；∵﹣5＜a＜﹣4，∴a+5＞0，∴选项C不符合题意；∵a＜b，∴a+4＜b+4，∴选项D符合题意．故选：D．6．如图，直线AB，CD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点O．若∠COE＝40°，则∠BOD的度数为（）A．140°B．60°C．50°D．40°解：∵OE⊥AB，∴∠AOE＝90°，∵∠COE＝40°，∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝90°﹣40°＝50°，∴∠BOD＝∠AOC＝50°，故选：C．7．如图，在数轴上，与表示√2的点最接近的点是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N解：∵1＜√2＜2，∴与表示√2的点最接近的点是点Q，故选：B．8．已知二元一次方程组{x +2y =8，2x +y =−5，则x +y 的值为（ ） A ．﹣1 B ．﹣3 C ．1 D ．3解：{x +2y =8①2x +y =−5②， ①+②得：3x +3y ＝3，解得：x +y ＝1，故选：C ．9．如图为小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯乘载的重量超过400千克时警示音响起，且小丽、小欧的重量分别为50千克、70千克．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x 千克，则x 的取值范围是（ ）A ．280＜x ≤350B ．280＜x ≤400C ．330＜x ≤350D ．330＜x ≤400解：根据题意得：{x +50≤400x +50+70＞400，解得：280＜x ≤350． 故选：A ．10．2023年国家统计局公布了《2022年国民经济和社会发展统计公报》．公报显示了全国2018年至2022年货物进出口额的变化情况，根据国家统计局2022年发布的相关信息，绘制了如下的统计图．根据统计图提供的信息，下列结论正确的是（ ）①与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升；②从2018年到2022年，进口额最多的是2022年；③2018﹣2022年进口额年增长率持续下降；④与2021年相比，2022年出口额增加了2.3万亿元．A．①②④B．①②③C．①③④D．①②③④解：①由条形图与折线图可知，2018的进口额为14.1万亿元，进口额的年增长率为12.8%，2019的进口额为14.3万亿元，进口额的年增长率为1.4%，所以与2018年相比，2019年的进口额的年增长率虽然下降，但进口额仍然上升，故①结论正确，符合题意；②由条形图可知，从2018年到2022年，进口额最多的是2022年，为18.1万亿元，故②结论正确，符合题意；③由折线图可知，2018﹣2022年进口额年增长率先下降再上升再下降，故③结论错误，不符合题意；④由条形图可知，与2021年相比，2022年出口额增加了24.0﹣21.7＝2.3万亿元，故④结论正确，符合题意；故选：A．二、填空题（本题共16分，每小题2分11．“m的2倍与5的和是正数”可以用不等式表示为5+2m＞0．解：m的2倍为2m，5与m的2倍的和写为5+2m，和是正数，则5+2m＞0，故答案为：5+2m＞0．12．如图，斑马线的作用是为了引导行人安全地通过马路．小丽觉得行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理，这一想法体现的数学依据是垂线段最短．解：∵垂线段最短，∴行人沿垂直马路的方向过斑马线更为合理．故答案为：垂线段最短．13．北京中轴线南起永定门，北至钟鼓楼，全长7.8千米．如图是利用平面直角坐标系画出的中轴线及其沿线部分地点分布图，若这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示天安门的点的坐标为（0，﹣1），表示王府井的点的坐标为（1，﹣1），则表示永定门的点的坐标为（0，﹣7）．解：永定门的点的坐标为（0，﹣7），故答案为：（0，﹣7）．14．如图，直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向右滚动一周（不滑动），圆上的一点由原点到达点O′，点O′所对应的数值是π．解：∵圆的周长为＝1×π＝π，∴圆从原点沿数轴向右滚动一周经过的路径长OO′＝π，∴O′点对应的数是π．故答案为：π．15．如图，将含有60°的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的一组对边上，如果∠1＝20°，那么∠2＝ 40 °．解：根据题意可知，两直线平行，内错角相等，∵∠1＝20°，∠1+∠3＝60°，∴∠3＝40°，∵∠2＝∠3，∴∠2＝40°．故答案为：40．16．如图，一块边长为10米的正方形花园，在上面修了一条道路，路的宽都是1米，其余部分种上各种花草，则种植花草的面积是 81 平方米．解：（10﹣1）×（10﹣1）＝9×9＝81（平方米）．故种植花草的面积是81平方米．故答案为：81．17．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书大约在一千五百年前．书中记载了一个数学问题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．木长几何？”其大意是：“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，问长木多少尺？”设绳长x 尺，木长y 尺，可列方程组为 {x −y =4.5y −12x =1． 解：∵用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，∴x ﹣y ＝4.5；∵将绳子对折再量长木，绳子比长木短1尺，∴y −12x ＝1．∴根据题意可列方程组{x −y =4.5y −12x =1． 故答案为：{x −y =4.5y −12x =1． 18．在平面直角坐标系xOy 中，若一个多边形的顶点都在格点（点的横、纵坐标均为整数）上，则称该多边形为格点多边形．格点多边形的面积记为S ，其内部的格点数记为N ，边界上的格点数记为L ．如图，△ABC 是格点三角形，对应的S ＝1，N ＝0，L ＝4．（1）图中格点四边形DEFG 对应的S 为 3 ；（2）已知格点多边形的面积可以表示为S ＝aN +bL ﹣1，其中a ，b 为常数．若某格点多边形对应的N ＝71，L ＝18，则S ＝ 79 ．解：（1）过G 点作MH ⊥ED 延长线于点H ，过E 作NE ⊥DE ，过F 点作MN ∥x 轴，交MH 于点M ，交NE 于点N ，则HD ＝1，GH ＝1，GM ＝1，MF ＝1，FN ＝2，NE ＝2，MH ＝2，HE ＝3，∴S 矩形MNEH ＝MH ×MN ＝2×3＝6，S △GHD =12×GH ×HD =12×1×1=12， S △GMF =12×MG ×MF =12×1×1=12，S △FNE =12×FN ×NE =12×2×2＝2， ∴S 四边形DEFG ＝S 矩形MNEH ﹣S △GHD ﹣S △GMF ﹣S △FNE ＝6−12−12−2＝3．故答案为：3．（2）对于四边形DEFG ，S ＝3，N ＝1，L ＝6，由题意知，{1=a ×0+4b −13=a +6b −1，解得，{a =1b =12， ∴S ＝aN +bL ﹣1＝1×71+12×18﹣1＝79，故答案为：79．三、解答题（本题共54分，第19-23题每小题5分，第24题4分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每小题5分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19．计算：√4+√−643−√(−3)2+|√3−1|．解：√4+√−643−√(−3)2+|√3−1|=2+(−4)−3+√3−1 =√3−6．20．解方程组{3x +2y =192x −y =1． 解：{3x +2y =19①2x −y =1②， 由②得：y ＝2x ﹣1③，把③代入①得：3x +2（2x ﹣1）＝19，即x ＝3，把x ＝3代入③得：y ＝5，则方程组的解为{x =3y =5． 21．解不等式组：{5x −1＞3(x +1)1+2x 3≥x −1，并求出它的整数解． 解：解不等式①，得 x ＞2，解不等式②，得x ≤4，故原不等式组的解集为2＜x ≤4．故它的整数解为x ＝3或4．22．请将下面的证明过程补充完整：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BCD ＝40°，∠BAD ＝80°，∠BAD 的角平分线交BC 于点E ，求证：AE ∥DC ．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴∠DAE =12∠BAD =40°（理由： 角平分线的定义 ）．∵AD ∥BC （已知），∴ ∠AEB ＝∠DAE ＝40°（理由： 两直线平行，内错角相等 ）．∵∠BCD ＝40°（已知），∴∠BCD ＝ ∠AEB （等量代换）．∴AE ∥DC （理由： 同位角相等，两直线平行 ）．证明：∵AE 平分∠BAD ，∠BAD ＝80°（已知），∴∠DAE =12∠BAD =40°（理由：角平分线的定义）．∵AD ∥BC （已知），∴∠AEB ＝∠DAE ＝40°（理由：两直线平行，内错角相等）．∵∠BCD ＝40°（已知），∴∠BCD ＝∠AEB （等量代换）．∴AE ∥DC （理由：同位角相等，两直线平行）．故答案为：角平分线的定义；∠AEB ；两直线平行，内错角相等；∠AEB ；同位角相等，两直线平行．23．一个数值转换器如图所示：（1）当输入的x 值为16时，输出的y 值是 √2 ；（2）若输入有效的x 值后，始终输不出y 值，则所有满足要求的x 的值为 0和1 ；（3）若输出的y 值是√5，请直接写出两个满足要求的x 的值．解：（1）∵16的算术平方根是4，4是有理数，4不能输出，∴4的算术平方根是2，2是有理数，2不能输出，∴2的算术平方根是√2，是无理数，输出√2，故答案为：√2（2）∵0和1的算术平方根是它们本身，0和1是有理数，∴当x ＝0和1时，始终输不出y 的值；故答案为：0和1；（3）25的算术平方根是5，5的算术平方根是√5，∴若输出的y值是√5，满足要求的x的值为5和25．24．（4分）如图．三角形ABC的顶点坐标分别为A（﹣1.4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若将三角形ABC 向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到三角形A'B'C'，其中点A'，B'，C'分别是点A，B，C的对应点．（1）画出三角形A'B'C'；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（a+4，b﹣3）；（3）若点D在y轴上且三角形BOD的面积为4，直接写出点D的坐标．解：（1）如图，三角形A'B'C'即为所求；（2）若三角形ABC内有一点P（a，b）经过上述平移后的对应点为P'，写出点P'的坐标：（a+4，b﹣3）；故答案为：a+4，b﹣3；（3）设点D（0，m）．则有12×4×|m|＝4，∴m＝±2，∴点D的坐标为（0，2）或（0，﹣2）．25．如图为国家节水标志，节水标志各部分的含义为：灰色的圆形代表分像一只手托起一滴水，手又像一条蜿蜒的河流，象征滴水汇成江河．某市在实施居民用水定额管理前，对居民生活用水情况进行了调查，通过简单随机抽样调查获得了50个家庭去年的月均用水量（单位：吨）．以下是整理数据后的不完整统计表、统计图．月均用水量频数分布表请根据图表中提供的信息解答下列问题：（1）表中a的值为14，请补全频数分布直方图；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是36°；（3）为了鼓励节约用水，要确定一个用水量的标准，超出这个标准的部分按1.5倍价格收费．若要使60%的家庭水费支出不受影响，你觉得家庭月均用水量应该定为多少？为什么？解：（1）C的频数为：a＝50×28%＝14，补全频数分布直方图如下：故答案为：14；（2）扇形统计图中，月均用水量为“E：6≤x＜7”的扇形的圆心角是：360°×550=36°；故答案为：36；（3）要使60%的家庭水费支出不受影响，家庭月均用水量应该定为5吨，理由如下：因为月平均用水量不超过5吨的百分比为8%+24%+28%＝60%．