圆锥曲线的常用结论

第1讲 圆锥曲线的常用结论 一．椭圆 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形 标准方程 222210xyabab 222210yxabab

范围 axa且byb

bxb

且aya

顶点 1,0a、2,0a 10,b、20,b 10,a、20,a

1,0b、2,0b

轴长 短轴的长2b 长轴的长2a

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222

122FFccab

对称性 关于x轴、y轴、原点对称

离心率 22101cbeeaae越小，椭圆越圆；e越大，椭圆越扁

1.（1）与椭圆22221xyab共焦点的椭圆的方程可设为222221,0xybab. （2）与椭圆22221xyab有相同的离心率的椭圆可设为2222xyab,2222,0xyba. 2.椭圆的两焦点分别为12,FF,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)122PFPFa; (2)1acPFac; (3)2212bPFPFa; （4）焦半径公式10||PFaex,20||PFaex(1(,0)Fc , 2(,0)Fc00(,)Mxy). 3.椭圆的方程为22221xyab（a＞b＞0）, 左、右焦点分别为12,FF,00,Pxy是椭圆上任意一点,则有: (1)22222222000022,bayaxxbyab; (2)参数方程00cossinxayb为参数; 4.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则(1)2122||||1cosbPFPF. (2)焦点三角形的面积： 122||=tan2PFFPScyb. (3)当P点位于短轴顶点处时, 最大,此时12PFFS也最大; (4) .21cos2e (5)点M是21FPF内心，PM交21FF于点N，则caMNPM||||.

5.有关22ba的经典结论 (1).AB是椭圆22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka. (2).椭圆的方程为22221xyab（a＞b＞0），12,AA为椭圆的长轴顶点，P点是椭圆上异于长轴顶点的任一点，则有1222PAPAbKKa (3). 椭圆的方程为22221xyab（a＞b＞0），12,BB为椭圆的短轴顶点，P点是椭圆上异于短轴顶点的任一点，则有1222PBPBbKKa (4). 椭圆的方程为22221xyab（a＞b＞0），过原点的直线交椭圆于,AB两点，P点是椭圆上异于,AB两点的任一点，则有22PAPBbKKa 6. 若000(,)Pxy在椭圆22221xyab上，则 （1）以000(,)Pxy为切点的切线斜率为2020bxkay； （2）过0P的椭圆的切线方程是00221xxyyab. 7.若000(,)Pxy在椭圆22221xyab外 ，则过000(,)Pxy作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是00221xxyyab. 8.椭圆的两个顶点为1(,0)Aa,2(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程

是22221xyab. 9.过椭圆上任一点00(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且2020BC

bxkay（常数）.

10. 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12PFF, 21PFF，则sinsinsincea

 .

11. P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则2112||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当2,,AFP三点共线时，等号成立. 12.O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.

（1）22221111||||OPOQab; （2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224abab;（3）OPQS的最小值是2222abab. 13. 已知A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0(,0)Px, 则22220ababxaa

.

14. 离心率e=ac=21）（ab、e2=1-2）（ab 15. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经，其长度为ab22 16. 从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线必经过椭圆的另一个焦点. 17. 过椭圆22221(0)xyabab左焦点的焦点弦为AB,则)(221xxeaAB；过右焦点的弦)(221xxeaAB.

18. 内接矩形最大面积：2ab. 19. 若椭圆方程为22221(0)xyabab，半焦距为c，焦点12,0,,0FcFc，设

(1).过1F的直线l 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有

①2211,coscosbbAFBFacac ；②2cosabABac２２２２ (2).若椭圆方程为22221(0)xyabab，半焦距为c，焦点12,0,,0FcFc，设 过F２的直线l 的倾斜角为，交椭圆于A、B两点，则有：① 22,coscosbbAFBFacac２２＋－ ；②22cosab

ABac

２２２

结论：椭圆过焦点弦长公式：222cos2sinabxacABabyac２２２２２２焦点在轴上焦点在轴上 20.若AB是过焦点F的弦,设,AFmBFn,则2

112a

mnb

二．双曲线 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形

标准方程 222210,0xyabab 222210,0yxabab

范围 xa或xa，yR ya或ya

，xR

顶点 1,0a、2,0a 10,a、20,a

轴长 虚轴的长2b 实轴的长2a

焦点 1,0Fc、2,0Fc 10,Fc、20,Fc

焦距 222

122FFccab

对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称

离心率 2211cbeeaa，e越大，双曲线的开口越阔

渐近线方程 byxa ayxb

1.（1）与22221xyab共轭的双曲线方程为22221xyab，①它们有公共的渐近线；②四个焦点都在以原点为圆心，C为半径的圆上；③2212111ee。 （2）与22221xyab有相同焦点的双曲线方程为2222221,0,0,0xyabab （3）与22221xyab有相同焦点的椭圆方程为： 2222221,0,0xyabab （4）与22221xyab有相同焦点的双曲线方程为：2222221,0,0,0xyabab （5）与22221xyab有相同离心率的双曲线方程为：①焦点在x轴上时：2222,0,1xyab ②焦点在y轴上时：2222,0yxab （6）与22221xyab有相同的渐近线方程为：2222,0,1xyab； 2.双曲线的两焦点分别为12,FF,P是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1)122PFPFa; (2)12minmin,PFacPFcaP在右支上; 21minmin

,PFacPFcaP在左支上

3. 双曲线的方程为22221xyab（a＞0，b＞0）, ,00,Pxy是双曲线上任意一点,则有: 22222222000022

,bayxaxbyab;

4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12FPF，则 (1)2122||||1cosbPFPF. (2)焦点三角形的面积 122||=cot2PFFPScyb. 5.有关22ba的经典结论 (1)AB是双曲线22221xyab的不平行于对称轴的弦，M),(00yx为AB的中点，则22OMABbkka， 即2020ABbxKay。 (2)双曲线的方程为22221xyab（a＞0，b＞0），12,AA为双曲线的实轴顶点，P点是双曲线上异于实轴