高中数学知识大全(完整)-高中总复习

第⼀一章集合和命题

1.集合及其表示法

能够确切指定的⼀一些对象组成的整体叫做集合，简称集；

集合中的各个对象叫做这个集合的元素；集合的元素具有确定性、互异性和⽆无序性；

集合常⽤用⼤大写字⺟母A、B、C…表示，集合中的元素⽤用⼩小写字⺟母a、b、c…表示；如果a是集合A的元素，就记作，读作“a属于A”，如果a不不是集合A的元素，就记作，读作“a不不属于A”

数的集合简称数集；全体⾃自然数组成的集合，即⾃自然数集，记作N，不不包括零的⾃自然数组成的集合，记作N*；全体整数组成的集合即整数集，记作Z；全体有理理数组成的集合即有理理数集，记作Q；全体实数组成的集合即实数集，记作R；另外正整数集、负整数集、

正有理理数集、负有理理数集、正实数集、负实数集分别表示为、、、、、；

点的集合简称点集，即以直⻆角坐标平⾯面内的点作为元素构成的集合；

含有有限个元素的集合叫做有限集，含有⽆无限个元素的集合叫做⽆无限集；

规定空集不不含元素，记作；

集合的表示⽅方法常⽤用列列举法和描述法；

将集合中的元素⼀一⼀一列列出来，并且写在⼤大括号内，这种表示集合的⽅方法叫做列列举法；在⼤大括号内先写出这个集合的元素的⼀一般形式，再划⼀一条竖线，在竖线后⾯面写上集合中元素所共同具有的特性，即，这种表示集合的⽅方法叫做描述法；

2.集合之间的关系

对于两个集合A和B，如果集合A中任何⼀一个元素都属于集合B，那么集合A叫做集合B 的⼦子集，记作或，读作“A包含于B”或“B包含A”；

空集包含于任何⼀一个集合，空集是任何集合的⼦子集，是任何⾮非空集合的真⼦子集；所以若

，不不要遗漏漏的情况；

对于⼀一个含有n个元素的集合P，它的⼦子集个数为真⼦子集个数为，⾮非空⼦子集个数为，⾮非空真⼦子集的个数为；

⽤用平⾯面区域来表示集合之间关系的⽅方法叫做集合的图示法，所⽤用图叫做⽂文⽒氏图；

对于两个集合A和B，如果且，那么叫做集合A与集合B相等，记作，读作“集合A等于集合B”，因此，如果两个集合所含的元素完全相等，那么这两个集合相等；

对于两个集合A和B，如果，并且B中⾄至少有⼀一个元素不不属于A，那么集合A叫做集合的B真⼦子集，记作或，读作“A包含于B”或“B真包含A”；

对于数集N、Z、Q、R来说，有；

3.集合的运算

⼀一般地，由集合A和集合B的所有公共元素组成的集合叫做A与B的交集，记作，读作“A交B”，即；

由所有属于集合A或者属于集合B的元素组成的集合叫做集合A、B的并集，记作，读作“A并B”，即；

在研究集合与集合之间的关系时，这些集合往往是某个给定集合的⼦子集，这个确定的集合叫做全集，常⽤用符合U表示；即全集含有我们所要研究的各个集合的全部元素；

设U为全集，A是U的⼦子集，则由U中所有不不属于A的元素组成的集合叫做集合A在

全集U中的补集，记作，读作“A补”，即

德摩根定律律：；

容斥原理理：⽤用表示集合A的元素个数，则；

；

4.命题

可以判断真假的语句句叫做命题，命题通常⽤用陈述句句表述，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题；

如果命题成⽴立可以推出命题也成⽴立，那么就说由可以推出，记作，读作“

推出”，换⾔言之，表示以为条件、为结论的命题是真命题；

如果，并且，那么记作，叫做与等价；

推出关系满⾜足传递性：，，那么；

⼀一个数学命题⽤用条件，结论表示就是“如果，那么”，如果把结论和条件互相交换，就得到⼀一个新命题“如果，那么”，这个命题叫做原命题的逆命题；

⼀一个命题的条件与结论分别是另⼀一个命题的条件的否定与结论的否定，我们把这样两个命题叫做互否命题，如果其中⼀一个叫原命题，那么另⼀一个命题就叫做原命题的否命题；如果把、的否定分别记作、，那么命题“如果，那么”的否命题就是“如果，那么”；

如果把原命题“如果，那么”结论的否定作条件，把条件的否定作结论，那么就

可得到⼀一个新命题，我们把它叫做原命题的逆否命题，即“如果，那么”；

如果A、B是两个命题，，，那么A、B叫做等价命题；

原命题与逆否命题是等价命题；

不不含逻辑联结词的命题叫做简单命题，由简单命题和逻辑联结词构成的命题叫做复合命题；复合命题有三类：p或q，p且q，⾮非p；

p q⾮非p p或q p且q

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

⼀一些常⽤用结论的否定形式：

原结论反设词原结论反设词

是不不是⾄至少有⼀一个⼀一个也没有

都是不不都是⾄至多有⼀一个⾄至少有两个

⼤大于不不⼤大于⾄至少有个⾄至多有个

⼩小于不不⼩小于⾄至多有个⾄至少有个

p或q⾮非p且⾮非q对所有成⽴立存在某个不不成⽴立

p且q⾮非p或⾮非q对任何不不成⽴立存在某个成⽴立

5.充要条件

⼀一般地，⽤用、分别表示两个命题，如果命题成⽴立，可以推出也成⽴立，即，那么叫做的充分条件，叫做的必要条件；

⼀一般地，⽤用、分别表示两个命题，如果既有，⼜又有，即，那么既是的充分条件，⼜又是的必要条件，这时我们就说，是的充分必要条件，简称充要条件；

设具有性质p的对象组成集合A，具有性质q的对象组成集合B,则

①若，则p是q的充分条件；

②若，则p是q的充分⾮非必要条件；

③若，则p是q的必要条件；

④若，则p是q的必要⾮非充分条件；

⑤若，则p,q互为充要条件；

等价关系：

“”“”“”“”“”“”

（注意考虑的情况）；