26．（6分）已知，直线AB∥CD，点E为直线CD上一定点，射线EK交AB于点F，FG平分∠AFK，∠FED＝α．（1）如图1，当α＝60°时，∠GFK＝60°；（2）点P为线段EF上一定点，点M为直线AB上的一动点，连接PM，过点P作PN⊥PM交直线CD 于点N．①如图2，当点M在点F右侧时，求∠BMP与∠PNE的数量关系；②当点M在直线AB上运动时，∠MPN的一边恰好与射线FG平行，直接写出此时∠PNE的度数（用含α的式子表示）．解：（1）∵AB∥CD，∴∠KFB＝∠FED＝α，∵∠AFK+∠KFB＝180°，∴∠AFK＝180°﹣∠KFB＝180°﹣α，∵FG平分∠AFK，∴∠GFK=12∠AFK=12(180°−α)∵α＝60°，∴∠GFK=12(180°−α)=12(180°−60°)=60°．（2）①∠BMP与∠PNE的数量关系是：∠BMP﹣∠PNE＝90°．理由如下：延长MP交CD于点Q，∵AB∥CD，∴∠BMP+∠PQN＝180°，∵PN⊥PM，∴∠MPN＝90°，∴∠PQN+∠PNE＝∠MPN＝90°，∴∠PQN＝90°﹣∠PNE，∴∠BMP+90°﹣∠PNE＝180°，∴∠BMP﹣∠PNE＝90°．②∠PNE的度数为：90°−12α或12α．理由如下：∵∠MPN的一边恰好与射线FG平行，∴有以下两种情况，（ⅰ）当PN与射线FG平行时，设∠PNE＝θ，延长NP∠AB于点H，∵AB ∥CD ，∴∠PHF ＝∠PNE ＝θ，∠PFH ＝∠FED ＝α，∵PN ∥FG ，∴∠HPF ＝∠GFK ，由（1）可知：∠GFK =12(180°−α)，∴∠HPF =12(180°−α)，∵∠PHF +∠PFH +∠HPF ＝180°，∴θ+α+12(180°−α)=180°，∴θ=90°−12α，∴∠PNE =θ=90°−12α，（ⅱ）当PM 与射线FG 平行时，∵PM ∥FG ，∴∠MPF =∠GFK =12(180°−α)，∵PN ⊥PM ，∴∠MPN ＝90°，∴∠MPF +∠NPE ＝90°，∴∠NPE =90°−∠MPF =90°−12(180°−α)=12α，∵∠FPD ＝∠NPE +∠PNE ，∴∠PNE =∠FPD −∠NPE =α−12α=12α．27．（7分）围棋，起源于中国，古代称为“弈”，是棋类鼻祖，距今已有4000多年的历史．某商家销售A 、B 两种材质的围棋，每套进价分别为200元、170元，下表是近两个月的销售情况：（1）求A 、B 两种材质的围棋每套的售价．（2）若商家准备用不多于5400元的金额再采购A 、B 两种材质的围棋共30套，求A 种材质的围棋最多能采购多少套？（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能否实现利润为1300元的目标？请说明理由． 解：（1）设A 种材质的围棋每套的售价为x 元，B 种材质的围棋每套的售价为y 元，根据题意得：{3x +5y =18004x +10y =3100， 解得：{x =250y =210． 答：A 种材质的围棋每套的售价为250元，B 种材质的围棋每套的售价为210元；（2）设采购A 种材质的围棋m 套，则采购B 种材质的围棋（30﹣m ）套，根据题意得：200m +170（30﹣m ）≤5400，解得：m ≤10，∴m 的最大值为10．答：A 种材质的围棋最多能采购10套；（3）在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标，理由如下：根据题意得：（250﹣200）m +（210﹣170）（30﹣m ）＝1300，解得：m ＝10，又∵m ≤10，∴m ＝10符合题意，∴在（2）的条件下，商店销售完这30套围棋能实现利润为1300元的目标．28．（7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x 1，y 1），点Q （x 2，y 2），定义|x 1﹣x 2|与|y 1﹣y 2|中的值较大的为点P ，Q 的“绝对距离”，记为d （P ，Q ）．特别地，当|x 1﹣x 2|＝|y 1﹣y 2|时，规定d （P ，Q ）＝|x 1﹣x 2|，例如，点P （1，2），点Q （3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P ，Q 的“绝对距离”为|2﹣5|＝3，记为d （P ，Q ）＝3．（1）已知点A（0，1），点B为x轴上的一个动点．①若d（A，B）＝3，求点B的坐标；②d（A，B）的最小值为1；③动点C（x，y）满足d（A，C）＝r，所有动点C组成的图形面积为64，请直接写出r的值．（2）对于点D（﹣1，0），点E（2，5），若有动点M（m，n）使得d（D，M）+d（E，M）＝5，请直接写出m的取值范围．解：（1）设B（x，0），①∵|0﹣1|＝1≠3，∴|x﹣0|＝3，∴x＝±3，∴B点的坐标为（﹣3，0）或（3，0）．②当x＜﹣1或x＞1时，|x﹣0|＞|0﹣1|，∴d（A，B）＝|x|＞1；当﹣1≤x≤1时，|x﹣0|≤|0﹣1|＝1，∴d（A，B）＝1，综上所述，d（A，B）的最小值为1．故答案为：1．③r＝4．由题意知，点C在以A点为对称中心，边长为2r的正方形边上，∵正方形面积为64，∴正方形的边长为8，即2r＝8，∴r＝4．（2）由题意知，当M点在矩形DFEG内（含边）内运动时，d（D，M）+d（E，M）＝5．∴﹣2≤m≤3．。
2024北京东城区高三(上)期末数学试卷及答案
东城区2023—2024学年度第一学期期末统一检测高三数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）（1）C （2）D （3）C（4） D （5） B （6） A （7）C （8）B（9） A （10）D 二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）（11）()()0,11,∞+ （12） y = （13） π3(答案不唯一 ) （14）①2− ② (],1∞−- （15）②③三、解答题（共6小题，共85分）（16）（共14分）解：（Ⅰ）取11A C 中点G ，连接,FG AG . 在直三棱柱111ABC A B C −中，因为,,E F G 分别为1111,A C B B A C ，的中点，所以1111,AE B GF A A B ,111=2A GFB ,1112A A E B =. 所以GF AE ，GF AE =.所以四边形EFGA 为平行四边形，所以EF AG .又因为EF ⊄平面11ACC A ，AG ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A . ................................6分 （Ⅱ）在直三棱柱111ABC A B C −中,1BB ⊥平面ABC .而BA ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，所以1BB BA ⊥，1BB BC ⊥因为90ABC ∠=︒，BA BC ⊥，所以BA BC ，,1BB 两互相垂直.如图，建立空间直角坐标系B xyz −.则A （0，2，0），B （0，0，0），C （2，0，0），E （0，1，0），F（1，0，2）. 设[]00,2Pm m ∈（0，，）,， 则()0,2,AP m =−，()0,1,0BE =，()1,0,2BF = .设平面BEF 的一个法向量为(),,x y z =n ，所以0,0,BE BF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20.y x z =⎧⎨+=⎩设1z =−，则()2,0,1n =−设AP 与平面BEF 所成的角为θ， 则221sin cos ,552)AP m AP AP m nn n θ⋅−=〈〉===⋅−+（．解得21,1m m ==±.因为[]0,2m ∈，所以1m =.于是，1BP =...............................................................................14分（17）（本小题13分）解：（Ⅰ）在ABC △中,由余弦定理得222cos 2BC AB AC B BC AB+−=⋅又因为4BC =，AC =1AB =，所以cos B 2224112412+−==⨯⨯. 又()0,πB ∈,所以π3B ∠=. ......................................... (5)分 （II ）选择条件①：π4ADB ∠=. 在ADB △中，由正弦定理 sin sin AD AB B ADB =∠，得=， 所以AD =所以sinsin()BAD B ADB∠=∠+∠sin cos cos sin B ADB B ADB =∠+∠12222=+⨯4=.所以1sin 2ABD S AB AD BAD ∆=⋅∠. 112=⨯38+= . ......................................................................13分选择条件③：由余弦定理 2222cos AD AB BD AB BD B =+−⋅,AB BD AD ++=得()2221BD BD BD =+−，解得 2BD =，所以11sin 122222ABD S AB BD B ∆=⋅=⨯⨯⨯=. ........................ ...............13分 (18)（本小题13分）解：（Ⅰ）由表格中的数据可知：2022年100名参加第一次考试的考生中有60名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为5310060=； 2023年100名参加第一次考试的考生中有50名通过考试，所以估计考生第一次考试通过的概率为2110050=； 从2022年、2023年第一次参加考试的考生中各随机抽取一位考生，这两位考生都通过考试的概率为1032153=⨯ . .......................................................4分 （Ⅱ）记“2022年考生在第i 次考试通过”为事件1,2,3)i A i =（，“小明2022年参加考试，他通过不超过两次考试该科目成绩合格”为事件A ， 则1233707804(),(),().5100101005P A P A P A ===== 小明一次考试该科目成绩合格的概率13()5P A =， 小明两次考试该科目成绩合格的概率12377()151025P A A =−⨯=（）， 所以小明不超过两次考试该科目成绩合格的概率1121123722()()()()52525P A P A A A P A P A A ==+=+= . ................................10分 （III ）88. .................................................................................... .........13分（19）（本小题15分）解：（Ⅰ）由题意得 22222,a b c a c a c ⎧⎪⎨⎪=++=+−=⎩−解得2,1,c a b ⎧===⎪⎨⎪⎩所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. ............... ...............................................5分（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，()2,0A −,()2,0B .设(),M m n ，则(),N m n −，且满足2244m n +=.因为E 为线段OM 的中点，所以,22m n E ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线():24n AE y x m =++. 设()11,D x y , 由()222444n y x m x y ⎧=+⎪+⎨⎪+=⎩得 ()()222222441616440m n x n x n m ⎡⎤++++−+=⎣⎦. 因为2244m n +=，所以 ()22225(4)(2812)0m x m x m m ++−−++=. 所以212812225m m x m ++−=−+， 解得214625m m x m ++=+，则()1425n m y m +=+， 所以()2446,2525n m m m D m m +⎛⎫++ ⎪++⎝⎭. 