三大宇宙速度推导公式

三大宇宙速度推导公式
三大宇宙速度的推导
重力加速度： g=9.8m/s2
外有引力常数： G=6.67×10−11N⋅m2/kg2
地球半径：地r地=6.37×106m
地球质量：地M地=5.96×1024kg
太阳质量：日M日=1.99×1030kg
太阳与地球之间的距离：日地r日地=1.50×1011m
（1）第一宇宙速度（环绕速度）——7.9km/s
物体在地面附近绕地球做匀速圆周运动的最小发射速度。

根据定义，直接由外有引力提供物体匀速圆周运动所需向心力：地地地GM地mr地2=mv12r地，
从而得到：地地v1=GM地r地，根据黄金代换：地地GM地=gr地2 ,
解得：地v1=gr地=7.9km/s
（2）第二宇宙速度（逃逸速度）——11.2km/s
物体挣脱地球引力束缚，离开地球的最小发射速度。

首先介绍引力势能公式：两物体间的外有引力势能大小为： Ep=−GMmr ,
注意，引力势能为负值，物体间距离越大，引力势能越大，当距离达到无穷时，引力势能最大，为0焦耳。

因此，当物体挣脱地球引力飞向据地球无穷远处时，物体动能和势能都为0焦耳，根据机械能守恒定理，在地球上发射时动能和引力势能之和也应该为0焦耳， Ep+Ek=0 ，即：
地地12mv22−GM地mr地=0
化解得到：
地地地v2=2GM地r地=2gr地=2v1=11.2km/s
（3）第三宇宙速度推导——16.7km/s
物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳系以外空间的最小发射速度。

首先，我们发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此，先求解地球绕太阳的公转速度，即：
日地日地地公日地GM日M地r日地=M地v公2r日地
解得：
公日日地v公=GM日r日地=29.8km/s
然后，我们不考虑地球影响（或假设地球不存在），以太阳为参考系，那么在地球附近的物体具有的动能与势能之和为：日日地Ek+Ep=12mv2−GM日mr日地
若该物体能挣脱太阳引力，则应该满足 Ek+Ep=0 ，即：
日日地12mv02=GM日mr日地
解得
日日地公v0=2GM日r日地=2v公=42.2km/s
注意：其实在推导第一宇宙速度（环绕速度）和第二宇宙速度（逃逸速度）的时候，我们已经发现逃逸速度是环绕速度的根号2倍了。

因此上述v0相当于地球逃逸太阳的速度。

前面已经说过，发射卫星时可以利用地球的公转速度，因此得到：公v0′=v0−v公=42.2−29.8=12.4km/s
也可以理解为是相对地球的速度，即以地球为参考系的速度。

刚才我们求解得到时是假设地球不存在的，现在把地球还原，则发射速度还要克服地球引力作用，即：
地地12mv32=GM地mr地+12mv0′2
联立：地地12mv22−GM地mr地=0
可得： 12mv32+12mv22+12mv0′2
注意上式可以直接理解为：发射的动能还需要附加一个物体从地球上逃逸的动能。

简单地说，发射动能相当于地球从太阳系逃逸后，物体再从地球上逃逸。

当然这个说法不完全正确，因为涉及到一个相对速度和参考系的变化！
最终解得：
v3=v22+v0′2=11.22+12.42=16.7km/s
（4）其他几个宇宙速度
第四宇宙速度：物体摆脱银河系引力束缚，飞出银河系的最小发射速度，大约为110-120km/s。

第五宇宙速度：物体飞出本星系群的最小发射速度，由于本星系群的半径和质量均未有足够精确数据，因而无法准确得知大小。

估计本星系群大小为500-1000光年，照这样计算，至少需要
1500-2250km/s 的发射速度才能飞离。

第六宇宙速度：假设宇宙之外还有别的世界，要摆脱宇宙到达另一个世界，需要的最小发射速度，这就是第六宇宙速度，该宇宙速度是否存在，不得而知！。