2020年广东省河源市中考数学试卷

一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑．

1. 9的相反数是（）

A.?9

B.9

C.1

9D.?1

【答案】

【考点】

相反数

【解析】

根据相反数的定义即可求解．

【解答】

9的相反数是?9，

2. 一组数据2，4，3，5，2的中位数是（）

A.5

B.3.5

C.3

D.2.5

【答案】

【考点】

中位数

【解析】

中位数是指一组数据从小到大排列之后，如果数据的总个数为奇数，则中间的数即为中位数；如果数据的总个数为偶数个，则中间两个数的平均数即为中位数．

【解答】

将数据由小到大排列得：2，2，3，4，5，

∵数据个数为奇数，最中间的数是3，

∴这组数据的中位数是3．

3. 在平面直角坐标系中，点(3,?2)关于x轴对称的点的坐标为（）

A.(?3,?2)

B.(?2,?3)

C.(2,??3)

D.(3,??2)

【答案】

【考点】

关于x轴、y轴对称的点的坐标

【解析】

根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答即可．

【解答】

点(3,?2)关于x轴对称的点的坐标为(3,??2)．

4. 若一个多边形的内角和是540°，则该多边形的边数为（）

A.4

B.5

C.6

D.7

【答案】

【考点】

多边形内角与外角

【解析】

根据多边形的内角和公式(n?2)?180°列式进行计算即可求解．

【解答】

设多边形的边数是n，则

(n?2)?180°＝540°，

解得n＝5．

5. 若式子√2x?4在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）

A.x≠2

B.x≥2

C.x≤2

D.x≠?2

【答案】

【考点】

二次根式有意义的条件

【解析】

根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．【解答】

∵√2x?4在实数范围内有意义，

∴2x?4≥0，

解得：x≥2，

∴x的取值范围是：x≥2．

6. 已知△ABC的周长为16，点D，E，F分别为△ABC三条边的中点，则△DEF的周长

为（）

A.8

B.2√2

C.16

D.4

【答案】

【考点】

三角形中位线定理

【解析】

根据中位线定理可得DF=1

2AC，DE=1

BC，EF=1

AC，继而结合△ABC的周长为16，

可得出△DEF的周长．

【解答】

∵D、E、F分别为△ABC三边的中点，∴DE、DF、EF都是△ABC的中位线，

∴DF=1

2AC，DE=1

BC，EF=1

AC，

故△DEF的周长＝DE+DF+EF=1

2(BC+AB+AC)=1

×16＝8．

7. 把函数y＝(x?1)2+2图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（）

A.y＝x2+2

B.y＝(x?1)2+1

C.y＝(x?2)2+2

D.y＝(x?1)2+3

【答案】

【考点】

二次函数图象与几何变换

【解析】

先求出y＝(x?1)2+2的顶点坐标，再根据向右平移横坐标加，求出平移后的二次函数图象顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可．

【解答】

二次函数y＝(x?1)2+2的图象的顶点坐标为(1,?2)，

∴向右平移1个单位长度后的函数图象的顶点坐标为(2,?2)，

∴所得的图象解析式为y＝(x?2)2+2．

8. 不等式组{2?3x≥?1,

x?1≥?2(x+2)的解集为（）

A.无解

B.x≤1

C.x≥?1

D.?1≤x≤1

【答案】

【考点】

解一元一次不等式组

【解析】

分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】

解不等式2?3x≥?1，得：x≤1，

解不等式x?1≥?2(x+2)，得：x≥?1，

则不等式组的解集为?1≤x≤1，

9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°．若将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，则BE的长度为（）

A.1

B.√2

C.√3

D.2

【答案】

【考点】

翻折变换（折叠问题）

正方形的性质

【解析】

由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB′＝60°，

BE＝B′E，设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3?x，由直角三角形的性质可得：2(3?x)＝x，解方程求出x即可得出答案．