因为G 为线段MB 的中点，所以2,22m n G +⎛⎫ ⎪⎝⎭. 所以直线GN 的方程为()32n y n x m m +=−−−， 代入D 点坐标，得左式=()()4332525n m n m n m m +++=++，右式=2346225n m m m m m ⎛⎫++− ⎪−+⎝⎭()3325n m m +=+. 所以左式=右式.所以,,D G N 三点共线．.................................................... .......................15分 （20）（本小题15分）解：（Ⅰ）若1k =，则1()1x x f x e x −=−+， 所以22'()(1)x f x e x =−+， 所以022'(0)1(01)f e =−=+， 又因为001(0)201f e −=−=−+， 所以曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为(2)(0)y x −−=−，即2y x =−. ............. .......................................................................6分 （Ⅱ）若12k ≤<，因为22'()(1)x f x ke x =−+， 设函数22()(1)=−+x g x ke x ， 则34'()0(1)=−−<+xg x ke x ((0))x ∈+∞， 所以22'()(1)=−+x f x ke x 为(0)+∞，上的减函数. 当时12k ≤<时，022'(0)20(01)f ke k =−=−≤+， 11122221288'()01299(1)2f ke ke e =−=−<−<+，所以存在01(0,)2x ∈，使得0'()0=f x ，即02020(1)−=+x ke x .x所以当12k ≤<时，函数()y f x =在(0)+∞，上有极大值. 00001()1−==−+x x m f x ke x ， 由2020(1)−=+x ke x ，得0200121(1)−=−++x m x x 200221(1)1x x =−−+++. 因为00x >，所以()010,11x ∈+. 得31−<<m . ..................................................15分(21)（本小题15分）解：（Ⅰ）由于数列23226A a a −：，，，，具有性质c P ， 所以15264a a c +=−+==.由244a a +=以及42a =，得22a =.由334a a +=，得32a =. .....................4分 （Ⅱ）由于数列A 具有性质0P ，且12n a a a <<<，n 为奇数，令21n k =+，可得10k a +=，设12123210k k k k k a a a a a a a ++++<<<<=<<<<.由于当0(1)i j a a i j n >≤≤，，时，存在正整数k ，使得j i k a a a −=，所以324252212k k k k k k k k a a a a a a a a ++++++++−−−−，，，，这1k −项均为数列A 中的项, 且324252212210k k k k k k k k k a a a a a a a a a +++++++++<−<−<−<<−<，因此一定有3224235242122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，，即：3224325422122k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a +++++++++++−=−=−=−=，，，，， 这说明：2321k k k a a a +++，，，为公差为2k a +的等差数列，再由数列A 具有性质0P ，以及10k a +=可得，数列A 为等差数列. ..................................................................9分（III ）（1）当*42()n k k =+∈N 时，设122122+1222+3244+142:k k k k k k k k A a a a a a a a a a a −+++，，，，，，，，，，，. 由于此数列具有性质c P ，且满足2122k k a a m +++=, 由2122k k a a m +++=和2122k k a a c +++=得c m =±.① c m =时，不妨设12a a m +=，此时有：21a m a =−，411k a a +=，此时结论成立. ② c m =−时，同理可证. 所以结论成立.(2)当*4()n k k =∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：22122231122322212k k k k k k k k −−−+−−−+−−+，，，，，，，，，，，，.(3)当*23()n k k =+∈N 时，不妨设01c m ==，. 反例如下：112(1)(1)(1)(1)(1)1012(1)(1)k k k k k k k k +−−−⋅+−⋅−⋅−−−−⋅−，，，，，，，，，，1(1)(1)(1)k k k k −−⋅−⋅+，综上所述，*42()n k k =+∈N 符合题意. ...........................................15分.。
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学朝阳学校高二上学期期末练习数学试题(解析版)
2022-2023学年北京市中国人民大学附属中学朝阳学校高二上学期期末练习数学试题一、单选题1．若向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-，则a b +=（ ）A B ．4 C ．5 D 【答案】A【分析】由空间向量坐标的加减运算，和模长公式计算即可. 【详解】由题意，得()0,1,2a b +=，201a b ∴+=+=故选：A.2．已知点1,0A ，直线l ：30x y -+=，则点A 到直线l 的距离为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【分析】利用点到直线的距离公式计算即可.【详解】已知点(1,0)A ，直线:30l x y -+=，则点A 到直线l =故选：D .3．若直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴，则m 的值为（ ） A ．12-B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】依据题给条件列出关于m 的方程，解之即可求得m 的值 【详解】圆2220x y y =++的圆心坐标为()0,1-， 又直线y x m =+是圆2220x y y =++的一条对称轴， 则圆心()0,1-在直线y x m =+上，则10m -=+，则1m =- 故选：B4．已知椭圆()222104x y b b+=>的离心率为12，则b =（ ）A ．2B ．3C ．2D ．3【答案】B【分析】由2222a b e a -=即可求解.【详解】椭圆的离心率满足222222224142c a b b e a a ，即可解得30b b .故选：B5．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，若11AA =，2AB AC ==，112B C =，则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为（ ）A ．12B ．36C ．33D ．328【答案】C【分析】因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，连接1A B ，根据余弦定理即可求得答案．【详解】如图，连接1A B ，则2211(2)3A B =+2211(2)3AC +2BC =， 因为11B C ∥BC ，所以1A CB ∠或其补角为异面直线1A C 与11B C 所成的角，222111133343c 23os 22AC BC A B ACB AC BC ∠+-+-===⋅⨯⨯， 则异面直线1A C 与11B C 所成的角的余弦值为33. 故选：C ．6．已知抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，PQ l ⊥于点Q ．若PQF △是锐角三角形，则点P 的横坐标的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()1,+∞C ．()0,2D ．()2,+∞【答案】D【分析】在x 轴上取点()4,0A ，推导出AFP ∠为锐角，设点(),P x y ，可得出0FA FP ⋅>，可求得x 的范围.【详解】如图所示：在x 轴上取点()4,0A ，由抛物线的定义可得PQ PF =，则PFQ PQF ∠=∠， 由于PQF △为锐角三角形，则FPQ ∠为锐角，由已知可得PQ x ∥轴，所以AFP FPQ ∠=∠，则AFP ∠为锐角， 焦点()2,0F ，设点(),P x y ，则()2,0FA =，()2,FP x y =-， 则2(2)0FA FP x ⋅=->，解得2x >， 因此，点P 的横坐标的取值范围是()2,+∞. 故选：D.7．设直线1l 的方向向量为()1,u a →=，2l 的法向量为()1,2v a →=-，则“2a =”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【分析】因为12l l ⊥，所以2a =或1a =-，再利用充分必要条件的定义判断得解. 【详解】解：因为12l l ⊥，所以21()1,20,(2)(1)02a a a a a a -⨯-=-∴--=∴-+=， 所以2a =或1a =-.当2a =时，12l l ⊥成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分条件； 当12l l ⊥时，2a =不一定成立，所以“2a =”是“12l l ⊥”的非必要条件. 所以“2a =”是“12l l ⊥”的充分不必要条件. 故选：A8．设A 是圆()22:19C x y ++=上的动点，PA 是圆的切线，且4PA =，则点P 到点()8,0Q 距离的最小值为（ ） A ．15 B ．6 C ．5 D ．4【答案】D【分析】本题首先可根据题意得出5PC =，则点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，然后用圆心到点()8,0Q 的距离减去半径即可得出结果.【详解】解：由圆的方程()2219x y ++=，易知圆心()1,0C -，半径为3，因为PA 是圆的切线，且4PA =， 所以222325PC PA =+=，5PC =， 所以，点P 的轨迹方程为()22125x y ++=，点P 到点()8,0Q 54=，故选：D.9．古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．221644x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【分析】由题意可得到对于椭圆有16ab =成立，由此一一验证各选项是否满足，即得答案. 【详解】∵用面积为64的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切， ∴464ab = ，即16ab =，对于A ，2216416x y +=,8,4a b == ，不满足16ab =，故A 错误； 对于B ，221644x y +=，8,2a b ==，满足0,16a b ab >>= ，故B 正确；对于C ，22125616x y +=，16,4a b == ，不满足16ab =，故C 错误；对于D ，2216432x y +=，8,a b ==不满足16ab =，故D 错误． 故选：B ．10．在等比数列{}n a 中，19a =-，51a =-记13521n n T a a a a -=⋯（1n =，2，…）.则数列{}n T （ ） A ．有最大项，有最小项 B ．有最大项，无最小项 C ．无最大项，有最小项 D ．