复变函数论总结

复变函数论总结

摘要：对数学物理方法的第一篇复变函数论每一章每一节做了总结，对这一章也有了深入的认识，通过积分与柯西积分定理和柯西积分公式，学习了圆域内泰勒级数的展开与环域内洛朗级数的展开，以及应用留数定理计算实变函数定积分，傅立叶积分与傅立叶变换。

关键词：复数；导数；解析；积分；柯西公式、定理；幂级数展开；留数；傅立叶积分与傅立叶变换

1引言

《复变函数论主要内容》

第一章复变函数complex function

第二章复变函数的积分complex function integral

第三章幂级数展开power series expansion

第四章留数定理residual theorem

第五章傅立叶变换Fourier integral transformation

第一章复变函数

§1.1 复数及复数的运算

§1.2 复变函数

§1.3导数

§1.4解析函数

§1.1 复数及复数的运算

1．复数的概念

的数被称为复数，其中。

；；ｉ为虚数单位，其意义为

当且仅当时，二者相等

复数与平面向量一一对应

ｚ平面

虚轴ｙ

. （ｘ，ｙ）

ｒ

ｘ实轴

模

幅角(ｋ)

注意：复数“零”（即实部和虚部都等与零的复数）的幅角没有明确意义

2．复数的表示代数表示

三角表示

指数表示

一个复数ｚ的共轭复数

注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当模相等且幅角相差3．无限远点

在复变函数论中，通常还将模为无限大的复数也跟复平面上的一点对应，而且称这一点为无限远点，我们把无限远点记作，它的模为无限大，幅角则没有明确意义

4．复数的运算

复数的加法法则：

复数与的和定义是

两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。复数的加法满足交换律和结合律，且

，

当同一方向时等号成立。

复数的减法法则：

且有

复数的乘法法则：

乘法的交换律、结合律与分配律都成立

复数的除法法则：

注意：采用三角式或指数式比较方便。

§1.2复变函数

(一)复变函数的定义

若在复数平面上存在一个点集Ｅ,对于Ｅ的每一点，按照一定的规律，有一个或多个复数值与之相对应，则称的函数—复变函数，ｚ称为的宗量，定义域为Ｅ，记作，ｚＥ

(二)区域的概念

领域：以复数ｚ为圆心，以任意小正数为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为ｚ的领域

内点：若ｚ及其领域均属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的内点

外点：若ｚ及其领域均不属于点集Ｅ，则称ｚ为该点集的外点

境界点：若在ｚ的每个领域内，既有属于Ｅ的点，也有不属于Ｅ的点，则称ｚ为该点集的境界点，它既不是Ｅ的内点，也不是Ｅ的外点，境界点的全体成为境界线

区域是指满足下列两个条件的点集

1.全由内点组成

2.具有连通性，即点集中的任意两点都可以用一条折线连接起来，且折线

上的点全部属于改点集

闭区域：区域及其境界线所组成的点集

(三)复变函数例

周期为

周期为

周期为

（ｓ为复数) 周期为

注意：复变函数在点连续的定义是：

当ｚ时，

§1.3 导数

(一)导数的定义

设函数是在区域Ｂ上定义的单值函数，即对于Ｂ上的每一个ｚ值，有且只有一个值与之相对应，若在Ｂ上的基点ｚ，极限

存在，并且与的方式无关，则称函数点可导，复变函数的导数定义，形式上跟实变函数的导数定义一样。

现在让我们比较沿平行于实轴方向逼近零和沿平行于虚轴方向逼近零的两种情形

1.先看沿平行于实轴方向逼近零，这是而，于是

2.再看沿平行于虚轴方向逼近零，这是而，于是

则有，即

这两个方程叫做柯西黎曼方程，是复变函数可导的必要条件

(二)极坐标系中的柯西黎曼方程

§1.4 解析函数

(一)解析函数定义

若函数在点及其领域上处处可导，则称在点解析。又若在区域Ｂ上每一点都解析，则称是区域Ｂ上的解析函数。函数在一点可导与解析是不等价的，但函数若在某一区域Ｂ上解析，意味着函数在区域Ｂ上处处可导，因此函数在某区域上可导与解析是等价的

(二)解析函数性质

1.若函数在区域Ｂ上解析，则

ｕ（ｘ，ｙ) ，ｖ（ｘ，ｙ) 是Ｂ上的两组正交曲线族

2.若函数在区域Ｂ上解析，则ｕ，ｖ均为Ｂ上的调和函数，即

(三)求解析函数的方法

1.曲线积分法：全微分的积分与路径无关，故可选取特殊积分路径

2.凑全微分显示法

3.不定积分法

第二章复变函数的积分

§2.1 复变函数的积分

§2.2 柯西定理

§2.3 不定积分

§2.4 柯西公式

§2.1 复变函数的积分

(一)复变函数路积分定义

复变函数路积分可以归结为两个实变函数的线积分，它们分别是路积分的实部和虚部

ｕ（ｘ，ｙ)ｄｘ

ｖ（ｘ，ｙ)ｄｘｕ（ｘ，ｙ)ｄｙ

(二)复变函数路积分性质

1.常数因子可以移到积分号外

2.函数的和的积分等于各个函数的积分之和

3.反转积分路径，积分变号

4.全路径上的积分等于各段上积分之和

5.积分的模小于等于模的积分

注意：复变函数的积分值不仅依赖于起点和终点，还与积分路径有关