【解答】

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB?//?CD，∠A＝90°，

∴∠EFD＝∠BEF＝60°，

∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B恰好落在AD边上，

∴∠BEF＝∠FEB′＝60°，BE＝B′E，

∴∠AEB′＝180°?∠BEF?∠FEB′＝60°，

∴B′E＝2AE，

设BE＝x，则B′E＝x，AE＝3?x，

∴2(3?x)＝x，

解得x＝2．

10. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝1，下列结论：

①abc>0；②b2?4ac>0；③8a+c<0；④5a+b+2c>0，

正确的有（）

A.4个

B.3个

C.2个

D.1个

【答案】

【考点】

抛物线与x轴的交点

二次函数图象与系数的关系

【解析】

根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点判定系数符号及运用一些特殊点解

答问题．

【解答】

由抛物线的开口向下可得：a<0，

根据抛物线的对称轴在y轴右边可得：a，b异号，所以b>0，

根据抛物线与y轴的交点在正半轴可得：c>0，

∴abc<0，故①错误；

∵抛物线与x轴有两个交点，

∴b2?4ac>0，故②正确；

∵直线x＝1是抛物线y＝ax2+bx+c(a≠0)的对称轴，所以?b

=1，可得b＝?2a，

由图象可知，当x＝?2时，y<0，即4a?2b+c<0，

∴4a?2×(?2a)+c<0，

即8a+c<0，故③正确；

由图象可知，当x＝2时，y＝4a+2b+c>0；当x＝?1时，y＝a?b+c>0，

两式相加得，5a+b+2c>0，故④正确；

∴结论正确的是②③④3个，

二、填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分）请将下列各题的正确答案填写在答题卡相应的位置上．

分解因式：xy?x＝________．

【答案】

x(y?1)

【考点】

因式分解-提公因式法

【解析】

直接提取公因式x，进而分解因式得出答案．

【解答】

xy?x＝x(y?1)．

如果单项式3x m y与?5x3y n是同类项，那么m+n＝________．

【答案】

【考点】

同类项的概念

【解析】

根据同类项的定义（所含字母相同，相同字母的指数相同）可得m＝3，n＝1，再代入代数式计算即可．

【解答】

∵单项式3x m y与?5x3y n是同类项，

∴m＝3，n＝1，

∴m+n＝3+1＝4．

若√a?2+|b+1|＝0，则(a+b)2020＝________．

【答案】

【考点】

非负数的性质：偶次方

非负数的性质：算术平方根

非负数的性质：绝对值

【解析】

根据非负数的意义，求出a、b的值，代入计算即可．

【解答】

∵√a?2+|b+1|＝0，

∴a?2＝0且b+1＝0，

解得，a＝2，b＝?1，

∴(a+b)2020＝(2?1)2020＝1，

已知x＝5?y，xy＝2，计算3x+3y?4xy的值为________．

【答案】

【考点】

列代数式求值

【解析】

由x＝5?y得出x+y＝5，再将x+y＝5、xy＝2代入原式＝3(x+y)?4xy计算可得．【解答】

∵x＝5?y，

∴x+y＝5，

当x+y＝5，xy＝2时，

原式＝3(x+y)?4xy

＝3×5?4×2

＝15?8

＝7，

AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作

如图，在菱形ABCD中，∠A＝30°，取大于1

弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD．则∠EBD的度数为________．

【答案】

45°

【考点】

作图—基本作图

菱形的性质

线段垂直平分线的性质

【解析】

根据∠EBD＝∠ABD?∠ABE，求出∠ABD，∠ABE即可解决问题．

【解答】

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD＝AB，

∴∠ABD＝∠ADB=1

(180°?∠A)＝75°，

由作图可知，EA＝EB，

∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠EBD＝∠ABD?∠ABE＝75°?30°＝45°，

有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑，一只猫紧紧盯住位于梯子正中间的老鼠，

等待与老鼠距离最小时扑捉．把墙面、梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面内的线或点，模型如图，∠ABC＝90°，点M，N分别在射线BA，BC上，MN长度始终保持不变，MN＝4，E为MN的中点，点D到BA，BC的距离分别为4和2．在此滑动过程中，猫与

老鼠的距离DE的最小值为________．

【答案】

2√5?2

【考点】

直角三角形斜边上的中线

点与圆的位置关系

【解析】

如图，连接BE，BD．求出BE，BD，根据DE≥BD?BE求解即可．

【解答】

如图，连接BE，BD．

由题意BD=√22+42=2√5，

∵∠MBN＝90°，MN＝4，EM＝NE，

∴BE=1

MN＝2，

∴点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的弧，

∴当点E落在线段BD上时，DE的值最小，

∴DE的最小值为2√5?2．（也可以用DE≥BD?BE，即DE≥2√5?2确定最小值）三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分）

