第8章线性分组码

这时校验矩阵相应地变成 H = −P T MIn − k ，其中In−k是(n−k)×(n−k)单位方阵， T是矩阵P的逆元转置矩阵，对于模2加运算，0的逆原为1，1的逆元为0，故 −P 有−PT= PT， 。 H = P T MIn − k 可以验证 GH T = [Ik M P ] P T MIn − k = 0
8.1.4 纠错码的分类
按信息位与校验位的关系，可将编码分成以下两大类： 按信息位与校验位的关系，可将编码分成以下两大类： （1）线性码——校验位与信息位呈线性关系（即可用一次 方程描述）。 （2）非线性码——校验位与信息位不呈线性关系。
按信息位与校验位之间的约束关系，可分为： 按信息位与校验位之间的约束关系，可分为： （1）分组码——将信息符号分成k位一组，每组增加r位校验位，这r 位校验位仅与本组的k位信息位有关，与其他的信息位无关。 ① 循环码——除全零码字外，其余码字都可由另一码字的码符循 环移位得到； ② 非循环码——某个码字的循环移位不一定还是该码的码字。 （2）卷积码——将信息符号分成k位一组，每组增加r位校验位，这r 位校验位不仅与本组的k位信息位有关，还与前面m组的信息位有关。
差错控制系统大致可分为前向纠错、重传反馈和混合纠错 等三种方式。 （１）前向纠错 前向纠错(FEC)方式 ： 前向纠错 方式 FEC (Forward Error Control) 方式是发端发送有纠错能 力的码（纠错码），接收端收到这些码后，通过纠错译码 器自动地纠正传输中的错误。
优点是不需要反馈信道； 能进行一个用户对多个 用户的同时通信，特别 适合于移动通信；译码 实时性较好，控制电路 也比较简单。
8.1.2 差错类型 讨论码字序列c通过离散信道时发生的情况，信道分为无记忆信 道和有记忆信道。 在无记忆信道中，噪声对传输码元的影响是相互独立的，即每一 个差错的出现与其前后是否有错无关,如图8.1。在无记忆信道中， 错误是随机产生的，因此被称作随机错误，无记忆信道也被称为随 机信道（random channel）。
表8-1列出了按c = uG 生成的16个码字。
从线性空间的概念来看，码字长度为n = 7，所 有27=128个7重矢量组成一个7维线性空间V7，而信 息位k = 4，可生成24=16个码字，将每个码字都看成 一个7位矢量（也称为码矢），这16个码字是从7位 矢量空间的128个矢量中按照编码规则选出来的。因 此可以说，24个码字是线性空间V7中的一个4维子空 间。而生成矩阵G由k=4维子空间中的4个线性无关行 矢组成。
表8-1 （7，4）线性分组码
为生成矩阵
信 息 组 0000 0001 0010 0011 0100 0101
码
字
0000000 0000111 0011001 0011110 0101010 0101101 0110011 0110100 1001011 1001100 1010010 1010101 1100001 1100110 1111000 1111111
Hc T = H (uG )T = HG T u T = 0u T = 0
称H为校验矩阵, H由n = 7维空间的n−k =7−4=3 维子空间中的3个线性无关行矢组成。 计算 H y T = s ,称s为y的伴随式 伴随式， 伴随式 若s = 0知道y是选用码矢，传输无误； 若s ≠ 0，则y不是选用码矢，说明在传输过程中发生了误码；
101 110 111
在一般情况下，生成矩阵G是k×n矩阵，可通过初等变换将G变成如下形式。
1 0 G = M 0 0 1 M 0 L L L L 0 0 M 1 p11 p21 M pk1 p12 p22 M pk 2 L L L L p1( n − k ) p2( n − k ) = [I M P ] k M pk ( n − k )
1 0 1 0 1 1 G 1 = 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 G 2 = 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
表8-3给出了分别由G1和G2所生成的线性码。
观察由G2所生成的线性码，由
0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
1 0 1 0 1 0 1 定义矩阵 H = 1 1 0 0 1 1 0 , 可以验算，矩阵H与G正交，即满足 1 1 1 1 0 0 0
0 HG T = 或
GH T =,因此有 0
=（u2，u1，u0，u2+ u0，u2+ u1，u1+ u0） =（c5，c4，c3，c2，c1，c0）
c5 = u2 c4 = u1 c3 = u0 c2 = u2 + u0 c1 = u2 + u1 c0 = u1 + u0
得
码矢的前3位是信息位， 后3位是校验位，将这样 的码称为系统码。
缺点是译码设 备较复杂；编码 效率较低。
（２）重传反馈 重传反馈(ARQ)方式 方式: 重传反馈 方式 ARQ (Automatic Repeat Request) 方式是：发端发出能 够发现错误的码（检错码），收端译码器收到后，判断在 传输中有无错误产生，并通过反馈信道把捡测结果告诉发 端。发端把收端认为有错的消息再次传送，直到收端认为 正确接收为止。 优点是译码设备简单，在多余度一定的情 况下，码的检错能力比纠错能力要高得多，因 而整个系统能获得极低的误码率。 应用ARQ方式必须有一条从收端至发端的反馈 信道。并要求信源产生信息的速率可以进行控制， 收、发两端必须互相配合，其控制电路比较复杂， 传输信息的连贯性和实时性也较差。
c6 = u3 c5 = u2 c4 = u1 c3 = u1 + u2 + u3 c = u 0 2 c1 = u0 + u2 + u3 c0 = u0 + u1 + u3
