高中数学高中数学课堂笔记选修22
新课程人教版高中数学选修2-2课后习题解答(全)(20201130151731)
第一章导数及其应用3. 1变化率与导数练习（P6）在第3 h和5 h时，原油温度的瞬时变化率分别为1和3.它说明在第3 h附近，原油温度大约以1 C/ h的速度下降；在第 5 h时，原油温度大约以 3 C/ h的速率上升.练习（P8）函数h（t ）在t - t3附近单调递增，在t~t4附近单调递增.并且，函数h（t ）在t4附近比在t3附近增加得慢•［说明：体会“以直代曲”的思想练习（P9）因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m / s ,它在第5 s 的动能Ek =—1 3X 102 = 150 J. 2 4、设车轮转动的角度为'，时间为t ，则'"kt 2（「0）.由题意可知，当 t -0.8时，.-2 '-.所以k ^2^ ，于是'心二"斫t 2 .8 8函数r (V )根据图象，估算出 r (0.6) 0.3, r (1.2) 0.2说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意 义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组(P10 )1、在t 处，虽然W (t ) W (t0 10 2 0)，然w W 1(t 0 ^W 1(t^ t )4t W 2 (t 0 r W 2 (t(f t ).所以，企业甲比企业乙治理的效率高 .说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵2、h -h(1t )一 h ⑴…St 33,所以, t ； th ⑴二 3.3这说明运动员在t Ms 附近以3.3 m /s 的速度下降3、物体在第 5 s 的瞬时速度就是函数 s （t ）在「5时的导数t ) s ( 5i t 10，所以, ts (5) 二 10 .（0 V 5）的图象为-s( 5车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数 「⑴在t 另.2时的导数A ( 3. 2+U ) &(3幵2) 25- 八一 -t 20，所以 一 (3.2)_ 20..处t 8因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为 20 s -1 .说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固 5、由图可知，函数f (x)在x - 5处切线的斜率大于零，所以函数在x =.「5附近单调递增.同理可得，函数f ( x)在x - -4，-2，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调 递减. 说明：“以直代曲”思想的应用6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数 f (x)的图象如图(1)所示；第二个函数的导数 f ( X )恒大于零，并且随着x 的增加，f ( x)的值也在增加；对于第三个函数，当X 小于零时，f ( x)小于零，当x 大于零时，f ( x)大于零，并且随着 x 的增加，f ( x)的值也在增加.以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种说明：由给出的 v( t)的信息获得s(t )的相关信息，并据此画出 s(t )的图象的大致形状.这个说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系 习题3.1 B 组(P11)1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度; 速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度 速度关于时间的导数刻画的是2、过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换3、由(1)的题意可知，函数f ( x)的图象在点(1, 5)处的切线斜率为_1，所以此点附近曲线呈下降趋势.首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象点处函数图.同理可得(2)( 3 )某象的大致形状.下面是一种参考答案.1、 f ( x) -2x -7，所以，f (2) 3, f (6) - 5.2、 (1)y 1 - (2) y — 2e x ；xln 2(3) y 二 10 x 4-6x ;(4) y 二-3sin x -1x(5) y 二 _ _ sin ；(6y 「— 13 32心-1习题1.2 A 组(P18)S S(r 阳播;r ) S(r ) r , 所以，S (r )-1、«— •一 nrr A 1A rr2、T h (t) -9.8t 6.5 .十3f ■=1 J 33、 r (V )3 '4 V 24、 (1) y - 3x 21 ;(2) y - i 说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思 想的领悟.本题的答案不唯一. 1 . 2导数的计算 练习(P18)xln 2(3) 4cos x ;nx n=e xIim(2 低 r + A r ) = 2i r .r 0"x n e x;(5)f (x)6y =—x 3cosx _cos x；( 4)sin 2 xy ^99(x 学 1)98 ；-2'x ;(6)e8 2 2x .由 f (x o ) ~ 4 有 4~ 8y 2si n(2 x 5)4 xcos(2x 5)2 2x o ，解得 x o 一 3' 2 .7、 y 1.8、 ( 1)氨气的散发速度 A (t ) ~500 In0.8340.834：(2) A (7) 一 25.5，它表示氨气在第 7天左右时，以25.5克/天的速率减少(3)y -sin x 的导数为y - cos x .就越来越逼近函数y cos x .-0时，x-0.所以函数图象与x轴交于点P(0,0).x，所以y e y所以，曲线在点P处的切线的方程为d (t) - -4sin t .所以，上午6:00时潮水的速度为0.42 m / h ;上午9:00时潮水的速度为0.63 m / h;中午12:00时潮水的速度为1 . 3导数在研究函数中的应用练习(P26)0.83 m/h ;下午6:00时潮水的速度为 1.24 m /h.1、亠44 ,所以*f ( X)-2x1时，函数f ( X)二X21时，函数 f ( X尸X2所以 f (X) -e x 1 .时，函数 f ( x)- -e x时，函数 f ( x)- -e x(1)因为f ( x)_x2— 2x-2 .-2 x 4单调递增;当f (x) 0 ,即x2x 4单调递减.x单调递增;-x单调递减.(2)因为f ( x) v e x x ,当 f (x) 0，即x,所以f ( x)二3 3x2.jf,当 f (x) 0，即x :当 f (x) 0，即x(3)因为f ( x) =3x x3当f (X) 0 ,即一1 X 1时，函数f (x) -3x x3单调递增;3(4)因为f ( x) 一x3一x2…x，所以f ( x) — 3x2一2x 一1.1当f(X)0，即X —•或x . 1时，函数f ( X)- X3 - X2- X单调递增;3当f (x).0,即—1 x 1时，函数f ( x) _ x 3x 2x 单调递减轧_ M w亠 _ _32、 絆- 匕・ ------ ・---- V* a Pi［砾號\: 注：图象形状不唯一.bx c(a - 0)，所以 f ( x)- 2ax b .(2) 当 a <0 时，因此函数f ( x) ~2x 3 - 6x 2 7在(0, 2)内是减函数练习(P29)1、X 2 , X 4是函数y 一 f ( x)的极值点，其中x x 2是函数 y — f (x)的极大值点，x " x 4是函数y — f ( x)的极小值点. 2、( 1)因为 f ( x)— 6 x 2 x 2，所以 f ( x) -12x 1 .令 f (x) 12- x-1 £，得 x 尸■ 1 .121当x 严一时，f (x)0， f ( x)单调递增；当x 凉；1时，f (x):0， f ( x)单调递减.12 12所以，当x -r 时，f (x)有极小值，并且极小值为f (r i 6(r)2-”r -.3、因为 f (x)ax 2 (1 )当 a 「0 时，即x —b时，2a即x — 时，f (x) 0， f (x) 0，函数 函数f ( x) = ax 2bx 2f ( x) _ ax bx• c(a - 0)单调递增; c( a 二0)单调递减.f(x) 0 ， 函数2f ( x) _ ax bxf (x)0， 4、证明：因为f ( x) 2x 3即x 弓一“b 时， 2a 即x b 时，2a6x 27，所以'f (x)—6x 2c( a-0)单调递增; 函数 2f ( x)ax bxc(a 辱0)单调递减.12x .当 x (0, 2)时，f ( x) £x 2 12 x : 0，12 12 12 12 24 (2) 因为f ( x) — x327x，所以f ( x) — 3x227 .令f (x) 3x2一27 一0，得x 一：3 .下面分两种情况讨论：①当f (；)讥，即x V—3或x --3时；②当f "(x) V 0，即3 V X* 3时.if当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表：因此，当x壬鼻3时，f ( x)有极大值，并且极大值为54 ;当x - 3时，f (x)有极小值，并且极小值为—54 .(3) 因为f ( x) -6 12x x3，所以f ( x) - 12 3x2.令f (x) 12 - 3x2-0，得x -匚2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) ■ 0，即卩2 x :: 2时；②当f(X)： 0，即x匚2或x「2时. 当x变化时，f (x)， f (x)变化情况如下表:因此，当S2时，f ( x)有极小值，并且极小值为=10 ；当x -2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22(4) 因为f ( x)_3x_x3，所以f( x)— 3 3x2.令f (x) 3二3x2二0，得x 1 .下面分两种情况讨论：①当f ( 1)哀・0，即卩彳东＜1时；②当f '( x)弋0，即x V F或x洁1时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x二-1时，f ( x)有极小值，并且极小值为"2 ；当x _1时，f (x)有极大值，并且极大值为2练习(P31 )11(1 )在［0, 2］上，当x _ 时，f ( X )_6X 2_X _2有极小值，并且极小值为f ()1212又由于 f (0)冃一2 , f (2)- 20 .因此，函数f ( x) 6x 2x 2在［0, 2］上的最大值是20、最小值是 _49・24(2)在［-4,4］上，当x "=-3时，f (x)x^ - 27x 有极大值，并且极大值为 f ( 3): 当x 二3时，f (x) m x 3- 27 x 有极小值，并且极小值为f ⑶--又由于 f ( V) — 44， f (4)戸—』44.又由于f (丄__，f ⑶_15 .3271 55因此，函数f ( x) -6 12x _x 3在［—,3］上的最大值是 22、最小值是.327在［2,3］上，函数f (x) -3x - x 3无极值. 因为 f (2) - 2，f (3) - 18 .因此，函数f ( x) =3x_x 3在［2,3］上的最大值是 一2、最小值是一18习题1.3 A 组(P31)_ 49 24-54 ； 54 ；二 22 .因此，函数f ( x) - X 3-- 27 x 在卜4,4］上的最大值是 54、最小值是 54 .1,3］上，当x -2时，f ( x)二6 12x _ X 3有极大值，并且极大值为f (2)31 551、( 1)因为f (刈二一2 x 1，所以f ( x)二一2 0 .因此，函数f ( x)二「2x 1是单调递减函数.(2) 因为f ( x) = x cos x ，x (0, —)，所以f (x) = 1 sin x 0 ，x (0, —).2 2 因此，函数f ( x) - x cos x在(0, — )上是单调递增函数.2(3) 因为f ( x) 一-2x^4，所以f (x) 2一：0 .