高考数学常见题型解法归纳反馈训练第91讲参数方程常见题型的解法
第91讲 参数方程常见题型的解法
【知识要点】
一、参数方程的定义：一般地，在平面直角坐标中，如果曲线C 上任一点M 的坐标,x y 都是某个变数t 的函数()()x
f t y
g t ，反过来，对于t 的每个允许值，由函数式()()x f t y g t 所确定的点(,)M x y 都在曲线C 上，那么方程()
()x
f t y
g t 叫做曲线C 的参数方程，联系变数,x y 的变数t 是参变数，简称参数．相对于参数方程
而言，直接给出点的坐标间关系的叫普通方程．
二、常见曲线的参数方程：
（1）圆222
00()()x x y y r -+-=的参数方程为???+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）； （2）椭圆122
22=+b y a x 的参数方程为???==θ
θsin cos b y a x （θ为参数）； （3）双曲线122
22=-b y a x 的参数方程 ?
??==θθtan sec b y a x （θ为参数）； （4）抛物线2
2y px =参数方程2
22x pt y pt ?=?=? (t 为参数）； （5）过定点),(00y x P 、倾斜角为α的直线的参数方程???+=+=α
αsin cos 00t y y t x x （t 为参数）.
三、参数方程化为普通方程的过程就是消参过程，常见方法有三种：
（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数（包括整体消元）.
（2）加减法:把参数方程变形后相加减，消去参数.
（3）三角恒等式消参法：利用三角恒等式22sin cos 1a 消去参数.
温馨提示：化参数方程为普通方程为0),(=y x F ：在消参过程中注意变量x 、y 取值范围的一致性，必须根据参数的取值范围，确定)(t f 和)(t g 值域得x 、y 的取值范围.
【题型讲评】
解题步骤 利用前面基础知识里提到的三种方法，要特别注意参数方程化为普通方程后x 、
y 的范围.
【例1】参数方程αααα(,sin 22cos 2sin ??
???+=+=y x 为参数）的普通方程为（ ） A. 122=-x y B. 122=-y x C. )2|(|122≤=-x x y D. )2|(|122≤=-x y x
【点评】（1）本题使用的是代入消参. （2）把参数方程化成普通方程之后，一定要注意x y 、的取值范围，实际上这是两个函数(),()x f t y g t ==的值域问题. (3)参数方程化成普通方程之后，有时需要x y 、的范围都写，有时只需要写一个就可以了，有时不需要写. 这主要取决于化简之后的普通方程x y 、是否与原参数方程中x y 、的范围一致. 如果一致就不写.如果不一致，就要写.本题中只写了x 的范围，因为x 的范围确定之后，y 的范围也就对应确定了，所以可以不写y 的范围.一般情况下，写一个变量的范围即可.
【反馈检测1】参数方程11x t y t
?=??=-??t 为参数）表示什么曲线（ ） A ．一条直线 B ．一个半圆 C ．一条射线 D ．一个圆
【例2】参数方程22sin 1cos 2x y θθ
?=+?=-+?（θ为参数）化为普通方程是（ ）
A ．240x y -+=
B ．2+40x y -=
C ．[]240,2,3x y x -+=∈
D ．[]2+40,2,3x y x -=∈
【解析】2cos 212sin θθ=-,22112sin 2sin y θθ∴=-+-=-,2sin 2
y θ∴=-,代入 22sin x θ=+可得22
y x =-,整理可得240x y +-=.[]2sin 0,1θ∈,[]22sin 2,3θ∴+∈,即 []2,3x ∈.
所以此参数方程化为普通方程为[]240,2,3x y x +-=∈.故D 正确.
【点评】本题使用是三角恒等式消参.
【反馈检测2】设曲线C 的参数方程为θθθ?
??+-=+=sin 31cos 32y x 为参数，直线l 的方程为023=+-y x ，则曲线C 上到直线l
的距离为10107的点的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
题型二
利用参数方程研究曲线的基本量和基本关系 解题步骤
一般先把参数方程化为普通方程，再利用曲线的性质和关系解答. 【例3】 若直线1,x t y a t =+??
=-?（t 为参数）被圆22cos 22sin x y =+??=+?αα（α为参数）所截的弦长为22，则a 的值为( )
A ．1 或5 B.1- 或5
C.1 或5-
D.1- 或5-
【反馈检测3】点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ
=-+??
