答案 (1)C (2)C 拓展提升
对数式有意义的条件
对数式有意义的两个前提：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．
【跟踪训练1】 (1)满足函数f (x )＝lg (x ＋1)
x －1的x 的取值范围是
( )
A ．(－1，＋∞)
B ．[－1，＋∞)
C ．(－1,1)∪(1，＋∞)
D ．[－1,1)∪(1，＋∞)
(2)在log (2x －1)(x ＋2)中求x 的范围．
答案 (1)C (2)见解析 解析 (1)要使函数有意义，必有??
?
x ＋1>0，
x －1≠0，
解得x >－1且x ≠1，
故选C.
(2)因为真数大于0，底数大于0且不等于1， 所以????
?
x ＋2>0，2x －1>0，
2x －1≠1，
解得x >1
2，且x ≠1.
即x 的取值范围是??????
x ???
x >12，且x ≠1.
探究2 指数式与对数式的互化
例2 (1)将下列指数式改写成对数式：24
＝16；2－5
＝132；34
＝81；
? ??
??12m
＝n ； (2)将下列对数式改写成指数式：log 5125＝3；log 12
16＝－4；ln a
＝b ；lg 1000＝3.
解 (1)log 216＝4；log 21
32＝－5；log 381＝4；log 12
n ＝m .
(2)53
＝125；? ??
??12－4
＝16；e b ＝a,103＝1000.
拓展提升
由指数式a b ＝N 可以写成log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，这是指数式
与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：
【跟踪训练2】 (1)若a ＝log 23，则2a ＋2－a ＝________. (2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： ①log 216＝4；②log 3x ＝6；③43＝64. 答案 (1)10
3 (2)见解析
解析 (1)因为a ＝log 23，所以2a
＝3，则2
a
＋2－a ＝3＋3－1＝
103.
(2)①24＝16；②(3)6＝x ；③log 464＝3.
探究3 对数性质的应用 例3 (1)给出下列各式： ①lg (lg 10)＝0； ②lg (ln e)＝0；
③若10＝lg x ，则x ＝10； ④由log 25x ＝1
2，得x ＝±5.
其中，正确的是________(把正确的序号都填上)． (2)求下列各式中x 的值： ①log 2(log 5x )＝0；②log 3(lg x )＝1； ③log (
2－1)(
2－1)＝x ；④3x ＋3＝2.
解析 (1)∵lg 10＝1，∵lg (lg 10)＝lg 1＝0，∵正确；∵ln e ＝1，∵lg (ln e)＝lg 1＝0，∵正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，∵错误；由log 25x ＝12，得
x ＝25
12
＝5，∵错误．故填∵∵.
(2)①∵log 2(log 5x )＝0. ∴log 5x ＝20＝1，∴x ＝51＝5.
②∵log 3(lg x )＝1，∴lg x ＝31＝3，∴x ＝103＝1000. ③∵log
(2－1)
(2－1)＝x ，
∴(2－1)x ＝2－1， ∴x ＝1.
④x ＋3＝log 32，∴x ＝log 32－3. 答案 (1)①② (2)见解析 拓展提升
对数性质在计算中的应用
(1)对数运算时的常用性质：log a a ＝1，log a 1＝0(a >0且a ≠1)． (2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．
【跟踪训练3】 (1)若log 2(x 2－7x ＋13)＝0，求x 的值； (2)已知log 2[log 3(log 4x )]＝log 3[log 4(log 2y )]＝0，求x ＋y 的值．
解 (1)因为log 2(x 2－7x ＋13)＝0， 所以x 2－7x ＋13＝1，即x 2－7x ＋12＝0， 解得x ＝4或x ＝3. (2)∵log 2[log 3(log 4x )]＝0， ∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3.
∴x ＝43＝64.同理求得y ＝16.∴x ＋y ＝80. 探究4 对数恒等式的应用 例4 求下列各式的值： (1)5log 54；(2)3log 34－2；(3)24＋log 25.
解 (1)设5log 54＝x ，则log 54＝log 5x ，∴x ＝4. (2)∵3log 34＝4，∴3log 34－2＝3log 34×3－2＝4×
19＝49.
(3)∵2log 25＝5，∴24＋log 25＝24×2log 25＝16×5＝80. 拓展提升
运用对数恒等式时的注意事项
(1)对于对数恒等式a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．
(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．
【跟踪训练4】 求31＋log 36－24＋log 23＋103lg 3＋? ??
??
19log 34的值．
解 原式＝31×3log 36－24×2log 23＋(10lg 3)3＋3－2×log 34＝3×6－
16×3＋33＋(3log 34)－2
＝18－48＋27＋116＝－47
16.