无最大项，无最小项【答案】A【分析】根据题意易求得等比数列{}n a 的公比q ，设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…），则数列{}n b 是以1a 为首项，2q 为公比的等比数列，再分奇偶讨论数列{}n T 的项，即可得出结论.【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则45119a q a ==，所以213q =， 设数列{}n b 为等比数列{}n a 的奇数项13521,,,,n a a a a -⋯（1n =，2，…）， 则数列{}n b 是以9-为首项，13为公比的等比数列，则1311933n n n b --⎛⎫⎛⎫=-⨯=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以21323151n n n T b b a a a b b a -⋯==，当4n ≥时，1n b <，当13n ≤≤时，1n b ≥， 当n 为奇数时，0n T <，因为31b =-， 所以327n T T ≥=-，当n 为偶数时，0n T >，因为31b =-， 所以227n T T ≤=，综上所述，数列{}n T 有最大项227T =和最小项327T =-. 故选：A.11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在正方形11BCC B 内，且不在棱上，则（ ）A ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥B ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥C ．在正方形11DCCD 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC D ．在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC 【答案】B【分析】对于A ，通过作辅助线，利用平行的性质，推出矛盾，可判断A;对于B ，找到特殊点，说明在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ⊥，判断B;利用面面平行的性质推出矛盾，判断C;利用线面垂直的性质定理推出矛盾，判断D.【详解】A 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得PQ AC ∥，作,PE BC QF CD ⊥⊥ ,垂足分别为,E F ,连接,E F ，则PEFQ 为矩形，且EF 与AC 相交， 故PQ EF ∥,由于PQ AC ∥，则AC EF ∥，这与,AC EF 相交矛盾，故A 错误；B 、假设P 为正方形11BCC B 的中心，Q 为正方形11DCCD 的中心， 作,PH BC QG CD ⊥⊥ ,垂足分别为,H G ,连接,H G ，则PHGQ 为矩形， 则PQ HG ∥ ,且,H G 为,BC CD 的中点，连接,GH BD ,则GH BD ∥,因为AC BD ⊥ ，所以GH AC ⊥,即PQ AC ⊥，故B 正确； C 、在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得平面1PQC ∥平面ABC ，由于平面ABC ⋂平面11DCC D CD =,平面1PQC 平面111DCC D C Q =,故1CD C Q ∥ ,而11C D CD ∥ ,则Q 在11C D 上，这与题意矛盾，C 错误； D 、假设在正方形11DCC D 内一定存在一点Q ，使得AC ⊥平面1PQC ， 1C Q ⊂平面1PQC ,则1AC C Q ⊥,又1CC ⊥平面,ABCD AC 平面ABCD ，故1C C AC ⊥ ,而11111,C C C Q C C C C Q =⊂，平面11DCC D ，故AC ⊥平面11DCC D ， 由于AD ⊥平面11DCC D ,故,C D 重合，与题意不符，故D 错误， 故选∶B12．已知1F ，2F 分别椭圆()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆上一点，满足21π2PF F ∠=，线段1PF 交y 轴于点Q ，若22QF c =，则椭圆的离心率是（ ）A ．12B ．22C ．123+ D ．21-【答案】D【分析】由题意得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，Q 为1PF 的中点，利用直角三角形斜边上中线等于斜边的一半，结合椭圆的方程可得22||b PF a=，由勾股定理和离心率公式，计算可得答案．【详解】由题意可得2PF 垂直于x 轴，2OQ PF ∥，因为O 为12F F 的中点，则Q 为1PF 的中点，可得12||2||22PF QF c ==，由x c =可得22221c y a b +=，则2221c by b a a=±-=±，即有22||b PF a =，在直角三角形12PF F 中，可得2221212||||||PF PF F F =+， 即有422284b c c a=+，可得22b ac =，即2220c ac a +-=， 由ce a=可得，2210e e +-=，解得21e =-或21e =--(舍去)， 故选：D.13．一些二次曲面常常用于现代建筑的设计中，常用的二次曲面有球面、椭球面、单叶双曲面和双曲抛物面、比如，中心在原点的椭球面的方程为()22222210,0,0x y z a b c a b c++=>>>，中国国家大剧院就用到了椭球面的形状（如图1），若某建筑准备采用半椭球面设计（如图2），半椭球面方程为()2221022x y z z ++=≥，该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ），则该建筑的占地面积为（ ）A ．2100m πB ．25000m πC ．28000m πD ．210000m π【答案】B【分析】令0z =，得到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆，求出面积即可求解. 【详解】解析：求占地面积即求半椭球面的底面积， 所以，到xOy 平面上的曲线方程为222x y +=，为一个圆，的圆，因为该建筑设计图纸的比例（长度比）为1：50（单位：m ）50=所以，建筑的占地面积为(25000ππ⨯=平方米.故选：B二、填空题14．已知3,,32a x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,,2b y =-，若a 与b 共线，则x y -=_________.【答案】52-＃＃ 2.5-【分析】由向量共线的坐标表示得出x y -的值.【详解】解：因为a 与b 共线，所以a b λ=，即3232x y λλλ=-⎧⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩,解得32x =-，1y =，则52x y -=-.故答案为：52-．15．在公差为d 的等差数列{}n a 中，1053S S =，则1a d等于_________. 【答案】3【分析】根据等差数列求和公式即可求解. 【详解】由1053S S =得111109541035322a d a d a d ⨯⨯⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭，所以13a =d ． 故答案为：3．16．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA l ⊥，A 为垂足.若直线AF 的斜率为PF =__________. 【答案】4【分析】设准线与x 轴焦点为B ,可得B 的坐标为(1,0)-，2BF =, 由直线AF斜率为60AFB ︒∠=，结合抛物线的定义,可得PAF △是等边三角形，即可得答案. 【详解】如图由抛物线方程为24y x =，可得其焦点为(1,0)F ，准线方程为=1x -， 设准线与x 轴焦点为B ,则B 的坐标为(1,0)-， 2BF = 由直线AF 斜率为3-60AFB ︒∠=，可得4cos 60BF AF ︒==，因为AP x ∥轴，所以60PAF AFB ︒∠=∠=,又由抛物线的定义有PA PF =, 所以PAF △是等边三角形，故4PA PF ==， 故答案为：4.17．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美.平面直角坐标系中，曲线C ：()2222220x y x y x y +=++≠就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论：①曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称；②曲线C 恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）； ③曲线C 围成的图形的面积是44π+； ④曲线C 上的任意两点间的距离不超过4；⑤若(),P m n 是曲线C 上任意一点，则6m n +-的最小值是2. 其中正确的结论序号是_________. 【答案】①⑤【分析】对绝对值里面的,x y 进行分类讨论，去掉绝对值，从而可作出曲线C . 根据曲线C 2①；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------即可判断②； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22③； 由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即可判断④； 因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为62m n d +-=，所以62m n d +-，转化为圆上的点到直【详解】由于222||2||+=+x y x y ，则当0,0x y ≥≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=+，化简得2(1)x -+2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)，半径为2的半圆；当0,0x y ≥<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-，化简得2(1)(x y -+21)2+=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <≥时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=-+，化简得2(1)x ++2(1)2y -=，表示圆心为(1,1)-，半径为2的半圆；当0,0x y <<时，曲线C 的方程可化为2222x y x y +=--，化简得2(1)x ++2(1)2y +=，表示圆心为(1,1)--，半径为2的半圆．作出曲线22:2||2||C x y x y +=+如图所示：曲线C 是四个半径为2的半圆围成的图形，由图易知曲线C 关于坐标轴和直线y x =±均对称，故①正确；曲线C 恰好经过8个整点()()()()()()()()2,0,2,0,0,2,0,2,2,2,2,2,2,2,2,2------，故②错误； 曲线C 所围成的面积为四个半圆的面积与边长为22从而曲线C 所围成图形的面积为2214π(2)(22)84π2⨯⨯+=+，故③错误；由图可知，曲线C 上的任意两点间的距离的最大值为两个半径与正方形的边长之和，即222242+④错误；因为(,)P m n 到直线60x y +-=的距离为2266211m n m n d +-+-+62m n d +-=，当d 最小时，易知(,)P m n 在曲线C 的第一象限内的图象上，因为曲线C 的第一象限内的图象是圆心为(1,1)，半径为2r =圆心(1,1)到60x y +-=的距离1d ==从而min 1d d r =-=min 62m n +-=，故⑤正确. 故答案为：①⑤．18．已知等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =，则使1212111n n a a a a a a ++⋅⋅⋅+>++⋅⋅⋅成立的正整数n的最大值为___________. 【答案】8【分析】根据等比数列通项代入等式化简得116a =，再分别求出数列{}n a 和1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项的和，代入不等式即可求出n 的范围，则得到其最大值. 