先化简，再求值：(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，其中x=√2，y=√3．

【答案】

(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，

＝x2+2xy+y2+x2?y2?2x2

＝2xy，

当x=√2，y=√3时，

原式＝2×√2×√3=2√6．

【考点】

整式的混合运算—化简求值

【解析】

根据整式的混合运算过程，先化简，再代入值求解即可．

【解答】

(x+y)2+(x+y)(x?y)?2x2，

＝x2+2xy+y2+x2?y2?2x2

当x=√2，y=√3时，

原式＝2×√2×√3=2√6．

某中学开展主题为“垃圾分类知多少”的调查活动，调查问卷设置了“非常了解”、“比较了解”、“基本了解”、“不太了解”四个等级，要求每名学生选且只能选其中一个等级，随机抽取了120名学生的有效问卷，数据整理如下：

（1）求x的值；

（2）若该校有学生1800人，请根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有多少人？

【答案】

x＝120?(24+72+18)＝6；

=1440（人），

1800×24+72

120

答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．

【考点】

用样本估计总体

【解析】

（1）根据四个等级的人数之和为120求出x的值；

（2）用总人数乘以样本中“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生占被调查人数的比例．

【解答】

x＝120?(24+72+18)＝6；

1800×24+72

=1440（人），

120

答：根据抽样调查结果估算该校“非常了解”和“比较了解”垃圾分类知识的学生共有1440人．

如图，在△ABC中，点D，E分别是AB、AC边上的点，BD＝CE，∠ABE＝∠ACD，BE 与CD相交于点F．求证：△ABC是等腰三角形．

证明：∵ ∠ABE ＝∠ACD ， ∴ ∠DBF ＝∠ECF ，

在△BDF 和△CEF 中，{∠DBF =∠ECF

∠BFD =∠CFE BD =CE ，

∴ △BDF ?△CEF(AAS)， ∴ BF ＝CF ，DF ＝EF ， ∴ ∠FBC ＝∠FCB ， ∴ ∠ABC ＝∠ACB ， ∴ AB ＝AC ，

即△ABC 是等腰三角形．【考点】

等腰三角形的判定

全等三角形的性质与判定

【解析】

先证△BDF ?△CEF(AAS)，得出BF ＝CF ，则∠FBC ＝∠FCB ，得出∠ABC ＝∠ACB ，则AB ＝AC ．【解答】

证明：∵ ∠ABE ＝∠ACD ， ∴ ∠DBF ＝∠ECF ，

在△BDF 和△CEF 中，{∠DBF =∠ECF

∠BFD =∠CFE BD =CE

，

∴ △BDF ?△CEF(AAS)， ∴ BF ＝CF ，DF ＝EF ， ∴ ∠FBC ＝∠FCB ， ∴ ∠ABC ＝∠ACB ， ∴ AB ＝AC ，

即△ABC 是等腰三角形．四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分）

已知关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =?10√3,x +y =4 与{x ?y =2,x +by =15 的解相同．