因此，函数 f ( x) -2x 4是单调递减函数.(4) 因为f ( x) -2 x3” 4x，所以f ( x)— 6x2 40 .因此，函数f ( x) - 2x3 4x是单调递增函数.2、( 1)因为f ( x)— x2• 2x 4，所以f ( x) —2x 2 .当f (x) 0 ,即x萨一1时，函数f (x)尸x2 1 2x 4单调递增当 f (x) f (x) - x22x i 4单调递减(2)因为f ( x)-2x2 - 3x^3，所以f (x) -4x - 3 .当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) - 2x2 _ 3x 3单调递增4当f (x) 0，即x 3时，函数f ( x) _2x2 3x 3单调递减4(3)因为f ( x)-3x x3，所以f ( x) 3 - 3x2 0 .因此，函数f ( x) _3x x3是单调递增函数.(4)因为f ( x) =x3 +x2 - x，所以f "( x) =3x2±2x -1.1当f (x) 0，即x^»1或x 时，函数f ( x) _ x3 x2一_ x单调递增.31当f (x) 0,即_1 x.：时，函数f ( x)=x3^x2= x单调递减.33、 ( 1)图略. (2)加速度等于0.4、 ( 1 )在X2处，导函数yf ( x)有极大值；(2)在x - X1和x—X4处，导函数y 一f (x)有极小值；(3)在x - X3处，函数y 一 f ( x)有极大值；(4)在x 一X5处，函数y— f ( x)有极小值.5、 ( 1)因为f ( x) -6 X2 x 2，所以f ( x) 12x 1 .令f (x) 12 x 1 -0，得x =「「1 .12当x啊■-时，f ( X) 0，f ( x)单调递增；12当x •-汁时，f ( x) 0， f ( x)单调递减.12所以，x 一十时，f (x)有极小值，并且极小值为 f ( 4)U夢6 (—1)2 F■12 12 12 12(2)因为f ( x) -x312x，所以f (x) 3x2 12.令f (x) "3x2 12 一0，得x「2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) - 0，即x 2或x 2时；②当f ( x) 0，即2 : x 2时.当x变化时，f (x) , f (x)变化情况如下表:因此，当x 一—2时，f ( x)有极大值，并且极大值为16; 当x -2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-16 .(3)因为f ( x) -6 -12x x3，所以f ( x)— -12 3x2.令f (x) ^「12 3x2口0，得x 2 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) • 0，即x二2或x 2时；②当f ( x) 一0，即卩2二x ： 2时.当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x - 2时，f ( x)有极大值，并且极大值为22 ；当x 一2时，f ( x)有极小值，并且极小值为-10 .(4)因为f ( x) -48x x3，所以f (x) - 48 3x2.令f (x)二48— 3x2二0，得x「二4 .下面分两种情况讨论：①当f ( x) 0，即x ： -2或x 2时；②当f ( xp 0，即—2 x 2时. 当x变化时，f (x)，f (x)变化情况如下表:因此，当x _ 4时，f ( x)有极小值，并且极小值为128 ;当x -4时，f ( x)有极大值，并且极大值为 128.(1 )在［_1,1］上，当x =「丄 时，函数f (x) 6x 2+x 42有极小值，并且极小值为1247 24由于 f ( 1)一7 , f (1) 一 9 ,247所以，函数f ( x) _6x 2 x- 2在［_1,1］上的最大值和最小值分别为 9，24(2)在［3,3］上，当x »2时，函数f ( x) -x 312x 有极大值，并且极大值为16;当x =2时，函数f ( x) - X 3=12X 有极小值，并且极小值为-16 .由于 f ( —3) 一9 , f (3) - —9 ,所以，函数f ( x) - x 3-12x 在［-3,3］上的最大值和最小值分别为16， 16 .1 1(3)在［_ ,1］上，函数 f ( x) 6 12x. x 3在［—,1］上无极值.32693由于 f ( 1)，f (1)_ 5， 3271所以，函数f ( x) - 6 —12x ；方x 3在［,1］上的最大值和最小值分别为 326927(4 )当x 4时，f ( x)有极大值，并且极大值为128..由于 f ( 一3) 一 -117 , f (5) - 115 ,所以，函数f ( x) =48x_x 3在［-3,5］上的最大值和最小值分别为 128， 117 .习题3.3 B 组(P32)1、( 1 )证明：设 f ( x) _sin x x ， x (0,).因为 f ( X )- cos x 1 0， x (0,)所以f ( x) -sin x _x 在(0^ )内单调递减因此 f ( x) — sin x x ： f (0)一0， x (0/ )，即 sin x x ， x (0,). 图略(2)证明：设 f ( x) - x x 2， x (0,1). 因为 f ( x) — 1 2x ，x (0,1)所以，当x (0, 1 )时，f (x) _1_2x 0 , f (x)单调递增，2f ( x)r x x2嚣f (0) - 0 ;,1)时，f ( x) _ 1 _ 2x 0 , f ( x)单调递减，f (X)EX-X2 f (1尸0 ;1又f(__) 0 .因此，x _x20 , x (0,1).2 4()一x_1 一，x - 0 .x e x因为f ( x) - e x 1, x - 0所以，当x 0时，f ( x) - e x T 0 , f (x)单调递增，f (x)二e x 1 x f (0)二0 ；当x 0时，f ( x) i e x 1 0 , f (x)单调递减，f (x) = e x-1 - x > f (0)=0 ;综上，e x-1 x , x - 0 . |图略(4)证明：设 f (x) J|n x - x , x 0 .因为 f ( x) - 11，X = 0x所以，当0-C X V1时，f Yx) z斗一1刃，f ( x)单调递增，xf ( x)二In x i x f (1)二一1 0 ；当x 1 时，f ( x)--1-1 0，f ( x)单调递减，xf ( x) — In x x ： f (1) —10 ；当x "1时，显然In1 : 1 . 因此，In x x .由(3)可知，e x x 1 x，x 0 . 图略(3 )证明：设. 综上，In x x e x，x 0 图略2、( 1)函数f ( x) 一ax3 bx2 cx d的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或的形状.若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.(2)因为f ( x) -ax3 bx2 cx d，所以f ( x)」3ax2 2bx c .下面分类讨论：当a -0时，分a 0和a 0两种情形:①当a 0 ,且b? -3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c "0的两根分别为x i, X2，且x i ' X2 ,当f (x) -3ax2 2bx 0，即x x i 或x X2 时，函数f (x) - ax3 ' bx2 ex ' d 单调递增;当f (x) _3ax2 2bx c 0，即x i，x X2 时，函数f ( x)「「ax3 bx2 ex d 单调递减.当a 0，且b23ac-0 时，此时f ( x) =3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x)二ax3 ' bx2 c^ d 单调递增②当a 0，且b2- 3ac 0时，设方程f ( x) 一3ax2 2bx c 0的两根分别为x i, X2，且x i x2，当f (x) =3ax2 2bx c ' 0，即x i x ； X2 时，函数f ( x)二ax3 bx2 cx d 单调递增;当f (x)…3ax22bx c 0，即x ：x i 或x X2 时，函数f (x) ax 3bx2 cx d 单调递减当 a 0，且b23ac—0 时，此时f ( x) "3ax2 ' 2bx ' c 0，函数f ( x) 一ax3 bx2 c^ d 单调递减i . 4生活中的优化问题举例习题i.4 A组(P37 )i、设两段铁丝的长度分别为x , l x，则这两个正方形的边长分别为x , L A，两个正方1- 4 4形的面积和为S f (x) - (-"X )2( - x)2 -亍(2 x2- 2lx T 2 ) , 0二x "1 .4 4 i6令 f ( x)二0，即4x 21 =0, x =十.2当X 和，1厂时，f '(X)W0 ；当X J )时，f ( X) 0 >2 2因此，X --是函数f ( X)的极小值点，也是最小值点.2所以，当两段铁丝的长度分别是-时，两个正方形的面积和最小2、如图所示，由于在边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长为x的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无盖方盒的底面为正方形，且边长为 a 2x，高为x .(i )无盖方盒的容积V ( x)」(a 一2x)2 x , 0 • x ' a .2(2)因为V (x) 4x 3 _4ax2 a2 x ,(第2 题)Rh42R 0222222 8 n i i a i )当R—+ 2V x 2 m 2 (x所以 V ( x)二 12x 2 8ax a 2 . 2—2第一章课后习题解答 沖j一 T令 f (x) 0，得 x - a i ， 1 'n可以得到，x- a i 是函数f ( x)的极小值点，也是最小值点 5、设矩形的底宽为 x m ，则半圆的半径为 (第 3 题).此时，h VR 2所以，当罐咼与底面直径相等时，所用材料最省 =r z rf - 24、证明：由于 f ( x) =( x ai)，所以f (x)n i in i i这个结果说明，用 n 个数据的平均值 1-n a i 表示这个物体的长度是合理的，m ，半圆的面积为 63、如图，设圆柱的高为.-.h ，底半径为R , 则表面积S 2 Rh 2 R 2I ----- ---23 V 2R . 这就是最小二乘法的基本原理 71二厂 ----------R 2 h ，得 h V 2 'R—兀 ---------------------+ TT o — S(R) 2 R V 2 R 2 R 22V 2 R 2, R 0 . R —当R因此，二 VR 3 ；-是函数S(R)的极小值点，也是最小值点由V 因此，令 S(R)R_ 0，解得 R _ I VS(R)V ］时)时，S(R)令V (x)0 ,得x a (舍去)，或 x a .26a a a」当 x (0,)时，V (x) 0 ;当x e (- 一 )时，V ( x/0 .66 2因此，xa是函数V ( x)的极大值点，也是最大值点6 —所以，当x a 时，无盖方盒的容积最大.r °2a x矩形的面积为ax 2 m 2，矩形的另一边长为 — ) m8x 8因此铁丝的长为 I (x)冷 _xx Na -— 二(「•： =) x_2a, 0 x 8a2 x 4 4 x'■ ~令 I ( x) ] 2a _0，得 x_ 8a(负值舍去).4 x 2 丫4 械因此，所以，当底宽为8a m 时，所用材料最省.56、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.1 彳收入 R _q p 一 q (25 _ q) - 25q_ 1q 2，8 8利润 L _ R =C _(25q =1 q 2)_ (100 4q)q 221q =100， 0 : q 厂 200 .8 8求导得L * =+ 214令 L —0，即卩—1 q 21 0， q _84 .4当 q (0,84)时，L 0 ；当 q (84,200)时，L 0 ；因此，q 84是函数L 的极大值点，也是最大值点所以，产量为 84时，利润L 最大，当 x (0, 8a )时，V 4仕I ( x). 