码符号与信源符号的关系为
（8-1）
用矩阵表示式（8-1），得
[c6 c5 c4 c3 c2 c1 c0 ] = [u3 u2
图8.3 简化的信息传输系统模型 模型突出了以控制差错为目的的纠错码编码器和译码器， 因此也称为差错控制系统。
在差错控制系统中使用的码按其纠错能力的不同可分为两 种：检错码 纠错码 检错码和纠错码 检错码 纠错码。
能发现错误但不能纠 正错误的码称为检错码 ；
不仅能发 现错误而且还 能纠正错误的 码称为纠错码。
（３）混合纠错 混合纠错(HEC)方式： 方式： 混合纠错 方式 HEC (Hybrid Error Control) 方式是上述两种方式的结 合。发端发送的码既能检错、又有一定的纠错能力。收端 译码时若发现错误个数在码的纠错能力以内，则自动进行 纠错；若错误个数超过了码的纠错能力，但能检测出来， 则通过反馈信道告知发方重发。这种方式在一定程度上避 免了 FEC方式译码设备复杂和 ARQ方式信息连贯性差的 缺点。 在设计差错控制系统时，选择何种实现方式，应综合考 虑各方面的因素。主要有： ⑴满足用户对误码率的要求； ⑵有尽可能高的信息传输速率； ⑶有尽可能简单的编译码算法且易于实现； (4)可接受的成本。
设此基底为g0，g1，…，gk−1， g0=（g0,n−1，g0,n−2，…，g0,0） g1=（g1,n−1，g1,n−2，…，g1.0）
M来自百度文库
gk−1=（gk−1,n−1，gk−1,n−2，…，gk−1,0）
g 0 g0, n −1 g g 1, n −1 G = 1 = M M g k −1 g k −1, n −1 g0, n − 2 g1, n − 2 M g k −1, n − 2 L L g0,0 g1,0 M L g k −1,0
M 写成矩阵形式，为
一个线性空间的基底可以不只一组，因此作为码的生成矩阵G，也可 以不止一种形式。可以从码集C中另取k个线性无关的码矢作为基底，它 们也生成相同的线性空间，即生成同一个（n，k）线性分组码。
8.2.2 系统码
一个子空间的基底选用并不是唯一的，所以对应的生成矩阵G也不是唯一的。
【例8.2】 二元（6，3）线性分组码，下面给出的G1和G2都可以作为它的生成矩阵。
= ( u2 u1 1 0 0 1 1 0 u0 ) 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1
表8-3 由不同生成矩阵生成的线性分组码 信息组 000 001 010 011 100 由G1生成的 （6，3）码 000000 111000 110101 001101 101011 010011 011110 100110 由G2生成的 （6，3）码 000000 001101 010011 011110 100110 101011 110101 111000
8.2 线性分组码的编码
8.2.1 生成矩阵、校验矩阵 生成矩阵、
【例8.1】 线性分组码：n = 7，k = 4，记为（7，4）码。 】 信源符号4位一组：u=（u3，u2，u2，u0），ui∈{0,1}，i =0, 1, 2, 3 码符号7位一组：C=（c6,c5,c4,c3,c2,c1,c0），cj∈{0, 1}，j =0, 1, 2,3, 4, 5, 6
简记为c = uG
称
1 0 G = 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
1 0 u1 u0 ] 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
1 1 1 0
0 0 0 1
1 1 0 1
1 0 1 1
图8.1 二进制对称信道
有记忆信道中，各种干扰所造成的错误往往不是单个地，而是成 群、成串地出现，表现出错误之间有相关性。图8.2就是这种信道的 一个模型。
图8.2 有记忆信道模型 就实际信道而言，由于其干扰的复杂性，往往是两种错误并存。 随机错误与突发错误并存的信道，称为组合信道或复合信道。
8.1.3 差错控制系统模型及分类 为了方便研究，将信息传输系统模型简化成图8.3所示的简化模型
Ik是k×k单位方阵，P是k×(n−k)矩阵（n<k），称这种形式的G为标准生成 标准生成 ] 矩阵，因为初等变换不改变矩阵的秩，因此 [Ik MP仍由k个线性无关的行矢 矩阵 组成。这样生成的码c = u G=u[Ik P]=（cn−1，cn−2，…，c1，c0），前面k位 cn−1，cn−2，…，cn−k是信息位，后面n−k位cn−k−1，cn−k−2，…，c1，c0是校验位， 称这种码为线性系统分组码，简称系统码 系统码。 系统码
第八章 线性分组码
第八章 线性分组码
内容提要 目前，几乎所有得到实际应用的纠错码都是线 性的。本章首先介绍有关纠错码的基本概念， 然后重点论述线性分组码的定义及其编译码理 论。在此基础上，介绍了一种典型的线性分组 码：汉明码。
8.1
纠错码的基本概念
8.1.1 信道纠错编码
香农第二定理指出，当信息传输速率低于信道容量时， 通过某种编译码方法，就能使错误概率为任意小。目 前已有了许多有效的编译码方法，并形成了一门新的 技术——纠错编码技术。 这里所讲的纠错编码即信道编码，与信源编码一样都 是一种编码，但两者的作用是完全不同的。 信源编码的目的是压缩冗余度，提高信息的传输速率。 信道编码的目的是提高信息传输时的抗干扰能力以增 加信息传输的可靠性。
记e为错误图案，则 y=c+e
s = H y T = H cT + H eT = H eT
（8-4）
说明伴随式仅与错误图案有关
假设误码只有一位，则列矢e中只有一位为1，由式（8-4）可看出，观察列矢 s与校验矩阵H中的哪一列相同，就可确定H中的哪一位出错。
定义8.2 （n，k）线性分组码C中一组基底所构成的k×n 定义 阶矩阵称为码C的生成矩阵，用G表示。