=? (θ为参数,R θ∈)上,则y x 的取值范围是 .
【例4】椭圆的切线与两坐标轴分别交于,A B 两点 ， 求OAB ?的最小面积 . 【解析】 设切点为(cos ,sin )P a b θθ ， 则切线方程为cos sin 1x y a b
θθ+=. 令0y =, 得切线与x 轴交点(,0)cos a A θ；令0x =,得切线与y 轴交点(0,)sin b B θ
1||||||||22sin cos sin 2AOB ab ab S OA OB ab θθθ
?∴===≥ 所以OAB ?的最小面积为ab .
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高考数学常考题型的总结(必修五)
高考数学常考题型的总结（必修五） 对高三理科来说，必修五是高考的必考内容，它不仅要考查基础知识点，而且还要考查解题方法和解题思路的问题。同学们在复习过程中，一定要明白什么是重要，什么是难点，什么是常考知识点。对重难点要了如指掌，能做到有的放矢。同学们不仅要掌握课本上的知识点，更重要的要对知识点理解的有深度，对经典题型或高考常考题型掌握到相当熟练的程度。人们常说，只有你多于一桶水的能力，在考试过程中才能发挥出一桶水的水平来，否则，基本不可能考出相对理想的成绩来。 必修五主要包括三大部分内容：解三角形、数列、不等式。高考具体要考查那些内容呢？这是我们师生共同研究的问题。虽然高考题不能面面俱到，但是我们在复习的时候，一定要不留死角，对常考题型的知识点和方法能倒背如流。下面具体对必修五常考的型作一分解： 解三角形 解三角形是高考的必考知识点，每年都有考题，一般考查分数为5-12分。考查的时候，可能是选择题、填空题，或解答题，有时单独考查，有时会与三角函数，平面向量等知识点进行综合考查，难度一般不是很大，如果出解答题，一般是第17题，属于拿分题。 知识点：正弦定理、余弦定理和三角形的面积的公式。 正弦定理： R C c B b A a 2sin sin sin ===（R 为AB C ?的外接圆半径） 余弦定理：C ab c b a cos 22 2 2 =-+，B ac b c a cos 22 2 2 =-+，A bc a c b cos 22 2 2 =-+ （变形后） C ab c b a cos 2222=-+，B ac b c a cos 2222=-+，A cb a b c cos 22 22=-+ 三角形的面积的公式：A bc B ac C ab S ABC sin 2 1 sin 21sin 21===?。 知识点分解： （1）两边一角，求另外两角一边，可以用正弦定理，也可以用余弦定理，特别注意两种三角形的情况。 （2）两角一边，求另外一角和两边，肯定是正弦定理。 （3）等式两边都有边或通过转化等式两边都有边，用正弦定理。 （4）知道三边的关系用余弦定理。
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
高考数学重点题型：参数取值题型与分析
高考数学重点题型：参数取值题型与分析 （Ⅰ）参数取值问题的探讨 一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围 为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范 围。 分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。 解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5 要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转 化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。 f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3, ∴45-a -a+5>3即45-a >a+2 上式等价于 ?? ? ??->-≥-≥-2)2(450 450 2a a a a 或???≥-<-04502a a ，解得≤54a<8. 说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin2x,故
若把sinx 换元成t,则 可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。 另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即 a+1-2sin2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。 设f(t)= 2t2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1, ∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。 ∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同) 例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式 f(k -sinx)≥f(k2-sin2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。 分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k2-sin2x ≤1对于任意x ∈R 恒成 立，这又等价于 ? ????----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。 不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2≤(1+sin2x)min=1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k2-k+41 ≥[(sinx -21)2]max=49 ,
高考数学最常考的几类题型
高考数学最常考的几类题型 要想提高高考数学成绩必须要花一定的时间来研究历 年来高考常考题型，精准把握高考最新动态，综合分析往年高考的常规题型，我们发现这七个题型是非常常考的： 第一，函数与导数 主要考查集合运算、函数的有关概念定义域、值域、解析式、函数的极限、连续、导数。 第二，平面向量与三角函数、三角变换及其应用 这一部分是高考的重点但不是难点，主要出一些基础题或中档题。 第三，数列及其应用 这部分是高考的重点而且是难点，主要出一些综合题。 第四，不等式 主要考查不等式的求解和证明，而且很少单独考查，主要是在解答题中比较大小。是高考的重点和难点。 第五，概率和统计 这部分和我们的生活联系比较大，属应用题。 第六，空间位置关系的定性与定量分析，主要是证明平行或垂直，求角和距离。 主要考察对定理的熟悉程度、运用程度。 第七，解析几何 高考的难点，运算量大，一般含参数。
单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话 空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。 高考对数学基础知识的考查，既全面又突出重点，扎实的数学基础是成功解题的关键。 要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中，积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时，我着眼观察于观察对象的选择，着力于观察过程的指导，着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。 针对数学高考强调对基础知识与基本技能的考查我们一定 要全面、系统地复习高中数学的基础知识，正确理解基本概念，正确掌握定理、原理、法则、公式、并形成记忆，形成技能。以不变应万变。 “师”之概念，大体是从先秦时期的“师长、师傅、先生”而来。其中“师傅”更早则意指春秋时国君的老师。《说文解字》中有注曰：“师教人以道者之称也”。“师”之含义，现在泛指从事