【详解】解：因为等比数列{}n a 的公比12q =，且267a a =， 所以()61152a q a q =，整理得:4111116a q a ==，解得116a =， 因为{}n a 为等比数列，所以，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11a 为首项，公比为1q 的等比数列，所以原不等式等价为:()111111111nna q a q q q⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎢⎥⎣⎦>--①， 因为12q =，116a = 所以，将其代入①式整理得:9232162n <⨯=，解得9n <， 由n *∈N ，所以正整数n 的最大值为8， 故答案为：819．P 为抛物线22y x =上一动点，当点P 到直线440x y --=的距离最短时，P 点的坐标是___________. 【答案】(1,2)【分析】设200(,2)P x x ，求出P 到直线l 距离，结合绝对值变形后配方可得最小值．【详解】设200(,2)P x x ，则点200(,2)P x x 到直线440x y --=的距离为()2012d x =-+， 当01x =，即当(1,2)P 时，抛物线22y x = 上一点到直线440x y --==. 故答案为：(1,2)．20．设等比数列{}n a 满足1212a a +=，1312a a -=-，记m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数，则数列{}m b 的前50项和50S =___________. 【答案】144【分析】根据已知条件求出等比数列{}n a 的首项和公比，得出12n n a +=，讨论当13m ≤≤时和+1222n n m +≤<时m b 值，代入计算即可得出结果.【详解】由题意得，1212131(1)12(1)12a a a q a a a q +=+=⎧⎨-=-=-⎩，所以解得14a =，2q =， 所以{}n a 是首项为4，公比为2的等比数列，所以12n n a +=，因为m b 为{}n a 在区间(]()*0,N m m ∈中的项的个数所以当13m ≤≤时，0m b =；当+1222n n m +≤<时，m b n =， 所以()5012345678915161731323350()()()()S b b b b b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++++++，即23450031222324(5031)144S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯-=. 故答案为: 144三、双空题21．已知直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，则m =___________；双曲线C 的离心率为___________.【答案】 0【分析】根据双曲线的渐近线过原点，即可求得m 的值，由题意可得,a b 的关系，即可求得离心率. 【详解】由题意可知双曲线C ：22221,0,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =± ，过原点，由于直线l ：0x y m ++=是双曲线C ：22221x y a b-=的一条渐近线，故0,1bm a=-=-，即a b =，故c所以离心率为ce a=. 故答案为：0四、解答题22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n n n S S a +=++，__________.请在①471a a +=；②1a ，3a ，4a 成等比数列；③105S =，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题. (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)求n S 的最小值. 【答案】(1)5n - (2)414【分析】（1）选①由等差数列性质列方程求1a ；选②由等比中项性质列方程求1a ；选③由求和公式列方程求1a . 最后由公式法写出通项公式； （2）由公式法写出n S ，讨论函数最小值即可.【详解】（1）由11n n n S S a +=++得111n n n n n a a S S a ++-=--=，故数列{}n a 为首项为1a ，公差1d =的等差数列，选①，471291a a a d +=+=，解得14a =-； 选②，1a ，3a ，4a 成等比数列，则2143a a a ，即211132a a a ，解得14a =-；选③，()111091052a a S ++==，解得14a =-.综上，故()4115n a n n =-+-⨯=-. （2）由（1）得5n a n =-，2299452222nn n n S ，*n ∈N ，故n S 的最小值为45414S S ==. 23．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中，2AB AC ==，14AA =，AB AC ⊥，1BE AB ⊥交1AA 于点E ，D 为1CC 的中点.(1)求证：BE ⊥平面1AB C ；(2)求直线BD 与平面1AB C 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； 15【分析】（1）先证明AC BE ⊥，再根据线面垂直的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，确定平面1AB C 的法向量，根据空间角的向量求法可得答案.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C 中，1AA ⊥平面ABC ， 因为AC ⊂平面ABC ，所以1AA AC ⊥ ．因为AB AC ⊥ ，1AB AA A ⋂= ，1,AB AA ⊂平面11ABB A , 所以AC ⊥ 平面11ABB A ，因为BE ⊂平面11ABB A ， 所以AC BE ⊥ ．又因为11BE AB AC AB A ⊥=， ，1,AC AB ⊂平面1AB C ，所以BE ⊥平面1AB C .（2）由（1）知知1,,AB AC AA 两两垂直，则以点A 为原点，1,,AB AC AA 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则()()1,(),0,0,02,0,40,,2,200),(2,A B D B ， 设()0,0,E a ,1(2,0,4)AB =,(2,0,)BE a =- ， 因为1AB BE ⊥ ，∴440,1a a -+=∴= ， 故(2,0,1)BE =-,由（1）知BE ⊥平面1AB C故平面1AB C 的一个法向量为(2,0,1)BE =- ，(2,2,2)BD =-,设直线BD 与平面1AB C 所成角为π,[0,]2θθ∈，则|15sin |cos ,||||52||3BD BD BD BE BE BE θ⋅=〈〉==⋅⨯24．已知椭圆E 的焦点在x 331,⎛ ⎝⎭.(1)求椭圆E 的方程；(2)直线l ：2y kx =-与椭圆E 相交于,A B 两点，且原点O 在以AB 为直径的圆上，求直线l 斜率k 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)2k =±【分析】（1）依题意设出椭圆E 的方程，根据离心率的值以及椭圆经过的点，待定系数法求出椭圆的方程；（2）把直线的方程代入椭圆的方程，使用根与系数的关系，再由原点O 在以AB 为直径的圆上，利用OA OB ⊥，即0OA OB ⋅=，解方程求出k 的值，并检验判别式是否大于0． 【详解】（1）解：依题意，可设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，c a =a ∴=，又222213b a c c =-=，椭圆经过点，则有221314a b +=，,即得2239144c c +=,解得c =2a =，1b =， ∴椭圆的方程为2214x y +=． （2）解：记A 、B 两点坐标分别为1(A x ,2)x ，B 2(x ,2)y ，由22244y kx x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，得22(41)16120k x kx +-+=， 直线与椭圆有两个交点，∴22(16)4(41)120k k ∆=-+⨯>，即234k >， 由韦达定理1221641kx x k +=+，1221241x x k =+， 原点O 在以AB 为直径的圆上， OA OB ∴⊥，即0OA OB ⋅=，又1(OA x =,1)y ，2(OB x =,2)y ，∴12121212(2)(2)OA OB x x y y x x kx kx ⋅=+=+--2212122216(1)2()41(1)24041214kk x x k x x k k k k =+-++=+⋅-⋅+=++． 即得()22(1)122164410k k k k +⨯-⨯++=所以2416k = 2443k ∴=>， 2k ∴=±．25．设有限数列A ：()*12,,,N n a a a n ⋅⋅⋅∈，定义集合{}1i j M a a i j n =+≤<≤为数列A 的伴随集合.(1)已知有限数列P ：-1，0，1，2和数列Q ：1，2，4，8.分别写出P 和Q 的伴随集合；(2)已知有限等比数列A ：()2*4,4,,4N n n ⋅⋅⋅∈，求A 的伴随集合M 中各元素之和S ；(3)已知有限等差数列A ：122022,,,a a a ⋅⋅⋅，判断0，507，11100是否能同时属于A 的伴随集合M ，并说明理由.【答案】(1)数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12(2)()()14431n n S +--=(3)500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ,理由见解析【分析】（1）由数列A 的伴随集合定义可得P ，Q 的伴随集合；（2）先证明(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤，可得求集合M 中各元素之和时， 每个()1i a i n ≤≤均出现n ﹣1次，由等比数列的求和公式，计算可得所求和； （3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ．设数列A 的公差为d （d ≠0），运 用等差数列的定义和通项公式、性质，推理论证得到矛盾，即可判断．【详解】（1）数列P 的伴随集合为{}1,0,1,2,3-，数列Q 的伴随集合为{}3,5,6,9,10,12． （2）先证明:对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤． 假设()1,1i j k l a a a a i j n k l n +=+<<≤≤≤≤．当i k =且j l ≠，因为i j l k a a a a +=+，则j l a a =，即22j l =， 所以j l =，与j l ≠矛盾．同理，当i k ≠且j l =时，也不成立．当i k ≠且j l ≠时，不妨设i k <，因为i j l k a a a a +=+，则2222i j k l +=+， 所以1222j i k i l i ---+=+，左边为奇数，右边为偶数，所以1222j i k i l i ---+≠+，综上，对任意i k ≠或j l ≠，则(1,1)i j k l a a a a i j n k l n +≠+<<≤≤≤≤ 所以求集合M 中各元素之和时，每个()1i a i n ≤≤均出现n 1-次， 所以()()21444nS n =-+++ ()()()()()()1414441411141433nn n n n n +---=-=---=（3）假设500,,117100同时属于数列A 的伴随集合M ． 设数列A 的公差为()0d d ≠，则1122330,50,711,100i j i j i j a a a a a a ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩即()()()111122133220,5022,71122,100a i j d a i j d a i j d ⎧⎪++-=⎪⎪++-=⎨⎪⎪++-=⎪⎩①②③②-①得，()()()2211750-=i j i j d ++， ③-①得，()()()3311-=10011i j i j d ++， 两式相除得，()()()()22113311075070=i j i j i j i j +-++-+，因为*112233,,,,,N i j i j i j ∈，所以()()2211-5000i j i j k ++=，()()()3311-77Z,0i j i j k k k ++=∈≠，所以()()2211-5000i j i j ++≥． 又因为11221,,,2022i j i j ≤≤，所以()()()()2211-20222021214040i j i j ++≤+-+=，()()()()2211-12202120224040i j i j ++≥+-+=-，所以()()2211-4040i j i j ++≤，与()()2211-5000i j i j ++≥矛盾， 所以500,,117100不能同时属于数列A 的伴随集合M ．。