0 .x_ 8a 是函数I (x)的极小值点，也是最小值点I 4习题1.4 B组(P37)1、设每个房间每天的定价为x元，那么宾馆利润L (x)二(50 -x—)( x 20)二一1 X2 70x 1360，180 x : 680 .10 10令L (x) 1 x 70- 0，解得x -350 .5当x (180,350)时，L ( x) 0 ;当乂(350,680)时，L ( x) 0.因此，x ~ 350是函数L( x)的极大值点，也是最大值点所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大2、设销售价为x元/件时，利润L (x) =( x_a)(c #C b ~x x4)_p( x _ a)(5 —呂x) , a”.F~l«^T.b b 4令L (x) _ _ 8c x 4ac 5bc ― 0，解得x _ 4a 5b .当x _4a 5b是函数L（ x）的极大值点，也是最大值点84a所以，销售价为4a 5b元/件时，可获得最大利润81 . 5定积分的概念练习（P42）说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想练习（P45）1、S i S i --v()『二t - [ - ( ' ) 2& 2] -1 —-( i)2 1爼■nn n于是S L工/：.,s i達？止S ii T 行n[_(i )2 1 i卜n n-()2-1n n1 23 [1 22'n1 n(n 1)(23n1 1 土一占(1 )(13取极值，得n s - limn—九i 叶)] n说明：进一步体会22 kkm.3说明：进一步体会和步骤.练习（P48）x3dx 4.“以不变代变“以不变代b b⑴/ 4a」*5b 口」当x (a, )时，L (x)88r/ +5b 5b □斗0 ;当x ( 4a ,)时，8 4L ( x) 0 .从几何上看，表示由曲线 y x 3与直线x0 , x 2 , y 0所围成的曲边梯形的面积n nnnr 2^ ii'三£ v( ) ti Tn2]n(^_-1 )2」 （』）n n nn 2 ]2n 1)21 ) !n2n1 1-lim •「[-(1 -n • 厂13 n”和“ '逼近” 的思想 ”和“ '逼近” 的思想，21 n 1)(1 )2ni =1,2, ” ；»n .熟悉求变速直线运动物体路程的方法说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义习题1.5 A 组（P50 ）1、（ 1） (x 1)dx100i 1)1]10.495 ；1 2-H -- --t -------- =■i 11001002 500(2)(x __1)dx ■ -[(1i _1k_1]1 — 0.499 ；1i 怎5005002 10001(3)(X _1)dx-[(1i 」)」.<■ 1 -0.4995 .1i 110001000说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法 2、距离的不足近似值为：18 V 12 17 13 V 0 1 40（ m ）;距离的过剩近似值为： 271 18 1 12 V 7 V3 1 - 67 （ m ）3、证明：令f （ x ）匸1 .用分点a 二x o * X 1作和式i1i1y x 3所围成的曲边梯形的面积的相反数（2）根据定积分的性质，得1 qx 3dx1由于在区间［1,0］上x 30，在区间［0,1］仔x 3dx1> 上x 31x 3 dx1 1 0 .4£，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的将区间 ［a, b ］等分成 n个小区间，在每个小区间［X i 1 , x i ］上任取一点 i (i 1,2, , n)X i 1 X i X n — b从而「b. ； b -a 1dx i im b - a ，a 7冕斗n说明：进一步熟悉定积分的概念 4、根据定积分的几何意义，-1 x 2 dx 表示由直线沪0，x=，尸0以及曲线所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此(1)x 3 dx4<由于在区间［1,0］上x 30，所以定积分[ ~ =—"—x 3 dx 表示由直线 x 0 ， x 1 ， y1二0和曲说明：在（3）中，由于x 3在区间［1,0］上是非正的，曲边梯形面积减去位于 x 轴下方的曲边梯形面积 . I 0 3x 3dx1上x 3（3）根据定积分的性质，得2 x 3dx1一 空由于在区间［1,0］ 上 x 30，在区间［0, 2］曲边梯形面积减去位于 X 轴下方的曲边梯形面积2 — — ' — ---------------------------------x 3dx1 4 15 04 4）_2，所以定积分 1x 3dx 等于位于x 轴上方的在区间 ［0, 2］上是非负的，如果直接利用定义把区间［1,2］分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵「X - il - (i 1)1-1 .n则细棒的质量挡一些项，求和会非常麻烦 .利用性质3可以将定积分2 0x 3dx 化为x 3dx.12x 3dx ，这样，x 3在区间［1,0］和区间［0, 2］ 上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出r °x 3dx ，12;x 3dx ，进而得到定积分2I x 3dx 的值.由此可见，利用定积分的性质可以化简运算--1在（2）（ 3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分 的几何意义.习题1.5 B 组（P50 ）1、 该物体在t - 0到t - 6 （单位： 说明：根据定积分的几何意义， 的路程.2、 （ 1） v — 9.81t .s ）之间走过的路程大约为 145 m.通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过（2）过剩近似值:丄1…9.81- 空-88.29 ( m )； 2 24 2不足近似值:8i 1 1 1 8 7 '9.81 ---------- 「一 9.81 一 ： ------- 68.67------------------ ( m )4(3)9.81tdt49.81tdt 二 78.48( m ).■ 0（1）分割在区间［0, l ］上等间隔地插入 l［0,-］， n 记第i 个区间为［（i-1）| , -iL ］nn -1个分点，将它分成 n 个小区间:l 2l［--,—］，,,，n n (i -1,2, n ) ［4n^）L,i ］，n把细棒在小段 [0, l ]， n[l , 2l]，,,， n nA —心[(n 2)l ,l ]上质量分别记作: n m 1, m 2 , , m n ，（2）近似代替（i -x很小时，在小区间［'1）1 , il ］上，可以认为线密度n n化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点当n 很大，即'(x) - x 2的值变值（-i ）s 卩［（F 1）l-』］处的函数n ni 2.于是，细棒在小段［,』］上质量 m^ （ i 厂x i 2」（i 「1,2, n ）.n nn(3)求和得细棒的质量m i 、2 _!_.i 1 i n(4)取极限n 细棒的质量m ^!im r.n_]* •i2 L，所以m l2x dx ..。
人教版A版高中数学选修2-2：定积分的概念教学内容
求和:求出n个小矩形面积之和，作为曲边梯
n
形面积S的近似值，即S Sn i1
1 f i 1 n n
n
由 Sn
i 1
1 f i 1 n n
n
1
i
1
2
i1 n n
1
0
1
1
2
1
2
2
1
n
1
2
n n n n n n n
1 n3
n
1n2n
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
01
n
0.2
2 3 4 0.5 nn n
i 1 i nn
f (i 1) n
1 n
A
1
f(i) n
f (i 1) n
f(i) n
1 n
1 n
1.5
2
0.4
1.4
以第一种方1.2法为例，可把曲边梯形分割成n个小矩形
1
0.8
0.6
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 1.4
和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 10.00
0.4
f(x) = x2
0.2
0
0.5
1
0.2
当分割的1.4小矩形越来越多时，观察所有的矩形面积之 和与曲边梯形的面积有什么关系
1.2
1
0.8
0.6
n = 20.00
即S
高中数学选修2系列知识点
选修2-1、2-2、2-3知识点选修2-1第一章 常用逻辑用语 1. 命题及其关系① 四种命题相互间关系： ② 逆否命题同真同假 2. 充分条件与必要条件p 是q 的充要条件：p q ⇔p 是q 的充分不必要条件：,p q q p ⇒¿ p 是q 的必要不充分条件：,q p p q ⇒¿ p 是q 的既充分不必要条件：,p q qp 靠3. 逻辑联结词 “或”“且”“非”4. 全称量词与存在量词 注意命题的否定形式（联系反证法的反设），主要是量词的变化. 例：“a=1”是“0,21ax x x∀>+≥”的（ ） A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第二章 圆锥曲线与方程 1.2.“回归定义” 是一种重要的解题策略。
如：（1）在求轨迹时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据圆锥曲线的方程，写出所求的轨迹方程；（2）涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的焦点三角形问题时，常用定义结合解三角形（一般是余弦定理）的知识来解决；（3）在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的距离转化为到准线的距离，结合几何图形利用几何意义去解决。
3. 直线与圆锥曲线的位置关系（1）有关直线与圆锥曲线的公共点的个数问题，直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离.联立直线与圆锥曲线方程,经过消元得到一个一元二次方程（注意在和双曲线和抛物线方程联立时二次项系数是否为0）,直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0∆>、0∆=、0∆<.应注意数形结合(例如双曲线中，利用直线斜率与渐近线的斜率之间的关系考查直线与双曲线的位置关系)常见方法：①联立直线与圆锥曲线方程，利用韦达定理等；②点差法（主要适用中点问题，设而不求，注意需检验，化简依据：12122100212,2,22x x y y y y x y k x x ++-===-）（2）有关弦长问题，应注意运用弦长公式及韦达定理来解决；（注意斜率是否存在）① 直线具有斜率k ，两个交点坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y1212AB x y =-=- ② 直线斜率不存在,则12AB y y =-.（3）有关对称垂直问题，要注意运用斜率关系及韦达定理，设而不求，简化运算。
高中数学选修2-2(人教B版)第一章导数及其应用1.2知识点总结含同步练习题及答案
′
解：（1）y ′ = (e3x+2 ) = e3x+2 ⋅ (3x + 2)′ = 3e3x+2 ； （2）y ′ = (ln(2x − 1))′ =
1 2 ． ⋅ (2x − 1)′ = 2x − 1 2x − 1
2.利用导数求函数的切线方程 描述： 利用导数求函数的切线方程 步骤一：求出函数 y = f (x) 在点 x0 处的导数 f ′ (x0 ) ； 步骤二：根据直线方程的点斜式，得到切线方程为 y − f (x0 ) = f ′ (x0 )(x − x0 )． 例题： 求曲线 y = ex + 1 在 (0, 2) 处的切线方程． 解：因为 y = ex + 1，所以 y ′ = ex ，故曲线 y = ex + 1在 (0, 2)处的切线斜率为
解：（1）因为 y =
所以在点 P 处的切线的斜率等于 4 ．所以在点 P 处的切线方程是
y−
即
8 = 4(x − 2), 3
12x − 3y − 16 = 0.