高中数学直线参数方程测试题
三直线的参数方程 （课前部分） 编写者: 【学习目标】 理解直线的参数式方程以及明确它的形式特征，明确参数t 的几何意思。 【学习重点】 直线的参数式方程以及参数t 的几何意义。 【学习难点】 理解直线的参数方程中t 的几何意义. 【学法指导】通过探究直线上两点间的距离及利用向量的有关知识，让学生积极、主动地参与观察，分析、进而得出直线的参数式方程，培养了学生运用类比法的数学思想方法解决问题 通过本节课的学习，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。 【复习回顾】 1 、我们知道经过平面内的定点M0（x0,y 0）及斜率k 应用直线方程的点斜式就可以写出直线方程，那么你认为有几种办法能确定斜率k 值呢？ 2 、直线方程的方向向量如何确定？平面向量的共线定理是什么？ 3 、数轴上两点对应的数分别为t1,t 2 ,则两点间的距离是什么？ 【自主学习】 大家都知道，当我们把平面向量中所有的单位向量的起点放在坐标原点，那么他们的终点的轨迹是以坐标原点为圆心的单位圆。那么你能写出一个倾斜角为α的直线的一个方向单位向量吗？ 已知直线上定点M 0，M 是直线上的任意一点，当M 移动时，M0M 发生了哪些变化？与直线L 的单位方向向量e 之间什么关系？ 设直线l的倾斜角为，定点M 0、动点M 的坐标 分别为M0（x0,y0）、M （x,y） 如何用e和M 0的坐标表示直线上任意一点M的坐标？ 通过对上面的问题的分析，你认为用哪个几何条件来建立参数方程比较好？又应当怎样选择参数呢？请同学们自己动手推导一下直线的参数方程的标准式，对比教材P35 的推导过程. 请同学们进一步思考直线的参数方程中哪些是变量？哪些是常量？每一个量的几何意义又是什么？形式上有什么要求？ 根据直线的参数方程的公式请大家写出经过点M0（－2,3），倾斜角为30°的直线L 的参数方程？ 通过这个方程请大家求出：（1）当t=1 时对应的点P1的坐标。（2）当t= -1 时对应的点P2的坐标。（3）当t=0 时对应的点P3的坐标。（4）求出直线L 上与点M0相距为 2 的点的坐标。 画图找到这些点，做好标注！ 有人说t>0 时，t 表示向量M 0M 的长度，你同意吗？t<0 时又如何呢？通过对以上的分析你能总结出参数t 的几何意义吗？如有困难参看教材P36例 1 的上面部分。 由于直线的倾斜角α [0 ，），所以这个方向单位向量很特别，方向如何？请同学们自己动手 画出图形，写出这个向量e 的坐标。 当你竭尽全力，时间自会主持公道1
(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》
2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》 【题型归纳】 题型一 曲线的极坐标方程 例1 、在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1，C 2的极坐标方程； (2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4 (ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积. 【答案】（1）C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0； （2）面积为12 . 【解析】(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2， C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2)将θ＝π4 代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0， 得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2.故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2. 由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12 . 【易错点】互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响. 【思维点拨】１．进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2 ＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)，要注意ρ，θ的取值范围及其影响，灵活运用代入法等技巧. ２．由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解. 题型二 参数方程及其应用 例2、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【答案】（1）2x ＋y －6＝0；（2）最大值为2255，最小值为255. 【解析】(1)曲线C 的参数方程为? ????x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0. (2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题 1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为? ?? ?? x ＝cos θ， y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点． (1)求α的取值范围； (2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正 半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2 θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程； (2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．
3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)若|PQ|2 =|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k. 4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为?? ? x ＝3cos α， y ＝3sin α (α为参数)，以坐标原点O 为 极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ? ????θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．
高考数学常见题型汇总(经典资料)
一、函数 1、求定义域（使函数有意义） 分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域 判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1
