《圆的对称性》

第三章圆

3.2《圆的对称性》教学设计

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：本节课是在学生了解了圆的定义与弦、弧的定义以及旋转的有关知识的基础上进行的，它是前面所学知识的应用，也是本章中证明同圆或等圆中弧等、角等以及线段相等的重要依据，也是下一节课的理论基础，因此，本节课的学习将对今后的学习和培养学生能力有重要的作用.

二、教学目标

知识与技能

通过探索理解并掌握:（1）圆的轴对称性和中心对称性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理，并会用它们之间的关系解题.

过程与方法

通过动手操作、观察、归纳，经历探索新知的过程，培养学生实验、观察、发现新问题，探究和解决问题的能力.

情感态度与价值观

（1）通过引导学生动手操作，对图形的观察发现，激发学生的学习兴趣．（2）在师生之间、生生之间的合作交流中进一步树立合作意识，培养合作能力，体验学习的快乐．

（3）在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心．

教学重点：探索圆心角、弧、弦之间关系定理并利用其解决相关问题．教学难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧、弦之间关系定理解题。

三、教学过程

（一）创设情境，导入新课

教师展示一组图片，谈话导入，把学生带进美丽的圆的世界，学生边听边欣赏着圆的美感。

教师：今天我们来探究圆的对称性。出示课题。

教师展示学习目标，并引导学生明确学习目标。

（二）探究交流，获取新知

数学活动一：认识圆的对称性

教师提问：

1、圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？

2、大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？

学生：小组合作探究，动手操作，通过折叠自己准备好的圆形纸片的方法可以得出以下结论。

结论：圆是轴对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线(所有经过圆心的直线都是对称轴）,圆有无数条对称轴。

验证方法：折叠

教师：补充说明圆的对称轴的另一种说法。（直径所在的直线都是圆的对称轴。）

教师提问：

一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？圆是中心对称图形吗？你怎么验证？

学生：小组合作学习，动手操作，一生代表边操作演示边汇报学习成果。

教师：边白板演示。

边说明：通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．

练习：1.下列命题中,正确的是 ( )

A.圆只有一条对称轴

B.圆的对称轴不止一条,但只有有限条

C.圆有无数条对称轴,每条直径都是它的对称轴

D.圆有无数条对称轴,每条直径所在的直线都是它的对称轴 数学活动二：了解圆心角的定义

如图所示，∠AOB 的顶点在圆心，像这样顶点在圆心的角叫做圆心角．

A

B

C

O

学生抢答，找出圆心角。

练习：判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

学生自由发言，并说明理由。

数学活动三、探索圆心角定理

做一做：

1．在两张透明纸上，作两个等圆⊙O 和⊙O ′，沿圆周分别将两圆剪下．

2．在⊙O 和⊙O ′上分别作相等的圆心角∠AOB 和∠A ′O ′B ′ (如下图示)，圆心固定．注意：∠AOB 和∠A ′O ′B ′时，要使OB 相对于0A 的方向与O ′B ′相对于O ′A ′的方向一致，否则当OA 与O ′A ′重合时，OB 与O ′B ′不能重合．

3．将其中的一个圆旋转一个角度，使得OA 与O ′A ′重合．

教师叙述步骤，同学们一起动手操作．

O

A B A'

B'O'

通过上面的做一做，你能发现哪些等量关系?同学们互相交流一下，说一说你的理由．

学生得到的结论可能有：

1．由已知条件可知∠AOB=∠A′O′B′．

2．由两圆的半径相等，可以得到∠OBA=∠O′B′A′=∠OAB和∠O′A′B′．3．由△AOB≌△A′O′B′可得到AB＝A′B′．

A B

4．由旋转法可知AB=''

A B，理由是一种新的证明弧相等的方法——

教师：刚才得到的弧AB=弧''

叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′, 弧AB与弧A′B′重合。

教师：在上述操作过程中，我们不难得出以下结论：

在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

教师白板出示符合表示，并强调应用格式。

上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：

学生尝试归纳：

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．

(通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．

如下图示.虽然∠AOB=∠A ′O ′B ′，但AB ≠A ′B ′AB ≠''A B , 下面我们共同想一想．

在同圆或等圆中 弧相等

相等的圆心角 弦相等 如果在同圆或等圆这个前提下，将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗?你是怎么想的?请你说一说．

学生填空。

教师引导学生归纳圆心角、弧、弦之间相等关系定理：

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

注意：

（1）不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦不一定相等．

（2）此定理中的“弧”一般指劣弧．

（3）要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．

（4）在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”等等．

（三）例题讲解，理解运用

例题： 如图，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 的一点，且AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？

学生：读题。

教师引导学生分析题意，探究解题方法和思路。

学生代表在黑板上板演，其他学生在导学案上书写。

师生共同评价。

总结方法。

（四）随堂练习，拓展延伸

B

A'B'O