（2）设切点为 (x 0 , y 0 )，则由（1）知切线的斜率 k = x2 ，切线方程为 y − y 0 = x2 (x − x 0 ) ． 0 0 又切线过点 P (2,
8 1 ) 且 (x0 , y 0 ) 在曲线 y = x3 上，所以 3 3 ⎧ ⎪ 8 − y = x2 (2 − x0 ), 0 0 ⎨3 1 ⎪ ⎩ y = x3 , ⎪ 0 3 0 − 3x2 + 4 = 0, x3 0 0
整理得
即
(x0 − 2)2 (x0 + 1) = 0.
人教版高中数学选修2-3知识点汇总
人教版高中数学必修2-3知识点第一章计数原理1.1分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m+n种不同的方法。
分类要做到“不重不漏”。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤。
做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m×n种不同的方法。
分步要做到“步骤完整”。
n元集合A={a1，a2⋯，a n}的不同子集有2n个。
1.2排列与组合1.2.1排列一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号表示。
排列数公式：n个元素的全排列数规定：0!=11.2.2组合一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合(combination)。
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号或表示。
组合数公式：∴规定：组合数的性质：(“构建组合意义”——“殊途同归”)1.3二项式定理1.3.1二项式定理(binomial theorem)*注意二项展开式某一项的系数与这一项的二项式系数是两个不同的概念。
1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质*表现形式的变化有时能帮助我们发现某些规律！(1)对称性(2)当n 是偶数时，共有奇数项，中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，共有偶数项，中间的两项，同时取得最大值。
(3)各二项式系数的和为(4)二项式展开式中，奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：(5)一般地，第二章随机变量及其分布2.1离散型随机变量及其分布(n ∈N *)其中各项的系数(k ∈{0，1，2，⋯，n})叫做二项式系数(binomial coefficient)；2.1.1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量(random variable)。
(完整)高中数学选修2-2微积分基本定理
[学习目标] 1.了解导数和微积分的关系.2.掌握微积分基本定理.3.会用微积分基本定理求一些函数的定积分.知识点一 导数与定积分的关系f (x )d x 等于函数f (x )的任意一个原函数F (x )(F ′(x )＝f (x ))在积分区间[a ，b ]上的改变量F (b )－F (a ).以路程和速度之间的关系为例解释如下：如果物体运动的速度函数为v ＝v (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移s 可以用定积分表示为s ＝v (t )d t .另一方面，如果已知该变速直线运动的路程函数为s ＝s (t )，那么在时间区间[a ，b ]内物体的位移为s (b )－s (a )，所以有v (t )d t ＝s (b )－s (a ).由于s ′(t )＝v (t )，即s (t )为v (t )的原函数，这就是说，定积分v (t )d t 等于被积函数v (t )的原函数s (t )在区间[a ，b ]上的增量s (b )－s (a ).思考 函数f (x )与其一个原函数的关系： (1)若f (x )＝c (c 为常数)，则F (x )＝cx ； (2)若f (x )＝x n (n ≠－1)，则F (x )＝1n ＋1·x n ＋1；(3)若f (x )＝1x ，则F (x )＝ln x (x >0)；(4)若f (x )＝e x ，则F (x )＝e x ；(5)若f (x )＝a x，则F (x )＝a xln a(a >0且a ≠1)；(6)若f (x )＝sin x ，则F (x )＝－cos x ； (7)若f (x )＝cos x ，则F (x )＝sin x . 知识点二 微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么f (x )d x ＝F (b )－F (a ). 思考 (1)函数f (x )的原函数F (x )是否唯一？(2)用微积分基本定理计算简单定积分的步骤是什么？ 答案 (1)不唯一.(2)①把被积函数f (x )变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数等初等函数与常数的和或差；②用求导公式找到F (x )，使得F ′(x )＝f (x )； ③利用微积分基本定理求出定积分的值.题型一 求简单函数的定积分 例1 计算下列定积分. (1)3d x ；(2)(2x ＋3)d x ； (3) (4x －x 2)d x ；(4)(x －1)5d x . 解 (1)因为(3x )′＝3，所以3d x ＝(3x )⎪⎪⎪21＝3×2－3×1＝3. (2)因为(x 2＋3x )′＝2x ＋3， 所以(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )⎪⎪⎪2＝22＋3×2－(02＋3×0)＝10. (3)因为⎝⎛⎭⎫2x 2－x33′＝4x －x 2， 所以(4x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫2x 2－x 33⎪⎪⎪3－1＝⎝⎛⎭⎫2×32－333－⎣⎡⎦⎤2×(－1)2－(－1)33＝203.(4)因为⎣⎡⎦⎤16(x －1)6′＝(x －1)5， 所以 (x －1)5d x ＝16(x －1)6⎪⎪⎪21＝16(2－1)6－16(1－1)6＝16. 反思与感悟 (1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a ). (2)注意事项：①有时需先化简，再求积分；②若F (x )是f (x )的原函数，则F (x )＋C (C 为常数)也是f (x )的原函数.随着常数C 的变化，f (x )有无穷多个原函数，这是因为F ′(x )＝f (x )，则[F (x )＋C ]′＝F ′(x )＝f (x )的缘故.因为⎠⎛ab f (x )d x＝[F (x )＋C ]|b a ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )＝F (x )|b a ，所以利用f (x )的原函数计算定积分时，一般只写一个最简单的原函数，不用再加任意常数C 了. 跟踪训练1 求下列函数的定积分： (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ；(2)x (1＋x )d x . 解 (1)⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x 2＋2＋1x 2d x ＝⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛122d x ＋⎠⎛121x2d x ＝13x 3⎪⎪⎪ 21+2 x ⎪⎪⎪ 21 +⎝⎛⎭⎫-12⎪⎪⎪21＝13×(23－13)＋2×(2－1)－⎝⎛⎭⎫12－1 ＝296. (2)⎠⎛49x (1＋x )d x＝⎠⎛49(x ＋x )d x＝⎝⎛⎭⎫23x x ＋12x 2⎪⎪⎪94＝⎝⎛⎭⎫23×9×3＋12×92－⎝⎛⎭⎫23×4×2＋12×42 ＝2716. 题型二 求分段函数的定积分 例2 求函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1)，x 2，x ∈[1，2)，2x ，x ∈[2，3]在区间[0,3]上的定积分.解 由定积分的性质知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x ＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪10＋x 33⎪⎪⎪21＋2x ln 2⎪⎪⎪32＝14＋83－13＋8ln 2－4ln 2 ＝3112＋4ln 2. 反思与感悟 (1)分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成几个定积分的和的形式.(2)分段的标准是确定每一段上的函数表达式，即按照原函数分段的情况分就可以. 跟踪训练2 求下列定积分： (1)⎠⎛02|x 2－1|d x ；(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x .解 (1)∵y ＝|x 2－1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2，0≤x ＜1，x 2－1，1≤x ≤2，∴⎠⎛02|x 2－1|d x ＝⎠⎛01(1－x 2)d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －x 33⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫x 33－x ⎪⎪⎪21＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫83－2－⎝⎛⎭⎫13－1 ＝2.(2) ⎠⎜⎛0π21－sin 2x d x＝⎠⎜⎛0π2|sin x －cos x |d x＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＋⎠⎜⎜⎛π4π2 (sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π4＋(－cos x －sin x )⎪⎪⎪⎪π2π4＝⎝⎛⎭⎫22＋22－1＋(－1)－⎝⎛⎭⎫－22－22 ＝22－2.题型三 定积分的简单应用例3 已知f (a )＝⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ，求f (a )的最大值.解 ∵⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2′＝2ax 2－a 2x ，∴⎠⎛01 (2ax 2－a 2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫23ax 3－12a 2x 2⎪⎪⎪10 ＝23a －12a 2， 即f (a )＝23a －12a 2＝－12⎝⎛⎭⎫a 2－43a ＋49＋29 ＝－12⎝⎛⎭⎫a －232＋29， ∴当a ＝23时，f (a )有最大值29.反思与感悟 定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考查，解题过程中注意体会转化思想的应用. 跟踪训练3 已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，⎠⎛01f (x )d x ＝－2，求a 、b 、c 的值.解 由f (－1)＝2，得a －b ＋c ＝2.① 又f ′(x )＝2ax ＋b ，∴f ′(0)＝b ＝0，② 而⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01 (ax 2＋bx ＋c )d x＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋12bx 2＋cx ⎪⎪⎪10 ＝13a ＋12b ＋c ， ∴13a ＋12b ＋c ＝－2，③ 由①②③式得a ＝6，b ＝0，c ＝－4.1.⎠⎜⎛0π4cos 2xcos x ＋sin x d x 等于( )A.2(2－1)B.2＋1C.2－1D.2－2答案 C解析 结合微积分基本定理，得⎠⎜⎛0π4cos 2x －sin 2xcos x ＋sin x d x ＝⎠⎜⎛0π4 (cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x )⎪⎪⎪π40＝2－1. 2.下列定积分的值等于1的是( )A.⎠⎛01x d xB.⎠⎛01(x ＋1)d xC.⎠⎛011d xD.⎠⎛0112d x 答案 C解析 ⎠⎛01x d x ＝12x 2⎪⎪⎪ 10＝12，⎠⎛01(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎪⎪⎪ 10＝12＋1＝32，⎠⎛011d x ＝x ⎪⎪⎪10＝1，⎠⎛0112d x＝12x ⎪⎪⎪10＝12.故选C.3.⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝ . 答案 43解析 ⎠⎛02⎝⎛⎭⎫x 2－23x d x ＝⎠⎛02x 2d x －⎠⎛0223x d x ＝x 33⎪⎪⎪20－x 23⎪⎪⎪20＝83－43＝43. 4.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x ＜1，3－x ，1≤x ≤2，则⎠⎛02f (x )d x ＝ .答案176解析 ⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01(x 2＋1)d x ＋⎠⎛12(3－x )d x＝⎝⎛⎭⎫x 33＋x ⎪⎪⎪10＋⎝⎛⎭⎫3x －x 22⎪⎪⎪21＝176.5.已知函数f (x )为偶函数，且⎠⎛06f (x )d x ＝8，则⎠⎛－66 f (x )d x ＝ .答案 16解析 因为函数f (x )为偶函数， 且⎠⎛06f (x )d x ＝8，所以⎠⎛－66f (x )d x ＝2⎠⎛06f (x )d x ＝16.1.求定积分的一些常用技巧(1)对被积函数，要先化简，再求积分.(2)若被积函数是分段函数，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分.2.由于定积分的值可取正值，也可取负值，还可以取0，而面积是正值，因此不要把面积理解为被积函数对应图形在某几个区间上的定积分之和，而是在x 轴下方的图形面积要取定积分的相反数.一、选择题1.函数y ＝⎠⎛0x cos x d x 的导数是( )A.cos xB.－sin xC.cos x －1D.sin x 答案 A解析 (sin x )′＝cos x ，⎠⎛0x cos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪x0＝sin x ，故选A. 2.若F ′(x )＝x 2，则F (x )的解析式不正确的是( ) A.F (x )＝13x 3B.F (x )＝x 3C.F (x )＝13x 3＋1D.F (x )＝13x 3＋c (c 为常数)答案 B解析 若F (x )＝x 3，则F ′(x )＝3x 2，这与F ′(x )＝x 2不一致，故选B. 3. ⎠⎛－40|x ＋2|d x 等于( )A. ⎠⎛－40 (x ＋2)d xB. ⎠⎛－40 (－x －2)d xC.⎠⎛－4－2(x ＋2)d x ＋⎠⎛－202(－x －2)d xD.⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x答案 D解析 ∵|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，－2≤x ≤0，－x －2，－4≤x <－2，∴⎠⎛－40|x ＋2|d x ＝⎠⎛－4－2(－x －2)d x ＋⎠⎛－20 (x ＋2)d x .故选D.4.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0<x ≤1，则⎠⎛1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23D.－23 答案 B解析 ⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－1x 2d x ＋⎠⎛011d x ＝⎪⎪x 330－1＋x |10＝13＋1＝43，故选B. 5.⎠⎜⎛0π2sin 2x2d x 等于( )A.π4 B.π2－1 C.2 D.π－24答案 D解析 ⎠⎜⎛0π2sin 2x 2d x ＝⎠⎜⎛0π21－cos x 2d x ＝⎪⎪12(x －sin x )π20＝π－24，故选D. 6.若S 1＝⎠⎛12x 2d x ，S 2＝⎠⎛121x d x ，S 3＝⎠⎛12e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( )A.S 1＜S 2＜S 3B.S 2＜S 1＜S 3C.S 2＜S 3＜S 1D. S 3＜S 2＜S 1答案 B 解析 S 1＝⎠⎛12x 2d x ＝13x 3⎪⎪21＝73，S 2＝⎪⎪⎪⎠⎛121x d x ＝ln x 21＝ln 2＜1，S 3＝⎠⎛12e x d x ＝e x ⎪⎪⎪21＝e 2－e ＝e(e －1)＞73，所以S 2＜S 1＜S 3，选B.二、填空题7.⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝ .答案 π2解析 ⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11x d x ，根据定积分的几何意义可知⎠⎛－111－x 2d x 等于半径为1的半圆的面积， 即⎠⎛－111－x 2d x ＝π2，⎠⎛－11x d x ＝12x 2|1－1＝0，∴⎠⎛－11 (1－x 2＋x )d x ＝π2.8.若⎠⎛0T x 2d x ＝9，则常数T 的值为 .答案 3解析 ⎠⎛0T x 2d x ＝ 13x 3⎪⎪⎪t 0＝13T 3＝9，即T 3＝27，解得T ＝3. 9.设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0＝ .答案33解析 由⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，得⎠⎛1(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝ax 20＋c ，∴a 3＝ax 20，∵a ≠0，∴x 20＝13，又0≤x 0≤1，∴x 0＝33.故填33. 10.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0.