题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五
222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称 题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减） 是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称
高中数学极坐标与参数方程试题精选(8套)选修4-4
极坐标与参数方程单元练习3 一．选择题（每题5分共60分） 1．设椭圆的参数方程为()πθθ θ ≤≤?? ?==0sin cos b y a x ，()1 1 ,y x M ，()2 2 ,y x N 是椭圆上两点，M ，N 对应的参数为2 1 ,θθ且21 x x <，则 A ．21 θθ < B ．21θθ> C ．21θθ≥ D ．21θθ≤ 2.直线：3x-4y-9=0与圆：?? ?==θ θ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3.经过点M(1，5)且倾斜角为3 π的直线，以定点M 到动 点P 的位移t 为参数的参数方程是( ) A.???????-=+=t y t x 235211 B. ???????+=-=t y t x 235211 C. ???????-=-=t y t x 235211 D. ??? ????+=+=t y t x 235211 4.参数方程????? -=+ =2 1y t t x (t 为参数)所表示的曲线是 ( ) A.一条射线 B.两条射线 C.一条直线 D.两条直线
5．若动点(x ,y )在曲线1422 2=+b y x (b >0)上变化，则 x 22y 的最大值为 (A) ?????≥<<+)4(2)40(442b b b b ； (B) ?????≥<<+)2(2) 20(442 b b b b ；(C) 442+b (D) 2b 。 6．实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 7．曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是 A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 8． 已知动园： ),,(0sin 2cos 222是参数是正常数θθθb ，a b a by ax y x ≠=--+，则圆心的 轨迹是 A 、直线 B 、圆 C 、抛物线的一部分 D 、椭圆
高考数学常见题型汇总
2015年高考数学常见题型汇总（精华资料） 不等式 题型一: 2 (0) 11332 2 x =x (应用公式a+b+c 者的乘积变成常数）x x x x +>++≥=≥ 题型二: 3 3 ( )13 ()32x (3-2x)(0
不等式法 222113y x x x x x =+ =++≥= 导数法 特殊函数法 换元法 题型： 题型一： 1 y x x =+ 法一： 111 (,2 22同号)或y x x x x x x y y =+=+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增 即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三：
2sin 11sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 1)1,sin()sin()11 化简变形得即又由解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y x y x x y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++=++= +≤ 题型五 222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域
高考数学参数方程大题
高考数学参数方程大题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
高三最后一题 1、以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，设点A 的极坐标为)6 ,2(π ，直线l 过点A 且与极轴成角 为 3π，圆C 的极坐标方程为)4 cos(2πθρ-=． （1）写出直线l 参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； （2）设直线l 与曲线圆C 交于B 、C 两点，求AC AB .的值． 【答案】（1）直线l C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；（2 2、已知曲线C 的参数方程为31x y α α ?=+??=+??（α为参数），以直角坐标系原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求曲线C 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹． （2）若直线的极坐标方程为1 sin cos θθρ -= ，求直线被曲线C 截得的弦长． 【答案】（1）6cos 2sin ρθθ=+（2 3、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为t t y t x (22522 5??? ??? ?+=+ -=为参数），若以 O 点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为 θρcos 4=。 （1）求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的普通方程； （2）将曲线C 上各点的横坐标缩短为原来的 2 1 ，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线1C ，求曲线1C 上的点到直线l 的距离的最小值 【答案】（1）() 422 2 =+-y x ，052=+-y x （2 ）
高考数学专题—参数方程
高考数学专题——参数方程 一、基本知识要求 1．参数方程和普通方程的互化 (1通过消去参数，从参数方程得到普通方程． (2)寻找变量x ，y 中的一个与参数t 的关系，令x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变 数与参数的关系y ＝g (t )，那么? ????x ＝f （t ）， y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的 互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致． 2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程形式 直线参数方程：{x =x 0+t cos α y =y 0+t sin α （t 为参数） 圆的参数方程：{x =x 0+acos θ y =y 0+asin θ （θ为参数且0≤θ<2π） 椭圆的参数方程：{x =m cos t y =n sin t (t 为参数且0≤t <2π) 抛物线的参数方程：{x =2pt 2 y =2pt （t 为参数） 二、常考题型要求 常考题型：共4种大题型（包含参数方程与普通方程转化问题、求距离问题、 直线参数方程t 的几何意义、与动点有关的取值范围和最值问题） 1、参数方程与普通方程互化问题：（1）参数方程中可通过代入法、加减法、平方法等直接消去参数时，则直接消参；（2）参数方程中参数为角时，则通过构造sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数。 例1、【2020年高考全国II 卷理数】[选修4—4：坐标系与参数方程] 已知曲线C 1，C 2的参数方程分别为 C 1：（θ为参数），C 2：（t 为参数）．