2022-2023学年北京市西城区高二(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市西城区高二（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．等差数列﹣2，1，4，…的第10项为（ ） A ．22B ．23C ．24D ．252．设函数f （x ）＝sin x ，则f '（π）＝（ ） A ．1B ．﹣1C ．0D ．π3．某一批种子的发芽率为23．从中随机选择3颗种子进行播种，那么恰有2颗种子发芽的概率为（ ） A ．29B ．827C ．49D ．234．记函数f(x)=1x 的导函数为g （x ），则g （x ）（ ） A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数5．在等差数列{a n }中，若a 1＝9，a 8＝﹣5，则当{a n }的前n 项和最大时，n 的值为（ ） A ．5B ．6C ．7D ．86．某钢厂的年产量由2010年的40万吨增加到2020年的60万吨，假设该钢厂的年产量从2010年起年平均增长率相同，那么该钢厂2030年的年产量将达（ ） A ．80万吨B ．90万吨C ．100万吨D ．120万吨7．如果函数f （x ）＝xlnx ﹣ax 在区间（1，e ）上单调递增，那么实数a 的取值范围为（ ） A ．[1，2]B ．（﹣∞，2]C ．[1，+∞）D ．（﹣∞，1]8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q =23，记其前n 项的和为S n ，则对于n ∈N *，使得S n ＜m 都成立的最小整数m 等于（ ） A ．6B ．3C ．4D ．29．设随机变量ξ的分布列如下：则下列说法中不正确的是（ ） A ．P （ξ≤2）＝1﹣P （ξ≥3）B ．当a n =12n （n ＝1，2，3，4）时，a 5=124 C ．若{a n }为等差数列，则a 3=15D ．{a n }的通项公式可能为a n =1n(n+1)10．若函数f(x)={xe x +a ，x ＜1，a −x ，x ≥1有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（0，e ）B ．（﹣∞，e ）C ．(0，1e )D ．(−∞，1e )二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2022-2023学年北京市东城区高一(下)期末数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题3分，共30分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知向量a →=（m ，1），b →=（﹣1，2）．若a →∥b →，则m ＝（ ） A ．2B ．1C ．﹣1D ．−122．复数z 满足i •z ＝1﹣2i ，则z ＝（ ） A ．2﹣iB ．﹣2﹣iC ．1+2iD ．1﹣2i3．某中学为了解在校高中学生的身高情况，在高中三个年级各随机抽取了10%的学生，并分别计算了三个年级抽取学生的平均身高，数据如表：则该校高中学生的平均身高可估计为（ ） A ．3.6x +3.4y +3.0z B ．x+y+z 2 C ．0.36x +0.34y +0.30zD ．x+y+z34．已知圆锥SO 的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO 的体积为（ ） A ．2πB ．√3πC ．πD ．√33π 5．设a ，b 为实数，若a+i b−2i=1+i ，则（ ）A ．a ＝1，b ＝﹣1B ．a ＝5，b ＝3C ．a ＝1，b ＝2D ．a ＝1，b ＝36．将函数y ＝cos x ﹣sin x 的图象向左平移π2个单位，所得图象的函数解析式为（ ） A ．y =−√2sinx B ．y =√2cosx C ．y ＝﹣sin x ﹣cos xD ．y ＝cos x +sin x7．已知长方形墙ACFE 把地面上B ，D 两点隔开，该墙与地面垂直，长10米，高3米．已测得AB ＝6米，BC ＝8米．现欲通过计算，能唯一求得B ，D 两点之间的距离，需要进一步测量的几何量可以为（ ）A ．点D 到AC 的距离B ．CD 长度和DF 长度C ．∠ACB 和∠ADCD ．CD 长度和∠ACD8．设a →，b →为非零向量，|a →|=|b →|，则“a →，b →夹角为钝角”是“|a →+b →|＜√2|a →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．如图，直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ⊥BC ，AA 1＝AB ，P 为棱A 1B 1的中点，Q 为线段A 1C 上的动点．以下结论中正确的是（ ）A ．存在点Q ，使BQ ∥ACB ．不存在点Q ，使BQ ⊥B 1C 1C ．对任意点Q ，都有BQ ⊥AB 1D ．存在点Q ，使BQ ∥平面PCC 110．如图，质点P 在以坐标原点O 为圆心，半径为1的圆上逆时针做匀速圆周运动，P 的角速度大小为2rad /s ，起点P 0为射线y ＝﹣x （x ≥0）与⊙O 的交点．则当0≤t ≤12时，动点P 的纵坐标y 关于t （单位：s ）的函数的单调递增区间是（ ）A ．[0，π2]B ．[7π8，11π8] C ．[11π8，15π8] D ．[3π4，11π4] 二、填空题共5小题，每小题4分，共20分。
2022-2023学年北京市东城区北京版四年级上册期末考试数学试卷(无答案和有答案版)
【答案】①.5②.1
【解析】
【分析】观察图形可知，商是4，除数是25，余数是26，在有余数除法中，被除数＝商×除数＋余数，将数据代入到公式中，即可算出被除数是多少；又因为在除法计算过程中，余数总比除数小，26＞25，说明商小了，需要加1，列出正确的竖式即可知道商和余数是多少。据此解答。
19.小新一家从市区开车到郊区的野生动物园，用了2小时，汽车的速度大约是85千米/时，这段路程大约是多少千米？
20.乐乐准备参加英语节比赛，按照规则他需要记忆400个新单词，他已经背了38天，还剩下20个单词没有记忆。这38天乐乐平均每天记忆多少个单词？
21.2022年5月4日，中国第一颗人造地球卫星“东方红一号”（1970年4月24日发射成功）和中国天宫空间站（2021年4月29日发射成功）擦肩而过，两个极具标志性的航天器就这样在天空中遥遥相望。“东方红一号”绕地球一圈大约要用114分钟，中国天宫空间站绕地球一圈大约要用90分钟。如果它们都绕地球运行10圈，“东方红一号”比中国天宫空间站多用多长时间？
【详解】由分析可知，甲数代表的是1套《中国载人航天科普丛书》需要284元，乙代表的是10套《中国载人航天科普丛书》需要10个284元，也就是2840元。
2840＞284，所以甲＜乙，选项A符合题意。
故答案为：A
【点睛】本题考查学生对三位数乘两位数笔算方法的掌握，理解三位数乘两位数笔算方法每一步的意义是解决此题的关键。
9.小明用不同的方法表示出了5004000，其中正确的是（）。
①
②
③
百万
十万
万
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2022-2023学年北京市东城区高二（上）期末数学试卷1. 已知向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，那么实数k的值为( )A. 12B. −12C. −2D. 22. 直线l:x−y−√3=0的倾斜角是( )A. 45∘B. 135∘C. 60∘D. 90∘3. 抛物线y2=−2x的准线方程是( )A. y=12B. y=−1 C. x=12D. x=14. 2021年9月17日，北京2022年冬奥会和冬残奥会主题口号正式对外发布——“一起向未来”(英文为：“TogetherforaSharedFuture”)，这是中国向世界发出的诚挚邀约，传递出14亿中国人民的美好期待．“一起向未来”的英文表达是：“TogetherforaSharedFuture”，其字母出现频数统计如表：A. 18B. 16C. 112D. 145. 设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1=3，S n+1=S n+2n，那么a3=( )A. 4B. 5C. 7D. 96. 已知在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，那么直线A1C与平面AA1D1D 所成角的正弦值为( )A. √66B. √356C. √33D. √637. 如图，点O是正方形ABCD两条对角线的交点．从这个正方形的四个顶点中随机选取两个，那么这两个点关于点O对称的概率为( )A. 15B. 14C. 13D. 128. 圆心为(−1,2)，半径r=3的圆的标准方程为( )A. (x−1)2+(y+2)2=9B. (x+1)2+(y−2)2=9C. (x−1)2+(y+2)2=3D. (x+1)2+(y−2)2=39. 已知正四棱锥P−ABCD的高为4，棱AB的长为2，点H为侧棱PC上一动点，那么△HBD 面积的最小值为( )A. √2B. √32C. √23D. 4√2310. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，那么事件“2x+y≤16”的概率为( )A. 19B. 536C. 16D. 1311. 地震预警是指在破坏性地震发生以后，在某些区域可以利用“电磁波”抢在“地震波”之前发出避险警报信息，以减小相关预警区域的灾害损失．根据Rydelek和Pujol提出的双台子台阵方法，在一次地震发生后，通过两个地震台站的位置和其接收到的信息，可以把震中的位置限制在双曲线的一支上，这两个地震台站的位置就是该双曲线的两个焦点．在一次地震预警中，两地震台A站和B站相距10km.根据它们收到的信息，可知震中到B站与震中到A站的距离之差为6km.据此可以判断，震中到地震台B站的距离至少为( )A. 8kmB. 6kmC. 4kmD. 2km12. 对于数列{a n}，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有|a n|≤M，则称数列{a n}是有界的．若这样的正数M不存在，则称数列{a n}是无界的．记数列{a n}的前n项和为S n，下列结论正确的是( )A. 若a n=1，则数列{a n}是无界的nB. 若a n=nsinn，则数列{a n}是有界的C. 若a n=(−1)n，则数列{S n}是有界的D. 若a n=2+1，则数列{S n}是有界的n213. 已知空间向量a⃗=(1,−1,0)，b⃗ =(m,1,−1)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数m=______.14. 在等差数列{a n}中，a1=2，a4=a2+6，则a n=______.15. 两条直线l1：3x−4y−2=0与l2：3x−4y+8=0之间的距离是______.16. 某单位组织知识竞赛，按照比赛规则，每位参赛者从5道备选题中随机抽取3道题作答．