若f [f (1)]＝1，则a ＝ .答案 1解析 因为x ＝1>0，所以f (1)＝lg 1＝0.又x ≤0时，f (x )＝x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝x ＋t 3⎪⎪⎪a＝x ＋a 3，所以f (0)＝a 3.因为f [f (1)]＝1，所以a 3＝1，解得a ＝1. 三、解答题11.设f (x )是一次函数，且⎠⎛01f (x )d x ＝5，⎠⎛01xf (x )d x ＝176，求f (x )的解析式. 解 ∵f (x )是一次函数，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则 ⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax ＋b )d x ＝⎠⎛01ax d x ＋⎠⎛01b d x ＝12a ＋b ＝5， ⎠⎛01xf (x )d x ＝⎠⎛01x (ax ＋b )d x ＝⎠⎛01(ax 2)d x ＋⎠⎛01bx d x ＝13a ＋12b ＝176. 由⎩⎨⎧12a ＋b ＝5，13a ＋12b ＝176，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3.即f (x )＝4x ＋3. 12.若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3].求⎠⎛03f (x )d x 的值.解 由积分的性质，知：⎠⎛03f (x )d x ＝⎠⎛01f (x )d x ＋⎠⎛12f (x )d x ＋⎠⎛23f (x )d x＝⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12x d x ＋⎠⎛232x d x＝x 44⎪⎪⎪⎪10＋23x 3221⎪⎪＋2x ln 232 ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2 ＝－512＋432＋4ln 2.13.求定积分⎠⎛－43|x ＋a |d x .解 (1)当－a ≤－4即a ≥4时，原式＝⎠⎛－43(x ＋a )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－4＝7a －72. (2)当－4＜－a ＜3即－3＜a ＜4时， 原式＝⎠⎛－4－a [－(x ＋a )]d x ＋⎠⎛－a3 (x ＋a )d x＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪－a－4＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫x 22＋ax 3－a ＝a 22－4a ＋8＋⎝⎛⎭⎫a 22＋3a ＋92 ＝a 2－a ＋252.(3)当－a ≥3即a ≤－3时，原式＝⎠⎛－43[－(x ＋a )]d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 22－ax ⎪⎪⎪3-4＝－7a ＋72. 综上，得⎠⎛－43|x ＋a |d x ＝⎩⎪⎨⎪⎧7a －72(a ≥4)，a 2－a ＋252(－3＜a ＜4)，－7a ＋72(a ≤－3).。
高中数学选修2-3第二章章节总结
高中数学选修2-3第二章总结一、知识梳理1.条件概率与事件的独立性（1）条件概率:一般地，若有两个事件A 和B ，在已知事件B 发生的条件下考虑事件A 发生的概率，则称此概率为B 已发生的条件下A 的条件概率，记为P(A ︱B).一般地，若P （B ）>0，则事件B 已发生的条件下A 发生的条件概率是)()()(B P AB P B A P =)()()(B P B A P AB P = （2）事件的独立性:设A, B 为两个事件，如果 P(AB)=P(A) P(B) , 则称事件A 与事件B 相互独立.事件A （或B ）是否发生对事件B （或A ）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件若A 与B 是相互独立事件，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也相互独立相互独立事件同时发生的概率：()()()P A B P A P B ⋅=⋅两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积一般地，如果事件12,,,n A A A L 相互独立，那么这n 个事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即1212()()()()n n P A A A P A P A P A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅L L （3）独立重复性:独立重复试验的定义：指在同样条件下进行的，各次之间相互独立的一种试验独立重复试验的概率公式：一般地，如果在1次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率kn k k n n P P C k P --=)1()(．它是[](1)nP P -+展开式的第1k +项离散型随机变量的二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．于是得到随机变量ξ的概率分布如下：由于n k k n q p C 0q p C n n n n n n + 中的各项的值，所以称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)，其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．2.离散型随机变量（1）离散型随机变量:随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量常用字母 X , Y ，ξ，η，… 表示．在此基础之上所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.（2）离散型随机变量分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每一个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，…；⑵P 1+P 2+…=1．对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ（3）离散型随机变量的数学期望与方差:均值或数学期望: 一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为则称=ξE +11p x 22p x …n n … 为ξ的均值或数学期望，简称期望．均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均数、均值:一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令=1p =2p …n p =，则有=1p =2p …n p n 1==，=ξE +1(x +2x …nx n 1)⨯+，所以ξ的数学期望又称为平均数、均值 均值或期望的一个性质:若b a +=ξη(a 、b 是常数)，ξ是随机变量，则η也是随机变量，它们的分布列为于是=ηE ++11)(p b ax 22…n n …＝+11(p x a +22p x …++n n p x …)++1(p b +2p …++n p …)＝b aE +ξ， 由此，我们得到了期望的一个性质:b aE b a E +=+ξξ)(若ξ:B （n,p ），则Eξ=np证明如下：∵kn k k n k n k k n q p C p p C k P --=-==)1()(ξ， ∴=ξE 0×n n q p C 00＋1×111-n n q p C ＋2×222-n n q p C ＋…＋k×k n k k n q p C -＋…＋n×0q p C n n n ．又∵11)]!1()1[()!1()!1()!(!!--=-----⋅=-⋅=k n kn nC k n k n n k n k n k kC ，∴=ξE (np 0011n n C p q --＋2111--n n q p C ＋…＋)1()1(111------k n k k n q p C ＋…＋)0111q p C n n n ---np q p np n =+=-1)( 故若ξ～B(n ，p)，则=ξE np ．3．常用的分布（1）两点分布 随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列．)1(,1p p DX p EX -=-=（2）二项分布:在一次随机试验中，某事件可能发生也可能不发生，在n 次独立重复试验中这个事件发生的次数ξ是一个随机变量．如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是kn k k n n q p C k P -==)(ξ，（k ＝0,1,2,…，n ，p q -=1）．ξ 01 … k … nPn n q p C 00111-n n q p C … kn k k n q p C - …q p C n n n称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B(n ，p)其中n ，p 为参数，并记kn k k n q p C -＝b(k ；n ，p)．)1(,p np DX np EX -==（3）超几何分布一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===L ,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列X 服从超几何分布.1)1(,---==N nN N M N nM DX N nM EX 4．正态分布总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率．设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线．它反映了总体在各个范围内取值的概率．根据这条曲线，可求出总体在区间(a ，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a ，x=b 及x 轴所围图形的面积．观察总体密度曲线的形状，它具有“两头低，中间高，左右对称”的特征，具有这种特征的总体密度曲线一般可用下面函数的图象来表示或近似表示：22()2,(),(,)x x x μσμσϕ--=∈-∞+∞式中的实数μ、)0(>σσ是参数，分别表示总体的平均数与标准差，,()x μσϕ的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线．一般地，如果对于任何实数a b <，随机变量X 满足,()()baP a X B x dx μσϕ<≤=⎰,则称 X 的分布为正态分布．正态分布完全由参数μ和σ确定，因此正态分布常记作),(2σμN ．如果随机变量 X 服从正态分布，则记为X ～),(2σμN .经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．（1）正态分布),(2σμN ）是由均值μ和标准差σ唯一决定的分布通过固定其中一个值，讨论均值与标准差对于正态曲线的影响（2）通过对三组正态曲线分析，得出正态曲线具有的基本特征是两头底、中间高、左右对称 正态曲线的作图，书中没有做要求，教师也不必补上 合前面均值与标准差对图形的影响，引导学生观察总结正态曲线的性质（3）正态曲线的性质：①曲线在x 轴的上方，与x 轴不相交 ②曲线关于直线x=μ对称③当x=μ时，曲线位于最高点 ④当x ＜μ时，曲线上升（增函数）；当x ＞μ时，曲线下降（减函数） 并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向它无限靠近 ⑤μ一定时，曲线的形状由σ确定 σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中：五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学（4）．标准正态曲线:当μ=0、σ=l 时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是2221)(x ex f -=π，（-∞＜x ＜+∞）其相应的曲线称为标准正态曲线 标准正态总体N （0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位 任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题二、典型习题讲解1． 人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，假设拨过了的号码不再重复，试求下列事件的概率： （1）第3次拨号才接通电话； （2）拨号不超过3次而接通电话解：设i A ={第i 次拨号接通电话}，1,2,3i =（1）第3次才接通电话可表示为321A A A 于是所求概率为;1018198109)(321=⨯⨯=A A A P（2）拨号不超过3次而接通电话可表示为：112123A A A A A A ++于是所求概率为112123()P A A A A A A ++=112123()()()P A P A A P A A A ++=1919813.10109109810+⨯+⨯⨯= 2． 出租车司机从饭店到火车站途中有六个交通岗，假设他在各交通岗到红灯这一事件是相互独立的，并且概率都是.31（1）求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率； （2）求这位司机在途中遇到红灯数ξ的期望和方差解：（1）因为这位司机第一、二个交通岗未遇到红灯，在第三个交通岗遇到红灯，所以.27431)311)(311(=⨯--=P（2）易知).31,6(~B ξ ∴.2316=⨯=ξE .34)311(316=-⨯⨯=ξD3． 奖器有10个小球，其中8个小球上标有数字2，2个小球上标有数字5，现摇出3个小球，规定所得奖金（元）为这3个小球上记号之和，求此次摇奖获得奖金数额的数学期望解：设此次摇奖的奖金数额为ξ元，当摇出的3个小球均标有数字2时，6ξ=；当摇出的3个小球中有2个标有数字2，1个标有数字5时，9ξ=； 当摇出的3个小球有1个标有数字2，2个标有数字5时，12ξ=所以157)6(31038===C C P ξ 157)9(3101228===C C C P ξ 151)12(3102218===C C C P ξ 771396(912)1515155E ξ=⨯+⨯+⨯= 答：此次摇奖获得奖金数额的数字期望是539元 4 某学生语、数、英三科考试成绩，在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，问一次考试中（Ⅰ）三科成绩均未获得第一名的概率是多少？（Ⅱ）恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少 解：分别记该生语、数、英考试成绩排名全班第一的事件为,,A B C ，则()0.9,()0.8,()0.85P A P B P C ===（Ⅰ）)()()()(C P B P A P C B A P ⋅⋅=⋅⋅[1()][1()][1()](10.9)(10.8)(10.85)0.003P A P B P C =---=---=答：三科成绩均未获得第一名的概率是0.003（Ⅱ）（()P A B C A B C A B C ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅）()()()P A B C P A B C P A B C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅[1()]()()()[1()]()()()[1()](10.9)0.80.850.9(10.8)0.850.90.8(10.85)0.329P A P B P C P A P B P C P A P B P C =-+-+-=-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=答：恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.3295 如图，,A B 两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1,1,2,2,3,4 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量（I ）设选取的三条网线由A 到B 可通过的信息总量为x ，当6x ≥时，则保证信息畅通 求线路信息畅通的概率；（II ）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P Θ 431012034141)6(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P ΘΘΘ（II ）203)5(,5221311,101)4(,4211===++=++===++x P x P ΘΘ ∴线路通过信息量的数学期望5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= 答：（I 43（II ）线路通过信息量的数学期望是6.5 6 三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为,43,43,21将它们中某两个元件并联后再和第三元件串联接入电路 （Ⅰ）在如图的电路中，电路不发生故障的概率是多少？（Ⅱ）三个元件连成怎样的电路，才能使电路中不发生故障的概率最大？