（1）求a ，b 的值；

（2）若一个三角形的一条边的长为2√6，另外两条边的长是关于x 的方程x 2+ax +b

＝0的解．试判断该三角形的形状，并说明理由．【答案】

由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4

x ?y =2 的解，

解得，{x =3

y =1

，代入原方程组得，a ＝?4√3，b ＝12；

当a ＝?4√3，b ＝12时，关于x 的方程x 2+ax +b ＝0就变为x 2?4√3x +12＝0，解得，x 1＝x 2＝2√3，

又∵ (2√3)2+(2√3)2＝(2√6)2，

∴ 以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．【考点】

二元一次方程组的解根与系数的关系一元二次方程的解

加减消元法解二元一次方程组代入消元法解二元一次方程组【解析】

（1）关于x ，y 的方程组{ax +2√3y =?10√3,

x +y =4 与{x ?y =2,x +by =15 的解相同．实际就是方

程组{x +y =4

x ?y =2

的解，可求出方程组的解，进而确定a 、b 的值；

（2）将a 、b 的值代入关于x 的方程x 2+ax +b ＝0，求出方程的解，再根据方程的两个解与2√6为边长，判断三角形的形状．【解答】

由题意得，关于x ，y 的方程组的相同解，就是方程组{x +y =4

x ?y =2 的解，

解得，{x =3

y =1

，代入原方程组得，a ＝?4√3，b ＝12；

当a ＝?4√3，b ＝12时，关于x 的方程x 2+ax +b ＝0就变为x 2?4√3x +12＝0，解得，x 1＝x 2＝2√3，

又∵ (2√3)2+(2√3)2＝(2√6)2，

∴ 以2√3、2√3、2√6为边的三角形是等腰直角三角形．

如图1，在四边形ABCD 中，AD?//?BC ，∠DAB ＝90°，AB 是⊙O 的直径，CO 平分∠BCD ．

（1）求证：直线CD 与⊙O 相切；

（2）如图2，记（1）中的切点为E ，P 为优弧AE

?上一点，AD ＝1，BC ＝2．求tan ∠APE 的值．

【答案】

证明：作OE ⊥CD 于E ，如图1所示：则∠OEC ＝90°，

∵ AD?//?BC ，∠DAB ＝90°，

∴∠OBC＝180°?∠DAB＝90°，∴∠OEC＝∠OBC，

∵CO平分∠BCD，

∴∠OCE＝∠OCB，

在△OCE和△OCB中，{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCB

OC=OC

，

∴△OCE?△OCB(AAS)，

∴OE＝OB，

又∵OE⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切；

作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：

则四边形ABFD是矩形，

∴AB＝DF，BF＝AD＝1，

∴CF＝BC?BF＝2?1＝1，

∵AD?//?BC，∠DAB＝90°，

∴AD⊥AB，BC⊥AB，

∴AD、BC是⊙O的切线，

由（1）得：CD是⊙O的切线，

∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，

∴CD＝ED+EC＝3，

∴DF=√CD2?CF2=√32?12=2√2，∴AB＝DF＝2√2，

∴OB=√2，

∵CO平分∠BCD，

∴CO⊥BE，

∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，

∵∠APE＝∠ABE，

∴∠APE＝∠BCH，

∴tan∠APE＝tan∠BCH=OB

BC =√2

．

【考点】

直角梯形

解直角三角形

圆周角定理

切线的判定与性质

【解析】

（1）证明：作OE⊥CD于E，证△OCE?△OCB(AAS)，得出OE＝OB，即可得出结论；（2）作DF⊥BC于F，连接BE，则四边形ABFD是矩形，得AB＝DF，BF＝AD＝1，

则CF＝1，证AD、BC是⊙O的切线，由切线长定理得ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，则CD＝ED+EC＝3，由勾股定理得DF＝2√2，则OB=√2，证∠ABE＝∠BCH，由圆周