（1）将C1，C2的参数方程化为普通方程； 【解析】（1）的普通方程为． 由的参数方程得，，所以． 故的普通方程为． 例2、【2020·广东省高三其他（理）】在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为＝（＞0），过 点的直线的参数方程为（t为参数），直线与曲线C相交 于A，B两点． （Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线的普通方程； 【答案】（Ⅰ）， 【解析】（Ⅰ）根据可将曲线C的极坐标方程化为直角坐标，两式相减消去参数得直线的普通方程为． 得,由韦达定理有．解之得：或（舍去） 试题解析：（Ⅰ）由得, ∴曲线的直角坐标方程为． 直线的普通方程为． 例3、【2020·山西省太原五中高三其他（理）】在直角坐标系中，曲线的参数方程为 (为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
高考数学排列组合常见题型
选修2-3：排列组合常见题型 可重复的排列（求幂法） 重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复。 在这类问题使用住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数。 【例1】 （1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）4 3（2）34 （3）3 4 相邻问题（捆绑法） 相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. 【例1】,,,,A B C D E 五人站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有 【解析】：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种 练习：（2012辽宁）一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 (A)3×3！ (B) 3×(3！)3 (C)(3！)4 (D) 9！ 【解析】：C 相离问题（插空法 ） 元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 【例1】七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 【解析】：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是 52563600A A = 【例2】 书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有 种不同的插法 【解析】： 111789A A A =504 【例3】.马路上有编号为1，2，3…，9九只路灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏，也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 【解析】：把此问题当作一个排队模型，在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯3 5C = 10 种方法。
高考数学参数方程所有经典类型
高考数学参数方程所有经典类型（必刷题） 1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为1222 x t y ?=+????=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=. （Ⅰ）求C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝6 π，圆C 的极坐标方程为)4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线1C ：cos sin θθ=??=? x y （θ为参数），将1C 上的所有 和2倍后得到曲线2C ．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线l ：sin )4ρθθ+=． （1）试写出曲线1C 的极坐标方程与曲线2C 的参数方程； （2）在曲线2C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最小，并求此最小值． 4．在直角坐标系xoy 中，直线l 的方程为40x y -+=，曲线C 的参数方程为
x 3cos y sin ααα ?=??=??（为参数）． (1)已知在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4,)2π ，判断点P 与直线l 的位置关系； (2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值． 5．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ? ?- ??? ，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； （2）求直线OM 的极坐标方程． 6．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线 （为参数），（为参数）． （1）化 的方程为普通方程； （2）若上的点P 对应的参数为为上的动点，求中点到直线 （为参数）距离的最小值．
2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第二讲 参数方程
第二讲 参数方程 班级________ 姓名________ 考号________ 日期________ 得分________ 一?选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号内.) 1.判断以下各点,哪一个在曲线2 3 14 32 x t t y t t ?=++??=-+?? (t 为参数)上( ) A.(0,2) B.(-1,6) C.(1,3) D.(3,4) 解析:∵x=1+t 2 +t 4 =2 213124t ? ?++ ?? ?≥∴点(0,2),(-1,6)不在曲线上 对于点(1,3),当x=1时,t=0,y=2. ∴点(1,3)不在曲线上, 验证知(3,4)在曲线上,选D. 答案:D 2.能化为普通方程x 2+y-1=0的参数方程为 ( ) 2 .12.A .2 x sint x tan B y tan y cos t x cos x C D y sin y t θθφ φ==???? =-=???=?=?? ?==??? 。 解析:由x 2+y-1=0,知x∈R,y≤1. 排除A ?C ?D,只有B 符合. 答案:B 3.若直线的参数方程为1223x t y t =+?? =-? (t 为参数),则直线的斜率为( ) 2233 (3) 3 2 2 A B C D -- 解析:由参数方程,消去t,得3x+2y-7=0.