假设在5道备选题中，甲答对每道题的概率都是2，且每道题答对与否互不影响，则甲恰3好答对其中两道题的概率为______；若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对，则乙恰好答对两道题的概率为______.17. 试写出一个中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x的双曲线方程______.18. 已知点P是曲线ax2+by2=1(其中a，b为常数)上的一点，设M，N是直线y=x上任意两个不同的点，且|MN|=t.则下列结论正确的是______.①当ab>0时，方程ax2+by2=1表示椭圆；②当ab<0时，方程ax2+by2=1表示双曲线；③当a =124，b =18，且t =4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有6个；④当a =124，b =18，且0<t <4时，使得△MNP 是等腰直角三角形的点P 有8个．19. 某超市有A ，B ，C 三个收银台，顾客甲、乙两人结账时，选择不同收银台的概率如表所示，且两人选择哪个收银台相互独立． 收银台 顾客 A 收银台 B 收银台 C 收银台 甲 a 0.20.4 乙0.3b 0.3(Ⅰ)求a ，b 的值；(Ⅰ)求甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率； (Ⅰ)求甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率．20. 在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是正方形，Q 为棱PD 的中点，PA ⊥AD ，PA =AB =2，再从下列两个条件中任选一个作为已知，求解下列问题． 条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ； 条件②：PA ⊥AB.(Ⅰ)求证：PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)求平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值； (Ⅰ)求点B 到平面ACQ 的距离．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．21. 已知圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4及点P(3,1).(Ⅰ)判断圆C 和圆C 1的位置关系； (Ⅰ)求经过点P 且与圆C 相切的直线方程．22. 已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，一个顶点为A(0,1).(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅰ)若求点A 的直线l 与椭圆E 的另一个交点为B ，且|AB|=43√2，求点B 的坐标．23. 已知无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.设y 1=a(0≤a ≤1). (Ⅰ)若a =14，求y 3的值； (Ⅰ)若y 3=0，求a 的值；(Ⅰ)给定整数M(M ≥3)，是否存在这样的实数a ，使数列{y n }满足： ①数列{y n }的前M 项都不为零；②数列{y n }中从第M +1项起，每一项都是零．若存在，请将所有这样的实数a 从小到大排列形成数列{a n }，并写出数列{a n }的通项公式；若不存在，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(8,−2,1)，b⃗ =(−4,1,k)，且a⃗//b⃗ ，∴−48=1−2=k1，∴k=−12，故选：B.利用空间向量共线的坐标运算求解即可．本题考查空间向量共线的坐标运算，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：由直线l:x−y−√3=0，得y=x−√3，则直线l的斜率k=1，其倾斜角为45∘.故选：A.化直线方程为斜截式，求得直线的斜率，可得直线的倾斜角．本题考查直线的倾斜角，考查直线倾斜角与斜率的关系，是基础题．3.【答案】C【解析】解：∵抛物线的方程为y2=−2x，∴该抛物线的准线方程为x=12.故选：C.根据抛物线的几何性质即可求解．本题考查抛物线的几何性质，属基础题．4.【答案】B【解析】解：字母e的频数为4个，则字母“e”出现的频率是424=16.故选：B.根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．本题主要考查频数分布表，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：依题意，由S n+1=S n+2n，可知S n+1−S n=2n，当n=2时，a3=S3−S2=22=4.故选：A.先将题干已知条件进行转化，再根据公式a n=S n−S n−1(n≥2)代入进行计算即可得到a3的值．本题主要考查根据前n项和的关系式求某项的值．考查了转化与化归思想，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题．6.【答案】A【解析】解：连接A1D，如图所示：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，CD⊥平面AA1D1D，故直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，在长方形AA1D1D中，A1D=√AD2+A1A2=√5，CA1=√A1D2+CD2=√6在Rt△CA1D中，sin∠CA1D=CDCA1=1√6=√66，故选：A.根据棱柱的结构特征，可得直线A1C与平面AA1D1D所成角为∠CA1D，即可得出答案．本题考查棱柱的结构特征和直线与平面的夹角，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．7.【答案】C【解析】解：从四个顶点中选两个的情况有C42=6种，选的两个点关于O对称的情况有A，C与B，D，故所求的概率为P=26=13.故选：C.由已知结合古典概率公式即可求解．本题主要考查了古典概率公式的应用，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：根据题意：要求的圆的标准方程为(x+1)2+(y−2)2=9；故选：B.根据题意，由圆的标准方程的形式，代入圆心的坐标和半径，即可得答案．本题考查圆的标准方程，注意圆的标准方程的形式，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：取BD中点D，连接OH，PO，OC，如图所示，∵四棱锥P−ABCD为正四棱锥，∴PO⊥平面ABCD，DH=BH，∵O为BD的中点，∴OH⊥BD，∵OC⊂平面ABCD，∴OC⊥PO，∵AB=2，PO=4，∴BD=2√2，OC=√2，在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，为√2√4+2=43，当点H和点P重合时，OH最大，最大为4，∴OH∈[43,4]，又∵S△HBD=12×2√2×OH，∴当OH=43时，△HBD的面积最小，为4√23.故选：D.取BD中点D，连接OH，PO，OC，由正四棱锥的性质可知PO⊥OC，OH⊥BD，所以在直角三角形POC中，当OH⊥PC时，OH最小，求出此时OH的最小值，从而求出△HBD面积的最小值．本题主要考查了正四棱锥的结构特征，考查了三角形面积公式的应用，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：根据题意抛掷一枚质地均匀的骰子两次，共有基本事件36个，且将第一次得到的点数记为x，第二次得到的点数记为y，又2x+y≤16=24，则x+y≤4，则满足事件“2x+y≤16”的基本事件为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6种，则事件“2x+y≤16”的概率为636=16，故选：C.根据古典概型概率计算公式可解．本题考查古典概型概率计算公式，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：设震中为P ，依题意有|PB|−|PA|=6<|AB|=10，所以点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线靠近A 的一支，因为|PA|+|PB|≥|AB|=10，当且仅当A ，P ，B 三点共线时，取等号， 所以|PB|−6+|PB|≥10，所以|PB|≥8， 所以震中到地震台B 站的距离至少为8km. 故选：A.设震中为P ，根据双曲线的定义以及|PA|+|PB|≥|AB|=10可求出结果． 本题主要考查双曲线的性质，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于A ，∵|a n |=|1n |=1n≤1恒成立，∴存在正数M =1，使得|a n |≤M 恒成立，∴数列{a n }是有界的，A 错误； 对于B ，|a n |=|nsinn|=n|sinn|，∵|sinn|≤1，∴|a n |≤n ，即随着n 的增大，不存在正数M ，使得|a n |≤M 恒成立， ∴数列{a n }是无界的，B 错误；对于C ，当n 为偶数时，S n =0；当n 为奇数时，S n =−1； ∴|S n |≤1，∴存在正数M =1，使得|S n |≤M 恒成立， ∴数列{S n }是有界的，C 正确；对于D ，1n 2=44n 2≤4(2n−1)(2n+1)=4(12n−1−12n+1)， ∴S n =2n +1+122+132+…+1n 2≤2n +4(1−13+13−15+…+12n−1−12n+1)=2n +4(1−12n+1)=2n +8n 2n+1=2(n −22n+1+2)，∵y =x −22x+1在(0,+∞)上单调递增，∴n −22n+1∈[13,+∞),∴不存在正数M ，使得|S n |≤M 恒成立，∴数列{S n }是无界的，D 错误． 故选：C.根据已知|a n |≤1恒成立，A 错误；a n =nsinn ，|a n |不存在最大值，即数列{a n }无界；C 项分别在n 为偶数和n 为奇数情况下求和，由此可确定；D 项采用放缩法可判断．本题考查数列中的新定义问题，解题关键是理解数列有界的本质是对于数列中的最值的求解，进而可以通过对于数列单调性的分析来确定数列是否有界，属于难题．13.【答案】1【解析】解：因为a ⃗ =(1,−1,0)，b ⃗ =(m,1,−1)，a ⃗ ⊥b ⃗ ， 所以m −1=0，解得m =1， 故答案为：1.由a ⃗ ⊥b ⃗ ，可建立关于m 的方程，解出即可．本题考查空间向量的运用，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】3n −1【解析】解：等差数列{a n }中，a 1=2，a 4=a 2+6， 所以a 4−a 2=2d =6， 所以d =3，则a n =a 1+3(n −1)=3n −1. 故答案为：3n −1.由已知结合等差数列的通项公式即可求解． 本题主要考查了等差数列的通项公式，属于基础题．15.【答案】2【解析】解：两条直线l 1：3x −4y −2=0与l 2：3x −4y +8=0之间的距离是√3+4=2.故答案为：2.由已知结合两平行线间的距离公式即可求解．本题考查两平行直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于基础题．16.【答案】40243 310【解析】解：设甲能够答对X 道题目， 则X ∼B(5,23)，P(X =2)=C 52(23)2×(1−23)3=40243，若乙能答对其中3道题且另外两道题不能答对， 则乙恰好答对两道题的概率为C 32C 52=310.故答案为：40243；310.根据已知条件，结合二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，即可求解．本题主要考查二项分布的概率公式，以及古典概型的概率公式，属于基础题．17.【答案】x2−y24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程)【解析】解：∵渐近线方程为2x±y=0，设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，所以双曲线的方程为x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).