角定理得∠APE＝∠ABE，则∠APE＝∠BCH，由三角函数定义即可得出答案．

【解答】

证明：作OE⊥CD于E，如图1所示：

则∠OEC＝90°，

∵AD?//?BC，∠DAB＝90°，

∴∠OBC＝180°?∠DAB＝90°，

∴∠OEC＝∠OBC，

∵CO平分∠BCD，

∴∠OCE＝∠OCB，

在△OCE和△OCB中，{∠OEC=∠OBC ∠OCE=∠OCB

OC=OC

，

∴△OCE?△OCB(AAS)，

∴OE＝OB，

又∵OE⊥CD，

∴直线CD与⊙O相切；

作DF⊥BC于F，连接BE，如图2所示：

则四边形ABFD是矩形，

∴AB＝DF，BF＝AD＝1，

∴CF＝BC?BF＝2?1＝1，

∵AD?//?BC，∠DAB＝90°，

∴AD⊥AB，BC⊥AB，

∴AD、BC是⊙O的切线，

由（1）得：CD是⊙O的切线，

∴ED＝AD＝1，EC＝BC＝2，

∴CD＝ED+EC＝3，

∴DF=√CD2?CF2=√32?12=2√2，∴AB＝DF＝2√2，

∴OB=√2，

∵CO平分∠BCD，

∴CO⊥BE，

∴∠BCH+∠CBH＝∠CBH+∠ABE＝90°，∴∠ABE＝∠BCH，

∵∠APE＝∠ABE，

∴∠APE＝∠BCH，

∴tan∠APE＝tan∠BCH=OB

BC =√2

．

某社区拟建A，B两类摊位以搞活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊

位的占地面积多2平方米．建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的

费用为30元．用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3

．（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？

（2）该社区拟建A，B两类摊位共90个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3

倍．求建造这90个摊位的最大费用．

【答案】

每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

建造这90个摊位的最大费用是10520元

【考点】

分式方程的应用

一元一次不等式的实际应用

【解析】

（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，

根据用60平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的3

这个等量关系

列出方程即可．

（2）设建A摊位a个，则建B摊位(90?a)个，结合“B类摊位的数量不少于A类摊位数量的3倍”列出不等式并解答．

【解答】

设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为(x+2)平方米，

根据题意得：60

x+2=60

，

解得：x＝3，

经检验x＝3是原方程的解，

所以3+2＝5，

答：每个A类摊位占地面积为5平方米，每个B类摊位的占地面积为3平方米；

设建A摊位a个，则建B摊位(90?a)个，

由题意得：90?a≥3a，

解得a≤22.5，

∵建A类摊位每平方米的费用为40元，建B类摊位每平方米的费用为30元，

∴要想使建造这90个摊位有最大费用，所以要多建造A类摊位，即a取最大值22时，

费用最大，

此时最大费用为：22×40×5+30×(90?22)×3＝10520，

答：建造这90个摊位的最大费用是10520元．

五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分）

如图，点B是反比例函数y=8

(x>0)图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足

为A，C．反比例函数y=k

(x>0)的图象经过OB的中点M，与AB，BC分别相交于点D，E．连接DE并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接BF，BG．

（1）填空：k＝________；

（2）求△BDF的面积；

（3）求证：四边形BDFG为平行四边形．

【答案】

△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA?S△OAD=1

2×8?1

×2＝3；

设点D(m,?2

m )，则点B(4m,?2

)，

∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m,?0)，则点E(4m,?1

)，

设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得{

=ms+n 1

2m =4ms+n

并解

得：

直线DE的表达式为：y=?1

2m2x+5

，令y＝0，则x＝5m，故点F(5m,?0)，

故FG＝8m?5m＝3m，而BD＝4m?m＝3m＝FG，则FG?//?BD，故四边形BDFG为平行四边形．

【考点】

反比例函数综合题

【解析】

（1）设点B(s,?t)，st＝8，则点M(1

2s,?1

t)，则k=1

s?1

t=1

st＝2；

(2)△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA?S△OAD，即可求解；

（3）确定直线DE的表达式为：y=?1

2m2x+5

，令y＝0，则x＝5m，故点F(5m,?0)，

即可求解．【解答】

设点B(s,?t)，st＝8，则点M(1

2s,?1

t)，

则k=1

2s?1

t=1

st＝2，

故答案为2；

△BDF的面积＝△OBD的面积＝S△BOA?S△OAD=1

2×8?1

×2＝3；

设点D(m,?2

m )，则点B(4m,?2

)，

∵点G与点O关于点C对称，故点G(8m,?0)，则点E(4m,?1

)，

设直线DE的表达式为：y＝sx+n，将点D、E的坐标代入上式得{

=ms+n 1

2m =4ms+n

并解

得：

直线DE的表达式为：y=?1

2m x+5

，令y＝0，则x＝5m，故点F(5m,?0)，

故FG＝8m?5m＝3m，而BD＝4m?m＝3m＝FG，

则FG?//?BD，故四边形BDFG为平行四边形．

如图，抛物线y=3+√3

x2+bx+c与x轴交于A，B两点，点A，B分别位于原点的左、右两侧，BO＝3AO＝3，过点B的直线与y轴正半轴和抛物线的交点分别为C，D，BC=√3CD．

（1）求b ，c 的值；

（2）求直线BD 的函数解析式；

（3）点P 在抛物线的对称轴上且在x 轴下方，点Q 在射线BA 上．当△ABD 与△BPQ 相似时，请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标．【答案】

∵ BO ＝3AO ＝3，

∴ 点B(3,?0)，点A(?1,?0)， ∴ 抛物线解析式为：y =3+√36

(x +1)(x ?3)=

3+√36

x 2?

3+√33

x ?

3+√32

，

∴ b =?

3+√33

，c =?

3+√32

；

如图1，过点D 作DE ⊥AB 于E ，

∴ CO?//?DE ， ∴ BC

CD =BO

OE ，

∵ BC =√3CD ，BO ＝3， ∴ √3=3

OE ，

∴ OE =√3，

∴ 点D 横坐标为?√3，

∴ 点D 坐标为(?√3,?√3+1)，

设直线BD 的函数解析式为：y ＝kx +b ，

由题意可得：{√3+1=?√3k +b 0=3k +b ，

解得：{

k =?

√3

3b =√3

， ∴ 直线BD 的函数解析式为y =?