对数概念的理解 (1)规定a >0且a ≠1.
(2)由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以在a b ＝N 中，N 总是正数，即零和负数没有对数.
(3)对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b
＝N ?log a N ＝b (a ＞0，且a ≠1，N ＞0)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；(2)a log a N ＝N .
(4)在关系式a x ＝N 中，已知a 和x ，求N 的运算称为求幂运算，而如果已知a 和N ，求x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算.
1．若a >0，且a ≠1，c >0，则将a b ＝c 化为对数式为( ) A ．log a b ＝c B ．log a c ＝b C ．log b c ＝a D ．log c a ＝b
答案 B
解析 由对数的定义直接可得log a c ＝b . 2．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B ．4 C ．256 D ．2 答案 B
解析 ∵x 2＝16且x >0，x ≠1，∴x ＝4.故选B.
3．若log 31
81＝x ，则x ＝________. 答案 －4
解析 ∵log 31
81＝log 33－4，∴3x ＝3－4，∴x ＝－4. 4．式子2log 25＋log 32
1的值为________．
答案 5
解析 由对数性质知，2log 25＝5，log 32
1＝0，故原式＝5.
5．求下列各式中x 的值：
(1)若log 3? ??
??
1＋2x 3＝1，求x 的值； (2)若log 2018(x 2－1)＝0，求x 的值． 解 (1)∵log 31＋2x 3＝1，∴1＋2x
3＝3， ∴1＋2x ＝9，∴x ＝4. (2)∵log 2018(x 2－1)＝0， ∴x 2－1＝1，即x 2＝2.∴x ＝± 2.
A 级：基础巩固练
一、选择题
1．将对数式log 5b ＝2化为指数式是( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案 C
解析 由对数的概念可知log 5b ＝2?52＝b ，故选C. 2．下列指数式与对数式互化不正确的一组是( ) A ．e 0＝1与ln 1＝0
B ．8
－
13
＝
12与log 812＝－13
C ．log 39＝2与9
1
2
＝3 D ．log 77＝1与71＝7
答案 C
解析 log 39＝2应转化为32＝9. 3．已知log 12
x ＝3，则
x
13
＝( )
A.18
B.14
C.12
D.32 答案 C
解析 由log 12
x ＝3，得x ＝? ????123＝1
8，
所以
x
13 ＝? ????18 1
3 ＝1
2
. 4．方程2log 3x ＝
1
4的解是( )
A ．x ＝19
B ．x ＝x
3 C ．x ＝ 3 D ．x ＝9 答案 A 解析
∵2log 3x ＝2－2，∴log 3x ＝－2，∴x ＝3－2＝
19.
5．21＋1
2
log 25 的值等于(
)
A ．2＋ 5
B ．25
C ．2＋52
D ．1＋5
2
答案 B 解析
21＋12log 25 ＝2×212log 25 ＝2×(2log 25) 12 ＝2×(5) 12 ＝2
5.
二、填空题
6．方程log 3(2x －1)＝1的解为x ＝________. 答案 2
解析 依题意得2x －1＝3，∴x ＝2. 7．若a >0，a 2＝4
9，则log 23
a ＝________.
答案 1
解析 由a >0，a 2
＝49＝? ??
??232，可知a ＝23， ∴log 23 a ＝log 23
2
3＝1.
8．2log 2
14
－?
??
??8
27－
2
3
＋lg 1100
＋(2－1)lg 1
的值是_______． 答案 －3 解析 原式＝14－????
??? ????233－
23
＋lg 10－2＋(
2－1)0
＝14－9
4－2＋1＝
－3.
三、解答题
9．求下列各式中的x 的值： (1)log x 27＝3
2； (2)log 2x ＝－2
3； (3)log x (3＋22)＝－2； (4)log 5(log 2x )＝0； (5)x ＝log 271
9.
解 (1)由log x 27＝3
2，得
x
32 ＝27，∴x ＝27
2
3
＝32＝9.
(2)由log 2x ＝－2
3，得2－23
＝x ，
∴x ＝
13
22
＝3
22. (3)由log x (3＋22)＝－2，得3＋22＝x －2， 即x ＝(3＋2
2)－12 ＝
2－1.
(4)由log 5(log 2x )＝0，得log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (5)由x ＝log 2719，得27x
＝19，即33x ＝3－2， ∴x ＝－2
3.
B 级：能力提升练
10．已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1
b .
证明 设log a b ＝log b a ＝k ， 则b ＝a k ，a ＝b k ，∴b ＝(b k )k ＝bk 2. ∵b >0，且b ≠1，∴k 2＝1， 即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1
b ；
当k ＝1时，a ＝b .∴a ＝b 或a ＝1
b ，命题得证．