请画出此时电路图，并说明理由解：记“三个元件123,,T T T 正常工作”分别为事件123,,A A A ，则 .43)(,43)(,21)(321===A P A P A P （Ⅰ）不发生故障的事件为231()A A A + ∴不发生故障的概率为321521]41411[)()]()(1[)()(])[(1321311321=⨯⨯-=⋅⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P（Ⅱ）如图，此时不发生故障的概率最大 证明如下：图1中发生故障事件为123()A A A +∴不发生故障概率为3221)()]()(1[)()(])[(3213213212=⋅-=⋅+=+=A P A P A P A P A A P A A A P P 21P P ∴> 图2不发生故障事件为132()A A A +，同理不发生故障概率为321P P P =>7 要制造一种机器零件，甲机床废品率为0.05，而乙机床废品率为0.1，而它们的生产是独立的，从它们制造的产品中，分别任意抽取一件，求：（1）其中至少有一件废品的概率；（2）其中至多有一件废品的概率解：设事件A =“从甲机床抽得的一件是废品”；B =“从乙机床抽得的一件是废品” 则()0.05,()0.1P A P B ==（1）至少有一件废品的概率145.090.095.01)()(1)(1)(=⨯-=⋅-=+-=+B P A P B A P B A P（2）至多有一件废品的概率995.09.095.01.095.09.005.0)(=⨯+⨯+⨯=⋅+⋅+⋅=B A B A B A P P8 甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92，（1）求该题被乙独立解出的概率；（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差解：（1）记甲、乙分别解出此题的事件记为,A B 设甲独立解出此题的概率为1P ，乙为2P则12()0.6,()P A P P B P === 1212122222()1()1(1)(1)0.920.60.60.920.40.320.8(2)(0)()()0.40.20.08(1)()()()()0.60.20.40.80.44(2)()()0.60.80.48:P A B P A B P P P P PP P P P P P P A P B P P A P B P A P B P P A P B ξξξξ+=-⋅=---=+-=∴+-=====⋅=⨯===+=⨯+⨯===⋅=⨯=则即的概率分布为4.096.136.2)()(4.01728.00704.01568.048.0)4.12(44.0)4.11(08.0)4.10(4.196.044.048.0244.0108.0022222=-=-==++=⋅-+⋅-+⋅-==+=⨯+⨯+⨯=ξξξξξE E D D E 或利用9 某保险公司新开设了一项保险业务，若在一年内事件E 发生，该公司要赔偿a 元设在一年内E 发生的概率为p ，为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，公司应要求顾客交多少保险金？解：设保险公司要求顾客交x 元保险金，若以ξ 表示公司每年的收益额，则ξ是一个随机变量，其分布列为：因此，公司每年收益的期望值为(1)()E x p x a p x ap ξ=-+-=-为使公司收益的期望值等于a 的百分之十，只需0.1E a ξ=，即0.1x ap a -=，故可得(0.1)x a p =+即顾客交的保险金为 (0.1)a p +时，可使公司期望获益0.1a10 有一批食品出厂前要进行五项指标检验，如果有两项指标不合格，则这批食品不能出厂 已知每项指标抽检是相互独立的，且每项抽检出现不合格的概率都是0.2(1)求这批产品不能出厂的概率(保留三位有效数字)；(2)求直至五项指标全部验完毕，才能确定该批食品是否出厂的概率(保留三位有效数字)解：(1)这批食品不能出厂的概率是： 514510.80.80.20.263P C =--⨯⨯≈(2)五项指标全部检验完毕，这批食品可以出厂的概率是：13140.20.80.8P C =⨯⨯⨯五项指标全部检验完毕，这批食品不能出厂的概率是：13240.20.80.2P C =⨯⨯⨯由互斥事件有一个发生的概 率加法可知，五项指标全部检验完毕，才能确定这批产品是否出厂的概率是：131240.20.80.4096P P P C =+=⨯⨯=11 高三（1）班、高三（2）班每班已选出3名学生组成代表队，进行乒乓球对抗赛 比赛规则是：①按“单打、双打、单打”顺序进行三盘比赛； ②代表队中每名队员至少参加一盘比赛，不得参加两盘单打比赛 已知每盘比赛双方胜出的概率均为.21（Ⅰ）根据比赛规则，高三（1）班代表队共可排出多少种不同的出场阵容？（Ⅱ）高三（1）班代表队连胜两盘的概率是多少？解：（I ）参加单打的队员有23A 种方法 参加双打的队员有12C 种方法所以，高三（1）班出场阵容共有121223=⋅C A （种）（II ）高三（1）班代表队连胜两盘，可分为第一盘、第二盘胜或第一盘负，其余两盘胜， 所以，连胜两盘的概率为.832121212121=⨯⨯+⨯ 12 袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率(1)摸出2个或3个白球 (2)至少摸出一个黑球解：（Ⅰ）设摸出的4个球中有2个白球、3个白球分别为事件,A B ，则73)(,73)(481325482325=⋅==⋅=C C C B P C C C A P ∵,A B 为两个互斥事件 ∴6()()()7P A B P A P B +=+=即摸出的4个球中有2个或3个白球的概率为76（Ⅱ）设摸出的4个球中全是白球为事件C ，则45481()14C P C C ==至少摸出一个黑球为事件C 的对立事件其概率为14131411=-。
人教版高中数学选修2-2课后习题参考答案
新课程标准数学选修2—2第一章课后习题解答第一章 导数及其应用 3．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8）函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”1的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10）1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高.说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的内涵.2、(1)(1) 4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降. 3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t =时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=.因此，物体在第 5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第 5 s 的动能213101502k E =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>. 由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=. 因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -. 说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固.5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用.6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题3.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数内涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数内涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18）1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2x y e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-； （6）y '=习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r r π∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=. 2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n x y nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x xy x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-.7、1xy π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少. 习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P . x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h.1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26）1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增；当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减. （2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减. （3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减. （4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.（2）当0a <时，()0f x '>，即2bx a <-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增；()0f x '<，即2bx a >-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减.4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-. 当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)内是减函数. 练习（P29）1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，注：图象形状不唯一.其中2x x =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点. 2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-. 令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，当112x =时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-. 令2()3270f x x '=-=，得3x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54； 当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-. （3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-. 令2()1230f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-； 当2x =时，()f x 有极大值，并且极大值为22 （4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-. 令2()330f x x '=-=，得1x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-； 当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2 练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x =时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-； 又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =.又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值. 因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-. 习题1.3 A 组（P31）1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<. 因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈. 因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数. （3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<. 因此，函数()24f x x =-是单调递减函数. （4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>. 因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数. 2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减. （2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减.（3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数. （4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-. 当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值； （2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值； （3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值. 5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+. 令()1210f x x '=+=，得112x =-. 当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减.所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-.（2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-. 令2()3120f x x '=-=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为16-. （3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+. 令2()1230f x x '=-+=，得2x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22； 当2x =时，()f x 有极小值，并且极小值为10-. （4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-. 令2()4830f x x '=-=，得4x =±. 下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时. 当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-； 当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128. 6、（1）在[1,1]-上，当112x =-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16； 当2x =时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-. 由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值.由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-. 习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π内单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈. 因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增，2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减，2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略（3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1x e x ->，0x ≠. 图略 （4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<； 当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <. 由（3）可知，1x e x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略 2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间.（2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++. 下面分类讨论：当0a ≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a >，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a >，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增. ②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增；当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减 1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x ，l x -，则这两个正方形的边长分别为4x ，4l x -，两个正方形的面积和为 22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<. 