√33

x +√3；

∵ 点B(3,?0)，点A(?1,?0)，点D(?√3,?√3+1)，

∴ AB ＝4，AD ＝2√2，BD ＝2√3+2，对称轴为直线x ＝1， ∵ 直线BD:y =?√33

x +√3与y 轴交于点C ，

∴ 点C(0,?√3)， ∴ OC =√3， ∵ tan ∠CBO =CO

BO =

√33， ∴ ∠CBO ＝30°，

如图2，过点A 作AK ⊥BD 于K ，

∴ AK =1

2AB ＝2，

∴ DK =√AD 2?AK 2=√8?4=2， ∴ DK ＝AK ， ∴ ∠ADB ＝45°，

如图，设对称轴与x 轴的交点为N ，即点N(1,?0)，

若∠CBO ＝∠PBO ＝30°

，

∴ BN =√3PN ＝2，BP ＝2PN ， ∴ PN =

2√3

，BP =

4√3

，

当△BAD∽△BPQ，

∴BP

BA =BQ

，

∴BQ=4√33×(2√3+2)

4=2+2√3

，

∴点Q(1?2√3

,?0)；当△BAD∽△BQP，

∴BP

BD =BQ

，

∴BQ=4√33×4

23+2=4?4√3

，

∴点Q(?1+4√3

,?0)；

若∠PBO＝∠ADB＝45°，

∴BN＝PN＝2，BP=√2BN＝2√2，当△DAB∽△BPQ，

∴BP

AD =BQ

，

∴√2

2√2=

2√3+2

，

∴BQ＝2√3+2

∴点Q(1?2√3,?0)；当△BAD∽△PQB，

∴BP

BD =BQ

，

∴BQ=√2×2√2

2√3+2

=2√3?2，∴点Q(5?2√3,?0)；

综上所述：满足条件的点Q的坐标为(1?2√3

3,?0)或(?1+4√3

,?0)或(1?2√3,?0)或(5?

2√3,?0)．

【考点】

二次函数综合题

【解析】

（1）先求出点A，点B坐标，代入交点式，可求抛物线解析式，即可求解；

（2）过点D作DE⊥AB于E，由平行线分线段成比例可求OE=√3，可求点D坐标，利用待定系数法可求解析式；

（3）利用两点距离公式可求AD，AB，BD的长，利用锐角三角函数和直角三角形的性质可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°两种情况讨论，利用相似三角形的性质可求解．

【解答】

∵BO＝3AO＝3，

∴点B(3,?0)，点A(?1,?0)，

∴抛物线解析式为：y=3+√3

6(x+1)(x?3)=3+√3

x2?3+√3

x?3+√3

，

∴ b =?

3+√33

，c =?

3+√32

；

如图1，过点D 作DE ⊥AB 于E ，

∴ CO?//?DE ， ∴

BC CD

BO OE

，

∵ BC =√3CD ，BO ＝3， ∴ √3=3

OE ，

∴ OE =√3，

∴ 点D 横坐标为?√3，

∴ 点D 坐标为(?√3,?√3+1)，

设直线BD 的函数解析式为：y ＝kx +b ，由题意可得：{√3+1=?√3k +b 0=3k +b ，

解得：{k =?√33

b =√3

，

∴ 直线BD 的函数解析式为y =?

√33

x +√3；

∵ 点B(3,?0)，点A(?1,?0)，点D(?√3,?√3+1)，

∴ AB ＝4，AD ＝2√2，BD ＝2√3+2，对称轴为直线x ＝1， ∵ 直线BD:y =?√33

x +√3与y 轴交于点C ，

∴ 点C(0,?√3)， ∴ OC =√3， ∵ tan ∠CBO =CO

BO =

√33， ∴ ∠CBO ＝30°，

如图2，过点A 作AK ⊥BD 于K ，

∴AK=1

AB＝2，

∴DK=√AD2?AK2=√8?4=2，

∴DK＝AK，

∴∠ADB＝45°，

如图，设对称轴与x轴的交点为N，即点N(1,?0)，

若∠CBO＝∠PBO＝30°，

∴BN=√3PN＝2，BP＝2PN，

∴PN=2√3

3，BP=4√3

，

当△BAD∽△BPQ，

∴BP

BA =BQ

，

∴BQ=4√33×(2√3+2)

4=2+2√3

，

∴点Q(1?2√3

,?0)；当△BAD∽△BQP，

∴BP

BD =BQ

，

∴BQ=4√33×4

2√3+2=4?4√3

，

∴点Q(?1+4√3

,?0)；

若∠PBO＝∠ADB＝45°，

∴BN＝PN＝2，BP=√2BN＝2√2，当△DAB∽△BPQ，