∴直线的斜率k=- . 答案:D 4.过点M(2,1)作曲线C: 4 4 x cos y sin θ θ = ? ? = ? (θ为参数)的弦,使M为弦的中点,则此弦所在直线的方程为 ( ) A.y-1=- (x-2) B.y-1=-2(x-2) C.y-2=- (x-1) D.y-2=-2(x-1) 解析:由于曲线表示的是圆心在原点,半径为r=4的圆,所以过点M的弦与线段OM垂直, ∵k OM = , ∴弦所在直线的斜率是-2, 故所求直线方程为y-1=-2(x-2). 答案:B 5.(2010·安徽)设曲线C的参数方程为 23 13 x cos y sin θ θ=+ ? ? =-+ ? (θ为参数),直线l的方程为x-3y+2=0,则曲线C上到直线l距离为 10 的点的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:曲线C表示以(2,-1)为圆心,以3为半径的圆,则圆心C(2,-1)到直线l的距离d=3 10 =<, 所以直线与圆相交.所以过圆心(2,-1)与l平行的直线与圆的2个交点满足题意,又 10 ,故满足题意的点有2个. 答案:B 6.(2010·上海)直线l的参数方程是 12 2 x t y t =+ ? ? =- ? (t∈R),则l的方向向量d可以是( ) A.(1,2) B.(2,1) C.(-2,1) D.(1,-2)
高考数学常考的6大题型全析
高考数学常考的6大题型全析 1．(2019·唐山联考)已知F 为抛物线E ：y 2 ＝4x 的焦点，过点P (0,2)作两条互相垂直的直线m ，n ，直线m 交E 于不同的A ，B 两点，直线n 交E 于不同的两点C ，D ，记直线m 的斜率为k . (1)求k 的取值范围； (2)设线段AB ，CD 的中点分别为点M ，N ，证明：直线MN 过定点Q(2,0)． 解：(1)由题设可知k ≠0， 所以直线m 的方程为y ＝kx ＋2， 与y 2 ＝4x 联立，整理得ky 2 －4y ＋8＝0.① 由Δ1＝16－32k ＞0，解得k ＜1 2 . 直线n 的方程为y ＝－1k x ＋2，与y 2 ＝4x 联立， 整理得y 2 ＋4ky －8k ＝0， 由Δ2＝16k 2 ＋32k ＞0，解得k ＞0或k ＜－2. 所以??? ?? k ≠0，k ＜12，k ＞0或k ＜－2， 故k 的取值范围为(－∞，－2)∪? ?? ??0，12. (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)． 由①得，y 1＋y 2＝4k ，则y 0＝2k ，x 0＝2k 2－2k ，则M ? ?? ??2k 2－2k ，2k .同理可得N (2k 2 ＋2k ，－2k )． 直线M Q 的斜率k M Q ＝ 2 k 2k 2－2k －2 ＝－k k 2＋k －1， 直线N Q 的斜率k N Q ＝－2k 2k 2＋2k －2＝－k k 2＋k －1＝k M Q ， 所以直线MN 过定点Q(2,0)． 2．已知椭圆C 的两个顶点分别为A (－2,0)，B (2,0)，焦点在x 轴上，离心率 为3 2 . (1)求椭圆C 的方程； (2)如图所示，点D 为x 轴上一点，过点D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ，N ，过点D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证：△BDE 与△BDN 的面积之比为4 5 . 解：(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)，
极坐标与参数方程经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ =-+?? =?的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与???==θ θ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7．与参数方程为()21x t t y t ?=?? =-??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14y x += B ．221(01)4 y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．221(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