令()0f x '=，即420x l -=，2lx =.当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>.因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小.2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x .（1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02ax <<.（2）因为322()44V x x ax a x =-+， 所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6a x =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<.因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点.所以，当6ax =时，无盖方盒的容积最大.3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222S Rh R ππ=+由2V R h π=，得2Vh R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R R ππππ=+=+，0R >. 令2()40V S R R R π'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；当)R ∈+∞时，()0S R '>. 因此，R =是函数()S R 的极小值点，也是最小值点. 此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省.4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，（第3题）可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ， 矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x a l x x x x x πππ=++-=++，0x <<令22()104a l x x π'=+-=，得x =.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.m 时，所用材料最省. 6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588R q p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+令0L '=，即12104q -+=，84q =.当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<；因此，84q =是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大,习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元，那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =.当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时，利润4()()(4)()(5)b x L x x a c c c x a x b b-=-+⨯=--，54b a x <<.令845()0c ac bcL x x b b+'=-+=，解得458a b x +=.当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点.所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润.1．5定积分的概念 练习（P42） 83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45）1、22112()[()2]()i i i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =.于是 111()n n ni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+2231[12]2n n=-++++31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+111(1)(1)232n n =-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km.说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i i n ξ=作和式 11()nni i i b af x b a n ξ==-∆==-∑∑， 从而 11lim nban i b adx b a n →∞=-==-∑⎰，说明：进一步熟悉定积分的概念.4、根据定积分的几何意义，0⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）03114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰.由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得202333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx-⎰化为02331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x 在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出031x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义.习题1.5 B 组（P50）1、该物体在0t =到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形内包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）；不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n -， 记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =），其长度为 (1)il i l l x n n n-∆=-=.把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆，则细棒的质量1ni i m m ==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n-上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]i i l i l n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l il n n-上质量2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =）.（3）求和得细棒的质量 2111()nnni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑. （4）取极限细棒的质量 21lim ni n i lm nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理练习（P55）（1）50； （2）503； （353-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-.说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-；（4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分.2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]22x ππ=； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=-=---=⎰；（2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰； （4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰. 3、（1）0.202220()(1)[]49245245t kt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k ----=-=+=+-=+-⎰.（2）由题意得 0.2492452455000t t e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值范围. 根据指数函数的性质，当0t >时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<. 因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000t t e -+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t ≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1.说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59）1、52533(23)[3]22s t dt t t =+=+=⎰（m ）.2、42403(34)[4]402W x dx x x =+=+=⎰（J ）. 习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92.2、2[]b b a a q q q qW k dr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80h t dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105t tt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t =. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由F kl =，得100.01k =. 解之得1000k =. 所做的功为 0.120.10010005005W ldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112s t dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）. 习题1.7 B 组（P60） 1、（1）a -⎰表示圆222x y a +=与x轴所围成的上半圆的面积，因此22aa π-=⎰（2）1]x dx ⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，21111]114242x dx ππ⨯=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b =.从而抛物线的方程为 224hy x b =.于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b bh h S h x dx hx x bh b b =-=-=⎰. 3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =. 于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhW Gdr G G r r R R h ++==-=+⎰. 第一章 复习参考题A 组（P65）1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x xy x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2x xy x x '=+； （4）2422(21)x x y x -'=+. 3、32GMm F r '=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略. 5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；（第2题）当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+. 当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--. 当()0f x '=，即3cx =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >. 由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x a x a --=--，即1()1y x a a =--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -. 因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--. 令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a =，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m. 所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60x x -++=. 所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时，旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤. 令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =. 所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大.因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x=--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)内唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点.所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则 21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q =是函数()y p 在(0,400]内唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点. 所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰； （5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰. 15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ）第一章 复习参考题B 组（P66）1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t ≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t <<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S .因为212S r α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r -=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l内唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点.所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大.3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222r h R +=.因此，222231111()3333V r h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h R =.容易知道，h R =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大. 4、由于28010k =⨯，所以45k =. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x >令0y '=，即29600160x -=，24x ≈.容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点. 当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时）所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x =++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元） 容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元.6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰.7、解方程组 2y kx y x x=⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰.