中考数学专题复习 新定义问题

新定义问题

【专题点拨】

新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；

3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .

【解题策略】

具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决

【典例解析】

类型一：规律题型中的新定义

例题1：（2015•永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）

A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1

C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）

【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算

【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，

∴当x是整数时，[x]=x，成立；

B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；

C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，

∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，

∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，

D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；

故选：C．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．

变式训练1：

（2015•山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )

A．(—2012,2) B．（一2012，一2）

C. (—2013,—2)

D. (—2013,2)

类型二：运算题型中的新定义

例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．

现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．

例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．

【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．【解答】解：log1001000===．故答案为：．

变式训练2：

(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)(0)

y x y y x ≥⎧'=⎨-<⎩，则称点Q 为点P 的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；

（2）若点P 在函数2

16y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．

类型三： 探索题型中的新定义

例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是21-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）

A ．矩形ABFE

B ．矩形EFCD

C ．矩形EFGH

D ．矩形DCGH

【解析】考点：黄金分割的识别

【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形

CG=CF )15(-，GH=2CF ∴2

152)15(-=-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。 变式训练3：（2014•山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列S 0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若S 0可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是（ ）

A ．（1，2，1，2，2）

B ．（2，2，2，3，3）

C ．（1，1，2，2，3）

D ．（1，2，1，1，2）

类型四： 开放题型中的新定义

例题4：(2016山西省第19题)（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数子．

阿拉伯Al-Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC>AB ，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD ．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD 的部分证明过程．

证明：如图2，在CB 上截取CG=AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点， ∴MA=MC ．．．