故答案为：x2−y 24=1(或其它以y=±2x为渐近线的双曲线方程).首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2−y2=λ，λ≠0，写出结果即可．本题考查了求双曲线的简单性质，设出标准形式，求出参数即可，属于基础题型．18.【答案】②③④【解析】解：方程ax2+by2=1中，当a=b>0时，可表示圆；当ab<0时，ax2+by2=1表示双曲线，故①错误，②正确；在③④中：椭圆方程为x 224+y28=1椭圆与直线y=x均关于原点对称，设点P(2√6cosθ,2√2sinθ)，则点P到直线y=x的距离d=|2√6cosθ−2√2sinθ|√2=4|sin(θ−π3)|∈[0,4]；对③：t=4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t=4，d=2√2<4，满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个，图1若P不是直角顶点，如图2，则|MN|=t=4，d=4，满足△PMN是等腰直角三角形的非直角顶点P有两个，图2故t=4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有6个，③正确；<4，对④：0<t<4时，若P为直角顶点，如图1，则|MN|=t，d=t√2满足△MNP为等腰直角三角形的点P有四个．若P不是直角顶点，如图3，则|MN|=t，d=t<4，满足△MNP是等腰直角三角形的非直角顶点P有四个，图3故0<t<4时，使得△MNP是等腰直角三角形的点P有8个，④正确；故答案为：②③④．对①②，根据方程ax2+by2=1表示的曲线可以是圆，椭圆，双曲线，直线判断即可；对③④，求出点P到直线y=x的距离d的取值范围，对点P是否为直角顶点进行分类讨论，确定d，t的等量关系，综合可得出结论．本题主要考查曲线与方程和直线与圆的位置关系，考查了数形结合思想和分类讨论思想，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由表可知，甲选择A 收银台的概率为a =1−0.2−0.4=0.4，乙选项B 收银台的概率为b =1−0.3−0.3=0.4；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时都选择C 收银台的概率为0.4×0.3=0.12；(Ⅰ)甲、乙两人在结账时至少一人选择C 收银台的概率为1−(1−0.4)×(1−0.3)=0.58. 【解析】(I)根据已知条件，结合概率和为1，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合相互独立事件的概率乘法公式，即可求解；(Ⅰ)根据已知条件，结合对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，即可求解； 本题主要考查对立事件的概率公式，以及相互独立事件的概率乘法公式，属于基础题．20.【答案】解：(Ⅰ)选取条件①：平面PAD ⊥平面ABCD ，证明：∵平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥AD ，PA ⊂平面PAD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ， ∴PA ⊥平面ABCD ； 选取条件②：PA ⊥AB ，证明：∵PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，AB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，AB ∩AD =A ， ∴PA ⊥平面ABCD ；(Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ， 则平面ABCD 的一个法向量为AP⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 则建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，如图所示：PA =AB =2，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,2,0)，Q(0,1,1)，设平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(x,y,z)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0)，AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,1)， 则{n ⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +2y =0n ⃗ ⋅AQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =y +z =0，取y =−1，则x =1，z =1，∴平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， 设平面ACQ 与平面ABCD 夹角为α，则cosα=|cos <AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,n ⃗ >|=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ ||AP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n⃗ |=22×√3=√33，故平面ACQ 与平面ABCD 夹角的余弦值为√33； (Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)， B(2,0,0)，则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0,0)，∴点B 到平面ACQ 的距离|n⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=2√3=2√33. 【解析】(Ⅰ)分别选取条件①、②，根据线面垂直的判定定理和面面垂直的性质，即可证明结论； (Ⅰ)由(Ⅰ)得PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，建立以A 为原点，以AB 、AD 、AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴的空间直角坐标系A −xyz ，利用向量法，即可得出答案；(Ⅰ)由(Ⅰ)得平面ACQ 的一个法向量为n ⃗ =(1,−1,1)，利用向量法，即可得出答案．本题考查直线与平面垂直、二面角及点到平面的距离，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C(1,−2)，半径R =3.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1(3,1)，r =2. ∴|CC 1|=√(1−3)2+(−2−1)2=√13， ∵3−2<√13<3+2， ∴圆C 和圆C 1相交．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，即kx −y +1−3k =0， 则√1+k =3，解得k =0或k =−125， ∴要求的切线方程为y −1=0或12x +5y −41=0.【解析】(I)圆C ：x 2+y 2−2x +4y −4=0，配方为(x −1)2+(y +2)2=9，可得圆心C ，半径R.圆C 1：(x −3)2+(y −1)2=4，可得圆心C 1，r.求出圆心距离|CC 1|，与半径的和差比较即可得出位置关系．(II)由点P(3,1)，可知切线的斜率存在，设切线方程为y −1=k(x −3)，根据直线与圆相切的性质即可得出k.本题考查了两圆的位置关系的判定、直线与圆相切的性质、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．22.【答案】解：(I)因为椭圆E:x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为√22，上顶点为A(0,1)，所以b =1,ca =√22，即a =√2c ，因为a 2=b 2+c 2，所以2c 2=b 2+c 2，所以b =c =1， 所以a =√2， 所以椭圆E 的方程为x 42+y 2=1.(Ⅰ)由题意易知，斜率不存在时不符合要求．当直线的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则直线l ：y =kx +1， 由{y =kx +1x 2+2y 2=2，整理得(1+2k 2)x 2+4kx =0， 因为A(0,1)，则B(−4k2k 2+1,1−2k22k 2+1)，由|AB|=4√23，得|AB|=√1+k 2⋅|−4k2k 2+1|=4√23，化简得k 4+k 2−2=0， 解得k 2=1或−2(舍)， 所以点B 的坐标为(±43,−13).【解析】(Ⅰ)根据椭圆中a ，b ，c 的关系求解即可；(Ⅰ)易知斜率不存在时不符合题意；当直线的斜率存在时，设直线l ：y =kx +1，联立直线与椭圆的方程，求出B 点坐标，由|AB|=43√2，化简可得k 的方程，解方程求出k 2的值即可求出B 点坐标．本题考查了椭圆的方程和性质，考查了直线与椭圆的位置关系，属于中档题．23.【答案】解：(Ⅰ)无穷数列{y n }满足公式y n+1={2y n ,0≤y n <12,2−2y n ,12≤y n ≤1.y 1=a(0≤a ≤1)， ∵y 1=a =14，∴y 2=2y 1=12，y 3=2−2y 2=1. (Ⅰ)y 3=0，(1)当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，∴y 2=0， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=0， 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=1，. (2)当12≤y 2≤1时，y 3=2−2y 2，∴y 2=1， 此时，若0≤y 1<12，则y 2=2y 1，a =y 1=12∉[0,12). 若12≤y 1≤1，则y 2=2−2y 1，a =y 1=12. 综上，a =0，1，12. (Ⅰ)存在这样的a.∵y M+1=0，y M ≠0，∴由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12， (1)当0≤y M−2<12时，y M−1=2y M−2，∴y M−2=14， (2)当12≤y M−2≤1时，y M−1=2−2y M−2，∴y M−2=34， 依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，∴数列{a n }的通项公式为a n =2n−12M−1，n=1，2，3，⋅⋅⋅，2M−2.【解析】(Ⅰ)由y 1=a =14，能求出y 2和y 3.(Ⅰ)y 3=0，当0≤y 2<12时，y 3=2y 2，求出y 2=0，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=0，若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=1；当12≤y 2≤1时，求出y 2=1，若0≤y 1<12，推导出a =y 1=12∉[0,12).若12≤y 1≤1，推导出a =y 1=12.(Ⅰ)存在这样的a.由(Ⅰ)可知y M =1，y M−1=12，当0≤y M−2<12时，求出y M−2=14，当12≤y M−2≤1时，求出y M−2=34，依次类推，y 1=y M−(m−1)=12M−1，32M−1，52M−1，⋅⋅⋅，2M−1−12M−1，由此能求出数列{a n }的通项公式．本题考查数列的递推公式、数列的函数特性等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。