由题设得 11200()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kk k x x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.新课程标准数学选修2—2第二章课后习题解答第二章 推理与证明2．1合情推理与演绎推理练习（P77）1、由12341a a a a ====，猜想1n a =.2、相邻两行数之间的关系是：每一行首尾的数都是1，其他的数都等于上一行中与之相邻的两个数的和.3、设111O PQ R V -和222O P Q R V -分别是四面体111O PQ R -和222O PQ R -的体积， 则111222111222O PQR O P Q R V OP OQ OR V OP OQ OR --=⋅⋅. 练习（P81） 1、略.2、因为通项公式为n a 的数列{}n a ， 若1n na p a +=，其中p 是非零常数，则{}n a 是等比数列； ……………………大前提 又因为0cq ≠，则0q ≠，则11n n nn a cq q a cq ++==； ……………………………小前提所以，通项公式为(0)n n a cq cq =≠的数列{}n a 是等比数列. ……………………结论3、由AD BD >，得到ACD BCD ∠>∠的推理是错误的. 因为这个推理的大前提是“在同一个三角形中，大边对大角”，小前提是“AD BD >”，而AD 与BD 不在同一个三角形中.习题2.1 A 组（P83）1、21n a n =+()n N *∈.2、2F V E +=+.3、当6n ≤时，122(1)n n -<+；当7n =时，122(1)n n -=+；当8n =时，122(1)n n ->+()n N *∈.4、212111(2)n n A A A n π++≥-（2n >，且n N *∈）. 5、121217n n bb b bb b -=（17n <，且n N *∈）.6、如图，作DE ∥AB 交BC 于E .因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形， 又因为AD ∥BE ，AB ∥DE . 所以四边形ABED 是平行四边形.（第6题）因为平行四边形的对边相等.又因为四边形ABED 是平行四边形. 所以AB DE =.因为与同一条线段等长的两条线段的长度相等，又因为AB DE =，AB DC =, 所以DE DC = 因为等腰三角形的两底角是相等的.又因为△DEC 是等腰三角形, 所以DEC C ∠=∠ 因为平行线的同位角相等又因为DEC ∠与B ∠是平行线AB 和DE 的同位角, 所以DEC B ∠=∠ 因为等于同角的两个角是相等的，又因为DEC C ∠=∠，DEC B ∠=∠, 所以B C ∠=∠ 习题2.1 B 组（P84）1、由123S =-，234S =-，345S =-，456S =-，567S =-，猜想12n n S n +=-+.2、略.3、略. 2．2直接证明与间接证明 练习（P89）1、因为442222cos sin (cos sin )(cos sin )cos2θθθθθθθ-=+-=，所以，命题得证.2>22>，即证1313+>+>只需要22>，即证4240>，这是显然成立的. 所以，命题得证. 3、因为 222222222()()()(2sin )(2tan )16sin tan a b a b a b αααα-=-+==， 又因为 sin (1cos )sin (1cos )1616(tan sin )(tan sin )16cos cos ab αααααααααα+-=+-=⋅22222222sin (1cos )sin sin 161616sin tan cos cos αααααααα-===， 从而222()16a b ab -=，所以，命题成立.说明：进一步熟悉运用综合法、分析法证明数学命题的思考过程与特点.练习（P91）1、假设B ∠不是锐角，则90B ∠≥︒. 因此9090180C B ∠+∠≥︒+︒=︒. 这与三角形的内角和等于180°矛盾. 所以，假设不成立. 从而，B ∠一定是锐角.2=所以22=，化简得5=225=，即2540=， 这是不可能的. 所以，假设不成立..说明：进一步熟悉运用反证法证明数学命题的思考过程与特点. 习题2.2 A 组（P91）1、由于0a ≠，因此方程至少有一个跟bx a=.假设方程不止一个根，则至少有两个根，不妨设12,x x 是它的两个不同的根，则 1ax b = ①2ax b = ②①－②得12()0a x x -=因为12x x ≠，所以120x x -≠，从而0a =，这与已知条件矛盾，故假设不成立. 2、因为 (1tan )(1tan )2A B ++=展开得 1tan tan tan tan 2A B A B +++=，即tan tan 1tan tan A B AB +=-. ① 假设1tan tan 0A B -=，则cos cos sin sin 0cos cos A B A BA B -=，即cos()0cos cos A B A B += 所以cos()0A B +=.因为A ，B 都是锐角，所以0A B π<+<，从而2A B π+=，与已知矛盾.因此1tan tan 0A B -≠.①式变形得tan tan 11tan tan A BA B +=-， 即tan()1A B +=. 又因为0A B π<+<，所以4A B π+=.说明：本题也可以把综合法和分析法综合使用完成证明.3、因为1tan 12tan αα-=+，所以12tan 0α+=，从而2sin cos 0αα+=. 另一方面，要证 3sin 24cos 2αα=-， 只要证226sin cos 4(cos sin )αααα=-- 即证 222sin 3sin cos 2cos 0αααα--=， 即证 (2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=由2sin cos 0αα+=可得，(2sin cos )(sin 2cos )0αααα+-=，于是命题得证. 说明：本题可以单独使用综合法或分析法进行证明，但把综合法和分析法结合使用进行证明的思路更清晰.4、因为,,a b c 的倒数成等差数列，所以211b a c=+. 假设2B π<不成立，即2B π≥，则B 是ABC ∆的最大内角，所以,b a b c >>（在三角形中，大角对大边）， 从而11112a c b b b +>+=. 这与211b a c=+矛盾. 所以，假设不成立，因此，2B π<.习题2.2 B 组（P91）1、要证2s a <，由于22s ab <，所以只需要2s s b<，即证b s <.因为1()2s a b c =++，所以只需要2b a b c <++，即证b a c <+. 由于,,a b c 为一个三角形的三条边，所以上式成立. 于是原命题成立. 2、由已知条件得 2b ac = ① 2x a b =+，2y b c =+ ② 要证2a cx y+=，只要证2ay cx xy +=，只要证224ay cx xy += 由①②，得 22()()2ay cx a b c c a b ab ac bc +=+++=++， 24()()2xy a b b c ab b ac bc ab ac bc =++=+++=++， 所以，224ay cx xy +=，于是命题得证. 3、由 tan()2tan αβα+= 得sin()2sin cos()cos αβααβα+=+，即sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+. ……①要证 3sin sin(2)βαβ=+即证 3sin[()]sin[()]αβααβα+-=++即证 3[sin()cos cos()sin ]sin()cos cos()sin αβααβααβααβα+-+=+++ 化简得sin()cos 2cos()sin αβααβα+=+，这就是①式.所以，命题成立.说明：用综合法和分析法证明命题时，经常需要把两者结合起来使用. 2．3数学归纳法 练习（P95）1、先证明：首项是1a ，公差是d 的等差数列的通项公式是1(1)n a a n d =+-. （1）当1n =时，左边＝1a ，右边＝11(11)a d a +-=， 因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立. （2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)k a a k d =+-. 那么，11(1)[(1)1]k k k a a d a k d d a k d +=+=+-+=++-. 所以，当1n k =+时，命题也成立.根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立.再证明：该数列的前n 项和的公式是1(1)2n n n S na d -=+. （1）当1n =时，左边＝11S a =，右边＝111(11)12a d a ⨯-⨯+=， 因此，左边＝右边. 所以，当1n =时命题成立.（2）假设当n k =时，命题成立，即1(1)2k k k S ka d -=+. 那么，1111(1)[(1)1]2k k k k k S S a ka d a k d ++-=+=++++- 1(1)(1)[1]2k k a k d -=+++1(1)(1)2k kk a d +=++所以，当1n k =+时，命题也成立. 根据（1）和（2），可知命题对任何n N *∈都成立. 2、略.习题2.3 A 组（P96） 1、（1）略.（2）证明：①当1n =时，左边＝1，右边＝211=， 因此，左边＝右边. 所以，当1n =时，等式成立. ②假设当n k =时等式成立，即2135(21)k k ++++-=.那么，22135(21)(21)(21)(1)k k k k k ++++-++=++=+.所以，当1n k =+时，等式也成立.根据①和②，可知等式对任何n N *∈都成立.。
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高中数学选修2----2知识点 第一章 导数及其应用 一． 导数概念的引入 1. 导数的物理意义：瞬时速率。一般的，函数()yfx在0xx处的瞬时变化率是
000()()limxfxxfxx
，
我们称它为函数()yfx在0xx处的导数，记作0()fx或0|xxy， 即0()fx=000()()limxfxxfxx 2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点nP趋近于P时，直线PT与曲线相切。容易知道，割线nPP的斜率是00()()nnnfxfxkxx，当点nP趋近于P时，函数()yfx在0xx处的导
数就是切线PT的斜率k，即0000()()lim()nxnfxfxkfxxx 3. 导函数：当x变化时，()fx便是x的一个函数，我们称它为()fx的导函数. ()yfx的导函数有时也记作y,即0()()()limxfxxfxfxx
二.导数的计算 1）基本初等函数的导数公式: 1若()fxc(c为常数)，则()0fx；
2 若()fxx,则1()fxx; 3 若()sinfxx,则()cosfxx 4 若()cosfxx,则()sinfxx; 5 若()xfxa,则()lnxfxaa 6 若()xfxe,则()xfxe
7 若()logxafx,则1()lnfxxa
8 若()lnfxx,则1()fxx 2）导数的运算法则 1. [()()]()()fxgxfxgx 2. [()()]()()()()fxgxfxgxfxgx•••
3. 2()()()()()[]()[()]fxfxgxfxgxgxgx•• 3）复合函数求导 ()yfu和()ugx,称则y可以表示成为x的函数,即(())yfgx为一个复合函数
(())()yfgxgx• 三.导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间(,)ab内，如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递增； 如果()0fx，那么函数()yfx在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()yfx的极值的方法是: (1) 如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极大值; (2) 如果在0x附近的左侧()0fx,右侧()0fx,那么0()fx是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数()yfx在[,]ab上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()yfx在(,)ab内的极值； （2） 将函数()yfx的各极值与端点处的函数值()fa，()fb比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题 第二章 推理与证明
1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤： •通过观察个别情况发现某些相同的性质；
•从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）；
•证明（视题目要求，可有可无）.
2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤： •找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；
•用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；
•检验猜想。
3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理． 简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论”，包括 ⑴大前提-----已知的一般原理； ⑵小前提-----所研究的特殊情况； ⑶结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断． 用集合的观点来理解：若集合M中的所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元
推理与证明
推理 证明 合情推理 演绎推理 直接证明 数学归纳法 间接证明 比较法 类比推理 归纳推理
分析法 综合法 反证法
知识结构 素也都具有性质P. 从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：
要点：顺推证法；由因导果. ⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：
要点：逆推证法；执果索因. ⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤： (1)（反设）假设命题的结论不成立； (2)（推理）根据假设进行推理,直到导出矛盾为止； (3)（归谬）断言假设不成立； (4)（结论）肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法 数学归纳法是证明关于正整数n的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; （1）（归纳奠基）证明当n取第一个值*00()nnN时命题成立； （2）（归纳递推）假设*0(,)nkknkN时命题成立，推证当1nk时命题也成立. 只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从0n开始的所有正整数n都成立. 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几何中的计算问题等. 第三章 数系的扩充与复数的引入
一:复数的概念 (1) 复数:形如(,)abiaRbR的数叫做复数，a和b分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数(,)abiaRbR中,当0b,就是实数; 0b,叫做虚数;当0,0ab时,叫做纯虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫做虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2．相关公式 ⑴dcbadicbia且, ⑵00babia ⑶22babiaz ⑷zabi
M ·a S zz，指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数）.
3．复数运算 ⑴复数加减法：idbcadicbia；
⑵复数的乘法：abicdiacbdbcadi；
⑶复数的除法：abicdiabicdicdicdi 222222acbdbcadiacbdbcadicdcdcd
（类似于无理数除法的分母有理化虚数除法的分母实数化） 4.常见的运算规律 (1);(2)2,2;zzzzazzbi
2222(3);(4);(5)zzzzabzzzzzR
41424344(6),1,,1;nnnniiiiii
22111(7)1;(8),,112iiiiiiiiii
)9(设231i是1的立方虚根，则012，1,,332313
nnn
5.复数的几何意义 复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.
zabiZ一一对应复数复平面内的点（a,b)
zabiOZ一一对应复数平面向量
高考数学：试卷答题攻略 一、“六先六后”，因人因卷制宜。 考生可依自己的解题习惯和基本功，选择执行“六先六后”的战术原则。1.先易后难。2.先熟后生。3.先同后异。先做同科同类型的题目。4.先小后大。先做信息量少、运算量小的题目，为解决大题赢得时间。5.先点后面。高考数学解答题多呈现为多问渐难式的“梯度题”，解答时不必一气审到底，应走一步解决一步，步步为营，由点到面。6.先高后低。即在考试的后半段时间，如估计两题都会做，则先做高分题;估计两题都不易，则先就高分题实施“分段得分”。
二、一慢一快，相得益彰，规范书写，确保准确，力争对全。 审题要慢，解答要快。在以快为上的前提下，要稳扎稳打，步步准确。假如速度与准确不可兼得的话，就只好舍快求对了。
三、面对难题，以退求进，立足特殊，发散一般，讲究策略，争取得分。
对于一个较一般的问题，若一时不能取得一般思路，可以采取化一般为特殊，化抽象为具体。对不能全面完成的题目有两种常用方法：1.缺步解答。将疑难的问题划分为一个个子问题或一系列的步骤，每进行一步就可得到一步的分数。2.跳步解答。若题目有两问，第一问做不上，可以第一问为“已知”，完成第二问。
四、执果索因，逆向思考，正难则反，回避结论的肯定与否定。